HPM的初等數(shù)論緒論課教學(xué)設(shè)計

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摘要：從hpm的視角研究了關(guān)于初等數(shù)論緒論課的課堂教學(xué)設(shè)計。首先從初等數(shù)論的課程價值及教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，介紹了初等數(shù)論的主要內(nèi)容及學(xué)科發(fā)展簡史。其次，簡單介紹了幾個重要數(shù)論難題，了解這些難題的研究狀況。最后，通過數(shù)學(xué)名著及相關(guān)人物，介紹了我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就及國外古代數(shù)學(xué)的成果，讓數(shù)學(xué)史料融入初等數(shù)論的教學(xué)中，使學(xué)生能從整體上對初等數(shù)論有個初步認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：HPM；數(shù)學(xué)史；初等數(shù)論；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、引言

初等數(shù)論以整除為基礎(chǔ)，研究整數(shù)性質(zhì)和方程（組）整數(shù)解，是近代數(shù)學(xué)中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧。初等數(shù)論課程是我校小學(xué)教育（理科方向）和數(shù)學(xué)教育專業(yè)的專業(yè)必修課，學(xué)生通過本課程中基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，掌握初等數(shù)論的基礎(chǔ)內(nèi)容，即算術(shù)基本理論和最大公約數(shù)理論；掌握初等數(shù)論的核心，即同余理論的基本知識；并能運用整除理論和同余理論來求解幾類最基本的不定方程；掌握連分?jǐn)?shù)等有關(guān)概念和性質(zhì)及其應(yīng)用；通過觀察、實驗、猜測、分析、計算、推理等學(xué)習(xí)活動，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式；了解初等數(shù)論的價值，為學(xué)生以后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)論或從事教學(xué)工作打下基礎(chǔ)。然而，初等數(shù)論教材重在闡述數(shù)論理論知識的結(jié)果，忽視介紹知識的背景、發(fā)生與形成過程，某種意義上影響了該課程的教學(xué)質(zhì)量。針對初等數(shù)論課程的性質(zhì)，在緒論課中結(jié)合數(shù)學(xué)史知識，在HPM的視角下進(jìn)行緒論課的教學(xué)設(shè)計，HPM視角下的緒論課教學(xué)的目的在于將初等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史等其他知識銜接起來，盡量消除數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生體驗初等數(shù)論的價值，進(jìn)而增強學(xué)生的使命感和目標(biāo)感，吸引更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。HPM指的是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，其研究的最終目標(biāo)是提高數(shù)學(xué)教育水平，具體方法是通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)學(xué)史。

二、初等數(shù)論的主要內(nèi)容

1．整除理論：整除理論是數(shù)論中最重要的基本內(nèi)容。本章首先簡要介紹自然數(shù)與數(shù)學(xué)歸納法，然后引進(jìn)整除的概念，利用帶余除法和輾轉(zhuǎn)相除法這兩個工具，建立最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的理論，進(jìn)一步研究素數(shù)的基本性質(zhì)和極具重要性的算術(shù)基本定理。這一理論的主要成果有：算術(shù)基本定理、數(shù)的十進(jìn)制、高斯函數(shù)、費馬數(shù)、梅森數(shù)、完全數(shù)等。2．同余理論：同余是初等數(shù)論的又一基本概念。同余概念的引入，使許多數(shù)論問題的討論得到簡化，極大地豐富了數(shù)論內(nèi)容，因而同余在數(shù)論中占有極為重要的地位．涉及內(nèi)容有同余及其基本性質(zhì)，剩余類與剩余系，歐拉定理和費馬定理及其在循環(huán)小數(shù)和公開密鑰問題上的應(yīng)用。3．不定方程：不定方程是數(shù)論中的一個古老分支，它有悠久的歷史與豐富的內(nèi)容．古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于3世紀(jì)初就研究過這樣的方程，所以不定方程又稱丟番圖方程．但實際上，我國對不定方程的研究從勾股方程的商高定理和費馬大定理等低次代數(shù)曲線對應(yīng)的不定方程已經(jīng)延續(xù)了數(shù)千年。4．連分?jǐn)?shù)理論：引入了連分?jǐn)?shù)概念和算法等等。特別是研究了整數(shù)平方根的連分?jǐn)?shù)展開。主要成果：循環(huán)連分?jǐn)?shù)展開、最佳逼近問題等。

三、初等數(shù)論的發(fā)展簡史

對數(shù)的崇拜和好奇是促使人們?nèi)パ芯繑?shù)的原始推動力，這樣一門以整數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)為研究對象的學(xué)科也就誕生了，這就是數(shù)論。目前大多數(shù)人大致贊同數(shù)論的研究在內(nèi)容上是從數(shù)的可約性開始的。若“可約”，則它是一個整除性問題；若“不可約”，則為余數(shù)問題。因此，整除理論被稱為是數(shù)論中最古老的內(nèi)容。早在兩千多年前的古希臘歐幾里德的《幾何原本》中論述了數(shù)論的知識，例如歐幾里得證明了質(zhì)數(shù)個數(shù)是無限的，提出了求最大公約數(shù)的方法（即所謂歐幾里得算法）。我國古代在數(shù)論方面取得過輝煌的成就，現(xiàn)在一般數(shù)論書中被稱為“中國剩余定理”的孫子定理就起源于我國古代《孫子算經(jīng)》（約公元400年）中的下卷第26題。初等數(shù)論從早期發(fā)展起來后的近兩千年時間里，發(fā)展幾乎停滯不前，直到15世紀(jì)，費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等作了初等數(shù)論的研究工作，特別是德國數(shù)學(xué)家高斯在前人研究的基礎(chǔ)上，發(fā)表了著作《算術(shù)探究》，在研究整數(shù)性質(zhì)過程中引進(jìn)并推廣了統(tǒng)一的符號，提出了同余理論，發(fā)現(xiàn)了二次互反律，開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。自二十世紀(jì)以來，由于現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展以及抽象數(shù)學(xué)和高等分析的應(yīng)用，進(jìn)一步促進(jìn)了數(shù)論的發(fā)展，并出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等新的研究分支，開拓了應(yīng)用范圍，如在計算機科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、代數(shù)編碼、計算方法等領(lǐng)域內(nèi)都得到了廣泛的應(yīng)用。

四、幾個著名的數(shù)論難題

歷史上遺留下來沒有解決的數(shù)論難題主要有：哥德巴赫猜想；費爾馬大定理；孿生素數(shù)問題；完全數(shù)問題等。1．哥德巴赫猜想：1742年德國人哥德巴赫提出了任何不小于6的偶數(shù)均可表示為不同的兩個奇質(zhì)數(shù)之和（所謂的1＋1）的猜想。后人稱之為”哥德巴赫猜想”，此猜想表述簡單，但證明的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人們的想象，比喻為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”。1900年德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特在國際數(shù)學(xué)會議上將“哥德巴赫猜想”列為第8個問題（23個數(shù)學(xué)難題）的一部分。1973年中國數(shù)學(xué)家陳景潤用自己提出的方法證明了命題（1＋2），即：一個足夠大的偶數(shù)可以表示為一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和，在世界數(shù)學(xué)界引起了強烈反響，這就是著名的“陳氏定理”。2．費爾馬大定理：費馬大定理又稱費馬最后的定理，由法國數(shù)學(xué)家費馬于1637年前后提出，費馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》時在第Ⅱ卷第八命題旁寫道：“一個立方不可能寫成兩個立方的和，一個四方不可能寫成兩個四方的和。一般地，每個大于2的冪不可能寫成兩個同次冪的和?！爆F(xiàn)在的表述方法為：“方程xn＋yn＝zn（n≥3）無非零整數(shù)解?！痹摂?shù)論難題由英國數(shù)學(xué)家AndrewWiles于1994年攻克。3．孿生素數(shù)猜想：存在無窮多個素數(shù)p，使得p＋2也是素數(shù)。素數(shù)對（p，p＋2）稱為孿生素數(shù)。1849年法國數(shù)學(xué)AlphonsedePolignac提出猜想：對于任何偶數(shù)2k，存在無窮多組以2k為間隔的素數(shù)。對于k＝1，這就是孿生素數(shù)猜想，而k等于其他自然數(shù)時就稱為弱孿生素數(shù)猜想。2013年5月，華人數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素數(shù)研究方面所取得的突破性進(jìn)展，他證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式。4．完全數(shù)問題：完美數(shù)又稱為完全數(shù)，最初是由畢達(dá)哥拉斯的信徒發(fā)現(xiàn)的，他們注意到，數(shù)6有一個特性，它等于它自己的因子（不包括它自身）的和，如：6＝1＋2＋3。下一個具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28，28＝1＋2＋4＋7＋14。接著是496和8128。他們稱這類數(shù)為完美數(shù)。歐幾里德在大約公元前350－300年間證明了：若2n－1是素數(shù)，則2n－1（2n－1）是完全數(shù)。目前已發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)都是偶完全數(shù)，有沒有奇完全數(shù)至今尚無定論。五、我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就1．周髀算經(jīng)：《周髀算經(jīng)》成書不晚于公元前2世紀(jì)西漢，是中國古代完整地流傳至今最早的一部天算著作。大約從東漢末期開始，人們已經(jīng)把這部書當(dāng)成是專門論述中國古代三大宇宙學(xué)說之一———蓋天說的理論著作。主要成就為提出了著名勾股定理的一個特殊情況———“勾三股四弦五”，并將勾股定理應(yīng)用于天文測量中。2．孫子算經(jīng)：《孫子算經(jīng)》原名《孫子算數(shù)》，作者名不詳，成書年代約為公元400年?，F(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共上中下三卷。該書上卷是關(guān)于籌算法則的系統(tǒng)介紹，下卷則有著名的“物不知數(shù)”問題（西方數(shù)學(xué)史稱其為”中國剩余定理”），亦稱“孫子問題”，后發(fā)展為更一般的“大衍求一術(shù)”。3．算數(shù)書：《算數(shù)書》成書于公元前3世紀(jì)，是中國目前已發(fā)現(xiàn)的成書年代最早的算學(xué)著作，大約比現(xiàn)有傳本的《九章算術(shù)》還要早近200多年?！端銛?shù)書》在內(nèi)容、體例等方面對《九章算術(shù)》的產(chǎn)生有直接的影響?！端銛?shù)書》是一本數(shù)學(xué)問題集，共有69個題名，完整的算題92個，單獨成題的6個。其主要成果為分?jǐn)?shù)約分、加減乘除四則運算、比例等算術(shù)知識，也有面積公式、體積公式等幾何知識。4．九章算術(shù)：中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》成書于東漢時期，全書共方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，涉及分?jǐn)?shù)、面積體積、勾股定理等246個數(shù)學(xué)問題，問題后有相應(yīng)解答。是中國古代數(shù)學(xué)體系形成的標(biāo)志，自此，中國數(shù)學(xué)家，大多是以《九章算術(shù)》作為教材、范本開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識?！毒耪滤阈g(shù)》以算籌為工具，以算法為主要內(nèi)容，以應(yīng)用問題集為形式，與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨立體系。標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識體系已初步形成，其思想方法對我國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響。5．海島算經(jīng)：中國數(shù)學(xué)家劉徽注解經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》之后附了一份問題集，后整理成《海島算經(jīng)》，書中9題算例，涉及測高望遠(yuǎn)及其計算問題。六、外國古代數(shù)學(xué)的豐碩成果1．萊因德紙草書：《萊因德紙草書》成書年代約為公元前1650年，是古埃及數(shù)學(xué)典籍，屬于世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一。紙草書主要講述了古埃及的乘除法、單位分?jǐn)?shù)的用法，求圓面積問題及一些數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用等。2．幾何原本：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著《幾何原本》成為古西方應(yīng)用邏輯典范而影響深遠(yuǎn)。該書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設(shè)”、23個定義和467個命題。第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷是數(shù)論，分別有39、27、36個命題，也完全用幾何的方式敘述，第Ⅶ卷第1命題是歐幾里得輾轉(zhuǎn)運算法的出處。第Ⅸ卷第20命題是數(shù)論中的歐幾里得定理：素數(shù)的個數(shù)無窮多?！稁缀卧尽窂?個“不證自明的”公理和點、線等少數(shù)幾個原始定義出發(fā)，通過邏輯推理得出整個幾何體系，成為人類歷史上的科學(xué)杰作。3．算術(shù)：《算術(shù)》是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的一部代數(shù)著作，成書于公元3世紀(jì)?！端阈g(shù)》是一本問題集，書中主要涉及一次或多次方程和二次不定方程代數(shù)問題以及數(shù)論方面的問題及解題方法，代表了古希臘代數(shù)思想的最高成就。該書丟番圖自稱共有13卷，但現(xiàn)僅存6卷，共有189題，幾乎一題一法，各不相同。并且，這部著作中引用了S、△r△、Kr等許多縮寫符號。17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)正是在丟番圖縮寫代數(shù)的啟示下才做出了符號代數(shù)的貢獻(xiàn)。4．代數(shù)學(xué)：阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米著作《代數(shù)學(xué)》，書中給出了一元二次方程的一般解法及幾何論證，引進(jìn)了移項、合并同類項等代數(shù)運算，指出了二次方程無（實）根的條件等等。全書由三部分組成，分別講述了初等代數(shù)、實用算術(shù)問題和有關(guān)遺產(chǎn)繼承問題。全書不使用代數(shù)符號，而是用語言敘述。5．幾何學(xué)：法國數(shù)學(xué)家笛卡爾1637年出版著作《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，其中一個附錄《幾何學(xué)》共分三編，提出了方程和曲線的思想，《幾何學(xué)》也成為了解析幾何經(jīng)典之作而被人們所接受。6．幾何基礎(chǔ)：德國數(shù)學(xué)家希爾伯特1899年出版著作《幾何基礎(chǔ)》，從此奠定了現(xiàn)代公理化方法。

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作者:杜先存 李玉龍 楊慧章 單位:紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院