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一、教材分析
垂直與平行在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，即便是兒童，也經(jīng)常會接觸到一些關(guān)于垂直與平行的現(xiàn)象，教材充分利用了垂直與平行和日常生活的密切聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)了較為豐富的，貼近兒童生活實(shí)際的情境，讓學(xué)生在熟悉的情境中感悟垂直與平行的現(xiàn)象，本節(jié)課主要是讓學(xué)生初步理解垂直與平行的含義，能夠準(zhǔn)確判斷，旨在讓學(xué)生在生活的情境中發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象，知道垂直與平行在我們生活中的重要作用。因此在教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際和知識積累，從生活中學(xué)生感興趣的事物入手，通過“想象―合作―交流―質(zhì)疑―自學(xué)―解惑―應(yīng)用”的過程，力圖在教學(xué)過程中教學(xué)教給學(xué)生學(xué)習(xí)思考數(shù)學(xué)的方法，調(diào)動學(xué)生自己去合作、去自學(xué)、去判斷、去分析、去表達(dá)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中親身體驗、理解與構(gòu)建平行與垂直的概念，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，達(dá)到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活的目的。
二、學(xué)情分析
垂直與平行是在學(xué)生認(rèn)識了直線以及角的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，本課時的教學(xué)重點(diǎn)是認(rèn)清互相平行與互相垂直的特征。學(xué)習(xí)中以學(xué)生的自主探索為主。力圖在教學(xué)過程中教學(xué)教給學(xué)生學(xué)習(xí)思考數(shù)學(xué)的方法，調(diào)動學(xué)生自己去合作、去自學(xué)、去判斷、去分析、去表達(dá)，促他們在學(xué)習(xí)中，親身體驗，理解與構(gòu)建平行與垂直的概念。體會數(shù)學(xué)源于生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的樂趣。
學(xué)生在日常生活中經(jīng)常遇到或用到有關(guān)平行和垂直的知識和問題，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容既可以在實(shí)際生活中應(yīng)用，又能為今后系統(tǒng)地學(xué)習(xí)平行四邊形和梯形打下初步基礎(chǔ)，是對圖形的認(rèn)識的再一次擴(kuò)展。這部分知識的學(xué)習(xí)，可以擴(kuò)大用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的范圍，提高學(xué)生解決問題的能力；同時也使學(xué)生初步學(xué)會用圖形之間的位置關(guān)系進(jìn)行表達(dá)和交流，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，并為進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)空間與圖形做好鋪墊。
三、教學(xué)目標(biāo)
1.讓學(xué)生結(jié)合生活情境，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、討論、感知生活中的垂直與平行的現(xiàn)象。
2.使學(xué)生通過探究活動知道在同一個平面內(nèi)兩條直線存在著相交、平行的位置關(guān)系，掌握垂直、平行的概念。
3.培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及空間想象能力，引導(dǎo)學(xué)生合作探究的學(xué)習(xí)意識。
教學(xué)重難點(diǎn)：
1.正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。
2.相關(guān)現(xiàn)象的正確理解（尤其是對看似不相交，而實(shí)際上是相交現(xiàn)象的理解）。
情感、態(tài)度與價值觀：
1.培養(yǎng)學(xué)生想象能力，進(jìn)一步提高學(xué)生的歸納、概括能力。
2.進(jìn)一步認(rèn)識和體會數(shù)學(xué)知識的重要用途，增強(qiáng)應(yīng)用意識。
教具、學(xué)具準(zhǔn)備：課件、水彩筆、尺子、三角板、量角器、小棒、白紙。
四、教學(xué)過程
一）設(shè)置情景，想象感知
1.導(dǎo)入：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線，誰知道直線有什么特點(diǎn)？（指名回答）
今天咱們繼續(xù)學(xué)習(xí)直線的有關(guān)知識。
2.老師和同學(xué)們一樣都有這樣一張紙，大家來摸一摸這個平面。（學(xué)生活動）
師：我們一起來做個小的想象活動，想象一下把這個面變大會是什么樣子？
在這個無限大的平面上，出現(xiàn)了一條直線，又出現(xiàn)一條直線。你想象的這兩條直線的位置是怎樣的？
活動一：先用小棒擺一擺，看能擺出幾種不同的位置。
活動二：再用水彩筆把它們畫在紙上。
二）探索比較，掌握特征
（一）動手操作，建立表象
展示典型圖形，強(qiáng)化圖形表征。
1.展示學(xué)生的畫法。（用水彩筆畫在白紙上）
2.歸納，去掉重復(fù)的。
（二）小組合作，感知特征
1.歸納展示，把剛才幾個同學(xué)所展示的畫法進(jìn)行歸納。（課件出示）
2.嘗試分類，把其中具有代表性的圖形通過電腦課件來展示，并編上序號，這些圖形，同學(xué)們能不能對它們進(jìn)行分類呢？可以分成幾類？根據(jù)什么來分？
3.小組合作交流討論分類方法。
展示各種可能分類方法：
（1）分為兩類：交叉的一類，不交叉的一類；
（2）分為三類：交叉的一類，快要交叉的一類，不交叉的一類；
（3）分為四類：交叉的一類，快要交叉的一類，不交叉的一類，交叉成直角的一類。
4.質(zhì)疑。
對于各小組的分類分法，有什么想法？引導(dǎo)學(xué)生側(cè)重按照“相交”和“不相交”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。
三）自主探究，構(gòu)建新知
通過探索交流，我們發(fā)現(xiàn)了在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種不同情況：一種是相交，一種是不相交。
1.認(rèn)識“平行”
（1）自學(xué)。像這樣不相交的兩條直線叫什么？請看書第65頁。
（2）質(zhì)疑：互相是什么意思？“同一平面”是什么意思？出示實(shí)物幫助理解。
在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)：判斷兩條直線是否是平行時，“在同一個平面內(nèi)”“不相交”這兩個條件缺一不可。
（3）舉例：請學(xué)生說一說在我們的身邊有哪些物體的邊是互相平行的？
2.自學(xué)認(rèn)識“垂線”
導(dǎo)語：剛才我們已經(jīng)把同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線，那平面內(nèi)相交的兩條直線的關(guān)系中又有特殊的關(guān)系？
（1）自學(xué)，閱讀書本P65頁的內(nèi)容，思考：①互相垂直的兩條直線有什么特征？②怎樣判斷兩條直線互相垂直？③你還掌握了哪些知識？
（2）小組合作交流。垂直的含義、判斷方法、各部分名稱。
（3）歸納。如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。這兩條直線的交點(diǎn)就是垂足。
（4）舉例，請學(xué)生說一說在我們的身邊有哪些物體的邊是互相垂直的？
3.揭示課題。通過學(xué)習(xí)，你們知道了什么？板書課題：垂直與平行。
4.找一找：你的身邊有些哪些物體的邊是互相垂直的？哪些物體的邊是互相平行的？把你的發(fā)現(xiàn)告訴同組的同學(xué)。
四）鞏固拓展，運(yùn)用新知
1.完成書P65頁第2題：擺一擺、說一說你有什么發(fā)現(xiàn)？（與同一條直線垂直的兩條直線互相平行、與同一條直線平行的兩條直線互相平行。）
2.判斷題
（1）不相交的兩條直線叫作平行線。
（2）在同一平面內(nèi)的兩條直線叫作平行線。
（3）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線。
3.折一折
（1）剛才同學(xué)們通過“找一找”“擺一擺”對平行和垂直有了進(jìn)一步的認(rèn)識，也找到了生活中很多的平行線與垂線，那要是給每個同學(xué)一張這樣的不規(guī)則紙，你們能動手折一折，折出垂線與平行線？這可有一定難度，愿意接受挑戰(zhàn)嗎？
（2）學(xué)生動手折垂線，教師巡視，進(jìn)行個別指導(dǎo)。
（3）展示學(xué)生作業(yè)。
關(guān)鍵詞：垂直升降；運(yùn)動仿真；有限元；結(jié)構(gòu)優(yōu)化
引言：料車是一種在各種工業(yè)用爐前對物料進(jìn)行搬運(yùn)的專用設(shè)備，它可以實(shí)現(xiàn)對需處理物料的轉(zhuǎn)運(yùn)、裝爐和出爐等功能。料車垂直起升機(jī)構(gòu)主要用以完成加料小車的垂直升降功能，是料車各組成部分中最關(guān)鍵的部分。
圖1平行四桿垂直起升機(jī)構(gòu)簡圖
平行四桿垂直起升機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示，起升搖臂的下部與機(jī)架在O1處鉸接，其上部在B點(diǎn)與液壓缸的活塞桿鉸接，其中部與拉桿的左端在A點(diǎn)鉸接；拉桿的右端與起升連桿的上部鉸接，并在C點(diǎn)通過滾輪與導(dǎo)向槽板形成滾輪滑塊機(jī)構(gòu)；導(dǎo)向槽板的右端與機(jī)架在D點(diǎn)形成滾輪滑塊機(jī)構(gòu)；液壓缸、起升連桿的下部均與機(jī)架鉸接。
平行四桿垂直起升機(jī)構(gòu)工作時，由液壓缸形成原動力，推動起升搖臂繞O1點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，并通過鉸接的A點(diǎn)帶動拉桿向左移動，拉桿帶動起升連桿繞著O2點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，并通過C點(diǎn)的滾輪迫使其上部的導(dǎo)向槽板產(chǎn)生左上方的斜向移動趨勢，右端的滾輪滑塊機(jī)構(gòu)用于消除導(dǎo)向槽板的水平移動。此時導(dǎo)向槽板即可帶動固定其上部的重物在垂直方向上平移，以實(shí)現(xiàn)垂直起升目的。
一、建模與動力學(xué)仿真
利用Solidworks建立平行四桿垂直起升機(jī)構(gòu)的三維模型，為了便于仿真，在不影響仿真結(jié)果的前提下將中部的起升連桿部分進(jìn)行了簡化，且右端滑塊機(jī)構(gòu)也使用配合功能以于實(shí)現(xiàn)，圖2中只給出部分模型。這樣既可減少仿真模型中零、部件數(shù)量，提高仿真效率，也可減少仿真時的冗余自由度[1]。
圖2平行四桿垂直起升機(jī)構(gòu)模型
用Solidworks Motion中的配合和馬達(dá)功能，使每個零件的位置、速度、加速度等參數(shù)在各時間點(diǎn)都完全確定，確保沒有冗余自由度和欠約束的存在。
計算參數(shù)：載荷39730Kg（包括載荷重量和自重），仿真時間37.5s，步長為25步，用線性馬達(dá)模擬液壓缸，其行程為534mm，垂直起升高度100mm。經(jīng)過仿真，得到起升搖臂中部（A點(diǎn)）所受作用力圖解，如圖3所示：
圖3起升搖臂中部（A點(diǎn)）作用力
由圖1分析得到，隨著液壓缸的不斷伸長，使得起升連桿繞其下部的機(jī)架O2點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，在其上空套的滾輪與導(dǎo)向槽板上的導(dǎo)向槽間的壓力角也隨時間不斷地變化，其值呈逐漸變小的趨勢，由于起升連桿處的壓力角逐漸變化，會使得滾輪處的垂直分力逐漸增大，水平分力逐漸減小。
由圖3知，起升搖臂中部（A點(diǎn)）的作用力隨時間的推移而逐步減小，最大值出現(xiàn)在仿真的開始時刻，其值為38049.3Kg，其它時刻均小于初始值，變化規(guī)律與理論分析結(jié)果相同。
二、有限元仿真
將起升搖臂分離，并考慮起升搖臂的對稱性，本次仿真僅采用單個起升搖臂側(cè)板進(jìn)行分析（其參數(shù)見圖4）。考慮到有限元仿真精度及效率，將起升搖臂側(cè)板上的圓角簡化，并對應(yīng)力較大部位運(yùn)用局部網(wǎng)格控制功能細(xì)化網(wǎng)格，離散單元選擇二階實(shí)體單元，并且選擇基于曲率的網(wǎng)格功能，這樣可有效協(xié)調(diào)仿真精度和有限元模型的規(guī)模。
圖 4 起升搖臂側(cè)板結(jié)構(gòu)簡圖
起升搖臂側(cè)板采用Q345-B[2]制造而成，其屈服強(qiáng)度σs≥345Mpa，抗拉強(qiáng)度σb≥520Mpa，泊松比0.3，密度7.85×103 kg/m3，質(zhì)量為46.9Kg。
起升搖臂側(cè)板主要承受來自液壓缸、機(jī)架和中部拉桿的載荷作用，所以起升搖臂側(cè)板兩端軸承孔分別采用固定鉸鏈進(jìn)行約束；并選取起升搖臂側(cè)板中部軸承孔加載平行于水平方的向軸承載荷，用以模擬拉桿載荷，其大小為195246.5N（共有兩個起升搖臂側(cè)板380493N/2）。但考慮到偏載和液壓缸不同步等因素的影響，在起升搖臂側(cè)板側(cè)面中部的凸臺上加載63415.5N（380493N/6）的側(cè)向載荷，方向垂直于起升搖臂側(cè)板。經(jīng)過仿真，得到應(yīng)力圖解與位移圖解如圖5、圖6所示：
圖5 起升搖臂側(cè)板應(yīng)力圖解 圖6 起升搖臂側(cè)板位移圖解
由圖5 可知，起升搖臂側(cè)板的最大von mises為19MPa，安全系數(shù)達(dá)18.1；從位移圖解（圖6）可以看出，起升搖臂側(cè)板最大位移發(fā)生在起升搖臂側(cè)板的中部，其值為0.376mm。從對起升搖臂側(cè)板分析結(jié)果可以看出，無論是強(qiáng)度與剛度，都存在較大的富裕量，有必要進(jìn)一步對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。
三、優(yōu)化設(shè)計
在不改變起升搖臂側(cè)板接口的前提下，為實(shí)現(xiàn)即滿足強(qiáng)度要求且重量最輕的目的，采用Solidworks中集成的結(jié)構(gòu)優(yōu)化功能[3]對起升搖臂側(cè)板的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。經(jīng)過多次驗算，選擇起升搖臂側(cè)板端部圓弧x1、中部圓弧尺寸x2和壁厚x3為設(shè)計變量（見圖4），各變量的取值范圍分別為：80≤x1≤60、110≤x2≤90、40≤x3≤26。選取起升搖臂側(cè)板的最大von mises和最大位移為約束條件，安全系數(shù)≥5（345/5=69MPa）。并選取起升搖臂側(cè)板的質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行優(yōu)化。起升搖臂側(cè)板優(yōu)化前后變量、約束和目標(biāo)等相關(guān)數(shù)據(jù)對比如表1所示：
由表1知，優(yōu)化后起升搖臂側(cè)板的端部圓弧x1、中部圓弧尺寸x2和壁厚x3尺寸均有不同程度的減小。并且可知，最大von mises由19MPa增大到31MPa，最大位移由0.38mm增大到0.91mm，完全滿足實(shí)際使用要求。
優(yōu)化后起升搖臂的質(zhì)量由46.9Kg下降到27.2Kg，減輕了19.7Kg，材料的質(zhì)量比優(yōu)化前減輕了42%。優(yōu)化結(jié)果表明對減輕起升搖臂側(cè)板的質(zhì)量、節(jié)約材料有明顯效果。
四、結(jié)論
（1）本文采用Solidworks Motion對料車的垂直起升機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動仿真，得到起升搖臂的作用力圖解，并運(yùn)用有限元仿真出起升搖臂側(cè)板在極限載荷下的應(yīng)力分布情況。
（2）在有限元仿真的基礎(chǔ)上，對起升搖臂側(cè)板進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后的起升搖臂側(cè)板性能更加趨于合理，整體質(zhì)量減輕了19.7Kg，降低了42%，降低了原料消耗及生產(chǎn)成本，并為生產(chǎn)提供了科學(xué)的指導(dǎo)。
參考文獻(xiàn)：
[1] 陳超祥，胡其登.主編 杭州新迪數(shù)字工程系統(tǒng)有限公司，編譯.Solidworks Motion 2012 運(yùn)動仿真教程 [M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.8.144
[2] 機(jī)械設(shè)計手冊（軟件版2.0）
[3] 陳超祥，胡其登.主編 杭州新迪數(shù)字工程系統(tǒng)有限公司，編譯.Solidworks Simultion 2011高級教程[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.4.132
關(guān)鍵詞 蘋果 品種 紅富士 郁閉園 樹形改造 垂枝修剪
沂源縣地處魯中腹地，海拔高，紫外線強(qiáng)，光照充足，晝夜溫差大，具有發(fā)展蘋果得天獨(dú)厚的自然條件，是山東省蘋果重點(diǎn)產(chǎn)區(qū)之一。但是，沂源縣人多地少，蘋果園面積擴(kuò)展的潛力已經(jīng)不大，并且在蘋果生產(chǎn)中成齡果園郁閉嚴(yán)重、通風(fēng)透光差，嚴(yán)重影響了蘋果產(chǎn)量和質(zhì)量的進(jìn)一步提高。為此，我們在紅富士蘋果郁閉園樹形改造中進(jìn)行了垂枝修剪技術(shù)試驗，充分利用了蘋果樹長枝緩放后易成花、果臺副梢連續(xù)結(jié)果能力強(qiáng)的特點(diǎn)，增加結(jié)果部位，達(dá)到提高產(chǎn)量的目的；同時調(diào)整了蘋果枝條生長方向，果實(shí)著色環(huán)境得到改善，從而使全紅果率大幅度提高。
1 材料與方法
1.1試驗基本情況
試驗在沂源縣燕崖鎮(zhèn)中輝村進(jìn)行，試材為13年生紅富士蘋果樹，平地果園，棕壤，土壤肥力中等，樹勢偏旺，管理一般，栽植行株距4m×3m，樹高3.5～4m，冠幅4m左右。選用2670m2同一塊地的紅富士蘋果樹進(jìn)行對比試驗，其中1335m2是紡錘形樹形，1335m2是疏散分層形樹形，以667m2紡錘形蘋果樹和667m2疏散分層形的蘋果樹作為試驗樹，采用垂枝修剪方法進(jìn)行樹形改造，剩余的紡錘形和疏散分層形蘋果樹采用常規(guī)方法修剪，分別作為對照。2006-2011年對處理和對照果園的產(chǎn)量、產(chǎn)值、果實(shí)品質(zhì)、生產(chǎn)成本、收益和樹體主要生長情況進(jìn)行調(diào)查。歷年產(chǎn)量調(diào)查均采用實(shí)測產(chǎn)量方法準(zhǔn)確稱重；果實(shí)品質(zhì)調(diào)查項目主要包括全紅果、直徑80mm以上果實(shí)所占比率等，并按等級標(biāo)準(zhǔn)計算優(yōu)質(zhì)果率；樹體主要生長情況調(diào)查項目包括樹冠覆蓋率、樹冠體積、葉面積系數(shù)、枝類比、667m2枝量等。
1.2垂枝修剪方法的技術(shù)要點(diǎn)
郁閉園冬季修剪時逐年疏除基部主枝，將主干提高到80cm；樹體上部落頭開心，保留中心干3m以下的主枝；提干落頭后每株樹保留6～7個主枝，將原有的疏散分層形和紡錘形樹形改造成雙層開心形。改造樹形的同時疏除重疊枝；保留的主枝逐年去除大側(cè)枝，疏除病殘枝，回縮細(xì)弱枝?？s小冠幅，在主枝斜下垂枝處回縮，使行間有1m左右的作業(yè)道。翌年秋季對60cm以上1～2年生長枝拿枝、拉枝，或用鐵絲自制“W”形彎枝器別枝（別枝后第2年5月底6月初解除），將直立、斜生或水平生長的長枝均拉至下垂。拉枝、緩放后的長枝易萌發(fā)短枝，在營養(yǎng)充足的情況下當(dāng)年即可形成花芽，第2年便可結(jié)果，沒有形成花芽的短枝，只要枝軸比不超過3：1，可繼續(xù)緩放，促進(jìn)成花。對于拉枝后冒出的競爭枝，有空間的可以擰枝緩放，沒有空間的可直接疏除。長枝結(jié)果后可利用果臺副梢連續(xù)結(jié)果，但下垂結(jié)果枝組過長或果臺副梢過于細(xì)弱時及時回縮復(fù)壯。同時，對背上徒長枝、競爭枝進(jìn)行拉枝，培養(yǎng)更新下垂結(jié)果枝組。
2 結(jié)果與分析
2.1垂枝修剪蘋果園的產(chǎn)量、果實(shí)品質(zhì)和收益
試驗結(jié)果表明，樹形改造后第1年（2006年），蘋果郁閉園667m2產(chǎn)量有較大幅度的降低，但改造后第2年就超越了樹形改造前的產(chǎn)量，樹形改造后6年（2006-2011年）平均每667m2產(chǎn)量6565kg，明顯超過樹形改造前（2005年）和未采用樹形改造的疏敞分層形、紡錘形蘋果樹6年平均每667m2產(chǎn)量，增產(chǎn)效果非常明顯（表1）。
垂枝修剪蘋果園生產(chǎn)的紅富士蘋果，直徑80mm以上果實(shí)所占比率平均為90.1%，全紅果率平均為86.0%，優(yōu)質(zhì)果率平均為85.6%，果形指數(shù)平均為0.96，以上各項指標(biāo)均明顯超過未進(jìn)行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果樹（對照）生產(chǎn)的果實(shí)。垂枝修剪蘋果園生產(chǎn)的紅富士蘋果，可溶性固形物含量略低于2個對照（表2）。
由于垂枝修剪蘋果園果實(shí)品質(zhì)優(yōu)于未進(jìn)行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果園，其平均售價也有一定的提高。據(jù)調(diào)查，垂枝剪修試驗6年的平均售價為3.6元/kg，比未進(jìn)行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果樹高0.20元；6年平均每667m2產(chǎn)量為6565kg，分別比未進(jìn)行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果樹增產(chǎn)3285、3105kg，減除各自的生產(chǎn)成本后，垂枝修剪蘋果樹6年平均每667m2收益為17074元，而疏散分層形和紡錘形蘋果樹收益分別為7832、8329元（表3）。
2.2垂枝修剪蘋果園的樹體結(jié)構(gòu)
紅富士蘋果郁閉園經(jīng)樹形改造和垂枝修剪后，樹體高度適中，便于套袋、采收、修剪作業(yè)；冠幅變小，行間通暢，便于打藥、運(yùn)輸、施肥，成花率和全紅果率明顯提高；覆蓋率中等，利于通風(fēng)透光；樹冠體積中等，產(chǎn)量高但不郁閉；葉面積系數(shù)偏大，但絕大多數(shù)枝條向下生長，葉片光合作用正常，對著色無負(fù)面影響；單位面積枝量大，但短枝比率高；從生長和結(jié)果狀況看，只要加強(qiáng)管理，果園整齊度比其他樹形好。試驗結(jié)束時垂枝修剪和未經(jīng)樹體改造郁閉蘋果園樹體結(jié)構(gòu)的調(diào)查結(jié)果見表4。
3 小結(jié)
垂枝修剪技術(shù)充分利用蘋果樹長枝緩放后易成花、果臺副梢連續(xù)結(jié)果能力強(qiáng)的特點(diǎn)，增加結(jié)果部位，改善果實(shí)著色環(huán)境，有利于提高郁閉蘋果園改造后的產(chǎn)量、果實(shí)品質(zhì)和收益，是郁閉蘋果園樹形改造的良好配套措施。該項技術(shù)簡便易行，可在生產(chǎn)中大面積推廣應(yīng)用。
正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行線”“垂線”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力是本課教學(xué)的重點(diǎn)；正確判斷同一平面內(nèi)兩條直線之間的位置關(guān)系是教學(xué)的難點(diǎn)。本課教學(xué)尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，力求學(xué)生通過多種學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)同一平面內(nèi)兩條直線的垂直與平行的空間位置關(guān)系知識，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、討論、感知生活中垂直與平行的現(xiàn)象；幫助學(xué)生初步理解垂直與平行是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系，初步認(rèn)識垂線和平行線；培養(yǎng)學(xué)生的空間概念及空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生具有合作探究的學(xué)習(xí)意識。
一、 創(chuàng)設(shè)情景、感知想象
1.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線，那大家還記得直線有什么特征嗎？
2.老師這兒有一張白紙，把這張白紙當(dāng)成一個平面，如果這個平面無限擴(kuò)大，閉上眼睛想象一下，它會是什么樣的？在這個無限大的平面上，出現(xiàn)了一條直線，接著又出現(xiàn)了另一條直線，想一想這兩條直線的位置是怎樣的？
讓學(xué)生動手在三張白紙上畫，一張白紙上畫一種情況，用水彩筆和直尺畫。
評析：先讓學(xué)生回顧舊的知識點(diǎn)并想象在一個大的平面上出現(xiàn)兩條直線，這樣不僅能讓學(xué)生感知空間想象，還讓學(xué)生思考這兩條直線有怎樣的位置關(guān)系；然后讓學(xué)生動手在白紙上畫出具體的直線，使學(xué)生能直觀地感知兩條直線的位置關(guān)系。
二、 自主探索，構(gòu)建新知
1.提出問題
（1） 畫好了嗎？同桌兩人一小組討論：說一說你所畫的兩條直線的位置是怎樣的？
（2）有哪個小組想把你所畫的直線展示給大家看呢？
展示到黑板上，并標(biāo)上號：
評析：這一步先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再在小組中交流，然后選出有代表性的情況，展示到黑板上，其他小組互相補(bǔ)充，使學(xué)生經(jīng)歷了一個從個人――小組――全班的逐層遞進(jìn)的過程，同時為學(xué)生自主分類提供了豐富的信息資源。
2.觀察分類，講授新課
師：仔細(xì)觀察這6種情況中兩條直線的位置關(guān)系，能把它們分類嗎？想好后和同桌交流。
學(xué)生匯報：生1：1和2、3和5、4和6分三類。
生2：1和2一類，3、4、5、6一類。
在學(xué)生說到交叉的分為一類時，告知學(xué)生交叉在數(shù)學(xué)上叫做相交。
板書：相交
針對學(xué)生的不同分類，引發(fā)學(xué)生的爭議，在爭議中統(tǒng)一意見，大致按相交、不相交分為兩類。
板書：不相交
3.提問：4號為什么要放到相交的這一類？
提醒學(xué)生直線有什么特征，并讓學(xué)生進(jìn)行延長，最后證實(shí)4號看起來不相交，延長后會相交，因此4號要?dú)w為相交的一類。
評析：這一步讓學(xué)生在自主探索與交流的過程中達(dá)成分類的共識，即相交的一類，不相交的一類。發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力，讓學(xué)生在自主探索、交流、辨析、求證的過程中順其自然地發(fā)現(xiàn)在同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系。
4.認(rèn)識平行線
（1）觀察、體會平行線的特點(diǎn)
師：1、2號看起來不相交，會不會延長也相交呢？
先讓學(xué)生動手延長兩條直線看是否會相交，再課件演示兩條直線不管怎樣延長，永遠(yuǎn)都不會相交的動態(tài)過程。
師：（課件演示）老師展示把1號放在方格子上，發(fā)現(xiàn)兩條直線之間的距離是怎樣的？
生1：兩條直線之間的距離處處相等。
小結(jié)：像這種位置關(guān)系的兩條直線在數(shù)學(xué)上叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。
板書：平行線。
（2）平行線的含義
師：為什么要加上“互相”呢？
小結(jié)：要說互相平行是因為平行線至少需要2條直線。
師：能說一條直線是平行線嗎？
[a][b]
直線a是直線b的平行線
直線b是直線a的平行線
直線a和直線b互相平行
師：同學(xué)們，平行的現(xiàn)象在生活中隨處可見，請同學(xué)們舉例說說身邊的平行現(xiàn)象吧。
（3）認(rèn)識垂直
師：兩條直線相交會形成什么呢？
生：角。
師：在這些角中有什么角最特殊呢？
生1：因為它們都是十字形的。
生2：它們都有四個直角。
（4）揭示垂直的定義
師：像這樣兩條直線相交成直角在數(shù)學(xué)上叫做互相垂直。
大屏幕出示：如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。
[c][d]
直線c是直線d的垂線
直線d是直線c的垂線
直線c和直線d互相垂直
師：同學(xué)們舉例身邊垂直的現(xiàn)象嗎？
小結(jié)：今天這節(jié)課我們認(rèn)識了在同一平面內(nèi)兩條直線特殊的位置。關(guān)系：垂直與平行（板書課題）
評析：在觀察、比較、驗證的學(xué)習(xí)過程中，深刻體驗平行與垂直的特征，并通過舉例身邊的平行與垂直的現(xiàn)象來直接考查學(xué)生對平行與垂直的知識點(diǎn)的掌握程度。
（5）課件出示以下長方體：找找長方體中互相平行和互相垂直的現(xiàn)象。（重點(diǎn)讓學(xué)生理解直線a是平面1的直線，直線b是平面2的直線，雖然它們不相交，但也不能說它們互相平行）
[a][b]
評析：這一步讓學(xué)生在充分觀察、想象、驗證、自學(xué)提問的學(xué)習(xí)過程中，深刻體驗平行與垂直的特征，深刻理解了同一平面的含義，同時培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和自學(xué)能力，也發(fā)展了學(xué)生的空間觀察。
三、鞏固拓展，加深認(rèn)識
闖關(guān)游戲：
第一關(guān)：小試牛刀：判斷下列各組是否互相平行，互相垂直、相交，還是什么都不是。
第二關(guān)：擺一擺
（1）把兩根紅色小棒都擺成和綠色小棒平行，看一看，這兩根紅色小棒互相平行嗎？
（2）把兩根紅色小棒都擺成和綠色小棒垂直，看一看這兩根紅色小棒有什么關(guān)系？
第三關(guān)：考考你，對的打√，錯的打×。
（1）在同一平面內(nèi)，只要兩條直線相交成90°，這兩條直線就互相垂直。（ √ ）
（2）兩條直線相交，那么這兩條直線互相垂直。（ × ）
（3）兩條平行線間的距離處處相等。（ √ ）
（4）在同一平面內(nèi)兩條直線不垂直就一定平行。
（ × ）
（5）不相交的兩條直線叫做平行線 。（ × ）
評析：本環(huán)節(jié)的練習(xí)主要是讓學(xué)生加深理解相交、互相平行、互相垂直的特征，并能對今天所學(xué)的知識進(jìn)行自我檢測。
四、全課總結(jié)
同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有什么收獲？你們覺得自己表現(xiàn)如何？
評析：這樣用談話的方式進(jìn)行總結(jié)，不僅總結(jié)了所學(xué)的知識、技能，更重要的是給了學(xué)生一次評價的機(jī)會，讓他們通過自評、互評初步學(xué)會評價，實(shí)現(xiàn)了課堂評價主體的多元化。
[在同一個面內(nèi)
1.平面；平面的基本性質(zhì)；平面圖形直觀圖的畫法.
2.兩條直線的位置關(guān)系；平行公理；等角定理；異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念.
3.直線和平面的位置關(guān)系；直線和平面平行的判定與性質(zhì)；直線和平面垂直的判定與性質(zhì)；點(diǎn)到平面的距離；斜線在平面上的射影.
4.兩個平面的位置關(guān)系；平面平行的判定與性質(zhì)；平行平面間的距離；二面角及其平面角；兩個平面垂直的判定與性質(zhì).
5.（理科）空間向量共線、共面的充分必要條件，空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的數(shù)量積，空間向量的共線與垂直，直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量求立體幾何中的角.
二、考試要求
1.掌握平面的基本性質(zhì)，空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（特別是平行和垂直關(guān)系）.
2.能運(yùn)用上述概念以及有關(guān)兩條直線、直線和平面、兩個平面的平行和垂直關(guān)系的性質(zhì)與判定，進(jìn)行論證和解決有關(guān)問題.對于異面直線上兩點(diǎn)的距離公式不要求記憶.
3.會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形（特別是正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形）的直觀圖.能夠畫出空間兩條直線、兩個平面、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系.
4.（理科）會用空間向量計算線線角，線面角，面面角.
三、考點(diǎn)簡析
1.空間元素的位置關(guān)系
空間由點(diǎn)，線，面3個元素構(gòu)成，立體幾何主要研究線和線，點(diǎn)和面，線和面，面和面之間的關(guān)系.
兩條直線關(guān)系包括相交，平行，異面；直線和平面之間的關(guān)系包括線在面內(nèi)，線面相交（包括斜交和垂直），線面平行；面面關(guān)系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.
2.平行、垂直位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化
立體幾何中的證明只要圍繞著平行和垂直展開.線線平行，線面平行，面面平行證明是相互依賴的，線線垂直，線面垂直，面面垂直也是相互依賴.需要對每一種關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理充分理解，證明過程中，需要列出相應(yīng)的條件，得出結(jié)論.
為解決上述問題，搞好立體幾何的復(fù)習(xí)，要激活點(diǎn)、線、面之間的三個關(guān)系，厘清直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行與垂直的判定和性質(zhì)，快速、簡捷地求解立體幾何試題.
一、理解三個關(guān)系，掌握十四個定理
空間的直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系主要有三個關(guān)系，十四個定理或性質(zhì).
三個關(guān)系：平行的傳遞關(guān)系，垂直的傳遞關(guān)系，平行與垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有位置關(guān)系的基礎(chǔ)是線線之間的平行與垂直.它們通過下面的十四定理進(jìn)行傳遞或轉(zhuǎn)化，由線線線面面面的位置關(guān)系常用的是判定定理，反之，由面面線面線線的位置關(guān)系常用的是性質(zhì)定理，它們之間的關(guān)系如下圖所示.
說明：（1）圖中的定理①②③④⑤是平行與垂直的判定定理；定理⑧⑨⑩是平行與垂直的性質(zhì)或一些位置關(guān)系的性質(zhì)定理，它們之間是平行、垂直關(guān)系的直接傳遞關(guān)系；定理⑥⑦是平行與垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，平行轉(zhuǎn)化為判定垂直或由垂直轉(zhuǎn)化為推出平行.
（2）凡是箭頭指向某一位置關(guān)系，就是證明或判斷這個位置關(guān)系的一個方法，有幾個箭頭指向這個位置關(guān)系，就有證明判定這個位置關(guān)系的幾個方法.一般拿到一個證明或判定位置關(guān)系的題目，對照關(guān)系圖，方法和思路很快就能找到.
（3）十四個定理附錄如下：
定理①：直線和平面平行的判定定理；
定理②：平面與平面平行的判定定理；
定理③：定理②的推論；
定理④：直線與平面垂直的判定定理；
定理⑤：平面與平面垂直的判定定理；
定理⑥：兩條平行線的一條垂直一個平面（直線），那么另一條也垂直這個平面（直線）；
定理⑦：垂直于同一條直線的兩個平面平行；
定理⑧：兩個平面互相平行，那么在一個平面的任何一條直線都平行另一個平面；
定理⑨：直線與平面平行的性質(zhì)定理；
定理⑩：平面與平面平行的性質(zhì)定理；
定理：平面與平面垂直的性質(zhì)定理；
定理：由線面垂直的定義推出的性質(zhì)，若線面垂直，則線線垂直；
定理：一條直線（平面）垂直兩個平行平面的一個平面，那么它也垂直另一個平面；
定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
所有這些位置關(guān)系中，線線關(guān)系是一切位置關(guān)系的基礎(chǔ).要得到直線與直線的平行，如在同一平面中，由平面幾何中的定理來推出，在空間、有公理4和圖表中的定理⑨、⑩、都可以得到.要得到直線與直線垂直，一是由兩直線成角90°，則兩直線垂直，二是由定理可堆出，三是三垂線定理或三垂線定理的逆定理（適用理科）都可以推出直線與直線的垂直.
二、激活三個關(guān)系，簡解立幾問題
立體幾何中的位置關(guān)系的判定或證明，根據(jù)求證想判定的條件，再根據(jù)已知想性質(zhì)，從而找到判定的條件，如果從性質(zhì)中不能直接找到判定的條件，就需要添加輔助元素，架起已知和求證之間的橋梁，或者運(yùn)用曾經(jīng)學(xué)過的知識幫助解決，只要激活三個關(guān)系，就可以快速簡捷地求解決立體幾何問題.例如，要求證線面平行，根據(jù)關(guān)系圖，只有兩種方法，一是用定理①，找平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行；二是用定理⑧，若無法找到直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那就根據(jù)已知條件先證兩個平面平行，再推出線面平行.又如，證明平面與平面垂直，只有一種方法，就是用定理⑤，在一個平面內(nèi)找到一條直線垂直另一個平面即可.（說明一下，本文涉及位置關(guān)系的證明，一般沒有包括用有關(guān)定義來證明）所以要證有關(guān)問題，首先在關(guān)系圖中找到證明的幾種方法，然后根據(jù)已知條件確定用一種或兩種方法完成證明.凡是要證明一個位置關(guān)系，判定的條件一個也不能少，少一個條件就得不到正確的結(jié)果.
例1（2013年廣東卷）設(shè)l為直線，α，β為兩個不同的平面，下列命題中正確是（）.
（A）若l∥α，l∥β，則α∥β
（B）若lα，lβ，則α∥β
（C）若lα，l∥β，則α∥β
（D）若αβ，l∥α，則lβ
分析：本題主要考查線面位置關(guān)系的基本知識，考查考生的空間想象能力和推理論證能力.
解：由于題目是四選一的選擇題，而且題中的位置關(guān)系較多，若一個一個地推理判斷，費(fèi)時費(fèi)力收效甚微.拿起關(guān)系圖，對照有關(guān)位置關(guān)系，凡是符合定理的，一定正確.選項B符合定理⑦，B正確，故選B.
例2若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是（）.
（A）若α∥β，mα，則mβ
（B）若m∥n，mα，則nα
（C）若m∥α，mβ，則αβ
（D）若α∩β=n，且n與α，β所成的角相等，則mn
分析：判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系是否正確，最快速有效的辦法是看它是否符合有關(guān)位置關(guān)系的定理；要否定一個位置關(guān)系常用特例或反例即可.
解：根據(jù)本文給出的位置關(guān)系圖，由定理可知，選項A正確；由定理⑥可知，選項B正確；對于選項C，則需要聯(lián)合運(yùn)用有關(guān)定理才能判斷，首先由定理⑨知，α內(nèi)有直線m′∥m，其次由定理⑥知，m′β，最后由定理⑤判定αβ，所以選項C正確，由此可知選項D不正確，故選D.要判定選項D不正確也可用特例，當(dāng)m∥n時，n∥α，n∥β，則直線n與α，β所成的角都是0°，也相等，但m，n不垂直，D不正確.
說明：熟練掌握空間直線、平面位置關(guān)系的定理，是正確判定各種位置關(guān)系的有效、快捷的方法.
例3（2013年北京卷）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別圖1為CD和PC的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）PA底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF平面PCD.
分析：本題三個小題分別求證線面垂直，線面平行、面面垂直這三個重要位置關(guān)系，意在考查考生的空間想象力和推理論證能力.利用關(guān)系圖，尋找證題方法和思路，由面面垂直的性質(zhì)定理可得線面垂直；由定理①知，只要在平面PAD中找一條直線和BE平行，或由定理⑧只要證得平面BEF∥平面PAD，即得BE∥平面PAD；由定理⑤知，只要在一個平面內(nèi)找到一條直線垂直另一個平面，問題就解決了.
證明：（Ⅰ）平面PAD平面ABCD，PAAD，AD=平面PAD∩平面ABCD，PA平面ABCD.
（Ⅱ）AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中點(diǎn)，
AB=DE，且AB∥DE，
四邊形ABED為平行四邊形.
BE∥AD.
又AD平面PAD，BE平面PAD，
BE∥平面PAD.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，PA平面ABCD，且CD平面ABCD，PACD.
由（Ⅱ）知，BE∥AD，又AB∥CD，ABAD，CDAD，BECD.
又AD∩PA=A，CD平面PAD.
PD平面PAD，CDPD.
E，F(xiàn)分別為CD，PC的中點(diǎn)，
EF∥PD.
EFCD.
EF∩BE=E，CD平面BEF.
又CD平面PCD，
平面BEF平面PCD.
例4（2013年廣東卷）如圖2，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AD=AE，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G.將ABF沿AF折起，得到如圖3所示的三棱錐A-BCF，其中BC=1212.
（Ⅰ）證明：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）證明：CF平面ABF；
（Ⅲ）當(dāng)AD=213時，求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.
分析：本題主要考查線面平行和線面垂直，利用關(guān)系圖，可用定理①和定理⑧證DE∥平面BCF；用定理④證CF平面ABF.至于求三棱錐的體積只要找到相應(yīng)的底面積和高，代入公式計算即可.
解：（Ⅰ）證明：在等邊ABC中，AB=AC，AD=AE，AD1DB=AE1BC，
DE∥BC，DG∥BF，GE∥CF.
將ABF沿AF折起后，如圖3，仍有DG∥BF，且DG平面BCF，BF平面BCF，
DG∥平面BCF.
同理GE∥平面BCF.
又DG∩GE=E，
平面DGE∥平面BCF.
DE平面DGE，DE∥平面BCF.
（Ⅱ）證明：在等邊ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AFCF，BF=FC=112.
在圖3中，BC=1212，
BF2+CF2=BC2，故∠BCF=90°.
CFBF.
又AF∩BF=F，CF平面ABF.
（Ⅲ）AD=213，AB=1，AF=1312，
DB=113，F(xiàn)G=113AF=1316.
DG=GE=213BF=113，且DGAF.
在圖3中，DGF是直角三角形.
SDGF=112FG?DG=13136.
CF平面ABF，GE∥CF，
GE平面ABF.
GE為三棱錐E-DGF的高.
VF-DEG=VE-DGF=113SDGF?GE
【例1】（本題滿分14分）（2011•江蘇卷第16題）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn).
求證：（1） 直線EF∥平面PCD；
（2） 平面BEF平面PAD.
錯解證明：(1) 在PAD中，E,F分別是AP,AD的中點(diǎn)，
EF∥PD，2分
直線EF∥平面PCD.（定理條件不全，不給分）
(2) 連接BD.AB=AD，∠BAD=60°，
ABD為等邊三角形.
F是AD的中點(diǎn)，
BFAD.4分
平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，
BF平面PAD.（定理條件不全，不給分）
平面BEF平面PAD.（定理條件不全，不給分）
錯因分析使用定理時條件不齊全而失去該得分步驟的所以得分。第一問中，線面平行的判定定理條件有3個，該考生只寫了1個，漏寫“EF平面PCD，PD平面PCD”；同理，在第二問中使用面面垂直的性質(zhì)定理時漏寫“平面PAD∩平面ABCD=AD”、使用面面垂直的判定定理時，漏寫“BF平面BEF”。
正確解法證明：(1) 在PAD中，E,F分別是AP,AD的中點(diǎn)，
EF∥PD，2分
又EF平面PCD，PD平面PCD，
直線EF∥平面PCD.6分
(2) 連接BD.AB=AD，∠BAD=60°，
ABD為等邊三角形.
F是AD的中點(diǎn)，
BFAD.8分
平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，
BF平面PAD.12分
又BF平面BEF，
平面BEF平面PAD.14分
防錯機(jī)制（1） 線面位置關(guān)系中線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直各有自己的判定定理及性質(zhì)定理，同學(xué)們要理解熟記每一個定理各自所需的條件，在解題過程中書寫規(guī)范，使用定理時條件充足，正所謂“一個也不能少”。
（2） 平時養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)答題的好習(xí)慣，不要因趕時間而跳步驟，染上壞習(xí)慣后很難改正。
【例2】（本題滿分8分）兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.
錯解過M作MG∥BC交AB于G(如圖),連接NG.
MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE.
MG∥平面BCE.2分
又正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
BGGA=CMMA=BNNF，GN∥AF.3分
而AF∥平面BCE,
GN∥平面BCE.(此處用了沒有的錯誤的“定理”)
MG∩GN=G,平面MNG∥平面BCE.
又MN平面MNG,
MN∥平面BCE.
錯因分析本類題主要考查空間中線面位置關(guān)系（平行）的判定，是每年高考不可避免的考查內(nèi)容。上述解法的錯誤在于他使用了自己創(chuàng)造發(fā)明的“定理”：a∥b,b∥αa∥α。而線面平行沒有傳遞性，即平行線中的一條平行于一平面，另一條不一定平行該平面；
有的考生由“MG∥BC，GN∥BE平面MNG∥平面BCE”,這種做法也會失分的。因為面面平行的判定定理是由線面平行推到面面平行，而這種做法是由線線平行直接得到面面平行，會因判定定理使用不對而失去本步驟的分?jǐn)?shù)。
正確解法過M作MG∥BC交AB于G(如圖),連接NG.
MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE，
MG∥平面BCE.2分
又正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
BGGA=CMMA=BNNF，
GN∥AF∥BE.3分
BE平面BCE，GN平面BCE，
GN∥平面BCE.5分
MG∩GN=G,
平面MNG∥平面BCE.7分
又MN平面MNG，
MN∥平面BCE.8分
注：本題亦可用線線平行推出線面平行.
防錯機(jī)制一要熟練掌握所有判定與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行；二要掌握解題時由已知想性質(zhì)、由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來尋找證明的思路；三要嚴(yán)格要求自己注意表述規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，只能用所學(xué)的判定與性質(zhì)定理，避免使用一些正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論.即定理“一條也不能多”。
牛刀小試
（本小題滿分15分）如圖所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DBAC,點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).
（1） 求證：B1D1∥面A1BD；
（2） 求證：MDAC；
（3） 試確定點(diǎn)M的位置,使得平面DMC1平面CC1D1D.
【參考答案】
（1） 證明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,
且BB1=DD1,
BB1D1D是平行四邊形,B1D1∥BD.
3分
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,
B1D1∥面A1BD.4分
（2） 證明：BB1面ABCD,AC面ABCD，
BB1AC.6分
又BDAC,且BD∩BB1=B，
AC面BB1D1D.8分
而MD面BB1D1D，MDAC.9分
（3） 當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時,
平面DMC1平面CC1D1D.10分
取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1,連接NN1交DC1于O,連接OM.
N是DC的中點(diǎn),BD=BC,BNDC；
又DC是面ABCD與面DCC1D1的交線,而面ABCD面DCC1D1,
BN面DCC1D1.12分
又可證得,O是NN1的中點(diǎn),BM∥ON,且BM=ON,即BMON是平行四邊形,
BN∥OM,OM平面CC1D1D,14分
OM面DMC1,
平面DMC1平面CC1D1D.15分
（作者：張彬，江蘇省西亭高級中學(xué)）
（上接第64頁）
由2θ+π4∈π4,5π4，此時OC∈(1,2+1］；
當(dāng)A、B、C、D按逆時針方向時，如圖所示，在OBC中，
a2+1－2acosπ2－θ=OC2，
即OC=(2cosθ)2+1－2•2cosθ•sinθ
=4cos2θ+1－2sin2θ
=2cos2θ－2sin2θ+3
=－22sin2θ－π4+3，
由2θ－π4∈－π4,3π4，此時OC∈［2－1,5)，
綜上所述，線段OC長度的最小值為2－1，最大值為2+1．
(作者：陳勇軍，江蘇省通州高級中學(xué))
數(shù)學(xué)是一種目標(biāo)明確的思維活動，是一種理性的精神，使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度――克萊因（美國數(shù)學(xué)家）。為此，我們在解題時，要加強(qiáng)目標(biāo)意識，在正確的目標(biāo)引領(lǐng)下，進(jìn)行有效的探求。為此，我們在整個教學(xué)活動中始終要明確“我要達(dá)到什么目標(biāo)，怎樣達(dá)到”及“如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟ_(dá)到最佳效果”，以便少走彎路或不走彎路，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和策略性，提高教學(xué)活動的效率。尤其在立體幾何的復(fù)習(xí)中更要加強(qiáng)解題的目標(biāo)意識。
【例1】如圖，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，CD=1，AB=2，PA平面ABCD，PA=1.
（1） 求證：AB∥平面PCD；
（2） 求證：BC平面PAC；
（3）若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐MACD的體積．
分析（1） 由“線線平行線面平行面面平行”知，欲達(dá)到“線面平行”這一目標(biāo)，應(yīng)從“線線平行”或“面面平行”的角度去考察；
（2） 由“線線垂直線面垂直面面垂直”知，欲證BC平面PAC，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為BC垂直于平面PAC內(nèi)的兩條相交的直線；
（3） 求三棱錐MACD的體積的目標(biāo)轉(zhuǎn)移為目標(biāo)1――底面積ADC比較好求，而目標(biāo)2――M到底面ADC的距離，應(yīng)由M是PC的中點(diǎn)轉(zhuǎn)化為P到面ADC距離的一半。
證明（1） 由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，
又AB平面PCD，CD平面PCD，
AB∥平面PCD.
（2） 在直角梯形ABCD中，過C作CEAB于點(diǎn)E，
則四邊形ADCE為矩形，AE=DC=1.
又AB=2,BE=1，
在RtABC中，∠ABC=45°,
CE=BE=1,CB=2,AD=CE=1.
則AC=AD2+CD2=2，AC2+BC2=AB2,
BCAC.
又PA平面ABCD，PABC,
又PA∩AC=A，BC平面PAC.
（3） M是PC的中點(diǎn)，M到面ADC的距離是P到面ADC距離的一半，
VMACD=13SACD•12PA
=13×12×1×1×12=112.
點(diǎn)撥由“線線平行線面平行”及“線線垂直線面垂直”時，應(yīng)注意滿足的條件不可缺少。
總結(jié)：在證明“線面平行或垂直”時，要有化歸的意識，利用好轉(zhuǎn)化的方法，即應(yīng)該利用好“線線平行線面平行面面平行”和“線線垂直線面垂直面面垂直”。
【例2】在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC,O是AD上一點(diǎn).
（1） 若CD∥面PBO,試指出O點(diǎn)的位置；
（2） 若面PAB面PCD，試證明PD面PAB.
分析（1） 由“線線平行線面平行面面平行”，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為“若CD∥BO，試指出O點(diǎn)的位置?！?/p>
（2） 由“線線垂直線面垂直面面垂直”知，欲證明PD面PAB，則可轉(zhuǎn)化為PD垂直于面PAB內(nèi)兩條相交的直線，而PDAP易證。那么PD還垂直于哪條直線呢？條件：面PAB面PCD如何轉(zhuǎn)化呢？由平面與平面垂直的性質(zhì)定理知，要得到“線面垂直”，必須在面PAB內(nèi)找一條直線與這兩平面的交線垂直。
證明（1） CD∥面PBO,CD面ABCD，
又面PBO∩面ABCD=BO，CD∥BO.
又AD＝3BC，
點(diǎn)O在AD的三等分點(diǎn)上（靠近點(diǎn)D）.
（2） 側(cè)面PAD底面ABCD,∠BAD＝90°，面PAD∩面ABCD=AD，AB面ABCD，
AB面PAD.
又PD面PAD，ABPD.
延長AB，DC交于M點(diǎn)，連接PM，過點(diǎn)A作AH垂直于PM，垂足為H.
又面PAB面PCD，面PAB∩面PCD=PM,
AH面PCD，又PD面PCD，AHPD.
又AB∩AH=A，AB、AH面PAB，
PD面PAB.
點(diǎn)撥（1） 中最后的結(jié)果表示應(yīng)說明：點(diǎn)O在AD的三等分點(diǎn)上（靠近點(diǎn)D處）；
（2） 注意條件面PAB面PCD如何轉(zhuǎn)化，沒有現(xiàn)成的“線線垂直”，所以要構(gòu)造新的“線線垂直”，結(jié)合條件面PAB面PCD進(jìn)行應(yīng)用。
總結(jié)：這一題的第二問難度比較大，關(guān)鍵是平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，應(yīng)該要滿足什么條件，這個必須清楚，缺少現(xiàn)成條件的，要添加輔助條件，以幫助問題的解決。
牛刀小試
1. 如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，且CE∥AB.
(1) 求證：CE平面PAD；
(2) 若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱錐PABCD的體積．
2. 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.
（1） 若ACPD，求證：AC平面PBD；
（2） 若平面PAC平面ABCD，求證：PB=PD；
（3） 在棱PC上是否存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，說明理由.
3. 如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E為PC的中點(diǎn)．
（1） 求證：BE∥平面PAD；
（2） 若AB平面PAD，平面PBA平面PBD，求證：PAPD．
【參考答案】
1. (1) 證明：因為PA平面ABCD，CE平面ABCD，
所以PACE.
因為ABAD，CE∥AB，
所以CEAD.
又PA∩AD＝A，
所以CE平面PAD.
(2) 由(1)可知CEAD.
在RtECD中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1.
又因為AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四邊形ABCE為矩形．
所以S四邊形ABCD＝S矩形ABCE＋SECD＝AB•AE＋12CE•DE＝1×2＋12×1×1＝52.
又PA平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱錐PABCD＝13S四邊形ABCD•PA＝13×52×1＝56.
2. （1） 證明：因為底面ABCD是菱形，
所以ACBD.
因為ACPD，PD∩BD=D，
所以AC平面PBD.
（2） 證明：由（1）可知ACBD.
因為平面PAC平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD平面ABCD，
所以BD平面PAC.
因為PO平面PAC，
所以BDPO.
因為底面ABCD是菱形，
所以BO=DO.
所以PB=PD.
（3） 不存在.下面用反證法說明.
假設(shè)存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM∥平面PAD.
在菱形ABCD中，BC∥AD，
因為AD平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因為BM平面PBC，BC平面PBC，
BC∩BM=B，
所以平面PBC∥平面PAD.
而平面PBC與平面PAD相交，矛盾.
所以不存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM∥平面PAD.
3. （1） 思路1：轉(zhuǎn)化為線線平行，構(gòu)造一個平行四邊形ABEF（其中F為PD的中點(diǎn)）.
取PD的中點(diǎn)F，連接AF、EF，
則EF∥CD且EF=12CD.
又AB∥CD且AB=12CD.
四邊形ABEF為平行四邊形,BE∥AF.
BE面PAD，AF面PAD，BE∥面PAD；
思路2：轉(zhuǎn)化為線線平行，延長DA、CB，交于點(diǎn)F，連接PF，易知BE∥PF.
思路3：轉(zhuǎn)化為面面平行，取CD的中點(diǎn)F，易證平面BEF∥平面PAD.
（2） 在平面PBA內(nèi)作AHPB于H，
則AH平面PBD，
從而AHPD，又已知AB平面PAD，
所以ABPD，
高考數(shù)學(xué)立體幾何知識點(diǎn)一
1.有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律--充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。
2. 判定兩個平面平行的方法：
(1)根據(jù)定義--證明兩平面沒有公共點(diǎn);
(2)判定定理--證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面;
(3)證明兩平面同垂直于一條直線。
3.兩個平面平行的主要性質(zhì)：
⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點(diǎn)”。
⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。
⑶兩個平面平行的性質(zhì)定理：”如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那
么它們的交線平行“。
⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。
⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。
⑹經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個平面和已知平面平行。
以上性質(zhì)⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為”性質(zhì)定理“，但在解題過程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。
高考數(shù)學(xué)立體幾何知識點(diǎn)二
(1)棱柱：
定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐
幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺：
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
(4)圓柱：
定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐：
定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺：
定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個弓形。
(7)球體：
定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
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垂線與平行線》-單元測試3
一、單選題(總分：40分本大題共8小題，共40分)
1.(本題5分)只使用一副三角板，不能拼出（
）度的角．
A.105
B.70
C.135
2.(本題5分)三時整．鐘面上的時針和分針成（
）的角．
A.180°
B.90°
C.60°
D.30°
3.(本題5分)小明畫了一條10厘米長的（
）
A.直線
B.射線
C.線段
4.(本題5分)不在同一條直線上的4點(diǎn)，最多可以連成（
）條線段．
A.6
B.5
C.4
D.無數(shù)
5.(本題5分)一條（
）長50厘米．
A.直線
B.射線
C.線段
6.(本題5分)圖中的角和平角可能相差（
）度．
A.180
B.140
C.40
D.90
7.(本題5分)兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（
）
A.相交
B.互相垂直
C.互相平行
8.(本題5分)下面各角中，不能用兩把三角尺拼成的角是（
）
A.120度
B.135度
C.80度
D.105度
二、填空題(總分：25分本大題共5小題，共25分)
9.(本題5分)在同一個平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有____和____兩種情況，其中相交的一種特殊情況是兩條直線____．
10.(本題5分)一個銳角三角形，兩個內(nèi)角之和a的范圍是____．
11.(本題5分)一個直角三角形，其中一個銳角是35°，那么它的另一個銳角是____度．
12.(本題5分)平行線之間可以作____條垂直線段，這些垂直線段的長，叫做平行線之間的____．
13.(本題5分)如圖，已知∠1=130°，∠2=____．
三、解答題(總分：35分本大題共5小題，共35分)
14.(本題7分)分別畫出80°、125°的角．
15.(本題7分)如圖是平行線的有：____．
16.(本題7分)過P點(diǎn)分別做出直線L1和直線L2的平行線．
17.(本題7分)按要求畫角：
（1）畫一個65度的角．
（2）畫一個直角．
（3）畫一個鈍角．
18.(本題7分)請你用一副三角板畫出165度和135度的角，用量角器畫出一個165度的角．
蘇教版四年級數(shù)學(xué)上冊《八
垂線與平行線》-單元測試3
參考答案與試題解析
1.【答案】：B;
【解析】：解：一副三角板中各個角的度數(shù)分別是30°、60°、45°、90°，
A、105°的角可由60°和45°的角拼得，
B、70°的角不能拼得，
C、135°的角可由45°和90°的角拼得；
故選：B．
2.【答案】：B;
【解析】：解：鐘面上一大格為：360÷12=30°，
3時整，鐘面上時針與分針形成的夾角是：30°×3=90°；
故選：B．
3.【答案】：C;
【解析】：解：直線沒有端點(diǎn)，射線只有一個端點(diǎn)，二者都不能量得其長度，而線段有兩個端點(diǎn)，可以量得其長度．
故選：C．
4.【答案】：A;
【解析】：解：如圖：
一共可以組成的線段條數(shù)是：
3+2+1=6（條）；
故選：A．
5.【答案】：C;
【解析】：解：一條線段長50厘米．
故選：C．
6.【答案】：C;
【解析】：解：因為圖中的角是140度，平角是180度；
所以180-140=40（度）
故選：C．
7.【答案】：C;
【解析】：解：根據(jù)垂直和的性質(zhì)得：兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線互相平行，
故選：C．
8.【答案】：C;
【解析】：解：A、120°的角，30°+90°=120°；
B、135°的角，45°+90°=135°；
C、80°的角，不能直接利用三角板畫出；
D、105°的角，45°+60°=105°；
故選：C．
9.【答案】：平行;相交;垂直;
【解析】：解：在同一個平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有
平行和
相交兩種情況，其中相交的一種特殊情況是兩條直線
垂直；
故答案為：平行，相交，垂直．
10.【答案】：180°＞a＞90°;
【解析】：解：根據(jù)題干分析可得：因為銳角三角形的3個角都是銳角，即每個角都小于90°，又因為三角形內(nèi)角和是180°，
所以，其中一個角小于90°，則180°減小于90°的角，得的差要大于90°，即另兩個角的和大于90°，
所以銳角三角形任意兩個角之和大于90°，即一個銳角三角形的兩個內(nèi)角之和a的范圍是：180°＞a＞90°；
故答案為：180°＞a＞90°．
11.【答案】：55;
【解析】：解：180-90-35=55（度），
答：另一個銳角是55度．
故答案為：55．
12.【答案】：無數(shù);距離;
【解析】：解：由分析可知：平行線之間可以作
無數(shù)條垂直線段，這些垂直線段的長，叫做平行線之間的
距離．
故答案為：無數(shù)，距離．
13.【答案】：50°;
【解析】：解：∠2=180°-∠1=180°-130°=50°；
故答案為：50°．
14.【答案】：解：
;
【解析】：畫一條射線，用量角器的中心點(diǎn)和射線的端點(diǎn)重合，0刻度線和射線重合，在量角器80°或125°的刻度上點(diǎn)上點(diǎn)，過射線的端點(diǎn)和剛作的點(diǎn)，畫射線即可．
15.【答案】：解：如圖是平行線的有：①、④．
故答案為：①、④．;
【解析】：依據(jù)平行的意義，即同一平面內(nèi)不相交的兩條直線，叫做平行線，據(jù)此即可解答．
16.【答案】：解：畫圖如下：
;
【解析】：把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點(diǎn)重合，過P點(diǎn)沿三角板的直角邊畫直線即可．
17.【答案】：解：根據(jù)題干分析，畫角如下：
;
【解析】：①畫一條射線，中心點(diǎn)對準(zhǔn)射線的端點(diǎn)，0刻度線對準(zhǔn)射線（兩重合）；
②對準(zhǔn)量角器65°（或90°或大于90°）的刻度線點(diǎn)一個點(diǎn)（找點(diǎn)）；
③把點(diǎn)和射線端點(diǎn)連接，然后標(biāo)出角的度數(shù)．
18.【答案】：解：（1）
（2）;
【解析】：（1）因一副三角板中的各個角的度數(shù)分別是30°、60°、45°、90°把它們進(jìn)行組合，即可得到某些特殊的角度，其中，90°+45°=135°，165°=90°+45°+30°，據(jù)此解答；