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工筆重彩人物畫教學臨摹
一、工筆重彩人物畫
古人謂：“丹青在山，民知而取之。”“丹青”不僅僅作為重彩畫顏料的種類，更是隨著歲月的推移成為中國畫的代名詞，并揭開了中國工筆重彩畫濃墨重彩的一頁。“重彩”一詞則第一次出現在唐代張彥遠的《歷代名畫記》中。在清代以前，凡是設色的中國畫都被稱為重彩。其實，重彩畫的歷史淵源是久遠的，最早可以追溯到原始巖畫中，更嚴格意義上的重彩畫見于馬王堆出土的漢代《西漢帛畫》。此畫勾線流暢，在棕色的絹底上涂以朱砂、石青、石綠等礦物及植物顏料，并用金粉進行點綴，畫面精工細致，富于中國傳統繪畫的裝飾效果。到了魏晉南北朝時期，顧愷之將其“傳神”論賦予了他的工筆人物畫面中，《洛神賦圖》《女史箴圖》用線嚴謹流暢，用色艷麗沉穩。同時期的敦煌壁畫更向后人展示了工筆重彩壁上表現的無限魅力。漢至魏晉的重彩畫雖不及后世精到，卻無疑為后代的工筆重彩人物畫奠定了堅實的基礎。唐代是工筆重彩人物畫發展的高峰。唐代重彩畫追求富麗堂皇、濃艷豐富的色彩效果，在技法的運用上極為成熟，達到了精致入微的程度，這在唐代張萱、周昉的《簪花仕女圖》《虢國夫人游春圖》中都有所體現。在接下來的五代，顧閎中的《韓熙載夜宴圖》更是被后世稱為工筆重彩人物傳世畫中的經典之作。但盛唐以后，由于經濟、政治、文化等原因，重彩畫逐漸失去了以往的尊貴地位，不過盡管勢力微弱，但其發展卻沒有中斷，這從宋、元、明的人物畫中可以看到。特別是寺觀壁畫一直繼承著重彩人物畫的優秀傳統。如《永樂宮壁畫》《法海寺壁畫》便是元、明兩代壁上工筆重彩人物畫的代表之作。到了近現代，由于人們觀念的變化、材料的發展以及對傳統的挖掘，中國畫壇又將重彩人物畫推到了前所未有的高峰。當代重彩人物畫形式多樣、技法豐富，以其強烈的現代氣息與色彩沖擊力扣動著欣賞者的心弦，更加符合現代人的審美要求。同時一大批優秀的工筆重彩人物畫家，如蔣彩萍、唐勇力等在重彩人物畫領域的探索也推動著其他畫家，使得工筆重彩在當今顯現出了極大的繁榮狀態，這種狀態也同時帶動了高校重彩人物畫教學的繁榮。高校工筆重彩人物畫教學是中國畫專業的必修課程。上世紀80年代后，我國各大美院及師范院校的美術專業都開設了工筆重彩人物畫課程，而且在教學方法上不斷探尋、改進，以期達到更好的教學效果。
二、工筆重彩人物畫臨摹教學
在國畫教學中，學生對工筆重彩人物畫的學習一般包括三個階段。第一是臨摹，第二是寫生，第三是創作。臨摹是學習者掌握繪畫基本技法的不二法門，工筆重彩人物畫也是一樣，學生只有經過對經典作品的臨摹研究，才能深入了解并掌握其基本技法與審美特點。在臨摹階段，對作品的臨摹又有讀畫、對臨、變臨三個臨摹的過程。
（一）臨摹的意義
首先教師及學生要對臨摹有一個深層次的理解。臨摹的目的、意義并非完全復制物象，而在于通過對優秀作品的分析研究，熟悉工筆重彩繪畫的使用工具，學習工筆重彩人物畫造型、構圖、勾線、設色的基本方法，體會作者的思想感情與創作精神，并在臨摹的過程中尋求自己創作的靈感與技法突破。主要解決以下幾個問題：
1.感受工筆重彩人物畫的形式美感與材質美感。（主要注重自己的感受）
2.學習工筆重彩人物畫的勾線技法。（線為工筆重彩畫之骨，不同的畫面、人物運用不同的線來表現物象的風格）
3.學習工筆重彩人物畫的設色技法，特別是對于古代礦物色及植物色的運用方法。
4.學習工筆重彩人物畫背景、底色的處理。
5.注重對古今工筆重彩人物畫肌理技法的研究與探尋。（積累技法經驗，探尋技法創新）
通過對以上幾點的思考與總結，才能更有效地達到臨摹教學的目的。
（二）臨本的選擇以及臨摹的要點
對于以往的工筆重彩人物畫教學來說，在教學中主要臨摹唐代及五代的絹本工筆重彩畫。這種臨摹雖然有助于學生把握基本的繪畫技法及重彩畫的審美特征，但在觀念上卻將學生對重彩人物畫的理解禁錮在這種形式的工筆重彩人物畫中，對于其他朝代及當今的重彩人物畫了解甚為缺失。對當代重彩人物畫的發展來說，有必要在臨本上有所調整。
在高校工筆重彩人物畫的臨摹教學中，可以從以下三個方面選擇臨本。
第一種為絹上工筆重彩人物畫。如《簪花仕女圖》《虢國夫人游春圖》《韓熙載夜宴圖》等，這類絹畫具有古代工筆重彩人物畫的特點，特別是在技法方面基本囊括了古代工筆重彩人物畫的繪畫技法，便于初學者全面了解與學習古代工筆重彩人物畫。唐代是工筆重彩人物畫的高峰時期，重彩人物畫由魏晉南北朝時期發展到唐代達到了很高的階段。張萱、周昉等就是其中的代表畫家。此類畫面人物造型豐滿，服飾華麗，整幅畫典雅工致。勾線上主要運用鐵線描、游絲描；畫面顏色主要以朱砂與蛤粉及一些植物色為主；在技法上，運用了分染法、罩染法、醒線、提白、托染的方法。五代時期顧閎中的《韓熙載夜宴圖》也是很好的臨本，此圖被歷代畫家視為工筆重彩人物畫的代表之作。該畫人物較多，臨摹稍有難度。畫面線條圓渾并富有變化，顏色種類較多，并善于用石色、水色的罩染來增強畫面的厚重感，特別是對石色的應用變化豐富。每個畫面及人物的色彩處理都不同，在技法的應用上也很多樣。在臨摹中要注意用色的協調統一，同時也要注意豐富的人物表情與內心世界的表現。
第二種為壁上工筆重彩人物畫。壁畫是工筆重彩人物畫的另一種表現形式，它的承載物是墻壁或石窟，也是以線為骨，用色較為厚重，特別是經過歲月的沉淀，顯示出剝落、風蝕的自然肌理效果，這符合現代人溯古的精神追求，所以壁畫不論是對古代技法的研究還是現代技法的追求，都有著積極的教學意義。如《敦煌壁畫》及《永樂宮壁畫》，二者是古代工筆重彩人物畫壁上表現的優秀作品，對研習壁上重彩人物畫技法及礦物色顏料的使用都有極高的價值。敦煌壁畫歷經13個朝代，在風格上很好地融合了西域與中原的風格，在形成自身設色風格的基礎上，又體現出了各個朝代不同的面貌，達到了壁上佛教工筆重彩人物畫的繪制高峰。特別是畫面中礦物色的應用與現代重彩畫中礦物色的應用一脈相承。上世紀80年代很多藝術家都是通過臨摹、研究敦煌壁畫而在藝術創作上達到了高峰。《永樂宮壁畫》是文人畫興起后工筆重彩畫在民間發揚光大的優秀之作。《永樂宮壁畫》屬道教寺觀壁畫，在繼承唐人工筆重彩畫的繪畫技法上又融匯了元代的繪畫特點。線條勻稱粗壯、勁健而富有氣勢，繼承了唐代吳道子的勾線風格；顏色以礦物色石青、石綠、朱砂為主；在技法上以勾填法為主，并大量使用壁畫中常見的瀝粉貼金的方法。
以上兩種壁畫可以通過兩種方法進行臨摹：第一種為原壁臨摹。臨摹的承載物、顏色均為原制作工具，如制作地仗層、刷底色，然后勾線、填色。這種臨摹有助于學生更好地了解壁畫的制作過程、繪制過程及顏色的運用。第二種為紙上臨摹。用托裱兩層的皮紙及礦物顏料對壁畫進行復古臨摹。這種臨摹在基底及材料的應用上對學生來說是比較方便的，而且便于學生研究肌理的制作，畫面效果也很好。
第三種為現代工筆重彩人物畫。現代工筆重彩人物畫由于時代審美角度的拓寬以及顏料制作工藝的拓展，在技法以及形式上都有一定的突破，特別是在形式美感及顏料的運用上，不僅可以使學生了解工筆重彩人物畫在當代的發展形勢 ，更可以為學習者的創作及創新提供極好的平臺。當代工筆重彩人物畫的臨本很多，最重要的是學生要感興趣，教師不要將自己的審美觀念強加于學生，嚴格要求學生臨摹某人的作品，而是應該采取寬松態度，讓學生自行選擇感興趣的臨本，這樣學生才能對畫面有探索的積極性。在臨摹的過程中，要引導學生對現代工筆重彩人物畫畫面的構圖形式感、色彩效果、肌理的制作進行研究與探尋。
（三）作品的評價
在以往的教學中，教師常常以是否忠于原畫來評定學生臨摹的優劣。特別是在臨摹的過程中教導學生嚴格按照書本上所標示的步驟及顏色進行，忽視了學生對于臨本的理解。從教育學及心理學的角度來說，此種評價與現代教育評價體系是完全相悖的。現代美術教育注重學生在學習過程中的狀態以及對學生知識的開發，注重學生自己的想法。如在臨摹的過程中是否有探究精神，是否在臨摹研究的過程中有所創新，并在自己的畫里有所體現。如果學生在臨摹的過程中探索到了自己的表現形式，并可以應用到自己的寫生、創作中去，這個臨摹過程無疑是有收獲的。而只是忠實于原作的效果，沒有動腦思考問題，最終的作品即使與原作相像，對于學生以后的學習也是沒有幫助的。所以教師的評價觀念要更新，這樣才能使學生的學習更加有效。
結語
在大學美術專業教育中，教師對學生要“授之以漁”而非“授之以魚”。在現代工筆重彩人物畫風的吹拂下，教師要以多元化的角度來對待傳統與創新，努力拓寬自身的知識面，在工筆重彩人物畫教學的各個方面進行改進，才能使工筆重彩人物畫的教學不斷進步，使得傳統的工筆重彩人物畫在當代畫壇大放異彩，也使學生在走出大學校園后更快地接受現代各種風格的繪畫，做一名出色的藝術家。
（注：本文為陜西師范大學社會科學研究基金項目，項目編號：09SYB09）
參考文獻：
[1]牛克誠.色彩的中國繪畫：中國繪畫樣式與風格歷史的展開[M].武漢：湖北美術出版社，2002.
[2]金瑞.工筆人物畫[M].重慶：西南師范大學出版社，2004.
[3]常銳倫.美術學科教育學[M].北京：首都師范大學出版社，2002.
【關鍵詞】莫比烏斯圈；主體坐標系；從屬坐標系；雙重三維坐標；非三維物體；合成運動
一、關于莫比烏斯圈
1莫比烏斯圈的形成
莫比烏斯圈是由［德國］數學家莫比烏斯先生在150年前公布于世的.
隨后，科學家就把莫比烏斯圈定位在數學領域的拓撲學分支里，其數學定義：單側的、閉路的、反轉定向的曲面.這樣的莫比烏斯圈最終只剩下一個“表面”和一條“邊緣”了.（見圖1下部和圖2）
2莫比烏斯圈與普通環圈不同
經過觀察不難發現：普通環圈和莫比烏斯圈除了在制作方法和制作過程上完全不同以外，還表現在――如果在普通環圈和莫比烏斯圈的表面劃線并沿線進行裁剪，其裁剪結果竟會完全不同.
當對普通環圈的表面劃線并沿線裁剪時，能得到也只能得到――若干個與原圈等周長的“窄”普通環圈，而不會得到其他種類的環圈.
當對莫比烏斯圈的表面劃線并沿線裁剪時，其裁剪結果卻有兩種：
（1）在莫比烏斯圈表面劃一條中線并沿線將該圈剪開，會得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄一半的普通環圈（見圖3）.
（2）在莫比烏斯圈表面劃2條平均分布的等距離線條并沿線條將該圈剪開，則不僅能得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄23的普通環圈，同時還能在其中心部位再得到一個單獨的、比原圈寬度窄23，且周長與原圈等長的“窄”莫比烏斯圈（見圖4）.
（以上關于莫比烏斯圈的裁剪結果已經成為所有中外數學書籍里，對莫比烏斯圈進行介紹的一部分）唯此，從莫比烏斯圈和普通環圈的制作方法與裁剪結果的不同可以說明，它們并不是同類物體！
二、莫比烏斯圈不是三維物體
為了證明普通環圈與莫比烏斯圈不是同類物體，下面通過兩種不同的制作和生成該兩種環圈的方法來比較并進一步證明.
1第一種制作和生成方法
制作普通環圈的方法如前文（1以及圖1）中描述的步驟進行.
而制作和生成莫比烏斯圈則需要通過兩個相互關聯的三維坐標系統（下文稱雙重三維坐標體系）來共同完成的.
首先，看第一個三維坐標系（xOy）（下文稱主導三維坐標系）（見圖5）.其原點位置為O，該主導三維坐標系x-y平面上有一個以O為圓心的“正圓”.該“正圓”就是莫比烏斯圈表面中心位置的基本軌跡線.
其次，看第二個三維坐標系（x′O′y′）（下稱從屬三維坐標系）（見圖6）.該從屬三維坐標系的原點位置為O′，處在主導三維坐標系內的“正圓”與x軸的交點上，從屬三維坐標系內x′―y′平面上的設定目標可以繞O′進行有規則運動.但該設定目標的有規則運動必須按照主導、從屬兩個三維坐標系之間相互依存，對應旋轉、位移、扭轉的特殊函數關系進行.
必須明確的是：主導和從屬三維坐標系在立體空間具體的相對位置關系上是相互平行或垂直的（見圖5，6），其中（xOy）的三個參數（xn，yn，zn）為自變量，（x′O′y′）的三個參數（x′n，y′n，z′n）為因變量，且主體和從屬三維坐標系之間應服從（x′，y′）=F（x，y）的對應關系.
這就建立了具有相互依存關系的雙重三維坐標系統.在該系統里，整個從屬三維坐標系是主導三維坐標系里的一個整體運動單元，隨主體三維坐標系做有規律的運動――公轉；而從屬三維坐標系里運動單元自身的運動，則與主導運動有著嚴格的對應受控運動關系――自轉.因此，處在該系統內設定目標的最終運動形式為合成運動.（既有公轉，又有自轉）
圖7是從屬三維坐標系整體在（xOy）x―y平面上，沿“正圓”軌跡移動的示意圖.（圖中未畫出0°~45°等處對應圖形）
在圖8里有一個左邊帶小圓圈的“”形符號，該符號中的豎直線是一條起始于O′點，且垂直于x′軸，同時，它又是一條既平行于（xOy）z軸，也平行于（x′O′y′）y′軸的直線.另外，該符號中左邊帶小圓圈的橫線是一條既平行于（xOy）x軸，也平行于（x′O′y′）x′軸，且屬于該x′軸的一條直線，并且該直線的中點過（x′O′y′）原點坐標O′，且垂直y′軸的直線.
下面就以圖8中“”形符號作為基本單元來描述生成莫比烏斯圈的過程：當從屬三維坐標系整體在（xOy）x―y平面內繞O旋轉2°（或1°）的同時，（x′O′y′）內x′―y′平面上過O′的直線也對應旋轉1°（或0.5°）.當從屬三維坐標系整體沿（xOy）x―y平面上的基圓旋轉、位移一周（360°）回到起始點O時，左邊帶小圓圈的“”形符號也在x′―y′平面上繞O′旋轉半周（180°）回到起始位置O′，此時該符號卻正好被顛倒過來（見圖8）.如果將雙重三維坐標體系中被逐漸位移、旋轉的“”形符號的空間中各點依次順序連接起來，就可以生成標準的莫比烏斯圈.（用“”形符號的目的是使讀者易于觀察）
由此看出：生成莫比烏斯圈必須由相互依存的雙重三維坐標體系共同完成，單獨的三維坐標系無法生成莫比烏斯圈.（理由一）
2第二種制作和生成方法
制作和生成普通環圈可以用下面的方式：先在主導三維坐標系的x―y平面內生成以原點O為圓心的“正圓”，然后在z軸的“正、負”方向上對“正圓”進行拉伸，就可以制作和生成普通環圈（見圖9）.
制作和生成莫比烏斯圈可以這樣完成：以x軸和“正圓”的交點為（x′O′y′）的原點O′，將已生成的外表面是藍顏色的、內表面是紅顏色的普通環圈剪開.
在（x′O′y′）的x′―y′平面內，以原點O′為扭轉中心，對普通環圈的一個端頭進行有規律的對應扭轉，其對應扭轉規律為：（x′O′y′）沿（xOy）在X―Y平面內連續旋轉的同時，將（x′O′y′）內x′―y′平面上的普通環圈肌體的對應段進行對應扭轉；當（x′O′y′）整體沿（xOy）基圓在x―y平面上旋轉、位移一周（360°）回到起始點O時，普通環圈的肌體也在x′―y′平面上繞O′扭轉半周（180°）回到起始位置O′，該環圈的肌體表面正好被翻轉過來，也就生成了莫比烏斯圈.（圖10是電腦用此法生成的莫比烏斯圈）
從圖10中可以看到：設定目標的運動結果是由雙重三維坐標體系中各坐標軸參數之間相互影響、連續變化的結果.正是這個相互影響和連續變化，才使得莫比烏斯圈的肌體上根本無法找到二維、三維線段或曲線.唯此足可以證明：莫比烏斯圈不是三維物體！（理由二）
三、莫比烏斯圈是“非三維”產物
下面用圖5，6，7，8，9，10來進一步證明莫比烏斯圈不是三維產物.
（1）在圖5的雙重三維坐標體系中（xOy）的三個平面與（x′O′y′）的三個平面之間有著一一對應的關系.
（2）當圖6里（x′O′y′）的x′―y′平面上y′軸的數值發生變化時，必然會影響并導致（xOy）的x―z平面上z軸的數值產生變化（其余軸類推），最終導致整個雙重三維坐標體系內所有數軸上的數值發生變化.
（3）當圖7中（xOy）的x―y平面上，以原點O為圓心旋轉，則（x′O′y′）里z′軸上的數值就會發生變化，這就必然導致（xOy）里各個數軸上的各數值直接或間接參與了、或發生了變化！
（4）當圖8中的“”形符號整體沿x―y平面上繞O旋轉360°的同時，還在x′―y′平面內繞O′對應扭轉180°，如果連接該符號在空間相互對應的各個點，就會產生一種空間弧線.（該空間弧線不能產生于單獨的三維坐標體系.因為在單獨的三維坐標體系產生的空間弧線一定是某種對稱旋轉體表面的對稱母線，而該空間弧線則需經受六個維度上的扭曲變形.）（理由三）
（5）這里假設圖9所生成的普通環圈外表面是藍顏色的，內表面是紅顏色的.按照圖10的方式對其進行剪斷（假設剪斷處位于從屬三維坐標系的原點O′），將該環圈的各對應部分在雙重三維坐標系統內進行有規律的繞O旋轉360°和繞O′扭轉180°，并最終回到O′.此時，該普通環圈已經被變化成莫比烏斯圈.唯此可以證明：“非三維”物體可以由三維物體演變而來，條件是雙重三維坐標系統內各個維度上的具體參數必須全部相互影響并參與變化.這是任何一個三維物體所無法具備的.（理由四）
由于莫比烏斯圈是在雙重坐標體系內生成的，當在三維環境里對莫比烏斯圈進行裁剪時，其被裁剪下來的部分就解除了該坐標體系對它的“非三維”約束，其表現為被裁剪下來的是“窄”普通環圈；而剩余部分仍保留原“非三維”物體的基本形態，其表現為“窄”莫比烏斯圈.或者說：在莫比烏斯圈的肌體內將同時存在兩種狀態――普通環圈（三維狀態）和莫比烏斯圈（“非三維”狀態），這種狀態會永久存在，且無法用人為干預的方式將其改變！（相關內容請查閱論文《莫比烏斯圈的反常現象》）（理由五）
最后引述數學泰斗談祥柏先生的判斷來證明莫比烏斯圈不是三維物體.談老曾在《數學廣角鏡》P118中明確指出：在現實世界中克萊因瓶是無法被制造出來的！（其實該論點的本質是：克萊因瓶不是三維物體）數學家已證明：每個克萊因瓶是由兩個莫比烏斯圈組合而成的.而莫比烏斯圈通體圓潤，渾身都是空間曲線，沒有一條二維直線、曲線以及三維直線、曲線.因此，莫比烏斯圈不是三維物體，而是“非三維”物體！（理由六）
四、結論
莫比烏斯圈不是三維物體，而是人類沒有完全認知的“非三維”物體！
五、莫比烏斯圈里仍有未解之謎
是的，莫比烏斯圈里仍然存有許多鮮為人知的奧秘，莫比烏斯圈、莫比烏斯現象及其莫比烏斯原理也沒有得到學術界的認可，但并不影響我發表一孔之見，我將在專題論文《莫比烏斯圈的反常現象》和《重新認識莫比烏斯圈》里進一步闡述和探討莫比烏斯圈的相關問題.
當然，提交本文的真實目的是渴望能得到您對莫比烏斯圈、現象和原理作出更權威的準確詮釋和更睿智的思想升華！
【參考文獻】
［1］［德］莫比烏斯（1790―1868），數學家、天文學家，1858年公布莫比烏斯圈.
［2］［蘇聯］伏?巴爾佳斯基.拓撲學奇趣.長沙：湖南教育出版社，1999：43.
［3］華應龍.神奇的莫比烏斯帶.北京第二實驗小學精品課程，2005（1）：11-15.
關鍵詞：學科工具；教育信息化；深度融合；全面融合
中國分類號：G434 文獻標志碼：B 文章編號：1673-8454（2014）15-0011-03
一、引言
知識是人類對世界的一種認識結果，其表述結果，可以構成從隱喻到嚴格一個譜系。美國心理學家布魯納曾說一句頗引起爭議的話：任何學科的任何原理都可以以某種形式教給任何年齡的學生。這句話的關鍵點在于“某種形式”。布魯納時代信息技術還沒有走進教育領域，如今，信息技術與學科教學深度融合的產物――學科工具的開發與應用，產生了越來越多的例子支持布魯納的觀點。典型的例子表明信息技術能使高深的數學題材走向小學生、中學生、大學生，使他們“各取所需”。基于這樣的實例和認識，我們有理據認為，學科工具不僅推動了學科教育的發展，還對教育信息化具有重要意義。基于前期的系列研究和教學實踐[1-4]，我們以數學學科工具為切入點談談學科工具開發的現實意義及前景。
二、學科工具使課程題材滿足多層次的需求
學科工具使高深的數學知識走向不同的群體。如，拓撲學（Topology）是在19世紀末興起并在20世紀中迅速蓬勃發展的一門數學分支。直至今日，從拓撲學所衍生出來的知識已和近世代數、分析共同成為數學理論的三大支柱。即使拓撲學這樣高深的學科，其思想和知識也能為各種層次的學生所接受和理解。我們以莫比烏斯帶為例進行說明。德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）1858年發現：把一張紙條扭轉180度后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術般的性質。這種由莫比烏斯發現的神奇單面紙帶，被稱為“莫比烏斯帶”，它是一種拓撲圖形。
1.對小學生而言，從故事傳說到動手操作再到虛擬環境中的動態演示
小學生愛聽故事，莫比烏斯帶可以以故事的形式展示出來。
從前，一個小偷偷了一位農民的東西，并被當場抓獲。小偷是縣官的兒子，縣官心里又氣又急，怎么才能讓自己的兒子免受刑罰呢？于是，縣官在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：農民應當關押。縣官將紙條交給判官去辦理。判官左右為難，他不想誤判此案，但是又不敢得罪縣官，怎么辦呢？聰明的判官靈機一動，嗯，有辦法了！他手拿縣官的紙條，兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷。縣官聽了勃然大怒，責問判官。判官不慌不忙地將紙條捏在手上給縣官看，縣官照著讀，確實沒錯啊，再仔細觀看字跡，也沒有涂改呀，縣官是不知紙條上其中的奧秘，無話可說，只好自認倒霉了。
小故事中蘊含著大道理，數學家莫比烏斯幫了判官。小學生也能學習高深的數學，如今，莫比烏斯帶已經走近了小學數學教科書中。
故事當然能激起小學生的興趣了，但小學生的智慧更在手尖上，故而在小學數學教科書中，就要求小學生們通過涂色、折紙、剪紙等動手操作，感知莫比烏斯“魔術般的性質”。
在沒有信息技術支持時，這樣的教學當然很合乎時下教育專家所倡導的理念了；但考慮到當下的小學生生活在數字化時代，課堂教學的方式和形式應與時俱進，莫比烏斯帶可以用信息技術動態地演示出來。如圖1所示。
在信息技術的支持下，小學生對思想和知識的認知和領悟，從靜態走向了動態，是為學習方式的變革。這種變革的結果之一是在小學生心靈中播下探究的種子，小學生好奇，愛發問，定會有同學在心底追問，為什么線段能動起來？為什么在平面上能表現立體效果？雖然他們一時解決不了這些問題，但這些問題會像航標一樣，指引他們的前進方向。數學家陳景潤曾有一段軼事，其師沈元先生在課堂上播下了陳景潤向“哥德巴赫猜想”進軍的種子，他年后果然開花結果。我們認為，對小學生而言，教養性的教育應優于知識教育，小學階段不在于傳遞多少知識，更重要的能讓小學生有更多的感知和感悟。這時，用學科工具平臺營造的虛擬環境革新學習方式就顯得非常有必要了。
2.對中學生而言，透過現象看本質，加深對知識的理解
課件制作營造的虛擬環境使中學生通過知識運用來理解數學。中學生的心智水平發展到了形式運算階段，不應再追求表面上的熱鬧，應能處理假設，能進行邏輯演繹思維。中學生要思考的問題是如何能用技術表現這種動態效果，動態表現這種效果需要哪些知識。如，要表現動態的莫比烏斯帶就需要有關參數方程的知識，斜二側投影的知識。這些知識原本處于不同的知識結構體系之中，其間并沒有多少聯系，但通過課件制作這個環節，不同結構體系間的知識發生了有機的聯系，個體的認知結構因為知識間產生縱橫聯系而更加完善。情境認知理論的核心思想之一就是“例中學、做中學”，根據這種觀點，制作課件能夠把不同結構體系中的知識綜合起來，把知識當作工具來運用，知識本身并沒有意義，只有通過在實踐中運用這些知識，才不斷改變、加深和豐富個體對知識的理解。
課件制作營造的虛擬環境使為學生的數學建模開辟了新的途徑。數學知識本來不應當具有“去情境化、去時間化、去個人化”的特點，但是，由于各種復雜原因之故，中學生的數學學習幾乎蛻變成一種在符號化的形式系統中的操練行為。按人本主義學習理論的觀點，這樣的學習因其與個人的活動經驗、生活經驗沒有關系，其實是沒有意義的。中學生在小學階段就接觸過莫比烏斯帶，現在從建模角度重新認識之，其意義自不言而喻，使學生對外在世界的認知從物理感知上升到一種定量的刻畫，使之明白了心智抽象的力量。在虛擬環境中摸擬外部世界，進行建模，使知識的學習跳出了純形式系統的學習，在面對真實的任務中，解決復雜的、非結構良好的問題，從而活化了知識，學到了真正的知識。
3.對大學生而言，追根溯根，進行底層設計
對大學生而言，還有更深刻的問題需要回答。如，在平面上表現三維立體圖形的機理是如何的？原來這里涉及到仿射變換，涉及到齊次坐標。如上述課件的底層機理是：
把空間曲線投影到坐標平面上，都相當于一組變換公式，把空間點的三維坐標變成投影點的二維坐標。用（x，y，z）表示空間點的三維坐標，（f，g）表示投影點的二維坐標，u，v是兩個參數，有一個簡單的常用變換是
f=x+u*z
g=y+v*z
這個變換所表現的一類投影叫“斜二側類投影”。
這些在大學數學課程中處于非核心地位的課程，在信息技術的驅動下，煥發了生機，逐漸發展成一門計算機圖形學。從這里可以讓大學生明白，計算機技術說到底是一種數學技術，傳統的數學觀顛覆了。
三、學科工具為學科教育的發展提供了契機
楊宗凱[5]指出，21世紀的教師信息化教育能力則包括引發學生學習與創意、設計開發信息時代的學習經驗和評估準則、塑造信息時代的工作與學習模式、提升和塑造信息化公民責任感、從事專業發展與領導力培養幾個方面。然而，師范大學中的學科教育或者說教師教育，是培養師資主要力量之一，其生存境況卻令人擔憂。其一，學科教育的前身是學科教材教法，這在以學科科學研究為主的學科院系里，其學術價值或實用價值一直不為人認可。后來，學科教材教法發展成了學科教學論，理論性是上去了，但卻越來越虛，依然得不到以學科科學研究為主的院系的認可；其二，學科教育教師雖然為學科院系師范生的培養、學科教育方向研究生的培養做出了較大的貢獻，其職稱、學術上的發展依然空間有限；其三，雖然師范院校為了破解上述窘境，成立了教師教育學院，然而上述現狀，依然沒有得到根本上的改觀。信息技術走向學科教育，為學科教育破解上述難題提供了新的思路。
學科教育平臺的研發為學科教育找到了新的研究方向。如，可以研究在學科工具營造的信息化環境中，學生心理的發展路徑，知識的表征形式，等等，經過這樣的努力，就使學科教育從課程與教學論下的三級學科走進了心理學的領域。心理科學雖屬于自然科學，然而對具有學科背景的學科教師來說，其跨度并不算大。還可以研究信息技術背景下的課程與教學，如，可以研究信息技術環境下知識可視化課堂教學范式的構建，這也得到了眾多電化教育研究刊物的支持，為學科教育研究者的成長提供了合乎時代要求的新方向。
學科教育平臺的研發推動了學科課程的變化。由于學科工具的發展，使得國內外基礎教育的課程發生了重大的變化。僅以數學學科為例，數學課程的很多領域都適合使用信息技術。例如信息技術增加了“數學實驗”的可能性，可以借學科工具等對數量關系、平面與空間中的位置關系和大小度量、數據處理等進行動態實驗，能使學生更直觀地發現某種規律性，進而提出問題并導向概念或性質的發現。
學科教育平臺的研發為師范生提供了求職求業的工具，也促進學科教育的發展。如果一個學科或一個專業培養出來的學生沒有好的出口，這樣的學科或專業注定是沒有前途的。根據目前的就業形勢，凡是懂信息技術的師范生都是職場上的“香餑餑”，因為中學需要既懂技術，又懂學科的教師。
學科教育的發展離不開學科工具的支持。
四、大力發展學科工具，實現信息技術與教育的深度、全方面的融合
信息技術與教育深度融合，大體可以分為以下幾種類型：一是通過視音頻數字信號同步網絡傳輸技術，將異地視音頻實時傳遞，將本地、異地課堂融為一體，借此實現教育公平；還有一種是建立各種平臺或云端教室，在平臺上加載視頻、音頻、動畫等各種資源，并能進行實時交互，為構建混合式學習方式提供了強有力的支持；還有一種模式是開發各種與學科內容深度融合的信息技術平臺，使學習者在使用平臺的過程能加深對學習內容的理解。第一種模式基于社會學的視角，以期借助信息技術之力實現教育公平，為教育行政管理部門提供了破解社會難題的一個路徑，因而為教育行政管理部門看好，但其傳遞的“優質資源”有可能是“粉筆”+“黑板”式，只不過由于執教者的教學經驗豐富，而被冠之以“優秀”。第二種模式基于自主學習的模式，為學生提供了大量的資源，期望學生能發揮積極性、主動性自己建構，主動學習，為高校所看好，因為大學生的學習，不同于中學生的學習，有大量的自主學習時間，同時，大學生也應學會自主學習；其承載的資源雖然全是電子的，還可能是視頻的，但這些資源也有可能是傳統課堂的一個“翻錄”，信息技術還沒有觸及學科內容的變化。第三種模式，由于深入了具體的學科，對課堂教學的影響最大，就目前的態勢來看，對基礎教育的課堂教學影響最大，但在高校由于課程眾多，難以針對每一門具體的學科開發具體的學科工具。
從上述可知，信息技術對教育的影響可以有不同的角度，不同的方式。就基礎教育而言，信息技術對基礎教育的影響，可以把三種模式都有機地融合起來，全方面地實現基礎教育的信息化。基礎教育位于國民教育體系中的底層，對高等教育具有重要的支撐作用，如果立足于第三種模式，輔之以第二種模式，廣之以第三種模式，那么信息技術對教育的影響就是深度的、全方位的了。第三種模式是信息技術與學科課程整合的最終落腳點，我們需要大力發展學科工具，使這個落腳點能站穩站好，全面推動我們的教育信息化。
根據何克抗[6]的觀點，教育信息化至少包括“路”、“車”、“貨”和“駕駛員培訓”四個子系統：“路”和“車”涉及教育信息化的硬、軟件和基礎設施建設，“貨”涉及教育資源和教學資源的開發，這三個子系統都用于創建信息化教學環境；第四個子系統是指經過培訓的教師利用這種信息化環境去達到教育信息化的最終目標。我們有一個基本的想法，就是用學科工具來帶動師范生教學技能的發展，讓師范生學會用學科工具來設計、開發信息技術環境下的課堂教學設計，從而把“用信息技術引領教師教育”從理念變成切實跟進的行動，引領教師教育培養模式的發展，提升學科教育的學術地位，推動學科教育的整體發展，為培養信息化背景下的教師盡綿薄之力。我們現在正在開發面向基礎教育的學科工具，涉及到的學科有數學、物理、化學、音樂等學科，正在把上述理念變成行動，也取得了一定的成效。
參考文獻：
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[2]徐章韜，劉鄭，劉觀海，陳矛.基于立體幾何智能教育平臺的教學資源開發[J].課程?教材?教法，2012（7）：49-53.
[3]徐章韜，劉鄭，劉觀海，陳矛.基于立體幾何智能教育平臺下的內容知識研究[J].電化教育研究，2012（12）：104-108.
[4]徐章韜，劉鄭，劉觀海，陳矛.信息技術支持下的學科教學知識之課例研究――以立體幾何智能教育平臺為例[J].中國電化教育，2013（1）：94-99.
在這里，時間被實體化，橫七豎八地摞在一起，就像播放器的進度條，可以被隨時快進和后退。原本看不見摸不著的引力，也像琴弦一樣，在庫珀的手指尖上被任意撥弄。一切已知的物理法則，在這個奇妙的高維度空間，似乎都被徹底顛覆。
《星際穿越》是導演克里斯托弗?諾蘭的太空旅行史詩新作。電影描述了一個不怎么美好的未來，那時，某種“專門欺負葉綠體”的病毒，侵襲了地球上絕大多數植物，人類能種植的糧食只剩下玉米，但也處于滅絕的邊緣。
退役宇航員庫珀被征募到了NASA，執行一個孤注一擲的任務――飛向星辰大海，尋找另一個能供人類生存的星系。
《星際穿越》是一部地地道道的硬科幻，“蟲洞”、“黑洞”，尤其是那個能把人腦袋繞暈的“五維空間”。
來看看維度到底是個啥。用幾何來類比的話，點是零維，線是一維，平面是二維，立體空間則是三維，第四個維度是時間，從理論上來說，五維則是把時間實體化的維度，六維有點像是平行宇宙，還有七維、八維、九維……
人類就是生活在三維空間里、能夠感知到四維空間的生物，對我們來說，理解比我們低的維度要容易得多，再往上想，不行，腦子不夠用了。
那么別管那些生僻的名詞了，來，先跟著我來一場簡單的維度旅行。
首先要找一根一尺長、一巴掌寬的紙帶子，把紙帶的兩端對準，用透明膠帶貼上，我們就得到了一個紙環，環的外側是一個曲面，內側是另一個曲面。拿著筆在紙環的外側面上畫線，線條跟紙環邊緣平行的話，這條線永遠也畫不到內側去。
現在再找一根紙帶來，這次，我們需要把紙帶的一端翻轉180°，擰成個麻花，再把兩端粘在一起。試試看在這條新的紙環上畫線吧，你會發現，環的內側和外側被打通了，連成了一個曲面！
這條被命名為莫比烏斯帶的玩意兒，就是一個建立在二維空間里的三維模型。假如那個紙環上有生命的話，他們會發現，自己居住的世界突然被擴展了，原本看不見、到不了的地方，在空間被扭曲之后，連接在了一起。
而在電影《星際穿越》里，把四維時空“扭曲”成五維莫比烏斯帶的，是某種生活在高維度里的未知生命。對他們來說，時間“就像一個可以翻過去的山頭”，回到昨天或者前往明天，是一場可以說走就走的旅行，拎個小包就能去了。
現實生活中的我們，有沒有可能真的拎起小包，說走就走，來一場高維度空間的旅行？
事實上，物理學家史蒂芬?霍金曾提出過，他的宇宙模型是十一維的，在霍金看來，人類如果想描述現在已知的宇宙，只有長、寬、高、時間這4個未知數是不夠的，要加到11個未知數之后，宇宙的很多結構才能得到合理的解釋。
關鍵詞：微積分；數學文化素質
數學不僅是一種科學，還應該是一門藝術和一種智慧。不但是描繪和研究客觀世界的思維方式與科學語言，而且還是創新文化和創造新世界的現實力量。然而，傳統數學教學往往只重視知識和技能，卻忽視了培養學生對數學文化內涵的認識。數學文化是以數學為核心，以數學的精神、觀點、思維、語言以及所輻射相關文化領域所組成的人類文化。
大學數學不僅傳播知識，而且培養學生適應社會發展所需要的數學能力。所以，大學課堂教學中融人數學文化是非常必要的，這樣不僅可以更好地激發學生的學習熱情，而且可以培養學生的“數學素養”，使其更好地適應社會，受益終生。本文就如何提高學生數學文化素質進行了如下分析。
一、數學文化的內涵
人們談起文化，往往會把其與文學、語言、文學、藝術等聯系起來，而數學卻是數量、運算、推理、抽象等的代名詞。事實上，數學文化確實是一種文化，對人們的影響無處不在，只是很多人都沒有意識到。著名的美國《科學》雜志特約主編斯蒂恩說得很明白：“數學……在人類特性和人類的歷史中，其地位不亞于語言、藝術或宗教。”數學和其他科學藝術一樣，是人類共同的精神基礎，是人類智慧的結晶。數學文化可以理解為：數學文化既體現數學知識的一面，也體現了文化的一面，它以數學科學知識為核心，以數學思想方法、數學精神、數學觀念、數學素質、數學教育等為有機組成部分，體現出一種與各種文化相互交融的關系。
二、數學文化的教育功能
數學文化的內容是廣泛的、博大的、精深的、數學文化所蘊涵的教育意義是豐富而又巨大的。數學以其獨特的思維方式、獨特的表現形式，與其它學科如文化藝術等一樣，具有重要的文化價值，對人的發展起著舉足輕重的作用。可以這樣說：數學深刻地影響著人類的精神生活，提高與豐富了人類的整體精神文明水平。數學文化有如下教育功能：第一，可以幫助學生樹立正確的世界觀；第二，有利于思維的發展；第三，有力于科學審美觀的培養；第四，有利于培養學生的科學精神；第五，有利于學生應有意識的培養。
三、學習數學文化的必要性
從微積分教學的角度考慮，學習微積分，不僅要掌握其基本知識和方法，提高運算能力、抽象思維能力、應用創新能力，為學習相關的學科打好基礎；更加要從思想高度把握微積分，認識微積分思想中蘊涵的唯物辯證思想，認識微積分思想背后所蘊涵的人類思維發展的曲折過程，認識微積分思想的美學功能，認識微積分應用的偉大成果。學生在學習微積分的過程中，深刻領會數學思想方法，沉淀數學文化的內涵，充分體會微積分的價值，感受其美學魅力，微積分的抽象難懂就不會成為學習微積分的絆腳石，而微積分所蘊涵的人文價值，也將會成為他們學習微積分的動力和目標。
四、如何提高學生數學文化素質
第一，加強數學史教育。數學史是一部數學理論的建構、發展歷史，也是人類理性思維的探索歷史。教師用數學史創設情景，在課堂上介紹數學家的趣聞逸事、數學概念的起源和發展過程、古今數學方法的簡單類比等等，都可以讓學生充分感到數學的魅力，激發學生學習數學的興趣。例如，在講解導數與微分時，可以給學生介紹第二次數學危機、導數符號的演變等；在中值定理教學時，可以給學生介紹拉格朗日的生平、“羅必塔法則”的由來等。
第二，開展研究性學習。研究性學習是指學生圍繞某個數學問題，自主研究、學習的過程。這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋獲證明。在研究性學習過程中挖掘數學文化的內容，適度淡化形式，突出數學文化的原創性，著重發展學生的數學能力，特別是數學應用能力。讓學生真實地感受到現實生活中所蘊涵的大量數學信息以及數學在現實生活中的廣泛應用。
第三，聯系其他學科，進行相互滲透。數學的文化意義不僅僅在于其本身和它的內涵，更加在于它的應用價值，只有融入大眾文化的學科才是有生命力的學科。例如，在講解極限時，教師可以說明極限思想是與哲學緊緊結合在一起的（如芝諾悖論）；在講解二次曲面時，可在課堂上讓學生準備一張長方形紙帶，將紙帶一端扭轉后，再將它首尾相接而成莫比烏斯帶。告訴學生如果讓一只小螞蟻沿著紙帶爬行，那么螞蟻無須跨越它的邊緣就可以輕易地爬遍整個紙帶，即莫比烏斯帶是一個單側曲面。并同時向學生講解莫比烏斯帶在技術、藝術、體育上的應用。
第四，理論聯系實際。牛頓、萊布尼茲當年發明微積分是為了解決力學和幾何學中所遇到的問題，直到今天，微積分依然在生產實踐方面發揮著重要的作用。在微積分的實際應用中舉例，可以通過對物理學、生物學、社會學、經濟學與自然現象中許多數量變化關系分析，建立簡單的行星運動模型、人口模型、公共資源模型、經濟問題模型等等，這些內容將會豐富教學內容，拓寬學生的思路和視野，激發學生的學習興趣，從而培養學生的數學文化素質。
在大學數學教學中，微積分的教學能深刻體現數學文化的價值，提升對數學文化的重視程度，意識到數學文化的內涵和價值。當數學文化的魅力真正滲透到教學重視，數學將會更加平易近人，學生就會更加理解數學、熱愛數學。
參考文獻
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[2]方延明.數學文化（第二版）[M1.北京：清華大學出版社，2009：序言.
一、選擇合適內容，滲透數學文化
教育家布魯納認為，學習的最好刺激，乃是對所學材料的興趣。要想讓學生更好地學好數學，而不至于變成單調、枯燥的一味鍛煉思維的“體操”，那么，最好的辦法就是選擇合適的學習內容，向學生適當滲透，讓課堂具有“文化味”。
教學四年級上學期的四則混合運算時，學生們感覺計算題非常單調、枯燥，懶得動筆筆算，就算是筆算了，在進位時也經常會出錯，丟三落四，總是忘記進位，計算結果自然也變得五花八門。面對現在學生計算能力的下降，老師不得不想出各種辦法，以促使學生盡量少出錯。教師都會強調讓孩子每次將進位寫在顯眼的位置，可是總是有部分學生習慣了懶得寫，導致計算正確率提高的效果不是很明顯。筆者在這節課中，就嘗試使用了課本中的課外閱讀P57“你知道嗎”的格子乘法引導孩子嘗試另辟新途徑，因它比較簡單易行，不容易因進位而導致計算錯誤。學生對這種 “鋪地錦”的方法，既感到新奇，又覺得好玩，這樣通過自學，利用小方格本，在玩樂中，不但學會了格子乘法的方法，而且四則混合運算的解題速度也得到提高，正確率也明顯提高。
二、選擇合適時機，滲透數學文化
教育面對的是活生生的孩子，絕不是一件簡單的事，它產生的那一刻就注定了它的復雜性和艱巨性。數學文化的滲透要潤物細無聲，讓學生在不知不覺中學習數學文化，這就需要我們準確把握合適時機，使學生在有意無意中接受數學文化的滲透。。
教學四年級上冊的平行四邊形和梯形中，我選用了課外閱讀的材料——神奇的莫比烏斯帶。我們知道，很多學生的幾何題，往往學得不好，主要在于想象力不夠好，懶得動手操作。為了讓孩子們發現動手操作后自己的偉大發現所帶來的成功感，我在課堂中首先利用人教版四上P77的課外數學游戲，給孩子們變了一個魔術——做了一條神奇的莫比烏斯帶。孩子們驚喜地發現它只有一個面（表面），和一個邊界，非常興奮。個個動手將長方形紙條像變魔術一樣的粘貼、扭轉、剪拼，體驗動手操作的過程，享受發現結果的美妙。這樣的游戲設計首先順應了孩子們的天性，讓他們產生探究精神，然后在玩的過程中對它產生了更濃厚的興趣，最后的驚奇發現，滿足了孩子的求知欲望，從而激起了學生們喜歡數學，愛數學，學好數學的欲望，真正成為了數學學習的源頭活水。學生在學中玩、玩中學的同時接受了數學文化的熏陶。
三、選擇合適手段，滲透數學文化
[關鍵詞]“解決問題”教學模式數學自主解決問題
《數學課程標準》開篇談到，義務教育階段的基本出發點是促進學生的全面、持續、和諧的發展，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步與發展。那么在數學課堂教學中，如何培養學生在獲取知識過程中的自主解決問題的能力，我認為，“意識”是先導，“策略”是關鍵，“能力”是目的，因此，教師首先要具備一定的數學素養和現代教育的思想，讓每個孩子的學習，都能夠學有所值，學有所用，自覺地運用數學思想和方法結合身邊的事物，解決生活和學習上的實際問題。“自主解決問題”能讓學生體驗“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具”，從而有效地培養學生應用數學的意識，提高學生運用知識自主解決問題的能力。
一、“解決問題”教學的現狀與思考
數學課的根本目的，是使所有學生獲得解決他們日常生活中遇到的數學問題。傳統的“解決問題”教學模式，不利于發揮學生的主體作用，不利于調動學生學習的主動性和自覺性，它只強調老師講、學生聽、老師問、學生答。這樣的教學環境學生難以主動去探索，會制約學生的發展，因此，它會使課堂效果和質量都不高。以往學生學習的材料局限于課本上所提供的一些例題、習題，要求過高、過偏，條件和結論基本上是封閉的，學生的思維無法得到有效的訓練，對有差異的學生不能實施有差異性的教育，一些例題和習題遠離學生生活實際，使學生感到很玄，感到枯燥無味，無法激起對知識的探索欲望，有的甚至對數學產生厭煩。如何更新教學觀念?如何突現學生主體地位?如何培養學生創新能力?如何優化課堂教學結構?如何保證學生自主探究的時間和空間的保證?這些都是我們急需著手解決的問題。《新課程標準》中明確提出，以學生的發展為本，把課堂還給學生，保證學生自主探索的時間和空間。讓學生在獲取知識過程中的體驗解決問題策略的多樣性。就學生的發展而言，解決問題活動的價值不只是獲得具體的結論，它的意義更多是使學生在解決問題的過程中體會到解決問題是可以有不同的策略的，每個人都應當有自己對問題的理解，并在此基礎上形成自己解決問題的基本策略，在這種鼓勵個性發揮的意義之下，創新精神的培養才能成為可能。
二、“解決問題”教學模式探索與策略
獲取數學知識過程中的解決問題，大致包括四個環節：(一)感知問題，創境激趣；(二)自主探索，解決問題；(三)反饋信息、交流評價；(四)拓展創新，總結激勵。這幾個環節在不少情況下，某一步可嵌入另一步中，從而使解決問題的過程得到簡縮，或使某種特殊的解題策略得以實施。
1.感知問題，創境激趣
感知問題、創設情境，是解決問題的第一步，讓學生能結合具體情境發現并提出數學問題。提出問題是思維活動的出發點，愛因斯坦和莫樂爾德曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅僅是一個數學的或實驗的技能而已，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創造性的想像力，而且標志著科學的真正進步。這就需要我們創設一種問題情境，讓學生發現并提出有層次、有價值的問題，使學生原有知識與須掌握的新知識發生強烈沖突，使學生意識中的矛盾激化從而激發學生探索的興趣和產生進一步學習的動力。提出的問題才具有一定的藝術性、新穎性、趣味性，學生才具有更廣闊的思考空間。如果沒有特定的創設的問題情境，學生只是針對教材或教師提出的問題，做出相應的解答，那么學生就會失去觀察、思考與猜測的機會，就會很難引起感知情景與思維創新的“共振”。如教學“面積的認識”時，創設了這樣的情境：“五一”勞動節快到了，淘氣和笑笑舉行一場勞動技能比賽。他們決定比試掃地的本領，于是來到校園，淘氣選擇了打掃籃球場，笑笑選擇打掃跳高場地。比賽開始了，一會兒，笑笑掃完了，她高興的跳起來說：“我第一，我第一”。你們同意笑笑得第一嗎?為什么?這是一個學生喜聞樂見的情境，吸引學生的注意力，充分調動了他們學習的興趣，由此提出了有價值的問題，也為新課的學習奠定了良好的基礎。
2.自主探索，解決問題
這是學生獲取知識過程中自主探索、自主解決問題的中心環節。教師根據學生的認知規律和知識結構的特征，結合學生提供盡可能的材料信息，留足思維的時空，組織學生通過有目的的操作、觀察、交流、討論等方法自主解決問題，自動建夠自己的認知結構。
數學問題的類型較多，那么解決的方法也不是唯一的。嘗試從不同角度、不同的思路去考慮，尋求解決問題的最佳途徑，這也是學生思維靈活性、開放性的一種表現。諸如數學中的非常規問題、開放性問題和現實生活中的實際數學問題，都值得讓學生尋找其解決的辦法和策略，這樣能開闊學生的思路，使學生了解現實生活中各種數學問題的復雜性、多樣性是有益的。例如：如果給你10元錢，可以買回多少千克蘋果?這道缺少條件的應用題，似乎更接近生活實際，可以讓學生自己去水果店了解蘋果售價再計算，把錢用完或剩余一點都可以。學生問到的單價不盡相同恰恰反映了市場經濟的現實狀況。要是由此引起討論：追求量多還是質好?偏遠地區價低合算嗎?那么這里的收獲可就更大了。
3.反饋信息，交流評價
在自主探索的基礎上，教師給學生提供充分表達自己見解的機會，闡述自己得出的結論探究過程及疑難問題，然后根據學生反饋信息，組織引導學生通過個體發言、小組討論、辯論等多種形式進行辨析評價，使學生的認識結構更加穩定和完善。同時也是對問題解決的策略、方法進行總結。學生不是一張白紙，即使是低年級的兒童也存在著豐富的生活體驗和知識積累，同時，每位學生都有自己的生活背景、家庭環境，這種特定的生活和社會氛圍，導致不同的學生有不同的思維方式和解決問題的策略。因而在解決問題的過程中，多鼓勵學生和別人進行交流，使學生體會到與他人合作的重要性。
4.拓展創新，總結激勵
依據教學目標和學生在學習中的存在的問題，教師挖掘并提供創新素材，設計有針對性、代表性的練習題組(基本題、變試題、拓展題、開放題)讓學生在解決這些問題的過程中，進一步理解，鞏固新知，訓練思維的靈活性、敏捷性、創造性，使學生的創新精神和實踐能力得到進一步的培養與提高，激勵學生在今后的學習中善于思考，大膽發現。
三、“解決問題”教學模式的實踐與反思
我們的學生幾乎天天都在“解題”，但《標準》所關注的“解決問題”并不等同于這些解題活動，這里所說的問題既可以是純粹的數學題，也可以是以非數學題形式呈現的各種問題。但無論是什么類型的問題，其核心都需要學生通過“觀察、思考、猜測、交流、推理”等富有思維成分的活動才能夠解決的。這一模式的操作，是以“創境激趣”為關鍵，以“解決問題”為核心，以“自主探索”為主線展開的多維合作活動，這里蘊涵著以人的發展為宗旨的教學觀，以民主為基礎的師生觀，以自主為手段的方法觀，以提高素質為本的質量觀的模式特征。
1.在問題情境中，激發學生主動參與解決問題
發現和探索是兒童在精神世界中的一種特別強烈的需要。在教學中依托情境，引導學生自己去尋找知識，尋找解決問題的方法，進行探索式學習。比如教學“年、月、日”時，我們創設問題情景，“同學們喜歡過生日嗎?”學生都高興地回答：“喜歡”，接著又問幾個學生：“你幾歲了?過了幾個生日?”一般的人有幾歲，就會過幾個生日，可是小強滿12歲時，只過了三個生日，這是為什么呢?你們想不想知道其中的秘密?學生聽了，個個都情緒高漲，一種強烈的求知欲望油然而生，這時老師抓住學生迫切求知心理，及時引導他們進入新課，這樣就很自然地為學生自主探索，解決問題營造了氛圍。
在“解決兩步計算的數學問題”教學中，老師不再按傳統那樣先給一個例題，然后幫學生去分析第一步求什么，第二步求什么；或要求什么，必須先求什么等等，而是讓學生自己先根據所提供的超市水果市場的情景去發現，提出數學問題，然后讓學生根據已有的知識獨立思考，再參與到小組去與別人交流，看看別人怎么想，別人的方法與自己有什么不同，小組同學比一比，看誰做得好，之后再全班進行交流，這樣學生通過自己的思考以及學生的交流，新的解決問題的方法一步一步地在自己腦海中構建起來。當學生新知構建以后，教師便要進一步引導學生加強新知的鞏固與應用，因此，老師出示了超市的其它商品情況表，讓學生自選一些自己喜歡的商品，根據所提供的信息，去提一些兩步計算的數學問題，這不僅將新的知識進行運用，還又一次提高了學生學習數學的興趣，真正提高了學生學習數學的主動性。
2.主動探索，增強學生的主體意識
美國心理學家布鯤內認為，知識的獲得是一個主動的過程，學習者不應是信息被動者，而應是知識獲得過程的主動參與者。學生是學習的主人，因此，我們教師應鼓勵學生運用已有的知識主動大膽地聯想、推測、探索，從不同角度去驗證實踐尋找解決思路，引導學生獨立獲取解決問題的策略和思想方法。
我們都知道莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時偶然發現一個副產品。目前，“莫比烏斯帶”已被作為“了解欣賞的有趣圖形”之一，寫進了《數學課程標準》，編進了新世紀(版)義務教育課程標準實驗教科書第十冊。為了調動學生學習和積極性，拓展學生的思維，擴大學生的知識面，我將“神奇的莫比烏斯帶”的問題，用于五年級數學課外知識。首先拿一張白紙，問學生有幾條邊?幾個方面?“老師會把它變成只有兩條邊、兩個面、你行嗎?”展開操作與嘗試，通過實踐，學生還沒感覺神奇在哪兒。“你還能把它變成一條邊、一個面嗎?”學生大膽地嘗試，實踐出真理。如果沿中間一條線把這個神奇的圈剪開，會怎樣?學生又一次大膽猜想。實踐驗證，體會著這其中的奧妙與神奇。如果沿三分之一線剪，是否和上面出現的結果相同呢?通過學生親手實踐，驗證了自己的猜想，讓學生感受到了莫比烏斯的變幻莫測、神奇無比。學生在經歷其出乎意料的變化過程中，通過動手操作，與人合作，尋求解決問題的辦法驗證自己的猜測，主動探索。
3.拓展變化，增強學生的應用意識
數學應用意識是一種基本觀點和態度，它指的是從數學角度思考、解釋、轉化表示事物的數量關系與空間形式的一種自覺意識。強調數學應用，不全是回到測量、制圖、計算等數學活動，而是培養一種應用數學知識和思想方法解決問題的欲望和方式，把實際問題轉化(抽象)為數學問題。
例如：地球地赤道是一圓角，假如赤道上緊箍著一圈鋼纜，現在要把這圈鋼纜放松，使它遠離地面有1米高，這樣，鋼纜必須再接一段上去，這段增加的長度應該是多少米?
這個問題無法實際操作，如果查資料，查到地球赤道的周長或地球的半徑，進行大數目的計算，就要花許多無效勞動(根本就不需要知道地球的半徑或周長)。我們把它抽象為數學問題，這個問題就是：有大小兩個圓，它們的圓心重合，半徑差是1米，求兩個圓的周長差?解：設小圓半徑為r得：2π(r+1)-2πr=2π=⒍28(米)。解答方法十分簡便。
【摘要】當前教育下，由于受應試教育的影響，小學數學作業的設計還僅僅停留在知識層面及教師對利用數學作業培養學生能力，促進學生發展，對學生能力培養關注不夠等問題，因此在以人為本的新數學教育觀下，研究小學數學作業有效性就急具有現實意義。在新形勢和新理念下，我們應具備什么樣的作業觀，如何將作業發揮其最大的有效性，都將直接影響數學的教學效果。
【關鍵詞】數學作業； 有效性
隨著數學教育觀念的不斷更新，小學數學教學內容、教學方法及作業布置上正在發生著重大的變化。如何設計作業，既能減輕學生負擔，又能促進學生素質的全面發展呢？
在小學數學的作業設計中，積極實施多樣的數學作業形式，可以培養和發展學生的主體意識，給學生提供自我表現的機會，技法學生的創新意思，變“要我做”為“我要做”讓學生成為作業的主人，學習的主人，進而逐步改善學生的數學學習方式。經過近幾年的教學實踐，我認為小學數學的作業設計應遵循以下一些原則。
1 趣味設計，樂中求知
托爾斯泰曾經說過：“成功的教學需要的不是強制，而是激發學生的學習興趣。”興趣是學生學習的推動力，興趣是 成功的 老師。那么設計怎樣的作業才能緊緊拽住學生的心，鞏固教師向學生傳授的知識點呢？我認為教師需要設計更具有趣味性的作業，讓學生愿做。
在小學生的眼里，那些新穎、生動、靈活多變的事物往往更容易引起的興趣，促使他們的思維始終處于積極狀態，產生強烈的求知欲，使其進入最佳學習狀態。根據這一規律，我們在設計作業時，就應該多設計一些具有童趣性和親近性的作業，以激發學生的學習興趣，使學生成為一個樂學者。
如：在設計“認識人民幣”題目時，我讓學生自己去超市，自己去付錢、生找錢。還有進行“分數加減法”時，利用多美滋的一則奶粉廣告――“分蛋糕”使學生對分數有的更深的了解，并鞏固的加減法的知識，這樣使原來枯燥、乏味的計算現象，變成具有趣味的游戲性、故事性的作業，讓學生在輕松、快樂的氣氛中學會小數、分數的計算方法和技能，提高學生的學習興趣。
2 生活設計，追溯本源
《課程標準》強調指出：數學學習應從學生己有的生活經驗和知識出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用。小學數學課本的編排也極力貼近生活，寓于生活，用于生活。本著這一目的，我們在作業的設計上，應把數學作業與學生的生活實際相結合，常布置一些與學生生活息息相關的作業，可以培養學生用數學知識解決現實問題的能力，讓所學的知識得到應用拓展與延伸。例如，在學習完 “合理安排時間”這節知識后，我讓學生合理安排自己早上起床后的時間，怎么樣設計才可以最節省時間，同學們興趣盎然，參與熱情高漲，很積極的就完成了這項作業。
3 實踐設計，張揚個性
數學來源于生活，又作用于生活。課堂教學應該體現“小課堂，大社會”的理念，基于這種理念，好的作業就應該有助于學生實踐能力的形成和發展。當學生面臨生活中的實際問題時，能夠主動從數學的角度入手，利用數學的思想方法尋求解決實際問題的方法。
學以致用，要把學到的知識應用到生活中來，也是培養學生應用知識能力的最有效途徑。為此，進行作業設計時，根據學生的生活經歷和認知水平，創設一些生活性的實際問題，讓學生嘗試從教學角度運用所學的數學知識和方法尋求解決問題的方法，體會數學在現實生活中的價值，認識到生活中處處有數學，生活離不開數學，并逐步成為一個知識的實踐者。
學完“平行四邊形”之后，我另外又給學生介紹了一個小知識：“神奇的莫比烏斯帶”，起初我是用一個魔術來引入這個神奇的小紙帶，然后讓學生在一次次的猜想，一次次的動手去驗證的過程中，不但是他們鞏固的平行四邊形的有關知識，同時也感嘆數學的奇妙，特別是當學生知道，莫比烏斯帶在我們生活中其實應用十分廣泛的時候，更是體會到數學和日常生活之間的緊密聯系，從而體會到數學的內在價值。
再例如《認識千米》之后設計“體驗1千米”和“調查1千米”的作業。“體驗1千米”要求學生實際走一走 100米 大約多少步，在實際走一走 1千米，感受 1千米 的長度，并且記錄出自己走 1千米 大約需要多長時間。“調查1千米”要求學生網上搜索并記錄出3條關于千米的信息。這樣從體驗和調查兩個方面入手讓學生對“千米”有了具體的感性認識，讓學生在鮮明具體的體驗中鞏固了所學知識。
4 差異設計，各取所需
由于受天賦、家庭、教育等各方面的影響，學生之間的數學知識和數學能力的差異是客觀存在的。如果讓有差異的學生做無差異的作業，必然會造成一些學生“吃不飽”，一些學生“不夠吃”的現象。因此，在數學作業的設計上，我們不能搞“一刀切”，應從學生的實際情況出發，針對學生的個體差異設計不同的作業，使我們的教學面向全體學生，讓不同的人在數學學習上得到不同的發展。
小朋友，帶上你一段時間的學習成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的!
一、認真思考，細心填空（共23分）
(共11題；共23分)
1.
（5分）汽車每小時行駛_______千米，飛機每小時行駛_______千米。
A.60
B.200
C.700
2.
（1分）校乒兵球隊中男生的人數是女生的9倍，男生的人數在50人至60人之間，男生有_______人。
3.
（1分）在一張長是20厘米，寬是15厘米的長方形紙里剪一個最大的正方形，這個正方形的面積是_______平方厘米，剩下的圖形周長是_______厘米。
4.
（1分）27÷8=3……_______???????????32÷_______=6……2
5.
（2分）用4，8，6組成的最大三位數是_______，最小三位數是_______，它們的和是_______，差是_______。
6.
（1分）一列火車10：30出發，走了45分鐘，它_______到達；小紅走路上學7：15分出門，7：40到校，他上學時間是_______分。
7.
（6分）在橫線上填上“＞”“＜”成“=”。
704+206_______900
410-198_______200
762-568_______200
130×5_______650
497×3_______1500
402×5_______2000
_______
30毫米_______3分米
2小時_______100分
8.
（2分）在下圖中涂出
_______，它的分數單位是_______，有_______個這樣的分數單位。
9.
（1分）有六張撲克牌，2，3，4點的各兩張，任意摸起兩張，兩張撲克牌上的點數和有_______種可能情況。
10.
（2分）一個正方形的周長是12分米，邊長是_______分米，面積是_______平方分米．
11.
（1分）把一個蛋糕平均分成8塊，小明吃了3塊，小明吃了這塊蛋糕的
_______，剩下的爸爸吃了，爸爸吃了這塊蛋糕的
_______。
二、請你判一判。
（5分）
(共5題；共5分)
12.
（1分）
圖中的陰影部分可以用
來表示。（
）
13.
（1分）時、分，秒中秒的單位最小，但是秒針走得最快。
14.
（1分）一噸鐵和1噸棉花同樣重。（
）
15.
（1分）一張單人課桌長約65厘米。
16.
（1分）下面卡片上兩個數的和是632。（
）
三、快樂ABC，請你選一選。
（5分）
(共5題；共5分)
17.
（1分）340與100的差除以25與5的和，商是多少？列式為（
）
A
.
（25+5）÷（340﹣100）
B
.
340﹣100÷25+5
C
.
（340﹣100）÷（25+5）
18.
（1分）如圖，靠墻圍成一個長方形的面積是x平方厘米，長是15厘米，則這個長方形的周長是（
）厘米．
A
.
x÷15×2+15
B
.
（x÷15+15）×2
C
.
x÷15×2
D
.
15
x÷2
19.
（1分）天天用兩根同樣長的鐵絲分別圍成一個長方形和一個正方形。圍成的正方形邊長為6厘米，那么圍成的長方形的周長是（
）厘米.
A
.
6
B
.
36
C
.
24
D
.
48
20.
（1分）養雞專業戶賣出公雞98只，還有公雞87只，母雞的只數是原有公雞的5倍，養雞專業戶有母雞多少只？正確列式是（
）
A
.
（98＋87）×5
B
.
98＋87×5
C
.
98×5＋87
D
.
98×(5＋87)
21.
（1分）如圖，將莫比烏斯帶沿虛線剪開，得到（
）.
A
.
一條長紙條
B
.
兩個套在一起的紙環
C
.
兩個分開的紙環
D
.
一個大的紙杯
四、細心計算（27分）
(共2題；共27分)
22.
（15分）直接寫出得數。
90÷3=
17×3=
=
67×0+25=
8T-3000kg=
12×5=
48÷4=
=
84-84÷4=
1500kg+2500kg=
23.
（12分）列豎式計算，帶“”的要驗算。
①433+539
②629-358
③199＋714
④806-307
⑤527+271
⑥1000-456
五、畫筆顯神通。
（12分）
(共2題；共12分)
24.
（6分）在圖中涂色表示它下面的分數。
25.
（6分）畫一個周長16厘米的正方形和一個周長20厘米的長方形。
六、解決問題小能手。
（共28分）
(共5題；共28分)
26.
（5分）某學校有男生959人，女生的人數比男生的人數多41人，全校一共有多少個學生？
27.
（5分）①號與②號長方形的面積相等，①號每個小正方形的面積是50平方厘米，那么②號每個小正方形面積是多少平方厘米？
28.
（5分）大船有8只，小船的只數是大船的4倍，
?
（先補充問題，再解答）
29.
（5分）李冬看一本120頁的書，第一天看了20頁，第二天看了25頁，兩天共看了全書的幾分之幾？
30.
（8分）一個操場長200米，寬100米，小英每天圍操場跑兩圈，一共跑了多少米？
參考答案
一、認真思考，細心填空（共23分）
(共11題；共23分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、請你判一判。
（5分）
(共5題；共5分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、快樂ABC，請你選一選。
（5分）
(共5題；共5分)
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
四、細心計算（27分）
(共2題；共27分)
22-1、
23-1、
五、畫筆顯神通。
（12分）
(共2題；共12分)
24-1、
25-1、
六、解決問題小能手。
（共28分）
(共5題；共28分)
26-1、
27-1、
28-1、