灰色關聯度的中學生數學學習綜合評價

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摘要：在新的歷史背景下，中學生數學學習的考試評價方法顯現出越來越多的問題.有鑒于此，本文設計出一套基于灰色關聯度理論的新的綜合評價方法.案例研究結果表明，新方法具有充分照顧到過程性評價、合理地體現了學習表現的動態性、恰當量化了創新意識的評價等優點.

關鍵詞：中學生；數學學習；灰色關聯度理論；綜合評價方法

一、引言

中學數學教育的目的是為了使學生掌握進一步學習所必需的代數、幾何的基礎知識和概率統計、微積分的初步知識，并形成基本技能；與此同時，培養學生的思維能力、運算能力、空間想象能力、解決實際問題的能力，以及創新意識；進一步培養良好的個性品質和辯證唯物主義觀點.為了對數學教育現狀進行實時的跟蹤、監督和操控，并進而完成教學任務，數學教育評價是必要的.近幾年，越來越多教育理論工作者和教育實踐工作者發現數學考試評價方式存在很大的缺陷.第一，數學考試（特別是高考）的甄別、選拔色彩越來越濃，從而影響了數學教育評價的真正目的.第二，數學考試是量化的評價模式，它能較準確地評價學生的基礎知識等素質，但在評價如情感態度等難以量化的素質時必然會丟失不少信息.第三，在科學化、客觀化色彩的籠罩下，數學考試的試題設計、答案設計以及評價實施環境趨于標準化，忽視了思維過程的評價，同時阻礙了學生的個性品質的培養.第四，隨著新課標的不斷深入實施，傳統的考試評價方式必然不適應新的課程理論.基于以上四點考慮，數學學習評價方式必然要改革.本文在文獻的理論指導下，在考試這種量化評價模式中引入質性評價模式：基于灰色關聯度的綜合評價方法.

二、中學生數學學習結構剖分

依據新課標，下述能力的培養在中學數學學習中是關鍵的.基礎知識：高中數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和方法；基本技能：按照一定的程序與步驟進行運算、處理數據、簡單的推理、畫圖以及繪制圖表等技能；思維能力：會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括，會用歸納、演繹和類比進行推理，會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點，能運用數學概念、思想和方法，明辨數學關系，形成良好的思維品質；運算能力：會根據法則、公式正確地進行運算、理解算理，能夠根據問題的情景，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑；空間想象能力：能夠由實物形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀、位置和大小，能夠想象幾何圖形的運動和變化，能夠從復雜的圖形中區分出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，會運用圖形與圖表等手段形象地揭示數學問題本質；解決實際問題的能力：會提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科、生產和生活中的數學問題，會使用數學語言表達問題、進行交流，形成用數學的意識；創新意識：對自然界和社會中的數學現象具有好奇心，不斷追求新知，獨立思考，會從數學的角度發現和提出問題，進行探索和研究；良好的個性品質：正確的學習目的，實事求是的科學態度，勇于探索創新的精神，欣賞數學的美學價值.歷年高考數學考試大綱明確指出，數學考試，按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，要考查考生對中學的基礎知識、基本技能的掌握程度，要考查考生對數學思想方法和數學本質的理解水平，要考查考生進入高等學校繼續學習的潛能.考核指標有：基礎知識、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力、應用意思創新意識等.關于中學生學習評價方面更多的研究可見文獻.

三、灰色關聯度綜合評價模型原理

灰色關聯度理論是灰色關聯度綜合評價方法的理論基礎，是對由數據不足所導致的不確定的灰色系統進行的研究重要方法之一.由灰色關聯分析原理可知，灰色關聯度綜合評價實質上是提取某一灰色評價系統（將要評價的對象）的少量已知信息，通過灰色關聯分析的方法，將灰色系統“白化”，以獲得更多關于被評價系統的信息，進而達到綜合評價的目的.灰色關聯度綜合評價的整個過程實質上計算灰色關聯度的過程，即是灰關聯分析的過程.為了對模型做簡單的介紹，現在假設被評價的中學生人數為n，每名學生的數學學習可以大致劃分為p項表象指標.記X=（xij）1≤i≤n，1≤j≤p，其中xij表示第i名學生的第j項指標得分，1≤j≤p，1≤i≤n.不失一般性，這里約定：（xij）1≤i≤n，1≤j≤p中的元素無量綱或者量綱相同；任何元素值越大，意味著所對應的學生所對應的指標所反映的素質越高；任何兩個元素數量級（相差不大于10）相當.進行灰色關聯度綜合評價時，由矩陣X=（xij）1≤i≤n，1≤j≤p構造出增廣矩陣XA=（xij）0≤i≤n，1≤j≤p，其中，x0j=max1≤i≤nxij.灰色系統理論中，X0=（x01，x02，...，x0p）稱為灰參考序列.從幾何理論出發，可以定義一種灰色理論中稱為灰關聯空間的結構（XA，γ），其中，γ（Xi，X0）=1ppj=1∑γ（xij，x0j），Xi=（xi1，...，xip）∈R1×p，γ（xij，x0j）=min1≤i≤nmin1≤j≤p|xij-xoj|+ζmax1≤i≤nmax1≤j≤p|xij-xoj||xij-xoj|+ζmax1≤i≤nmax1≤j≤p|xij-xoj|，ζ∈（0，1）稱為分辨系數，主要用來反映系統的可辨程度.由表達式可看出，當ζ越小時，被評價對象被區分得越明顯，相應的評價結果越清晰；當ζ越大時，評價對象的區分程度就越模糊，相應的評價結果就越模糊.ζ的具體取值取決于系統本身，信息最少原理指出常常取ζ=0.5.具體的關聯度綜合評價，就是依據空間（XA，γ）中所計算出來的γ（Xi，X0）大小關系，在矩陣X滿足上面的約定的條件下，γ（Xi，X0）越大，第i名評價對象綜合素質越高，用于學生數學學習評價時指的就是第i名學生的數學學習越好；γ（Xi，X0）越小，第i名評價對象綜合素質越高，用于學生數學學習評價時指的就是第i名學生的數學學習越好.

四、案例研究

本文選擇的研究對象是成都市溫江區某高級中學2016級一平行班，該班有56名學生.為了簡化評價模型，本次評價實驗將中學生的數學學習分為基礎知識、基本技能、思維能力、運算能力、空間想象能力、解決實際問題的能力、創新意識、個性品質這八項指標；由專家建議，本文賦予上述指標的權重分別為33%，19%，14%，9%，4%，4%，10%，7%.通過數學測試、觀察、訪談以及信息整合等過程，我們整理出了全班56名學生各項指標的得分.將數據無量綱化，并利用灰色關聯度綜合評價模型對全班56名學生進行數學學習綜合評價、得到全班56名學生的綜合評價排名表.評價結果顯示：（i）評價結果與學生的平時學習表現基本相符、充分顧及到了學習過程的評價，平時表現出的學習習慣越好，綜合評價排名越靠前；（ii）不僅強調對基礎知識的掌握，新的綜合評價方法也非常重視學生基本技能的培養和思維能力的提高；（iii）在新綜合評價的過程中，創新意識及個性品質得到了充分體現；（iv）新的評價方法還非常重視學習的動態性，突出了對運算能力、空間想象能力、解決實際問題能力提升的要求.

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作者:王成強 單位:成都師范學院數學學院