美感教育融入高中數學教學研究

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【摘要】在高中數學教學中融入美感教育滿足素質教育的需要、符合《課程標準》的要求、順應高考改革的趨勢。教師在教學過程中向學生滲透數學的簡潔美、對稱美、周期美、和諧美，關注學生在數學學習中的情感體驗和人格發展，以適應新時代的人才培養要求。

【關鍵詞】高中數學美感教育

美感教育是一種培養學生認識美、發現美和創造美的能力的教育。數學是研究空間形式與數量關系的一門學科，具有高度概括性和抽象性，在高中數學教學中有機融入美感教育，有利于培養學生認識數學美、發現數學美、創造數學美的能力，讓學生感受數學的魅力，體會數學的內涵，感悟數學思想，激發學生學習數學的興趣。

一、在高中數學教學中融入美感教育的必要性

（一）滿足素質教育的需要

隨著課程改革持續推進，教育更加重視學生的智力、思維能力和創新能力的培養。數學作為一門基礎學科，對學生的各方面有著舉足輕重的影響。在數學教學中融入美感教育，可提升學生的創造性思維和審美素養，滿足了素質教育的需要。

（二）符合《課程標準》的要求

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（本文簡稱《課程標準》）指出：引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。將美感教育貫穿整個數學學習過程，促使學生陶冶情操，提升思維品質，嘗試從數學的角度去發現世界的美，用數學規則解釋自然的奧秘，探索生活中存在的規律，發現生活中處處有數學。

（三）順應高考改革的趨勢

隨著新高考制度的改革，學業質量評價不僅重視學生對數學知識與技能的掌握，而且還關注學生的情感態度、價值觀、創新性等方面。近幾年，數學高考題目背景更多樣化、生活化，重視考查學生的綜合素質和文化修養。

二、高中數學中的美感教育

（一）數學的簡潔美

數學的簡潔美具體體現在數學語言的簡潔、數學公式的簡潔、數學解題方法的簡潔等。例如Venn圖作為一種集合的表示方法，是用圖形的方式表示集合之間的邏輯關系，幫助學生更加直觀地理解集合的關系與運算。又如通過弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪或升冪、“1”的代換等方法，可以將復雜的三角函數式化為簡單的形式。再如根據等差數列{an}和等比數列{bn}計算新數列{anbn}的前n項和時，采用錯位相減法能夠快速化簡得出結果。當題目中的數列裂項后明顯能夠相消時，采用裂項相消法，能夠快速化簡得出結果。數學的簡潔美不僅體現在公式和語言上，而且也蘊含在解題方法中，晦澀復雜的問題往往可以抽象為簡潔明了的數學模型，學生掌握了數學模型便能快速解決問題。例如2020年全國Ⅱ卷理科數學的北京天壇的扇面形石板選擇題，學生需要讀懂題目將情境轉化為數學問題，三環扇面形石板構成了一個等差數列，使用等差數列的公式和性質進行求解，復雜的問題立刻變得簡單容易解決。

（二）數學的對稱美

數學的對稱美具體體現在數學圖形和數學思想方法中。例如函數的對稱性包括函數奇偶性圖象的特點、偶函數關于y軸對稱、奇函數關于原點對稱。在二次函數中，函數的對稱軸尤為重要，針對函數在給定區間內求最值的問題，最值是在對稱軸上還是區間端點處，要具體問題具體分析。例如在全體實數范圍內，二次函數y=-3x2+12x-8取得的最值是多少？分析問題：函數是開口向下的，在對稱軸x=2處取得最大值，ymax=4，此時求得函數的最大值為4。變式問題：在x∈［3，5］范圍內，二次函數y=-3x2+12x-8取得的最大值為多少？分析問題：變式題目與原題目的區別在于函數定義域發生了變化，定義域縮小后，二次函數的對稱軸已經不在區間內，根據圖象的走勢，函數在x=3時能夠取得最大值。這一類問題以對稱軸是否存在為切入點，考查學生分析問題的嚴謹性。在三角函數誘導公式的學習中，角α與-α的正余弦關系、角α與α±π的正余弦關系、角α與π-α的正余弦關系，都可以利用三角函數的軸對稱和中心對稱性質在圖象中得出結論。研究角α與-α的正余弦時，兩個角的終邊與圓的交點分別是D、D′，這兩點關于x軸對稱，所以兩點的橫坐標相等，縱坐標的絕對值相等且符號相反（見圖1）。同理，在角α與α±π中，兩點關于原點對稱，在角α與π-α中，兩點關于y軸對稱。這種對稱性就是誘導公式的原理，口訣“奇變偶不變，符號看象限”即將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數。函數的對稱性也可以應用在其他內容中，根據圖象的對稱性可以簡單地解答出面積概率問題。例如2017年全國I卷理科數學的第二題，正方形ABCD內的圖形為中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱（見圖2），在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是？分析問題：根據圖形的對稱性，黑色部分為圓面積的一半，設圓的半徑為1，那么正方形的面積為4，所以黑色部分的面積為π2，因此在正方形內隨機取一點，此點取自黑色部分的概率為π8。本題以太極圖為切入點，考查圖形對稱和幾何概型。研究對稱性已經成為解答這類題目的一種方法，有助于讓學生掌握數形結合的數學思想方法，增強學生直觀想象和空間想象的能力。

（三）數學的周期美

數學的周期美具體體現在數學圖象的周期性變化和公式的周期變化。教師在教學周期變化時，從地球繞太陽轉動和地球自轉的周期變化引入周期函數，教材中提到的函數f（x）=x-［x］就是一種周期性變化，這種類似鋸子的波形，在物理中是應用廣泛的鋸齒波函數。在對三角函數性質的研究中總結出：在單位圓中，終邊相同的角正弦函數值、余弦函數值都相等，對于任意一個角α，每增加2π的整數倍其值都不發生變化（見圖3）。學生在單位圓的學習中充分體會到了三角函數的周期性。從函數公式的變化可以分析出函數是否存在周期。例如已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數，滿足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（50）=？分析問題：題目要求50個函數值的和，先分開求和再求總和顯然不是一個簡捷的方法，題目中提到函數是奇函數，那么函數關于x=1對稱，所以函數一定是周期函數，可以先求出周期，再尋找規律。周期性問題一般具有極強的規律性，因此尋找規律可以讓這類題目變得簡單，在探索規律中，讓問題由繁化簡，給學生帶來良好的解題體驗。

（四）數學的和諧美

美是目的性與規律性的統一，美的事物往往具有和諧感。例如數學中著名的黃金分割比例蘊含著神秘的美感，因為具有黃金分割比例的物體有一種和諧的美感，所以在建筑、繪畫等領域，黃金分割比例被普遍推崇。例如古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12（5-12≈0.618），此為黃金分割比例，著名的《斷臂維納斯》雕塑便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12，若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是？分析問題：頭頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂至咽喉的長度小于26cm，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是5-12≈0.618，可得咽喉至肚臍的長度小于260.618≈42cm，由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12，可得肚臍至足底的長度小于110cm（42+260.618≈110），即這人的身高小于178cm（110+68=178），根據肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于65cm（105×0.618≈65），則這人的身高大于170cm（65+105=170）。這道題考查了學生對于黃金分割比例的運用以及數學運算的核心素養。與黃金分割比例有著異曲同工之妙的是斐波那契數列，由意大利數學家斐波那契提出，用f（n）表示如下：f（0）=0，f（1）=1，則f（n）=f（n-1）+f（n-2），n>2，n∈N+。學生可能會覺得這個數列比較復雜難懂，但其實斐波那契數列在現實生活中無處不在。自然界中有一種名叫球薊的植物，它的頭部有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋，恰好是斐波那契數列的第7項和第8項，因此把這種螺旋稱為斐波那契螺旋。自然界中的植物并不理解什么是斐波那契數列，但它們的生長卻蘊含著數學的秘密，例如向日葵、松果等植物排列的規律也是斐波那契數列。這個數列看似晦澀，但它卻將自然界鬼斧神工的美麗解釋得一清二楚，了解了這些知識再回顧斐波那契數列，一種和諧之美油然而生。

三、在高中數學教學中融入美感教育的建議

（一）轉變教育觀念，重視學生的課堂情感體驗

《課程標準》提到：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。”課堂不應是教師的一言堂，學生的學習體驗、情感體驗應受到重視。教師需要樹立良好的審美意識，對美感教育有充分的認識，提升自己的數學審美素養，以激發學生對美的追求和探索欲望。

（二）提升教師的業務水平，打造體驗美的數學課堂

教師不僅要精確把握數學學科知識，而且還要學習數學文化知識，擴充自己知識范圍，將美感教育完美融入到課堂教學中。教師要具有創造精神，不能局限于教材中的引申和補充，也不能一味地把現有的美感教育例子直接用在課堂中。在教學設計中，可以增添讓學生體驗數學美感的環節。此外，在板書上，教師需要創造出優美的板書，完整且具有美感的板書可以讓學生對知識理解更清晰更深刻。

（三）大膽創新，利用教學工具激活課堂

美感教育應滲透在課堂的各個環節，單純的知識教學容易讓學生只關注公式定理，對此，教師要從學生感興趣的事物入手。高中生對直觀的知識接受程度明顯更高，因此在教學過程中，應用現代教育技術手段十分有必要。例如在學習函數圖象時，采用幾何畫板讓學生直觀地感受到函數圖象的變化。又如對于數學概念的學習，教師可以通過制作概念流程圖，方便學生記憶概念之間的聯系。

（四）因材施教，關注每個學生的美感體驗

數學美感教育的最終目的是讓學生充分體會數學知識的奇妙，更好地接受知識，并積極探索問題。教師要充分考慮學生基礎的差異性，在美感教育中也要學會因材施教，一切以學生的興趣為出發點，落腳于學生學習的進步和全面發展。每個學生對于美的感覺都不一樣，教師在課堂上應該多鼓勵學生自主探究，結合自身實際情況，在美感教育中實現自身的發展。美感教育為嚴謹的數學教學增添了創造性，這種創造性能夠激發學生學習數學的興趣，陶冶學生的情操，促使學生在學習數學中發現美、感受美。

作者:賈南希 單位:陜西理工大學數學與計算機科學學院