專業結合的大學數學教學探討

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摘要:大學數學基礎課教學是高等學校教育中的重要一環，其教學效果是專業學習的重要基礎。論文分析了目前數學基礎課程教學中存在的一些典型問題，以及目前針對這些問題任課教師在教學方式、教學手段等方面提出的解決方法。同時探討了如何在獨立學院的高等數學課程教學中結合授課對象所在專業來設計教學實例。通過與專業知識相結合的案例激發學生的學習興趣和主動性，提升教學效果并增強學生應用數學知識解決專業問題的能力。

關鍵詞:數學基礎課;高等數學;教學實例設計

一、緒論

大學數學基礎課程在大學專業學習中占據著舉足輕重的地位。除了極少數文學藝術類專業，所有的理工農醫學以及經濟類等專業都要在大一學年修讀高等數學(微積分)、線性代數和概率論與數理統計等數學基礎課程。一方面，數學類課程是后續專業課程學習的基礎，是否較好地掌握相關的數學基礎知識將直接影響學生在專業學習的表現和未來的學術成長;另一方面，數學類課程能夠培養大學生嚴密的邏輯思維，對實際問題進行數學建模的能力，并應用所學數學知識解釋實際應用中出現的現象的能力。因此，大學數學課程是大學生的學業生涯中一個非常重要的環節，也是大學教學體系中的重要基礎。2015年教育部等《關于引導部分地方普通本科高校向應用型轉變的指導意見》提出“要大力推進應用型高校的建設，創新應用型技術技能型人才培養模式。建立以提高實踐能力為引領的人才培養流程，深化人才培養方案和課程體系改革。以社會經濟發展和產業技術進步驅動課程改革，整合相關的專業基礎課、主干課、核心課、專業技能應用和實驗實踐課，更加專注培養學習者的技術技能和創新創業能力”。2019年教育部《關于深化本科教育教學改革全面提高人才培養質量的意見》指出“深化本科教育教學改革，要提升學業挑戰度，強化人才培養方案、教學過程和教學考核等方面的質量要求”“引導學生多讀書、深思考、善提問、勤實踐”。從以上的要求可以看出，在應用型高校的人才培養中，如何結合專業特點實行更好的本專業基礎課程的教學是值得每位任課教師積極思考和探索的方向。

二、大學數學教學中的典型問題

雖然大學數學課程的重要性得到了學生和教師的廣泛認同，但是目前在高等數學、線性代數和概率論與數理統計等課程的學習中仍然存在許多問題［1］。在學習方面，學生在高中階段已經接觸到了導數、隨機變量、概率分布等概念，在大學中再面對這些知識的時候往往認為自己已經學過，從而放松了學習，但是，這些知識在高中階段只是非常淺顯的了解，并沒有系統地講解背后的理論基礎，學生只知其然而不知其所以然，忽略整個理論的來源和發展，不利于完整和系統的知識體系的構建。還有部分學生剛剛從高中具體的數學教學中脫離，不適應大學數學的抽象描述，例如高等數學中第一部分極限的定義，于是會對數學的學習產生畏難情緒，認為大學數學課程十分枯燥無味，降低學習熱情和主觀能動性，甚至由于學習效果沒有達到高中類似的程度而逐漸放棄學習，只求及格。在教學方面，一部分學生因為一直以來對數學的恐懼導致在課堂學習上的懈怠，無法配合教師的教學進度，也降低了教師的教學成就感。教師無法從課堂教學獲得充分的正向反饋，也會對教學失去信心、活力以及激情，會逐漸使數學課堂變得沉悶而且枯燥，這種情況在生源質量本來就較差的獨立學院尤為嚴重。同時，由于數學學科自身有著嚴密的發展和邏輯體系，大部分的任課教師在教學時都希望給學生建立對數學的完整認識，于是往往注重對定理和公式的推導，而忽視了這些知識內在聯系和如何在實際中應用所學知識解決實際的問題［2］。在教學過程中，教師采用的教學手段比較單一和單調，缺乏一定的課堂吸引力，同時數學基礎課程的教學班級往往較大，無法形成有效的教學互動和討論環節，從而影響學生的積極性。學生在課堂上一直處于被動聽講的狀態，不利于其邏輯思維能力和創新能力的培養。另外，教師在數學基礎課程中往往將教學目標設定為讓學生掌握知識本身，通過大量的習題來理解并記住相關的定理和公式，忽略對應能力的培養，這樣導致的后果就是學生在大學階段數學學習還是延續了高中的題海戰術，讓學生認為數學還是在解題，無法與自己的專業學習聯系起來，也無法感受到數學在現實生活中的重要作用，也無法樹立一個良好的學習態度。

三、大學數學課程教學的一些改革與實踐

針對大學數學課程教學中出現的上述問題，近年來大43量文獻從教學手段、教學方法以及教學模式改革等方面提出了許多解決方案和設想［3］。針對高中和大學數學課程的銜接問題上，教師可以從高中知識出發，在回顧的同時引導學生思考更深層的理論背景和來源，充分挖掘高中和大學知識的內在邏輯聯系，讓學生有一個平穩的過渡，降低大學數學知識的理論性帶來的沖擊。在教學手段和方法上，隨著現代化信息技術的發展，各種軟件針對數學公式和幾何圖形的可視化提供了簡便的方式，任課教師也要在數學基礎課程中適當的采用這些新的教學輔助手段來改進課堂教學。將大學數學課程中抽象的概念和定理采用圖形和動畫的形式表示出來，克服傳統數學教學中黑板加粉筆的不足，也可以加深學生的直觀印象，這樣更有利于他們理解和掌握，并能抓住學生注意力，提高了學生的學習興趣。同時，任課教師也要時刻保持與時俱進，學習新興的教學形式和手段，適時更新教學案例和相關知識，通過觀看其他大學提供優秀的數學公開課積極學習國內外先進的教學經驗。在教學模式上，教師在有條件的情況下，可以采取探究式學習模式，讓學生從被動接受知識變成主動學習，教師通過提出探究問題，讓學生以小組的形式進行問題的分析、討論、探究和解決，在此過程中，可以培養學生自主思考的能力，激發學習主動性。如果實際班級人數過多，那么小組學習的形式就不太適用，這時可以采用案例教學來增加課堂吸引力。通過課前的案例來讓學生思考、解決，啟發并引導學生根據已經學過的知識建立數學模型，從而發現解決該問題所需要的新的知識，激發學習的主觀能動性，再順勢進入相關知識的學習然后解決之前的案例問題。案例驅動的教學模式能鼓勵學生主動思考、自主探究的能力。除了傳統的教學探討，也有教師將各種新的理論引入大學數學基礎課的教學改革中，例如，結合最近發展區理論所倡導的教學觀提出有效教學改革的實施方法［4］，倡導教學應立足于學生的發展，立足于教學的有效性，從而使學生從“知識接受者”轉變為“知識探索者”，使教學效果最大化。另外，也有不少學者認為，數學課程的教學不應該局限于理論的推導和證明，現在的人才培養目標正在從“知識獲得”逐漸向“能力培養”轉變。尤其是對于應用型本科高校來說，要更多的讓數學課程和實際應用和生產實踐緊密結合起來，讓學生不僅要掌握數學知識，還要學會如何應用數學，增強數學教學的實用性，讓學生體會到學習數學的重要性，才有利于課堂教學。

四、與專業相結合的大學數學教學探討與實踐

作為一名獨立學院的教師，筆者長期從事大學數學類課程的教學。獨立學院的人才培養目標是以應用型人才為主，受限于生源質量和較大的生師比，在實際教學中無法開展探究式學習模式，大部分仍然以傳統的教學形式為主，再引入計算機輔助教學，能夠用可視化的方式來吸引學生并加深認識。但是，教師在教學中往往忽視了學生所在專業的特點，僅僅把數學知識的講解作為教學目標，在教學中所使用的例題也幾乎是采用教材上提供的示例，對不同的專業都是千篇一律，且過于脫離實際和過時。任課教師如何在大學數學教學中根據學生所學專業來選擇相關的實際問題作為理論知識的應用，并將數學建模的思想融入課堂教學中是值得探討的一個問題。下面我們將以高等數學課程為例，介紹如何在教學中針對學生所在專業來設計應用例題，使學生體會到大學數學不僅是理論知識的學習，更是解決專業問題的重要工具，增強數學教學的實用性，并為他們未來專業學習打下良好的基礎。大學高等數學課程采用最廣泛教材是同濟大學數學系編寫的《高等數學》(上下冊)，筆者所在學校的金融數學專業的高等數學課程也使用該套教材。我們發現雖然該教材已經更新到第七版，但是所采用的一些實際應用案例與之前的版本相比仍然沒有太大變化。在教學中，該教材的有些內容的應用案例并不能很好的展示所學知識在解決實際問題的體現，將實際問題過于簡單化。同時，針對現在一些新興的交叉學科，像金融數學專業等，缺乏典型的實際案例作為應用支撐。以一元函數的極值與最大值和最小這一節為例［5］，這部分內容是很多專業都會用到的知識。工程技術、經濟管理和科學實驗中常常會遇到可以轉化為求某一函數的最大值或最小值問題。這一節應該是前面導數知識重要性的實際體現，但是我們看到本節教材中的七個例題中，三個是直接給出了一個函數求最值，兩個與物理相關(分別是光線的折射和圓木的抗彎截面模量)，還有兩個跟運費和生產利潤有關，都十分簡單，學生在高中就見多了此類應用題，在課堂中往往無法產生新鮮感，并且無法跟所學專業聯系起來。因此，為了提升教學效果，培養學生應用知識的解決專業問題的能力，我們使用了下面這個新的案例來替換原有的純數學例題。案例(最小風險投資組合［6］)投資組合理論中，為了分散投資風險通常選擇多只股票構成投資組合，假設選擇兩只股票A和B，它們的收益率分別為RA，RB，風險分別為σA，σB，收益率的相關系數為ρAB≠1，投資在兩只股票上的資金比例分別為wA，wB，那么由這兩只股票所構成的投資組合的收益率為:Rp=wARA+wBRB組合風險為:σp=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B其中wA+wB=1。不同的投資比例wA，wB將構成不同收益和風險的投資組合，求出最小風險投資組合的投資比例。本題是函數的最值問題在金融數學專業課程證券投資學的一個重要應用，但是所用的知識恰好是目前要求掌握的基礎知識，將wB=1－wA代入σp的表達式即可轉化為一元函數的最值問題，于是有:σp=w2Aσ2A+1－wA()2σ2B+2wA1－wA()ρABσAσ槡BdσpdwA=wAσ2A－1－wA()σ2B+1－2wA()ρABσAσBw2Aσ2A+1－wA()2σ2B+2wA1－wA()ρABσAσ槡B令dσpdwA=0，可以得到唯一的駐點:w*A=σ2B－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－通過二階導數容易驗證σp在w*A處取得極小值，因此在此唯一駐點處取得最小值，且w*B=σ2A－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－。因此兩只股票可以構成的最小風險組合投資比例即為(w*A，w*B)。在實際教學中，可以進一步帶入具體數據進行計算最小風險投資組合的風險大小和組合收益。通過與采用傳統純數學例題教學對比，我們發現改用上述案例后，學生的注意力更為集中，思考更主動積極，因為該案例和他們所學專業密切相關。通過這個小的切入點，學生能夠體會到當前所學的數學知識在之后專業課程中的應用，教學的效果更好。同時，該實例還在高等數學(下)課程中仍然可以繼續使用，在多元函數的極值和最大最小值的教學中，拉格朗日乘子法是求帶等式約束的條件極值的重要方法，但是本節教材上的例題仍然是傳統的幾何極值和最大利潤問題，在教學中，學生對此類問題早就司空見慣，缺乏興趣。所以，我們可以再次使用上述案例，采用新的知識來解決它:把組合風險σp看做是wA，wB的一個二元函數，那么此時該案例可以轉換為求組合風險:σp=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B在等式約束wA+wB－1=0下的最值問題。設拉格朗日函數:LwA，wB()=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ(wA+wB－1)令偏導數:LwA=wAσ2A+wBρABσAσBw2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ=0LwB=wBσ2B+wAρABσAσBw2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ=0Lλ=wA+wB－1=0可以解得唯一可能的極值點為:w*A=σ2B－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－，w*B=σ2A－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－該點即為最小值點，和前面采用一元函數求出的結果完全相同。該實例學生之前已經熟悉，現在引入可以迅速理解并可以同時回顧之前學習的知識，起到承上啟下的作用。通過多元函數的求極值的方法再一次解決了它，掌握了針對同一個問題采用不同知識進行處理的思路，學會多角度思考問題的方式，進一步增強他們應用知識的能力。

五、結語

大學數學基礎課程是不同專業學習的重要基礎，其教學效果和學生的學習成果對學生的后續成長有著重要的作用，因此，如何不斷改革高等數學、線性代數和概率論與數理統計等課程的教學方式和教學手段是每位任課教師都在積極思考和探索的課題。本文以獨立學院中高等數學課程教學中例題的選擇為例，探討了如何根據學生所學專業來設計對應的應用案例。這些例題與學生的專業課程密切相關，從而能更好地激發他們的學習興趣和主動性，提高課堂注意力，提升教學效果，并能更好地讓學生認識到數學知識對其專業學習的重要性，也增強了他們應用所學數學知識解決實際問題的能力。

作者:馮霜 溫永川 李金權 單位:北京師范大學珠海分校應用數學學院