偏微分方程數值解課程案例教學

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［摘要］偏微分方程數值解是計算數學專業的重要基礎課程，文章圍繞該課程的教學目標，根據學生的特點，探討了案例教學方法。通過教學實踐表明，案例教學有助于提高課程教學質量。

［關鍵詞］偏微分方程數值解；案例教學；教學質量

一、引言

作為計算數學方向研究生的重要基礎課程，偏微分方程數值解的課程教學改革引起了人們的關注。張宏偉教授[7]提出了以培養學生研究能力為主要目的的教學模式，廉海榮等[3]探討了研究生課程的研究型教學模式，李郴良[2]討論了以訓練學生數學思想方法為主的探究式教學方法，張新明[9]探索了分層次項目驅動的教學方法。這些教學模式和教學方法為提高該課程的教學質量提供了良好的參考。近年來，人們探討了案例式教學方法，并進行了相應的教學改革嘗試，取得了良好的效果。王國成等[5]將PBL教學法和案例教學法相結合，探討了研究生課程教學改革方法，沈利民等[4]討論了研究生課程的案例庫建設方案和案例教學的具體實踐，肖緒洋等[6]結合課程的特點，構建了一些典型教學案例開展教學改革活動，張競成等[8]根據與課程知識的關聯度、典型性和前沿性，選取適當案例進行教學改革實踐，傅偉鋒等[1]分析了美國研究生案例教學的理論與方法、組織實施體系，總結其特色，從課前準備、教學過程、案例庫建設、教師激勵和教學輔助體系等方面提出了建議。我們博采眾長，根據偏微分方程數值解課程的特點，結合多年的教學積累，進行了案例教學的改革活動，培養學生的創新能力，提高課程教學質量。

二、案例教學法

案例教學法由美國哈佛法學院前院長克C.C.Langdell于1870年首創，后由美國哈佛商學院倡導成為當時很獨特的一種教學方法。其所選取的教學案例都來自商業管理中的實際事件或情境，通過學生主動參與課堂討論等活動，培養學生的分析問題、解決問題的能力。由于教學效果良好，該方法迅速從美國推廣到世界各地。案例教學法具有以下幾個特點：一是鼓勵學生獨立思考。二是以培養學生能力為主。三是教學相長。在教學過程中，學生根據案例要求，認真主動地去查閱相關的理論知識，經過仔細思考，提出解決問題的方案。在這些活動過程中教師要給以引導，這促使教師事先要認真思考，根據學生的反饋和要求補充有關新的教學內容。案例教學法中，案例的選擇是非常重要的。案例教學法應該根據課程特點和教學目標選擇或設計高質量的案例。案例的選擇要遵行科學性、典型性和前沿性原則。哈佛商學院的案例教學之所以成功，其原因之一就是它擁有豐富的高質量的案例庫。課前準備工作是案例教學成功的前提。教師在課前必須花費一定的時間進行教學設計，制定出細致的教學安排。傅偉鋒等在[1]中對美國的案例教學設計是這樣描述的，“從教學過程的‘起承轉合’到教授提問的方式和語氣、課后評估細節等多個方面，無一不體現著美國案例教學的精細性和科學性。”案例教學中，課前準備工作主要包括以下幾個方面：一是案例教學中問題的設置。問題難易要適度，問題過難，學生因知識能力不夠找不到解決辦法，然后是消極對待或者敷衍了事，失去了積極性；反之，問題過易，結果一目了然，也會降低學生的參與興趣，更不用說達到提高學生分析問題和解決問題的能力。二是學生的課前準備要求。案例教學中，學生的課前準備工作非常重要，我們必須要留給學生比較充分的準備時間。如果學生事先沒有足夠認真的準備，案例教學就失敗了一半。三是設置有效的激勵措施。優秀的案例教學必須有一個配套的有效的激勵機制：一是跟學習成績評價相關，二是讓學生清楚地知道，案例教學有助于培養他們的分析問題、解決問題的能力。四是教師要充分發揮“導演”的作用。事先教師必須備課充分，要充分把握知識點的難點、重點等，在討論過程中起到“畫龍點睛”的作用，及時解決學生的疑難雜癥，能夠敏銳把握學生的閃光點等等。

三、偏微分方程數值解課程的案例教學實踐

偏微分方程數值解是我校數學學科碩士研究生的一門學位課程，主要講述偏微分方程的有限差分方法和有限元方法。課程的教學目標是，通過該課程的學習，學生不僅掌握偏微分方程的基本數值方法及原理，而且提高其編程計算能力和分析、解決問題的能力。

（一）案例的選擇和設計我們圍繞課程的教學目標和教學內容，根據學生的特點，按照科學性、典型性和前沿性原則，進行本課程教學案例的選擇與設計。我們以熱傳導方程為基礎進行如下設計：情境設計：有一個爐溫T0=1000℃的加熱爐，已知鋼的λ=40w/（m2•℃），α=0.7×10-5m2/s，鋼的初始溫度t0=20℃，鋼與外界的對流換熱系數h=350w/（m2•℃）。我們從一維到二維介紹有限差分方法，所以首先設計了教學情境一：在其中放入一根長1米的鋼條，計算30分鐘后鋼條的溫度。通過這個案例，學生學習和掌握一維情形下的有限差分方法，學會有限差分方法的穩定性和收斂性分析。然后設計教學情境二：設置兩個問題，一是在其中放入一塊長1米，寬0.8米的鋼塊，計算30分鐘后鋼塊的溫度；二是在其中放入一個半徑為0.5米的鋼塊，計算30分鐘后鋼塊的溫度。通過問題一，學生學習和掌握二維情形下的有限差分方法及其穩定性、收斂性分析，對比分析五點差分格式和緊湊差分格式的優缺點；通過問題二，引導學生分析有限差分方法的缺點，此時必須引入新的方法來解決存在的問題，由此順理成章引入有限元方法。在有限元方法教學過程中，我們還是在這個情境下，分別設計一維情形、二維情形和三維情形的教學案例。讓學生通過這些案例的分析，理解和掌握有限元方法。

（二）課堂教學設計我們以情境一為例進行設計。這個案例教學的目的是，學生學會和掌握一維情形下的有限差分方法及其穩定性、收斂性分析。1.問題設計。為了實現課堂教學目標，我們設置以下問題：（1）分別討論分析當時τ=t0、t1和空間步長h=h0、h1時用向前歐拉法計算結果，給出你的發現。（這里t0、t1和h0、h1是具體的值，其中當τ=t1時方法不收斂。）（2）分別討論分析當時間步長τ=t0、t1和空間步長h=h0、h1時用向后歐拉法計算結果，給出你的發現。通過這些問題的分析，學生能夠進一步了解顯式算法和隱式算法的優缺點，理解和掌握兩種方法的收斂性和穩定性，學會進行相應的分析。2.對學生的課前要求。在新知識授課前，我們先講授有限差分方法的向前和向后差分格式，要求學生編寫程序，完成上述兩個問題的數值實驗并進行數值分析，撰寫實驗報告，總結實驗發現。3.對學生的激勵措施。我們改革課程考核方式，提高平時作業成績占比。我們將學生分成若干個小組，每個小組完成實驗探索題，在課堂討論中匯報小組的發現。這些活動記錄成績，按一定比例記入最終考核成績。通過案例教學模式改革，提高了學生的學習主動性。學生的分析探討能力也得到了提高。

四、結語

在偏微分方程數值解課程的教學實踐中，我們探討了案例教學法。通過案例教學，我們既讓學生主動學習，理解和掌握了所學知識點，也培養了學生的分析問題和解決問題的能力，達到了教學目標。

參考文獻

［1］傅偉鋒,唐賢清.美國研究生案例教學及啟示［J］.湖南師范大學教育科學學報,2016,15(05):124-128.

［2］李郴良.《偏微分方程數值解》課程的探究式教學方法初探［J］.教育現代化,2018,5(1):237-238+252.

［3］廉海榮,趙琳琳,陳瑞閣,等.關于“微分方程數值解”課研究型教學模式的探討［J］.大學數學,2012,28(5):26-29.

［4］沈利民,王艷飛,陳英華,李海生.專業學位研究生《有限元分析及應用》課程案例庫建設與案例教學［J］.當代教育實踐與教學研究,2019(5):170-171.

［5］王國成,常鋼,施德安.基于問題的案例教學法在研究生課程教學中的實踐［J］.教育教學論壇,2017(24):150-152.

［6］肖緒洋,陳潤平.案例教學法在數學物理方法中的應用［J］.課程教育研究,2013(13):53-54.

［7］張宏偉.注重培養研究能力的《微分方程數值解法》課程教學研究與實踐［J］.大學數學,2006,,22(6):4-6.

［8］張競成,吳開華,陳豐農,尚平,周賢鋒,陳冬梅.“遙感技術與應用”研究生課程案例教學模式研究［J］.科技視界,2018(7):78-79.

［9］張新明.面向工科研究生的《微分方程數值解》教學改革與實踐———基于分層次項目驅動教學法［J］.高教學刊,2018(3):136-137+141.

作者：李郴良 單位：桂林電子科技大學數學與計算科學學院