特殊化數學的思想應用研究

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摘要：特殊化思想是數學領域的重要思想之一。運用特殊化思想解決實際的數學問題，完全遵守了從特殊到一般的認知規律，是數學發現最為關鍵的渠道。尤其是在運用特殊化思想解答部分數學題目的時候，能夠快速的求解出答案。本文就特殊化數學思想及其應用進行深入地研究。

關鍵詞：特殊化；數學思想；應用價值

1特殊化數學思想簡介

特殊化思想是一種非常關鍵的數學思想，其同時還是辯證的認知規律的重要體現。歷史中部分重要額科學發現往往是由一些特殊的案例所引起的。華羅庚曾經指出：善于“退”，直至“退”到最初而不缺乏重要性的區域，是數學學習的重要秘訣。波利亞曾經說過：特殊化是以考慮某一限定的目標集合轉向考慮此集合相對偏小的子集，又或是僅僅是一個目標對象。希爾伯曾指出：在對數學問題進行分析的時候，我堅信特殊化與一般化相比有著更加重要的作用。我們之所以不能成功的尋找到某一個答案，便在于如此事實，雖然有部分比手頭的問題更加容易、更為簡單的問題并未全面解決。尋找到相對容易的問題，同時以盡量完美的方式與能夠存在的概念以處理它們，是科學探究的一般規律。以上均表明了特殊化思想具有非常重要的作用。將問題特殊化，往往在解決問題中起到出其不意的效果。

2特殊化的準則與策略

運用特殊化思想的解決數學問題，往往需要遵守下述準則：（1）合理性準則。所選擇的特殊值需要滿足題設的所有條件，將集合I特殊化成集合A的時候，需要符合IA⊂，同時AΦ≠。（2）最簡性準則。在正常狀況下，特殊化集合A是一種單元素集，選擇的特殊元素可以使得推理又或是運算更加的簡單。（3）功能性準則。也就是所選擇的特殊值具備對于備選答案的選取功能，應用所選擇的選特殊元素可以快速進行正確的選擇。

3特殊化數學思想的應用

以下簡單分析特殊化思想在一些具體環境中的運用：3.1運用特殊化思想解答選擇題部分選擇題以普通的思路很難解決又或是計算復雜，如果運用特殊化思想進行解決便極為便利。例l：某三角形，其內切圓半徑、外接圓半徑以及周長依次是r,R,l(此處的R是一個固定值)，那么以下結論種正確的的（）。(A)l+>rR(B)l+≤rR(C)rRl+<6(D)上述關系均不成立。可以考慮三角形的部分特殊狀況。在此三角形的三個頂點極其靠近的時候，那么此三角形所有邊的長度都遠遠低于R，此時(A)與（C）明顯是不正確的。在此三角形是頂角非常小的等腰三角形的時候，腰長與外接圓的直徑長非常接近，明確(B)同樣是不正確的。所以應該選擇(D)。3.2運用特殊化思想摸索問題的最后結論部分和定直線、定值以及定點等相關的問題，能夠通過特殊化思想把問題引至極端，摒棄題目里面不明確的要素，先求解出此定直線、定值以及定點等，進而確定解題的具體方向。例2：證明對任何實數k，方程：04)23()1(234kxkxxk=−+−++均處在著一個相應的實數解，同時求出此解。如果可以知曉此解是多少，那么問題便會成為，正面此解是原方程的解。假設：k−=1，那么原方程就變成：0423xx=++假設：k=0，那么原方程就變成：02234xxx=−+（2）由（1）、（2）求解可得x−=2。若原方程針對所有實數k均存在相同的實數解的話，則其便是x−=2。現把x−=2代入到原方程當中，剛好原方程左右相等。因此，x−=2便是原方程的一個共同的實數解。從上述例子可以看出，四次方程相對來說是有一定的難度的，抓住題目中“都有一個共同的實數解”的條件，對式子進行特殊化處理，對k取特殊值，將方程降次，得到一個低階方程組，然后用消元法，通過驗證就得到它們的公共解。可以看出，高次復雜方程的求解就完全轉化為簡單的方程求解。3.3運用特殊化思想摸索解題思路數學問題通過特殊化處理以后，往往有助于人們得到此問題的某種側面信息，如此通過幾次特殊化以后，便可以得到更加多的信息，進而能夠幫助尋找到正確的解題方式。例3：假設三角形的三條邊長分別是22mmmm+++−1,12,1，問：該三角形的最大角是多少。如果想要求解三角形的最大角，便需確定哪一條便是最大的。可以用特殊值進行嘗試。假設：m=2，那么:71,512,3122mmmm=++=+=−所以，12mm++或許是最大邊，然而此類假設性的猜測需要進行更深層次的驗證：因為1,12,122mmmm+++−分別為三角形的三條邊，因此便有：>++>⇒>+>−.0121,012,012mmmmm然而，在m>1的時候，22mmmm>+=−−++02)1(1，2mmmmm>−=+−++0)1()12(1。因此，2mm++1的確是最大邊。接著再運用余弦定理便能夠求解出最大角。顯然，特殊化思想不僅僅只有以上所論述的作用，按照具體的題目，人們需巧妙運用自身所學習的理論知識，運用各式各樣的解題方法，精準、快速地獲得答案。

4結論

采取特殊化的思想解決實際問題，可以規避掉那些復雜的推理又或是計算過程，是一種高速有效的方式。若人們可以精準地將特殊化思想應用于具體的解題過程，必然會有更加深入的體會與收獲。然而數學是一種分析一般性問題的學科，特殊最后依然要回歸至一般。所謂的特殊化思想僅僅是在人們解決數學問題時候的一個重要突破口，因此人們在應用特殊化思想的時候需要關注不得本末倒置，只想到運用簡單、迅速的方式去解決問題，需認識到特殊源自于一般，最終依然需回歸到一般，此是一個辯證發展的環節——也就是：普通的解題方式+題目里面的特殊話因素=以特殊化思想解決問題。

參考文獻：

[1]肖燕.特殊化和一般化思想在高等數學中的應用[J].高等函授學報(自然科學版),2008(10).

作者:趙曉花 單位:濟源職業技術學院