偏微分方程數(shù)值解課程案例教學(xué)

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［摘要］偏微分方程數(shù)值解是計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，文章圍繞該課程的教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，探討了案例教學(xué)方法。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐表明，案例教學(xué)有助于提高課程教學(xué)質(zhì)量。

［關(guān)鍵詞］偏微分方程數(shù)值解；案例教學(xué)；教學(xué)質(zhì)量

一、引言

作為計(jì)算數(shù)學(xué)方向研究生的重要基礎(chǔ)課程，偏微分方程數(shù)值解的課程教學(xué)改革引起了人們的關(guān)注。張宏偉教授[7]提出了以培養(yǎng)學(xué)生研究能力為主要目的的教學(xué)模式，廉海榮等[3]探討了研究生課程的研究型教學(xué)模式，李郴良[2]討論了以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法為主的探究式教學(xué)方法，張新明[9]探索了分層次項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法。這些教學(xué)模式和教學(xué)方法為提高該課程的教學(xué)質(zhì)量提供了良好的參考。近年來(lái)，人們探討了案例式教學(xué)方法，并進(jìn)行了相應(yīng)的教學(xué)改革嘗試，取得了良好的效果。王國(guó)成等[5]將PBL教學(xué)法和案例教學(xué)法相結(jié)合，探討了研究生課程教學(xué)改革方法，沈利民等[4]討論了研究生課程的案例庫(kù)建設(shè)方案和案例教學(xué)的具體實(shí)踐，肖緒洋等[6]結(jié)合課程的特點(diǎn)，構(gòu)建了一些典型教學(xué)案例開(kāi)展教學(xué)改革活動(dòng)，張競(jìng)成等[8]根據(jù)與課程知識(shí)的關(guān)聯(lián)度、典型性和前沿性，選取適當(dāng)案例進(jìn)行教學(xué)改革實(shí)踐，傅偉鋒等[1]分析了美國(guó)研究生案例教學(xué)的理論與方法、組織實(shí)施體系，總結(jié)其特色，從課前準(zhǔn)備、教學(xué)過(guò)程、案例庫(kù)建設(shè)、教師激勵(lì)和教學(xué)輔助體系等方面提出了建議。我們博采眾長(zhǎng)，根據(jù)偏微分方程數(shù)值解課程的特點(diǎn)，結(jié)合多年的教學(xué)積累，進(jìn)行了案例教學(xué)的改革活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高課程教學(xué)質(zhì)量。

二、案例教學(xué)法

案例教學(xué)法由美國(guó)哈佛法學(xué)院前院長(zhǎng)克C.C.Langdell于1870年首創(chuàng)，后由美國(guó)哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)成為當(dāng)時(shí)很獨(dú)特的一種教學(xué)方法。其所選取的教學(xué)案例都來(lái)自商業(yè)管理中的實(shí)際事件或情境，通過(guò)學(xué)生主動(dòng)參與課堂討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。由于教學(xué)效果良好，該方法迅速?gòu)拿绹?guó)推廣到世界各地。案例教學(xué)法具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：一是鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考。二是以培養(yǎng)學(xué)生能力為主。三是教學(xué)相長(zhǎng)。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)案例要求，認(rèn)真主動(dòng)地去查閱相關(guān)的理論知識(shí)，經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考，提出解決問(wèn)題的方案。在這些活動(dòng)過(guò)程中教師要給以引導(dǎo)，這促使教師事先要認(rèn)真思考，根據(jù)學(xué)生的反饋和要求補(bǔ)充有關(guān)新的教學(xué)內(nèi)容。案例教學(xué)法中，案例的選擇是非常重要的。案例教學(xué)法應(yīng)該根據(jù)課程特點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)選擇或設(shè)計(jì)高質(zhì)量的案例。案例的選擇要遵行科學(xué)性、典型性和前沿性原則。哈佛商學(xué)院的案例教學(xué)之所以成功，其原因之一就是它擁有豐富的高質(zhì)量的案例庫(kù)。課前準(zhǔn)備工作是案例教學(xué)成功的前提。教師在課前必須花費(fèi)一定的時(shí)間進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，制定出細(xì)致的教學(xué)安排。傅偉鋒等在[1]中對(duì)美國(guó)的案例教學(xué)設(shè)計(jì)是這樣描述的，“從教學(xué)過(guò)程的‘起承轉(zhuǎn)合’到教授提問(wèn)的方式和語(yǔ)氣、課后評(píng)估細(xì)節(jié)等多個(gè)方面，無(wú)一不體現(xiàn)著美國(guó)案例教學(xué)的精細(xì)性和科學(xué)性?！卑咐虒W(xué)中，課前準(zhǔn)備工作主要包括以下幾個(gè)方面：一是案例教學(xué)中問(wèn)題的設(shè)置。問(wèn)題難易要適度，問(wèn)題過(guò)難，學(xué)生因知識(shí)能力不夠找不到解決辦法，然后是消極對(duì)待或者敷衍了事，失去了積極性；反之，問(wèn)題過(guò)易，結(jié)果一目了然，也會(huì)降低學(xué)生的參與興趣，更不用說(shuō)達(dá)到提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。二是學(xué)生的課前準(zhǔn)備要求。案例教學(xué)中，學(xué)生的課前準(zhǔn)備工作非常重要，我們必須要留給學(xué)生比較充分的準(zhǔn)備時(shí)間。如果學(xué)生事先沒(méi)有足夠認(rèn)真的準(zhǔn)備，案例教學(xué)就失敗了一半。三是設(shè)置有效的激勵(lì)措施。優(yōu)秀的案例教學(xué)必須有一個(gè)配套的有效的激勵(lì)機(jī)制：一是跟學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)相關(guān)，二是讓學(xué)生清楚地知道，案例教學(xué)有助于培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。四是教師要充分發(fā)揮“導(dǎo)演”的作用。事先教師必須備課充分，要充分把握知識(shí)點(diǎn)的難點(diǎn)、重點(diǎn)等，在討論過(guò)程中起到“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用，及時(shí)解決學(xué)生的疑難雜癥，能夠敏銳把握學(xué)生的閃光點(diǎn)等等。

三、偏微分方程數(shù)值解課程的案例教學(xué)實(shí)踐

偏微分方程數(shù)值解是我校數(shù)學(xué)學(xué)科碩士研究生的一門(mén)學(xué)位課程，主要講述偏微分方程的有限差分方法和有限元方法。課程的教學(xué)目標(biāo)是，通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅掌握偏微分方程的基本數(shù)值方法及原理，而且提高其編程計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。

（一）案例的選擇和設(shè)計(jì)我們圍繞課程的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，按照科學(xué)性、典型性和前沿性原則，進(jìn)行本課程教學(xué)案例的選擇與設(shè)計(jì)。我們以熱傳導(dǎo)方程為基礎(chǔ)進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：情境設(shè)計(jì)：有一個(gè)爐溫T0=1000℃的加熱爐，已知鋼的λ=40w/（m2•℃），α=0.7×10-5m2/s，鋼的初始溫度t0=20℃，鋼與外界的對(duì)流換熱系數(shù)h=350w/（m2•℃）。我們從一維到二維介紹有限差分方法，所以首先設(shè)計(jì)了教學(xué)情境一：在其中放入一根長(zhǎng)1米的鋼條，計(jì)算30分鐘后鋼條的溫度。通過(guò)這個(gè)案例，學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握一維情形下的有限差分方法，學(xué)會(huì)有限差分方法的穩(wěn)定性和收斂性分析。然后設(shè)計(jì)教學(xué)情境二：設(shè)置兩個(gè)問(wèn)題，一是在其中放入一塊長(zhǎng)1米，寬0.8米的鋼塊，計(jì)算30分鐘后鋼塊的溫度；二是在其中放入一個(gè)半徑為0.5米的鋼塊，計(jì)算30分鐘后鋼塊的溫度。通過(guò)問(wèn)題一，學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握二維情形下的有限差分方法及其穩(wěn)定性、收斂性分析，對(duì)比分析五點(diǎn)差分格式和緊湊差分格式的優(yōu)缺點(diǎn)；通過(guò)問(wèn)題二，引導(dǎo)學(xué)生分析有限差分方法的缺點(diǎn)，此時(shí)必須引入新的方法來(lái)解決存在的問(wèn)題，由此順理成章引入有限元方法。在有限元方法教學(xué)過(guò)程中，我們還是在這個(gè)情境下，分別設(shè)計(jì)一維情形、二維情形和三維情形的教學(xué)案例。讓學(xué)生通過(guò)這些案例的分析，理解和掌握有限元方法。

（二）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)我們以情境一為例進(jìn)行設(shè)計(jì)。這個(gè)案例教學(xué)的目的是，學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握一維情形下的有限差分方法及其穩(wěn)定性、收斂性分析。1.問(wèn)題設(shè)計(jì)。為了實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)，我們?cè)O(shè)置以下問(wèn)題：（1）分別討論分析當(dāng)時(shí)τ=t0、t1和空間步長(zhǎng)h=h0、h1時(shí)用向前歐拉法計(jì)算結(jié)果，給出你的發(fā)現(xiàn)。（這里t0、t1和h0、h1是具體的值，其中當(dāng)τ=t1時(shí)方法不收斂。）（2）分別討論分析當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)τ=t0、t1和空間步長(zhǎng)h=h0、h1時(shí)用向后歐拉法計(jì)算結(jié)果，給出你的發(fā)現(xiàn)。通過(guò)這些問(wèn)題的分析，學(xué)生能夠進(jìn)一步了解顯式算法和隱式算法的優(yōu)缺點(diǎn)，理解和掌握兩種方法的收斂性和穩(wěn)定性，學(xué)會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的分析。2.對(duì)學(xué)生的課前要求。在新知識(shí)授課前，我們先講授有限差分方法的向前和向后差分格式，要求學(xué)生編寫(xiě)程序，完成上述兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)值實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行數(shù)值分析，撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，總結(jié)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)。3.對(duì)學(xué)生的激勵(lì)措施。我們改革課程考核方式，提高平時(shí)作業(yè)成績(jī)占比。我們將學(xué)生分成若干個(gè)小組，每個(gè)小組完成實(shí)驗(yàn)探索題，在課堂討論中匯報(bào)小組的發(fā)現(xiàn)。這些活動(dòng)記錄成績(jī)，按一定比例記入最終考核成績(jī)。通過(guò)案例教學(xué)模式改革，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。學(xué)生的分析探討能力也得到了提高。

四、結(jié)語(yǔ)

在偏微分方程數(shù)值解課程的教學(xué)實(shí)踐中，我們探討了案例教學(xué)法。通過(guò)案例教學(xué)，我們既讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，理解和掌握了所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，也培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)。

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作者：李郴良 單位：桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院