離散數學答案精選(九篇)

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第1篇：離散數學答案范文

三角函數與解三角形

第九講

三角函數的概念?誘導公式與三角恒等變換

2019年

1.(2019北京9)函數的最小正周期是

________.

2.(2019全國Ⅲ理12)設函數=sin()(>0),已知在有且僅有5個零點,下述四個結論:

①在()有且僅有3個極大值點

②在()有且僅有2個極小值點

③在()單調遞增

④的取值范圍是[)

其中所有正確結論的編號是

A.

①④

B.

②③

C.

①②③

D.

①③④

3.(2019天津理7)已知函數是奇函數,將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數為.若的最小正周期為,且,則

A.

B.

C.

D.

4.(2019全國Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin

2α=cos

2α+1,則sin

α=

A.

B.

C.

D.

5.(2019江蘇13)已知,則的值是_________.

6.(2019浙江18)設函數.

(1)已知函數是偶函數,求的值;

(2)求函數

的值域.

2010-2018年

一?選擇題

1.(2018全國卷Ⅲ)若,則

A.

B.

C.

D.

2.(2016年全國III)若

,則

A.

B.

C.1

D.

3.(2016年全國II)若,則(

)

A.

B.

C.

D.

4.(2015新課標Ⅰ)

A.

B.

C.

D.

5.(2015重慶)若,則=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.(2014新課標Ⅰ)若,則

A.

B.

C.

D.

7.(2014新課標Ⅰ)設,,且,則

A.

B.

C.

D.

8.(2014江西)在中,內角A,B,C所對應的邊分別為,若,則

的值為(

)

A.

B.

C.

D.

9.(2013新課標Ⅱ)已知,則(

)

A.

B.

C.

D.

10.(2013浙江)已知,則

A.

B.

C.

D.

11.(2012山東)若,,則

A.

B.

C.

D.

12.(2012江西)若,則tan2α=

A.?

B.

C.?

D.

13.(2011新課標)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊在直線上,則=

A.

B.

C.

D.

14.(2011浙江)若,,,,則

A.

B.

C.

D.

15.(2010新課標)若,是第三象限的角,則

A.

B.

C.2

D.-2

二?填空題

16.(2018全國卷Ⅰ)已知函數,則的最小值是_____.

17.(2018全國卷Ⅱ)已知,,則___.

18.(2017新課標Ⅱ)函數的最大值是

.

19.(2017北京)在平面直角坐標系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關于軸對稱.若,則=___________.

20.(2017江蘇)若,則=

.

21.(2015四川)

.

22.(2015江蘇)已知,,則的值為_______.

23.(2014新課標Ⅱ)函數的最大值為____.

24.(2013新課標Ⅱ)設為第二象限角,若,則=___.

25.(2013四川)設,,則的值是_____.

26.(2012江蘇)設為銳角,若,則的值為

.

三?解答題

27.(2018江蘇)已知為銳角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

28.(2018浙江)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,它的終邊過點.

(1)求的值;

(2)若角滿足,求的值.

29.(2017浙江)已知函數.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最小正周期及單調遞增區間.

30.(2014江蘇)已知,.

(1)求的值;

(2)求的值.

31.(2014江西)已知函數為奇函數,且,其中.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

32.(2013廣東)已知函數.

(1)

求的值;

(2)

若,求.

33.(2013北京)已知函數

(1)求的最小正周期及最大值;

(2)若,且,求的值.

34.(2012廣東)已知函數,(其中,)的最小正周期為10.

(1)求的值;

(2)設,,,求的值.

專題四

三角函數與解三角形

第九講

三角函數的概念?誘導公式與三角恒等變換

答案部分

2019年

1.解析:因為,

所以的最小正周期.

2.解析

當時,,

因為在有且僅有5個零點,所以,

所以,故④正確,

因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案,

下面判斷③是否正確,

當時,,

若在單調遞增,

則,即,因為,故③正確.

故選D.

3.解析

因為是奇函數,所以,.

將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數為,即,

因為的最小正周期為,所以,得,

所以,.

若,即,即,

所以,.

故選C.

4.解析:由,得.

因為,所以.

由,得.故選B.

5.解析

由,得,

所以,解得或.

當時,,,

.

當時,,,

所以.

綜上,的值是.

6.解析(1)因為是偶函數,所以,對任意實數x都有,

即,

故,

所以.

又,因此或.

(2)

.

因此,函數的值域是.

2010-2018年

1.B【解析】.故選B.

2.A【解析】由,,得,或

,,所以,

則,故選A.

3.D【解析】因為,所以,

所以,所以,故選D.

4.D【解析】原式=.

5.C

【解析】

=,選C.

6.C【解析】

知的終邊在第一象限或第三象限,此時與同號,

故,選C.

7.B【解析】由條件得,即,

得,又因為,,

所以,所以.

8.D【解析】=,,上式=.

9.A【解析】因為,

所以,選A.

10.C【解析】由可得,進一步整理可得,解得或,

于是.

11.D【解析】由可得,,

,答案應選D.

另解:由及,可得

,而當時

,結合選項即可得.

12.B【解析】分子分母同除得:,

13.B【解析】由角的終邊在直線上可得,,

.

14.C【解析】

,而,,

因此,,

則.

15.A【解析】

,且是第三象限,,

.

16.【解析】解法一

因為,

所以,

由得,即,,

由得,即

或,,

所以當()時,取得最小值,

且.

解法二

因為,

所以

,

當且僅當,即時取等號,

所以,

所以的最小值為.

17.【解析】,,

①,

②,

①②兩式相加可得

,

.

18.1【解析】化簡三角函數的解析式,則

,

由可得,當時,函數取得最大值1.

19.【解析】角與角的終邊關于軸對稱,所以,

所以,;

.

20.【解析】.

21.【解析】.

22.3【解析】.

23.1【解析】

.,所以的最大值為1.

24.【解析】,可得,,

=.

25.【解析】

,則,又,

則,.

26.【解析】

因為為銳角,cos(=,sin(=,

sin2(cos2(,

所以sin(.

27.【解析】(1)因為,,所以.

因為,所以,

因此,.

(2)因為為銳角,所以.

又因為,所以,

因此.

因為,所以,

因此,.

28.【解析】(1)由角的終邊過點得,

所以.

(2)由角的終邊過點得,

由得.

由得,

所以或.

29.【解析】(Ⅰ)由,,

得.

(Ⅱ)由與得

所以的最小正周期是

由正弦函數的性質得

,

解得,

所以的單調遞增區間是().

30.【解析】(1),

;

(2)

.

31.【解析】(1)因為是奇函數,而為偶函數,所以為奇函數,又得.

所以=由,得,即

(2)由(1)得:因為,得

又,所以

因此

32.【解析】(1)

(2)

所以,

因此=

33.【解析】:(1)

所以,最小正周期

當(),即()時,.

(2)因為,所以,

因為,所以,

所以,即.

34.【解析】(1).

(2)

第2篇：離散數學答案范文

中圖分類號：G420文獻標識碼：A文章編號：1674-4853（2013）03-0104-05

計算機理論教學的內容偏重基礎性、理論性知識，不同于許多計算機課程的實用性，學生認為該課程對專業的學習無用，且又難學，影響了積極性。例如離散數學的內容廣泛知識點還比較分散，包括多個有一定關聯的分支，學生在學習時疲于應付各種概念定義，難以消化理解，更難以自學和提高。

其實之所以被稱為計算機專業基礎課，是因為離散數學在數據結構與算法分析、操作系統、數據庫、網絡與分布式計算、計算機圖形學、人工智能自動機、人機交互等許許多多的方面都得到了廣泛的應用。[1]這更要求學生學好它為后續學習打好基礎，所以需要針對離散數學的特性進行分析，然后在教學內容和模式上依據多年的教學經驗進行教學改革，希望能夠使得同學更好得接受和掌握離散數學的思想和學習方法，提高教學效果。

一、離散數學的特點

“離散數學”是計算機相關專業的專業基礎課程，課程概念繁多、理論性強、抽象深奧，學生學習興趣不高、難以入門和鞏固，教學效果不很理想。所以在“離散數學”教學中重點應該是幫助學生完成“從理論到實際”的轉變，使學生逐步掌握理論過渡到應用的方法過程；培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力、歸納構造能力和實踐創新能力。在開始的概論里，可以用一首自編的詩來概括離散的特征：

數學當作語文念，定理定義隨處見；

傳統概念重新建，應用模型很關鍵。

以下具體分析離散數學的一些特點、難點。

（一）概念和定理多且前后銜接緊密

每章節的內容都是建立在全新的概念之上，然后推理演繹出新的概念和定理等，接著就是這些定義定理的直接應用。經常概念就是定理，或者性質，甚至概念就是運算法則，所以掌握、理解和運用這些概念和定理是學好這門課的關鍵。要特別注意概念之間的聯系，概念也要和定理、性質聯系起來理解，再結合各種題型和數學模型來記憶。

（二）方法性強

離散數學要求的抽象思維和構造能力較高。通過對它的學習，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象構造能力和形式化思維能力，從而今后在學習任何一門計算機科學的專業主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。離散數學的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。特殊的題型有特殊的對應方法模型，必須專門強化記憶。

（三）入門難，概念的前后關聯強

由于是全新的概念或定義，且本身又非常抽象，初學者往往不能在腦海中建立起它們與現實世界中客觀事物的聯系，初學者不容易進入學習狀態。因此一開始必須準確、全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。最好和已有的知識結構建立聯系，這樣才可能更好適應抽象的連綿不斷的概念，并為后續循序漸進的學習打下良好的基礎。例如，通過與學生已經熟練掌握的中學數學的比較來進一步分析離散數學的特點。其實中學學習的數學歸納法、排列組合就是典型的離散數學問題。然后進一步利用“面積證明勾股定理“的過程和“著色原理證明世界上任取6人必然有3人相互認識或者不認識“兩問題進行比較分析，它們共同點都是題目抽象且給出的條件少，通過巧妙借用構造特殊的圖形來完成證明；不同點是勾股定理證明是利用計算面積相等來完成，而后者是利用“著色模型“加上“鴿巢原理“再結合圖形空間結構關系來完成，總結出的區別是離散數學的問題一般和圖形的大小、長短、面積等數值無關，側重于考察問題關聯、變化、約束等內在邏輯關系。

（四）符號、圖形多

離散數學的經典內容包括命題邏輯、謂詞邏輯、集合、關系、代數系統、圖論等方面的基本知識。每章的概念、定理、證明、推導、解題等全部環節都需要用符號、中英文名詞術語等來表示，或者借助圖形來介紹說明。所以離散數學比其他課程要多花時間來記憶各種字符、符號、圖形，弄清楚其內在關系和演繹過程。例如集合、笛卡爾積、關系、關系閉包、等價關系、劃分等一系列的概念是一層層疊加起來的，后面的概念都是建立在前面概念基礎上的，必須弄清楚其來龍去脈，否則你直接說劃分是說不清楚的。當然借助對各種符號、圖形的理解也是有利于對概念的記憶。離散數學除了教給學生離散數學知識以外，更重要的是通過嚴格的訓練，逐步實現學生思維方式的數學化、符號化、計算機化。對于符號的掌握是非常重要的，因為全部的問題最后都是可以通過符號輸入指揮計算機來解決的。

（五）題型眾多且解題方法奇特

學數學就要做題目，學習不僅限于學習數學知識，更重要的還在于學習思維方法和解決問題的能力。數學的題目數量自然是非常多的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法，要善于總結和歸納，仔細體會題目類型和解題套路。例如在命題邏輯中判斷推理是否正確有真值表法、直接證法、間接證法或反證法等，需要多作練習，才可以較快地領悟其本質，能夠看出它所屬的類型及關聯的知識點，找到對應的模型，就不難選用正確的解決方法。例如前綴碼問題對應的就是最優樹模型，通過不斷積累模型來擴展解題思路。同時在記憶模型的基礎上通過相應的思維訓練提高思維變通性，進而提高解決問題的能力。

（六）章節內容差異大且解題思路難尋

集合、關系、邏輯、圖論和代數系統各章節自成體系，各部分內容差異很大，從概念到定理到解題方法大不相同。特別是離散數學證明題的方法性是很強的，如果知道一道題屬于哪個章節，該用什么知識點和方法，那離答案就不遠了。因此在平時的學習中，要勤于思考，善于總結，在離散數學學習的過程里對概念的理解是重中之重。當題目很抽象，不能夠很明確找到對應概念的時候，一些常規的解題思路也是需要強化給學生的，下面介紹幾種方法。

1.嘗試法。這是被運用比較廣泛的啟發法，使用所有你想到的操作手法，嘗試著看看能不能得到有用的結論或者邊界點、特例等，盡量離答案近一點，通過窮舉各種允許或不允許的可能性來尋找那些關鍵的性質。窮舉法也是本辦法的一個特例，窮舉法不一定就是最笨的辦法。

2.結論分析法。結論往往蘊含著豐富的條件，譬如對什么樣的解才是滿足題意的解的約束。借助結論中蘊含的內容，可以為題目提供更多信息量和縮小思考范圍。

3.縮放條件法（如刪除、增加、改變條件）。有時候通過調整題目的條件，我們往往迅速能夠發現條件和結論之間是如何聯系的。通過扭曲問題的內部結構，我們能發現原本結構里面重要的東西。

4.抽象具體法。求解一個抽象的題目先解決一個類似的具體題目，或者由具體到抽象。將問題泛化，并求解這個泛化后的問題。類似的題目也許有類似的結構，類似的性質，類似的解決方案。通過考察或回憶一個類似的題目是如何解決的，也許就能夠借用一些重要的點子。

5.對立面法或反證法。實在沒有辦法了，還可以列出所有可能跟問題有關的概念、定理或性質，來尋找和題目的聯系，發現思路，這是一種經常被使用的方法。

通過以上五個方面的特點分析和一些經驗對策的介紹，已經可以說明離散數學的教學難點和需要改進加強的環節。在教學中還可以進一步總結突出離散數學，其可以被看作是數學的前傳、是符號的語言，與一般的數學學習方法大不相同。

二、教學內容改革和模式變化

離散數學的教學目標重點是為進一步學習其他計算機課程打基礎，培養學生計算機模式的思維推理能力，提高學生利用數學知識和模型解決實際問題的能力。所有這些需要優化理論教學，重視實踐性教學環節，強調培養學生養成形式化思維和解決問題能力，使得學生在學習其他計算機應用課程時，遇上困難知道如何去理解問題、歸納推理、尋求解決方法。要以教師為主導來組織、引導學生的學習，特別是培養學生的學習興趣和自主學習能力。所以教學內容應該更豐富、媒體形式更多樣、手段更科學、理念更先進，模式更新穎。例如網絡教學、多媒體教學、啟發式教學、發現式教學、案例教學、游戲式教學等。

要達到上述要求，就需要拓展教學內容和空間，加強與后續專業課程的聯系與銜接。多結合實踐案例和游戲模型來提高興趣，多留些趣味、應用型的思考題，“積小錯為大錯、以游戲換經驗”，因為游戲多是有數學模型的，通過思考題來發現問題，積累分析解題的經驗，此外還需要突出重點，強調特點。由于補充了大量課外內容，所以在教學課時不夠的情況下可以舍棄一些次要內容以保障重點內容的教學質量，并且對簡單點的內容安排自學不做重點考核，這樣也可以提高自主學習能力。

（一）教學內容的組織和更新

離散數學教學內容比較“散”，而且難。講課時盡可能結合一些實際問題，特別是與計算機有關的問題，突出重點，強調前后聯系和概念關聯性。這樣既提高了學生的學習興趣，又使得學生更好地體會離散數學對研究計算機科學的重要性。例如圖論和集合論為數據結構和數據表示理論奠定了數學基礎，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的重要方法。在講解圖論中通路與回路概念時，給出它們在研究操作系統是否存在死鎖，自動機的初始狀態和結束狀態是否可達，程序設計語言中一個過程是否遞歸等方面的應用。數理邏輯是研究推理的學科，在人工智能、數據庫理論等的研究中有著重要的應用。激發學生學習的積極性，進一步加強學生理論聯系實際的能力。

在組織教學內容時注重離散數學與前后的計算機課程結合。即在課堂講解時，盡可能多地介紹離散數學與相關課程的銜接，讓學生清楚地認識到離散數學不是一門普通的公共數學課。例如，在數理邏輯部分講解命題聯結詞時，考慮到學生在先修課數字邏輯中動手設計過邏輯電路圖，以此為切入點進行類比講解。在集合論部分講解二元關系時，以后續選修課數字圖像處理中的二維直方圖為例進行講解。在圖論部分講解最小生成樹、最短路徑時，講清該知識點與后續必修課數據結構中相關知識點的關聯性。還可以介紹學科前沿的最新動態，直接體會課程的“實用性”，激發科研熱情、提高自主學習的興趣。

教學內容革新方面特別要注重與實際應用或可動手操作的相關實例的結合。包括各種游戲、案例、實際應用等，可以作為介紹概念時的引例或參照物，也可以作為課后趣味題、應用題、拓展題。還可以穿插結合心理學、人生觀、價值觀、挫折教育等方面的生活勵志故事，拓展教學內容和教學思路，開拓學生視野，增強他們理解、推理能力和參與社會實踐能力。同時考慮到學生基礎、學時限制等，適當降低傳統理論教學內容的難度，側重于基本概念、原理的應用。為保持課程教學體系的完整性，偏難的理論性內容選講、少講或簡單介紹，適當增加與計算機應用密切相關的實踐上機學時，對學生較感興趣或應用性較強的內容增設課外實踐環節，以興趣小組的形式延續課堂教學內容。（見表1）

（二）教學模式的選擇

教學模式是教學活動的基本結構，科學合理地選擇教學模式有助于優化教學過程、提高教學質量，常常能起到事半功倍的教學效果。

范例教學模式是指遵循人的認知規律，從個別到一般、從具體到抽象，從范例分析入手，逐步提煉、歸納和總結。例如通過幾個有趣的例子分別展示課程的4大模塊，即以“理發師悖論”為例引導出集合論模塊；以“警察斷案”為例引導出數理邏輯模塊；以“七橋問題”為例引導出圖論模塊；以“布爾邏輯電路”為例引導出代數系統模塊。但是僅僅請學生根據常識知識給出答案還不夠，還要通過這些例子生動地介紹離散數學的實際應用，激發學生學習興趣，然后才引出主題。并且在后續講解中保持類似的教學模式，利用上表里列舉的各種游戲、案例、實際應用、趣味數學和編程題目來講述一些知識難點，避免了一般理論性介紹的枯燥，能充分調動學生的學習積極性。

1.啟發式模式。以問題解決為中心，設定情境、提出問題，然后組織學生猜想或做出假設性的解釋，進而驗證并總結規律。例如，以“一筆畫”為出發點，啟發學生思考其特點，進一步總結出歐拉圖的定義和性質；在代數系統部分，以小學的加減乘除法為出發點，啟發學生思考這些運算的異同，從而引申出代數系統的一般性基本概念；以“九連環”游戲的重復操作過程來比擬對二叉樹的遍歷等等。用一個具體可見的模型或者問題來說明抽象復雜的新概念，這樣學生易于接受，并且不會因為一下子迷惑而產生抵觸情緒。

2.上機實踐模式。拓展編程，提高設計實踐能力和興趣。例如編寫程序對集合進行定義和操作，求兩個集合的交集，或求兩個集合的笛卡爾乘積；“八皇后”問題的程序設計，或者用做好的“八皇后”程序來分析其內部數據結構和算法；結合參加數學建?；駻CM競賽，這樣同學們就更重視了。

還可以演示某些手機在拍照的同時將GPS信息記錄的過程，通過這個過程來介紹數字水印、MD5、GPS和電子證據等計算機相關理論知識。然后利用計算機、數碼相機以及相關軟件進行模擬實驗驗證該過程。并且通過實驗課讓學生動手來制作數碼照片的數字水印、計算MD5值，利用數字隱藏軟件在數碼照片里隱藏數字信息。這一系列實驗即結合應用了信息安全技術，又增加了對電子證據證明力的理解。這樣的教學實驗過程簡單易懂又靈活多變，最主要是通過簡單的操作卻能夠馬上看見復雜的操作結果，又能夠幫助理解抽象的理論知識。這樣的的教學手段更能夠激發學生的學習熱情，進而增強學生解決實際問題的能力。

3.換位教學模式，可以讓學生備課、講課和點評，產生新鮮感和責任感，體會老師工作辛勞。通過換位可以站在對方的角度思考，體驗對方的想法，產生互動、共鳴。學生參與備課，在查閱材料的過程中去理解、深化內涵，拓寬外延，體驗“再發現”過程；分組備課、制作課件、講課，鼓勵各種新想法及創意，培養學生動手能力和團隊協作精神；同學間的補充、點評和考核，讓學生在實踐中吸取經驗教訓，更容易發現自己平時易忽視易錯的知識點；老師也可以站在學生的角度思考如何講解讓學生更容易接受，最后通過點評和總結起到畫龍點睛的作用。另外給敢于表現的學生加分鼓勵，因為“十次說教不如一次表揚，十次表揚不如一次成功?！睂@種形式的換位，可以加深學生對所學知識的理解，而且可以激發學生的學習興趣，更能培養和鍛煉學生的獨立思考能力、語言表達能力，成為學習的主人。營造一種人人參與的氛圍，還能活躍課堂氣氛、拉近老師和學生的距離，有利于培養學生綜合運用知識和解決問題的能力。

構建多維、多層、多方位教學手段，將課堂講授、專題討論、上機實習、課外自學等有機結合，鼓勵學生真正成為學習的主體。同時，打破一考定勝負的傳統考核機制，綜合考察學生在各種教學形式中的表現，課程考核采用總成績=筆試（50%）+平時成績（20%）+上機實踐（20%）+創新能力（10%）的形式，打造多維教學模式和評價體系。

三、總結

計算機科學的理論教學抽象程度高，需要進一步探索課程的教學改革，合理組織教學內容、有效選擇教學模式、高效運用教學手段、適當增加實踐環節，達到滿意的教學效果。以提高學生自主學習的興趣、培養學生自主學習的能力為突破口，進行教學革新，對學生后續課程的學習具有較強的現實意義。

另外，也要提高對教師的要求，教師不僅要有較深厚的計算機專業理論基礎，能把離散數學等基礎專業理論課程和其他課程結合，合縱連橫，講深講透，還要精心準備、收集選擇好的教學案例和素材，結合合適的教學方法和教學規律，有針對性選用啟發式教學方式。我院計算機專業自實施離散數學教學改革以來，以培養學生實踐動手能力和抽象思維推理能力為目標，教學內容的更新和多種教學模式激發了學生的學習熱情，增強了學生學習的主動性和解決實際問題的能力。

第3篇：離散數學答案范文

關鍵詞：課程；課程群；課程群建設

精品課程建設項目是高等教育質量工程的主要組成部分。德州學院從2003年啟動精品課程建設工作以來，先后建成23門省級精品課程、160多門校級精品課程，在課程建設上取得了長足的進步，學校的教學質量也有了更進一步的發展。由“離散數學”、“數據結構”、“數學建模”和“復變函數論”組成的信息與計算科學專業基礎平臺課課程群，經過幾年的建設取得了明顯的教學效果，于2012年被評為省級精品課程。由其組建的信息與計算科學教學團隊被評為省級教學團隊，促進了教學質量的提高和特色專業的建設。

1. 課程群建設的內涵

關于課程群的建設，目前學術界有多種論述，歸納起來不外乎兩種情況：一是基于學科劃分的課程群；再就是突破學科限制的課程群。但兩者有一個共同的特點，就是同一課程群的課程之間內容必須密切相關。我們認為，課程群就是內容緊密聯系、內在邏輯性強、屬于同一培養能力范疇的課程的有機整體，可以是同一學科的，也可以是不同學科的。

專業知識結構可分為五個層次：知識點、知識單元、課程、課程群、專業教學計劃，由此可見，課程群建設是專業建設的子集，是課程建設的超集，它打破了課程內容的歸屬性，從培養目標層次把握課程內容的分配、實施和技能的實現等。研究課程群建設，更易于專業教學計劃的實施，更易于培養目標的實現。

課程群建設把傳統的教學組織的兩層架構進化為三層架構，使技能要求獨立于課程，形成目標明確的課程群層次，嵌在課程和培養方案之間。由課程群承載技能培養目標，協調課程之間的關系，使目標明確。課程群建設弱化了課程的獨立性，強化了課程之間的親和性，凸顯它們為確定的共同培養目標的服務特征，突出各課程所蘊含的技能定位，把圍繞一個技能培養目標的、含有若干課程中的技能點抽象出來，在一個更高層次上連貫起來，使該技能的培養隨課程教學的推進而不斷遞進、加深和拓展，逐步實現與培養目標的重合。

一個課程群一般要由3門以上的課程組成，各課程教學內容具有不可重復性，同時知識點之間存在相對獨立和離散性，知識點之間關系親和，教學實踐環節或技能培養環節是連貫、遞進的。課程群的建設要符合在組織、內容、結構等方面的教學規約，具有顯著的技能屬性，教學目的性更明確，培養方向性更突出，技能培養的過程連續并不斷加深，外延不斷拓寬，課程的開放性更友好。課程群注重技能培養，弱化課程個性概念，強化課程內容之間的融合、交叉和關聯。

2. 課程群建設的目的與原則

對于信息與計算科學專業基礎平臺課課程群建設，我們認為必須涵蓋普通高等院校人才培養所必需的基礎理論、專業基礎理論、專業基本技能和專業核心技能的精華。在此基礎上，信息與計算科學專業基礎平臺課課程群建設首先要有助于專業培養目標的定位和培養目標的實現。確立信息與計算科學專業基礎平臺課課程群，以集中人力、物力來加強課程的研究和建設，從而加速專業素養和專業技能的培養，提高教學質量，取得重點突破的效果。這是課程群建設的目的所在。

課程群建設，要堅持五個“有利”的原則。一要有利于專業教學計劃的組織和實施；二要有利于深化教學改革、整合教學內容、提高教學質量；三要有利于教材建設和其他教學資源建設；四要有利于學生綜合素質和實踐技能的培養；五要有利于學生的就業。

3. 信息與計算科學專業基礎平臺課課程群的建設

（1）專業基礎平臺課課程群的構建。信息與計算科學專業基礎平臺課課程群建設應側重于“理論與實踐并重”的要求，問題的分析與計算模型的設計。而“離散數學”、“數據結構”、“數學建模”、“復變函數論”等屬于理論與實踐并重、計算模型設計類的專業基礎平臺課?！半x散數學”是以研究離散量的結構及相互關系為主要目標，充分描述了計算機科學離散性的特點。通過該課程的學習，訓練學生具有嚴密的思維方法，嚴格證明的推理能力，應用自如的解題技巧，以及訓練有素的演算能力，使學生能掌握處理各種離散結構事物的描述工具與方法，為后續課程“數據結構”、“復變函數論”、“數學建模”的學習奠定了良好的基礎。數據結構主要研究數據的各種組織形式以及建立在這些結構之上的各種運算的實現，為計算機語言進行程序設計提供方法性的理論指導。通過該課程的學習，培養學生對算法的計算復雜性進行正確分析的能力，為“數學建?！焙汀皬妥兒瘮嫡摗敝械木幊探鉀Q實際打下堅實的基礎。復變函數論（雙語）主要研究解析函數。通過該課程的學習，培養學生的邏輯思維能力和抽象思維能力，同時提高學生編程解決實際問題的能力?！皬妥兒瘮嫡摗闭n程中的應用部分，要用到數學建模的思想、技術以及數據結構算法的思想，并且通過該課程的雙語教學，可以提高學生的英語表達能力和英語寫作能力，為學生參加美國大學生數學建模奠定良好的外語基礎。數學建模是一門理論與實踐相結合的課程，主要講述建模方法、運籌學模型、微分方程模型、統計分析、插值與擬合、預測與評價等理論內容，以及用MATLAB、SPSS等數學軟件編程求解各種數學模型的實踐教學內容。數學建模作為聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學理論知識和應用能力共同提高的最佳結合點。數學建模的思想也融入了其他3門課程的教學中。通過該課程的學習，培養學生學會運用數學方法建立數學模型，并應用數學軟件解決實際問題。由此可見，離散數學、數據結構、數學建模和復變函數論4門課程具有強相關性，將其組合在一起共同建設，對于學生形成合理的知識結構、促進知識的交融、利用所學知識解決實際問題有著重要的作用。

（2）專業基礎平臺課課程群教學團隊建設。加強精品課程建設是提高高等教育教學質量的根本措施。要建好精品課程，最關鍵的是教學團隊建設。由離散數學、數據結構、數學建模和復變函數論4門課程的骨干教師組成的教學團隊由16人組成，其中教授4人，副教授8人，具有博士學位的教師4人，具有學科交叉背景的教師4人，2人為校級教學名師，1人為校級學術骨干。團隊中教學名師和學術骨干分別來自不同的著名高校，具有先進的教育理念、活躍的學術思想、強烈的開放意識、嚴謹求實的優良學風和突出的質量意識。由于對課程群建設的重視，經過多年的建設，已形成了一支學術思想活躍、教學科研緊密結合、學術嚴謹、老中青結合的教學團隊。這也是我校教學團隊建設的基本特色和基本經驗。

（3）教學內容和教材的整合與優化。由于信息與計算科學專業基礎平臺課課程群中各門課程之間存在門數多、學時多、相互之間內容重復、實踐環節薄弱等不足，我們重新修訂完善了教學大綱，制定了新的教學計劃。對不同課程之間內容重復或交叉的部分進行了有機的整合，更好地體現了“專業性”和“基礎性”；對各門課程的理論課時數和實驗課時數進行了調整，使之更合理；設計了體現課程間關聯的綜合性和設計性實驗，力求理論與實踐的緊密結合，突出了學生實踐技能的培養；在內容安排上，力求符合學生的認知規律，優化知識結構，突出專業培養特色。

該課程群中的每一門課都有完整的、較好體現培養目標和教學大綱要求的教材，對教學內容進行了整合和優化，加強了實踐教學環節，并且都配有實驗指導、多媒體課件、習題答案等，符合立體化教材建設的要求，更好地體現了課程群建設的思想，突出了課程之間的聯系和融合，突出了學生綜合利用所學知識解決實際問題能力的培養。

（4）教學模式和教學方法改革。在教學中，采用“三結合、四訓練、五注重”的教學模式和雙主線的教學設計、三層階梯式的教學架構、四級實踐教學體系。三結合是指“教學內容與上機實驗相結合”，“課堂教學中理論與實例相結合”，“課程設計與創新能力培養相結合”。四訓練是指基礎訓練、技能訓練、綜合訓練和開發訓練。五注重是指在教學中，注重通過情景創設激發學生的求知欲，注重通過問題質疑培養學生發現問題的能力，注重通過探索導引培養學生解決問題的能力，注重通過項目合作培養學生的合作意識，注重通過問題擴展培養學生的創新意識和自學能力。雙主線的教學設計是指，第一條主線就是教學過程中貫穿從簡單到復雜的認識過程，第二條主線是教學過程中貫穿解決實際問題能力的培養。三層教學架構是指在教學過程中引入創新思維，對課程的教學內容、教學模式和教學手段三個方面進行了相應的研究與設計。四級實踐教學體系是指采用興趣與項目雙驅動的實踐教學模式，強化實踐能力和創新精神培養，通過實驗強化基礎理論、課程設計鍛煉基本開發能力、創新大賽激發實踐熱情、學生科技創新項目與教師實際科研項目雙重交叉實訓等培養解決實際問題的應用能力。

在教學方法方面，我們主要采取了“啟發式”、“雙向互動式”、“研討式”等教學方法。①啟發式教學法：堅持以學生為主體，教師為主導的原則，以啟發式教學理論為導向，構建以準備、誘發、釋疑、轉化、應用為基本要素的傳動結構的教學模式。在課堂教學中，教師通過精心設計的問題進行誘發導引，并結合課堂練習精講啟發，及時總結學生討論交流結果，針對學生普遍存在的疑難問題進行講解，突破教學難點，將知識遷移轉化為學生能力，從而讓學生掌握解決實際問題的技能技巧，進而實現備教材、備教法、備學生的三結合。②雙向互動式教學法：教學中既要注重教師的教又要注重學生的學，采取合作互動的方法，即在老師的指導下，讓學生自己學會提出問題、分析問題、解決問題，充分發揮學生的積極性。變以“教師為主”的教學方式為以“學生為中心”的教學模式。③研討式教學法：首先教師精心設計問題，然后學生按教師傳授的方法進行獨立探索，并展開交流討論，最后由教師進行歸納總結和講評。這種教學模式突出了學生在學習過程中的主體地位，能夠充分調動學生的學習積極性和創造性，有利于培養學生的綜合能力，提高學生的綜合素質。

（5）課程網站建設。課程網站資源建設是課程教學改革中最重要的“物”的因素，是實現現代教育思想與理念、推行現代教學模式與方法、革新教學內容的有力載體和工具。我們開發了各門課程的課程網站，網站資源豐富，實現了在線學習、在線交流等多種功能，為教師和學生的交流和學習提供了良好平臺。

4. 信息與計算科學專業基礎平臺課課程群建設取得的成效

通過課程整合優化，密切了不同課程之間的聯系，增強了不同專業和不同課程之間的相互交融，減少了課程之間的相互重疊，增加了實踐環節的課時。由于各課程之間內容不再重復，知識具有遞增性，理論教學與實踐教學課時分配更趨合理，綜合性設計實驗密切了課程之間的聯系，應用技能為主的思想得到更好的體現，因而促進了課程體系的整體優化和協調發展。

課程群中的課程都開設了不同層次的實驗項目，以強化學生實踐能力的培養。通過基礎實驗鞏固學生所學課程的理論、方法和基本技能；通過綜合實驗，培養學生的創新意識及探索技能；通過開展課程設計，培養學生解決實際問題的實踐能力；通過組織學生參加全國大學生數學建模等科技競賽活動，進一步培養學生通過分析問題來建立數學建模、編程實現解決實際問題的能力。

通過對課程的整合優化，更加明確專業發展方向，并在不同課程群的建設中實現分類施教、差異培養的人才培養目標。學生在學習過程中，積極性、主動性增強了，興趣更加濃厚，同時對企業和社會的適應能力更強，系統觀念、整體觀念和分析能力都得到較好的培養，并且對自身的認識和發展方向更加明確。對教師來說，教學改革積極性空前高漲，多門課程之間甚至跨學科之間的交流和研討進一步加強，教師在教學、研究、技術開發等多個領域打開了更多的空間與通道。通過課程整合優化，形成了獨特的專業優勢。

實踐證明，信息與計算科學專業基礎平臺課課程群的建設取得了較好的教學效果，對于其他課程群的建設有很好的借鑒和示范作用。

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第4篇：離散數學答案范文

當下中國談論最多的話題是“改革與轉型”，經濟發展方式轉型、社會變革轉型，等等，隨著國家開放大學的成立，電大發展關注的焦點也集中到了轉型?？墒牵姶筠D向哪里，是轉向開放大學嗎？然而，開放大學到底是一種什么樣的新型大學，我們似乎還并不很清楚。國家開放大學嚴冰副校長在很多場合都提到“廣播電視大學系統轉型”的問題，就是說，電大轉型不是從一所大學轉向另外一所大學，而是指電大發展進入了一個新的階段，將面臨許多新的機會和挑戰，包括電大教育服務對象的新特點，社會對高等教育需求的多樣性、多層性、公平性等，建立在廣播電視大學系統基礎之上的開放大學，應該以一種更為科學的發展方式應對新的教育形勢，即電大轉型是一種發展方式的變化，是教育教學模式的深度改革。那么，電大教育環境到底發生了什么變化?改革開放30多年，我國高等教育發展與經濟社會發展相適應，明顯地表現出階段性。從改革開放初期的精英高等教育，到1998年高校擴招從而開啟高等教育大眾化，2012年中國高等教育毛入學率達到30%，教育部提出的目標是2020年達到40%。國際上通常認為，15%~50%為高等教育大眾化階段，50%以上為高等教育普及化階段。由此可以看出，我國高等教育目前正處在大眾化階段的中后期。此階段的中國高等教育，其發展速度明顯要慢下來，普通高等院校的擴招能力和教育水平受到相應制約，再加上社會對擴招后高等教育質量的質疑，普通高等教育勢必從規模擴張回歸到質量提升上來，走內涵發展之路?；剡^頭來看電大，電大從一開始就表現出明顯的政策依賴性和對普通高等教育的補充性、輔，進而表現出明顯的階段性。電大從對精英教育的補償階段到對大眾高等教育的補充助力階段，這段時期電大教育的服務對象主要是在職成人，所以電大教育在我國高等教育體系中一直定位于成人高等教育，主要任務是對在職成人高等教育學歷的補償與提升，“在職成人”也因此成為電大教育的標識。然而，隨著普通高等教育進入大眾化階段，經濟社會發展的轉型升級，普通高中升學率大幅提升，社會對高等教育的需求日趨多元化、多層化、公平化，電大教育的受眾主體——在職成人的年齡結構、從業結構、崗位結構等都發生了很大變化。年齡主要集中于18~25歲，從業領域集中于第三產業，學習者從業崗位以普通工作人員為主。相關研究還表明，電大學習者的學習動因不僅僅是學歷提升，首要目的是提升職場適應能力和發展能力，從而更好地就業和謀生。在這種教育環境下，電大教育必須重新思考其價值取向，重新定位，電大系統轉型應該從政策依賴型轉向用戶依存型。用戶依存型與政策依賴型的主要區別在于發展方式的變化。一是電大教育要走向市場，不再是普通高校教育的同質化追隨；二是電大教育要主動適應學習者，而不是讓學習者適應電大；三是電大教育要把平民確定為服務對象，依據平民的學習需要以及學習狀態構建相應的教學模式，把平民生存與發展狀態的優化作為價值取向和質量評價標準。電大教育的中心工作依然是教學，30多年的電大教育實踐表明：“面授+網絡”的混合教學模式得到較廣泛的認可。這種教學模式的核心在于兩個課堂，一是基于實體學校的“在校課堂”；二是基于網絡環境的“在線課堂”。至于這兩個課堂如何混搭，誰多一些誰少一些，要視客觀條件、課程性質與內容、學習目標與要求而定，不能一刀切。對此需要重點探討的是：這兩種課堂如何構建以及怎樣組織實施才是最有效的。在我們看來，這是長期困擾電大教育的瓶頸問題，同時也是事關電大教育或者說是開放教育核心競爭力的問題。

二、基于知識理解的開放教育“在校課堂”

“在校課堂”即是以組班形式由主講教師在課堂授課教學。凡是學校都有在校課堂，問題是遠程開放教育需不需要在校課堂？這個看似不是問題的問題在電大系統中曾引起不少的爭論。理由是：電大實施的是現代遠程開放教育，遠程教育提倡的是自主學習、網上學習，因此不應該有傳統的面授課堂。筆者認為這是對“自主學習”極大的誤解。我們的實踐表明：“自主學習應該是主動而有主見的學習，包括自主選擇、自主識別、自主控制以及自我培養的學習。”電大進入用戶依存型發展階段，不能還像政策依賴型階段那樣，習慣于設計一些標準讓學習者去達成、去適應，適應了就是遠程教育，不適應就不是，而不考慮學習者的需求與選擇。這有悖于自主學習的邏輯，也不符合開放教育宗旨。當然，電大系統現在已經達成了一致共識：電大的面授輔導課堂是必要的，各級電大應重視面授輔導教學。接下來的問題是，開放教育應提供什么樣的面授輔導或者說是“在校課堂”？要回答這個問題，我們先來看看開放教育學習者與輔導教師對“在校課堂”的期望。有學者對開放教育教學模式調查分析后發現：“學生認為，能夠理解知識是最大的幫助，其次是自主學習能力，教師的主要作用是輔導講授課程知識，其次是學習方法傳授。教師認為，學生的自主學習能力很重要，提供好的學習方法是教師授課的主要作用，其次是知識的講解。”這說明學生更想通過學習掌握知識，教師更想通過教學提高學生的學習能力。學生和教師的認識都沒有錯，但存在偏差，無視這種偏差的存在自然就會影響課堂教學的效果。現代教育理念是以學生為中心，教學原則是因材施教，這里的“材”我們認為應包括兩個方面，一是學生的“材質”，也就是學生的學習水平；二是教學用的“教材”，也就是教學內容。如果教師通過課堂教學，既能提高學生的學習能力，又能使學生更好地掌握知識，那當然是最好的；如果在有限的課堂教學中不能同時很好地實現兩者的訴求，作為教師應首先盡最大努力滿足學生的知識理解訴求，唯有如此，課堂教學才是最有效的。事實上，依筆者從事電大課程教學20多年的經歷，也確實體驗到電大課堂教學經常面對的兩難選擇，不得不舍其后者而保全前者，這是電大課堂教學的特點使然。廣州電大在2013年針對來自企業的電大學生做過一次“你要求電大為你做什么？”的項目調查。調查結果顯示：排在首位的是“學習時間方便”；其次是“課程教學有針對性、效果好、好過關”；再次是“教學支持一站式服務”；最后才是“學費可分期、可融資、可減免”。根據以上分析，結合電大“五統一”的教學制度設計，我們有充分理由認為：基于知識理解的教師主講模式是開放教育“在校課堂”的有效模式?；谥R理解的教師主講課堂，與普通大學課堂相比有其自身突出的特點，其核心在于教師的教。教師要準確把握好課程內容要點，以學習知識為中心，運用通俗易懂的方式，輔以直觀實用的多媒體技術，高效達成學生理解知識、掌握知識，進而實現考試過關目標。簡單地說，電大教師要具備讓學生聽得懂的能力，能夠降低學生的“學習痛苦”，作好學生的“知識廚師”，把不好吃但有營養的東西，變為既有營養又好吃的東西。教師要做到這些，不僅需要具備寬厚的專業素養，還要有較深厚的教育教學理論基礎，更要具備高效駕馭課堂教學的手段、方法及藝術。這些能力的具備因人而異，很難統一標準。根據筆者從事電大“離散數學”課程教學10多年的經驗，以下課堂教學規劃及講授方法，相對而言，較切合電大的課堂實際。

1.課堂教學設計的“情景規劃法”任何一堂課，講什么，怎么講，教師事先都得規劃，即備課。現代企業管理領域有一種新型的戰略規劃方法：“通過分析新生事物的驅動力與限制因素，找出其中關鍵的不確定因素，開發出可能出現的若干情景，從而更好地應對潛在的挑戰。”這就是“情景規劃法”。其要點是把自己的戰略放到不同情景中進行測試或推演，繼而優化、改進其戰略選擇。電大的“在校課堂”，學生來校聽課的驅動力是什么？是對課程知識的理解；限制因素是什么？業余學習，到校上課時間很寶貴；關鍵不確定因素是什么？擔心課程考試不過關。那么，我們的戰略選擇是什么？以“離散數學”課堂教學為例，筆者經過測試與實踐得出“二八選擇”課堂教學策略，即“花100%的精力，只講80%的重點知識，達到80%的理解程度，得到64分的考試效果；而不是花100%的精力，講授100%的全方位知識，只達到60%的理解水平，得到60分的考試效果。”比如，“離散數學”是計算機本科專業必修統考課程，4學分，正常課堂教學應為72學時，筆者經測試與實踐，只用25學時即可達到預期教學目標，學生到課率達90%以上，統考合格率達90%以上。

2.“以教導學”的講授法如果把教學過程分為教的過程、學的過程以及教學交互的過程，那么，“以教導學”突出的是教的過程。在教的過程中，教師是教學活動的組織者、領導者和引導者，學生按照教師安排的教學進度進行學習，接受教師施教的內容和方法，慢慢地由被動適應轉變為主動參與。“以教導學”的課堂，教師是主體，強調對知識的認知過程，進而達到對知識的理解和掌握。依筆者的教學經驗，教師在講授過程中，以認知主義與構建主義教學理論為指導，把握以下原則是有效的：一是“講史求源”。即講知識的背景及問題是如何提出的，講知識的演變史及問題的形成過程。知道來自何處，才能明確走向何方。二是“以簡御繁”。任何知識的形成都是由簡單到復雜的過程，把簡單的、基本的知識構成要素講清講透，讓學生了解知識的重點和局限，主題少一點，學生會學得多一點。三是“情景合一”。把學生生活經歷與所學內容聯系起來，設計多種情景，從不同情景、案例中尋找同一論題的證據和論證。比如“離散數學”課程，學生網上評教最多的評述有：“很喜歡您講的課”、“學了這么多年的數學，現在第一次對數學有點認識，您的講解生動而容易理解，現在我覺得數學并不難學了”、“現在數學課的課堂氣氛很好，學了不少有趣的知識”、“鄒老師激起了大家學習特別是數學的興趣”，等等。從學生這些評述中可以看出，“離散數學”以教導學的教學效果是好的、成功的。

三、基于知識點的開放教育“在線課堂”

隨著信息技術和互聯網技術尤其是移動互聯網技術的發展，教育與信息技術的高度融合，僅從教育的任務和類別來講，把電大教育統歸于開放教育，甚至把電大就叫“開放大學”可能更合時宜些。當然，筆者在此無意探討電大的稱謂問題，作為電大教育工作者，更關注的是電大教育或者說開放教育的“遠程、網絡、在線”課堂到底是怎樣的？為敘述方便，在此把這些課堂統稱為開放教育“在線課堂”。

1.什么是“在線課堂”要回答這個問題，需要先明確“在線課堂”的作用是什么。一般來說，“在線課堂”首先應該有教師的教，比如說課程視頻；其次應能滿足學生在線個性化的學；最后應能實現教學的交互。所以可以這樣說：“在線課堂”就是學生在線接受教師的講解，通過自己的消化、理解、練習，實現對課程知識、技能的掌握的個性化學習過程。與“在校課堂”強調課堂里的教不同，“在線課堂”突出的是學的過程。因此，只要能實現學生個性化學習的在線課程都可認為存在“在線課堂”或者說就是“在線課堂”。比如說，國家開放大學的“電大在線”平臺課程、網絡課程、MOOCs、視頻公開課、微課……我們自然會問，既然擁有這么多種類的“在線課堂”，有沒有一個可供推廣應用的有效范式？答案是“困惑！”。國家開放大學的“電大在線”平臺，從開通運行到現在已有10多年了，課程資源十分豐富，可使用效果還不夠理想。問題主要有兩個：一是課程模式“一頭熱”。單純地把線下學習的教學文件、教材等文本資源，錄像、錄音等音像資源搬上網，沒有合理的組織和引導，對所有學習者進行的是毫無自主選擇的、無差異性的單向填鴨式教學。二是教學過程“想當然”。習慣于居高臨下、命令式地要求學習者，“你要去看、你要去學、你要去練、你要去測、你要去互動……”師生多數時候都處于被動應對狀態。2003~2010年間，國家投入大量人力物力建設了4000門國家精品課程，有學者通過對其中3582門本科類、高職高專類課程的調查發現：國家精品課程的能訪問率不高、視頻資源質量欠缺。

2、用戶需要什么樣的“在線課堂”如上所述，開放教育“在線課堂”應該說已經豐富多彩了，但教學效果卻并不理想。究其原因，可以羅列很多，筆者認為，主要原因在于教育提供方的思維模式跟不上信息時代要求，我們總是習慣于“高大上”“短平快”“自上而下”的中國特色思維模式，缺乏“市場化”“用戶體驗”“自下而上”的互聯網思維。當今社會進入了信息化互聯網時代，互聯網帶來的不僅僅是信息獲取的方便、快捷，更帶來了人們思維方式、行為方式、學習方式以及生活方式的巨大變化?；ヂ摼W思維有以下一些基本特征：一是關注用戶體驗并持續改善；二是能把一個很貴的東西做得很便宜，一個收費的東西做成免費，一個很難用的東西變得非常簡單；三是勇于自我否定，敢于放棄一些既得利益；四是能夠網聚人的能力，整合資源，實現資源利用的最大化?，F今大學生已是離開網絡就無法生活和學習，我們的“在線課堂”，如果無視他們的體驗、不尊重他們的思維方式、不適應他們的學習習慣，肯定會被他們“拍磚”的。因此，開放教育“在線課堂”的設計與建設必須建立在用戶體驗基礎上，按照互聯網思維模式，遵守以下三條基本原則。一是簡單方便原則。即在線課堂的組織結構清晰明了、教學布局簡單合理，學什么、練什么、測什么、拓展什么，依類分區，互不干擾。二是以學習為中心原則。即“在線課堂”的教學內容突出以學習為中心，各模塊功能是什么，要完成哪些學習任務，達到什么要求，等等都要有針對性的明確標識與引導，教學資源（包括視頻、音頻、文本）的選取以及知識點的確定要與學習者的駕駛能力相匹配，必須、夠用即可。尤為重要的是“視頻講解”或者說“視頻課堂”，其時長、語速、動畫、PPT等相關教學要素的使用，與在校課堂有很大的不同，值得研究。三是一站式服務原則。是指“在線課堂”的教學過程，包括教師的視頻講解、學生的作業訓練、師生之間的互動交流等，能在一個賬戶下直達目標，一站式完成。

3.一站式“在線課堂”案例“在線課堂”的建設與使用在開放教育中的地位和作用是不言自明的，各級電大為此付出的努力也是有目共睹的。教育部于2011年啟動建設精品視頻公開課，并在愛課程網、中國網絡電視臺、網易同步上線。至于社會上各類教育培訓機構試水在線教育更是風起云涌！形勢所迫也好，內在驅動也罷，總之，電大系統要實現向用戶依存轉型，形成鮮明的辦學特色，優化建設適合自身用戶需求的“在線課堂”是當務之急。廣州電大基于50多年的電大教育實踐經驗，結合當前電大發展特點，于2013年決定：依托校本部教育資源，依靠校內知名教育機構——廣州遠程教育中心的信息技術支撐，成立“廣州電大實驗學院”，開展新型產業工人培養和發展助力計劃，與行業、企業及工會系統等合作，面向企業職工開展學歷與非學歷繼續教育，服務企業轉型升級，助力職工成長發展，提升開放大學為企業職工終身學習提供教育培訓服務的辦學和教學能力。采用“全網絡在線學習”模式，開展現代遠程開放學歷教育，并已于2013年秋季啟動，首批招收學員1500多人。一年多的實踐表明：教學過程嚴謹、有序、順利；教學效果良好；得到學員、教師、學者、專家、領導的普遍認同和稱贊。筆者有幸參與其中，主持開發了“經濟數學12”課程的“在線課堂”建設與教學輔導，體會頗深，總結經驗，主要有三個方面：一是簡單明了的課堂教學結構設計。課堂整體劃分成三個區：一是中心主體“學習區”，分為“基礎學習（20分）”“難重點學習（80分）”“拓展學習（選修）”三個模塊；二是左側輔助“學習指引區”，主要包括課程簡介和學習工具項目；三是右側輔助“師生交互區”，主要包括教學答疑與在線輔導項目。學生進入課堂，學什么、學多少、做什么，一目了然。二是基于知識點的視頻講授。視頻講授是該課程的核心，是決定學習成效的關鍵，按教材章節編排順序，精心選取必須、夠用的知識點，依線性結構組織方式，視頻從“點”（知識點）開始講授，依次進入“面”（節），再到“塊”（章）。每個知識點配有“鞏固練習”，每個知識塊配有“模塊測試”，與平時線下學習習慣一致。全課程共設130個知識點（講），46節（課），每個知識點講解視頻時長不超過15分鐘，所有視頻覆蓋該課程5個學分的全部內容。三是積分鼓勵的一站式支持服務。課程在每個學習發生點（包括觀看視頻、完成章節練習、模擬測試等）都設有計分功能，學生完成學習，網絡就即時完成打分并提示，借此積分激勵學生繼續努力學習，取得該課程形成性考核（30分）成績。學生在學習過程中遇到疑問，可以利用各種學習工具，求得課程輔導老師、班主任、技術支持員的及時幫助。

四、結語

第5篇：離散數學答案范文

將數學建模思想融入高職數學教學中具有重要的實際意義.高職數學老師將數學建模的思想引入數學教學中,可以用來培養學生的數學建模意識和數學建模能力以及運用數學建模的方法解決現實生活問題的能力.高職教育在人才培養過程中具有工具性和基礎性的作用，因此，在教學的過程中應該堅持適度地融入數學建模思想，培養學生的建模意識，提升建模能力，在指引學生進行實際應用的過程之中，重視對能力的培養，將實際生活中的問題作為載體，對傳統使用的教材進行改革.教師在對公式、原理和概念教學的過程中，應該向學生滲透相關的數學建模思想和數學建模方法，尤其是在對導數、極限和積分等概念進行闡述的時候，應該將新的數學問題向以往解決過的問題進行轉化.

一、數學建模思想的闡述和意義

我們通常所說的“數學建模”就是在解決現實世界中的問題時，運用數學理論及工具構建出一個數學的模型，這個模型的本質是一種數學結構，可以是若干數學式子，還可以是某種圖形表格，能夠用來解釋現實對象的特性和狀態，推測對象事物的未來狀況，提供人們處理事物的決定策略以及控制方案.數學建模的思想就是對數學的應用思想，將其融入高職數學教學中，充分體現了數學的真正價值——從現實出發再應用于現實.

在高職數學教學中融入建模思想，有利于激發學生的數學學習興趣，讓學生在解決問題的同時，發現自己數學知識的欠缺，從而回到課堂尋求數學知識，這樣循環反復不僅促進了數學教學，更提升了學生的實際應用能力和動手能力.數學建模中涉及的問題往往是多種多樣的，解決方法也是新奇個性的，將其思想融入數學教學是對學生的創新能力的鍛煉與激發，使得課堂更加豐富多彩，教學更加熱情積極.

二、建模思想的培養策略

1豐富數學教學內容，突出數學思想

對于高職院校的數學教學要融入數學建模思想，就要對教學的具體內容作出必要的變通，在教學數學的理論時，轉變以往重視推導證明的教學過程，在推導的過程中不必追求過高的完整性和嚴密性，將教學的重點移向基本概念的深入理解，熟練掌握和應用技術、技巧與方法.針對各個專業的特征，設置有側重點的數學課程.如理科方面的電子電氣專業，就可以多重視學生的微分、極限、重積分變換等教學;在經濟方面的專業應強調如數理統計學、線性代數學以及線性規劃學的教學內容,而且在微積分方面最好簡略；計算機類型的專業就可以適當增加像離散數學的教學內容.總體上強調實際應用價值高的教學部分，同時增添教學素材，融入新的技術來開闊學生的觀念.

2培養建模意識，用建模的思想指導課程

高職數學教學的數學建模思想要從灌輸意識開始，和以往教學略有不同的是，要在教導學生學習基本數學知識技巧時，用數學建模的思想指導他們理解概念，認識本源.很多問題都可以用建模去講解，比如最優化、最值問題、導數問題、極限問題、微分方程問題、線性規劃問題等.

這就要求我們高職數學老師要精心設計課程教學方案，充分發揮數學建模的思想，培養學生的建模意識.如老師在講解《函數》一章時，不能按照以前的方法只講解函數是一種關系，而要在其基礎上賦予它更新的內容，以數學建模的思想，將函數公式應用到實際問題中，這樣讓學生能夠有更深的理解，開闊學生的思維.舉例如下：

給出一個函數式子：s=12gt2.

這是一個描述不同變量之間的聯系而建立起來的函數關系，我們在教學中就可以構建具體的數學模型，這就是自由落體在整個運動過程中的下降距離s和時間t之間存在的函數關系，經過這樣的簡單設計之后再講解給學生，會使教學的積極性有很大改善，也會使這種建模思想慢慢植入學生以后的學習之中.

3提升建模能力，將建模的思想融入學生的習題

注重培養學生“數學模型的應用能力”和“數學模型的建立能力”.能力培養重點放在平時學生的數學習題設計上，可以使用“雙向翻譯”的培養方式，這就要在講解習題之前做好準備工作，在課堂上為學生講解清楚概念的來源、公式的實際內涵和可用的幾何模型，舉例說明它們之間可以轉換，從而布置“翻譯”習題，培養建模能力.例如，可以出類似下面的習題：

函數關系式f(x,y)=(x-2)2+y2+x2+(y-1)2，請說明函數所能表示的具體含義，并求其最小值.在做具體解答的時候學生會尋找課堂所學，找出答案.這就是通過翻譯激發其建模能力，對于這個問題就是求算一動點與兩定點之間的距離之和，學生自然在求算最小值時聯系實際尋找到兩定點的中點就是最小的值所在點，從而簡單地解決問題.也可以給出實際問題而不是公式，讓學生去求解，以達到“雙向翻譯”，增強數學建模能力.

4增設數學實驗的教學，將數學軟件納入學習之中

高職數學教學中大部分都是微積分，具有抽象性和復雜性的特征，不容易求算和解決，學生在課堂上學習到的知識和方法的所用之處少之又少.作為高職院校，學生學習數學的目的是應用所學去處理實際問題數學軟件在微積分的學習中可以起到很大的作用.對于一些微積分中的問題，教師可以運用實驗來指導教學，這樣既可以使實踐大為縮減，更能使學生學習理解的程度加深，還能應用數學軟件matlab及mathematica使復雜的求算不再困擾學生，在數學教學上是很大的進步，充分體現數學建模思想的重要作用.

5把數學模型作為教學內容

第6篇：離散數學答案范文

組合數學中的一些重要原理的理解，開拓了我們的解題思路，增強了我們的解題能力。

關鍵詞： 排列；組合；一題多解

【中圖分類號】G620

一、引言

1.何謂組合數學？

組合數學，為離散數學的一個重要分支，主要研究某組離散對象滿足一定條件的安排（或組態）的存在性、構造、計數及優化計算等問題，是一門研究安排問題的學科。中學數學里學習的排列、組合問題及其推廣——重復排列和重復組合問題、分派問題、染色問題、中國郵路問題等都是安排問題的例子。組合數學是計算機出現以后迅速發展起來的一門數學分支，為本世紀計算機革命奠定了堅實的基礎，推動了軟件技術和信息技術快速發展。組合數學不僅在軟件、信息技術中有重要的應用價值，在企業管理、交通規劃、戰爭指揮、金融分析等領域都有重要的應用。組合數學無論在應用上和理論上都具有越來越重要的位置，在應用科學項目有更廣闊的發展前景，為我國的社會主義建設事業做出更大的貢獻。

2.一題多解思想及其在數學學習中的重要性

所謂一題多解，主要體現在解題時沒有唯一的固定模式，而是以其多樣化答案為明顯的特征，可以通過縱橫發散，知識串聯，綜合溝通，達到舉一反三，融會貫通的目的。一題多解是培養學生發散思維的好方法，對于一道題從問題的不同角度出發，根據所給的條件，突破固有的解題思想和思維定勢，去尋求不同的解題方法，以此達到預期的效果。

一題多解思想是一重要的數學思想，它對數學思維的訓練起著重要作用。數學思想方法是數學的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，具有普遍的應用意義。在分析和解決問題時，它能指導我們探索揭示問題的本質，抓住解決問題的關鍵，進一步開拓我們的解題思路。通過一題多解能培養思維的發散性、靈活性、敏捷性；對題目的靈活變通，引申推廣，培養思維的深刻性、抽象性；對題目解法的簡捷性的反思評估，不斷優化思想品質，培養思維的嚴謹性、批判性。對同一數學問題多角度審視引發的不同聯想，是一題多解的思想本源，豐富的合理的聯想，是對知識的深刻理解、類比、轉化、數形結合、函數及方程等數學思想的靈活運用。數學思想方法的運用往往使我們運算簡捷明白，推理機敏，是提高數學能力的必由之路。素質教育的核心問題是能力的培養，其中思維能力的訓練培養是教與學的主要方面，利用一題多解更好地訓練我們的發散思維、創造思維、靈感思維、逆向思維等。

二、排列組合中一題多解例題解析

設某二年制學校已有連續八屆畢業生。現欲從畢業生中選出三名代表參加校友會，要求三名代表互不認識（假如相鄰的兩屆畢業生相互認識），問有多少種選法？

（1）方法一：窮舉法（分類窮舉）

含1：{1，3，5}{1，3，6}{1，3，7}{1，3，8}{1，4，6}

{1，4，7}{1，4，8}[1，5，7]{1，5，8}{1，6，8}

不含1：{2，4，6}{2，4，7}{2，4，8}{2，5，7}{2，5，8}{2，6，8}

不含1，2：{3，5，7}{3，5，8}{3，6，8}

不含1，2，3：{4，6，8}

故共有20種選法。

窮舉法講求技巧，避免重復列舉。窮舉法是排列組合中常用的一種解題方法，尤其是對于計算復雜度不大的計數。

（2）方法二：用不相鄰組合公式求解。

不相鄰組合：從個元素中取出r個而不考慮它的順序，稱為從n中取r個組合，其組合數為Cnr。而不相鄰組合指的是從序列A={1，2，3 ，…，n}中取r個，其中不存在i，i+1兩個相鄰的數同時出現于一個組合中的組合，其計數公式組合數為Cn-r+1r。

解：在圖論中我們學習了一種特殊的簡單圖：路pn。若用1，2，3，…，8來表示8屆畢業生，相互認識的兩屆畢業生用線相連，可得如下圖：

p8：——————————————

故問題就轉化為求p8的有三個頂點的獨立集的個數。

求路pn中由r個點組成的獨立集的個數，問題實際上是從{1，2，3，...，n}中取r個不相鄰的組合問題，此時n=8，r=3，則所求獨立集的個數為：

N=

（3）方法三：插入法

考慮從{1，2，3，…8}中選出3個數不相鄰的，則可以轉化為從8-3個位置的中間插入3個數。若這5個位置用“”作標記，可插入的位置用“*”標記，則

* * * * * *

即任意“*”位置選3個形成的組合都是不相鄰的，共有C63=20種。

（4）方法四：可以用篩法（容斥原理）

2.容斥原理：容斥原理也稱為逐步淘汰原理，是計數的一種基本方法，是組合數學中的重要原理。容斥原理的基本原理如下：

定理：設具有性質p1、p2的S中元素的集合為A1、A2，則S中性質p1、p2都不具備的元素個數是 |∣=∣S|-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|

本題求不相鄰組合數，只需考慮在C83的所有組合中篩掉有相鄰的組合，即去掉其中存在i，i+1兩個相鄰的數同時出現在一個組合中的組合。

設對已經選好的組合進行從小到大排序，記a b c，設p1表示a=b-1這個性質，即a，b相鄰其數集為A1，設p2表示b=c-1這個性質，具有p2的數集為A2，利用容斥原理得：

|∣= C83-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|

|A1|表示 { i，i+1，c} ，c>i+1 ，則| A1|=

| A2|表示{a，i，i+1}，a

|A1·A2|表示a，b，c三者都相鄰數集即為：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}

故||=C83-21×2+6=20.

不相鄰計數=||=C83-21×2+6=20

綜合上面四種方法各有優劣之處，技巧性也很強，但對于一題多解開闊思路都大有益處。窮舉雖然顯得笨拙但是在大多數排列組合解題中都是行之有效的，這往往局限于運算復雜度不太大的情況下。插入排序這是一種很常見的題型，在計算機相關知識的一些算法中常用到，而且簡易明了。不相鄰組合看起來有些陌生，它在實際問題中比比皆是，只是我們運用得少些而已，而且這個知識點也很重要。然而容斥原理在數學解題中及許多實際問題中是重要的法寶，一個問題不好從正面入手，不妨從反面想想，養成逆向思考問題的習慣。靈活運用所學知識解題，從多方位剖析解題思路優化解題步驟可以達到培養數學思想的目的。

三、結論

一題多解是訓練思維的好素材，通過一題多解，引導我們就多角度，多方位，多觀點分析思考問題，從而擴充思維，不僅局限于固有的方法，力求標新立異，謀求創新；多樣化的題型和解題方法，引導我們參與問題要有不同的廣度和深度，通過一題多解促使我努力尋求不同的求解方法及其共同的本質，以及思考方式的共性，這最終上升到多解歸一，多題歸一的高度，使我們更好地掌握數學思想和方法；教育必須注重對學生素質的全面發展，數學教師在教學過程中重點應放在對學生思維和能力的培養和訓練，通過一題多解，增強學生的分析、綜合、推理、應用能力等，充分發揮各方面的積極主動性，提高教學效益，更好的培養學生綜合運用知識的能力。

參考文獻

[1]刁在筠，鄭漢鼎.運籌學.北京：高等教育出版社，1996

[2]盧開澄.組合數學（計算機科學組合學叢書）.北京：清華大學出版社，1991

[3]彭波.數據結構教程.北京：清華大學出版社，2004

第7篇：離散數學答案范文

關鍵詞：大學數學；趣味性教學；思考

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）10（c）-0000-00

大學數學是大多數大學生進入大學后所學的第一門課，也是最重要的一門課程之一。良好的開展大學數學教學，不僅能夠教授學生數學知識，還能教授學生思維方式、幫助學生樹立正確的價值觀念，培養學生的邏輯思維能力，促進學生全面發展。但是，就目前我國大學數學教學的實際情況來看，其不符合新課程要求，不利于良好的教育和培養學生。對此，應以新課程要求為準，創新教學方法，將其合理的應用于大學數學教學中，提高大學數學教學水平。筆者建議將趣味性教學應用于大學數學中，提高大學數學教學趣味性、教育性、有效性。具體的論證如下：

一、大學數學教學中實施趣味性教學的重要作用

正所謂興趣是最高的老師。無論在那個階段開展教育教學活動，都應當注重提高教學的趣味性，激發學生的學習興趣，調動學生的積極性和主動性，使學生真正融入到教學活動之中，認真思考與學習知識，從而提高學生的知識水平。其實，通過對我國多個地區大學數學教學實際情況的了解，確定很多大學生對數學課程興致缺缺，甚至厭惡。而造成此種情況發生的直接原因是數學學科本身就比較枯燥、邏輯性強，再加之傳統教學方法的運用，使難以使學生真正融入到教學中，積極主動、認真專注的學習數學知識?；诖?，在大學數學教學中實施趣味性教學是非常重要的。因為趣味性教學的最大特點就是趣味性，結合大學數學教學實際情況及學生的實際情況，將其科學。合理的應用于大學數學教學之中，可以激發學生的學習興趣，調動學生的積極性和主動性，讓學生真正融入到數學教學之中[1]。

二、大學數學教學現狀分析

通過對我國部分地區大學數學教學實際情況的了解，確定大學數學教學現狀主要表現為：

（一）受到傳統教學模式的阻礙

在過去較長時間以來，數學學習一直存在著很大的誤區和弊端。很多學生在學習的過程中對于相關的定理、定義知識存在著疑問，卻不得解答，而導致了知識的一知半解，形成了慣性思維方式―――老師教什么，學生記什么。而造成此種情況發生的主要原因是大學數學教學一直采用傳統的教學模式，那么在大學數學課堂上教師照搬教材，單一方向的傳授數學知識，學生一味的接受知識、學習知識，這使得學生處于機械學習的狀態，久而久之，不僅會導致學生數學學習效果不佳，還會使學生對數學教學興致缺缺，甚至厭惡數學教學。

（二）教師思維方式比較保守

的確，教育領域改革不斷深化的背景下，教師應當樹立新的教學觀念，創新思維方式，以便開展豐富多樣的大學數學教學活動，激發學生的學習興趣，調動學生的積極性和主動性，使學生全身心地投入到數學教學活動中，專注而認真的思考、學習數學知識。但是，目前很多大學數學教師依舊固守傳統的教學觀念，按照傳統的思維方式來規劃和設計大學數學教學，進而公式化的傳輸數學知識，致使大學數學教學效果不佳[2]。

（三）學生們自身認識存在誤區

在大學數學教學之中，學生不僅要自行傾聽教師的講授，還要學生跟上教師的思維，去理解知識、思考知識，探索知識，從而真正理解和掌握數學知識。但是，現階段的大學生自身認識存在誤區，一味的相信教師，緊跟教師的步伐來學習知識；或學生長期在被動學習影響下已經忽略了知識創新和知識探索，這使得學生在數學學習的過程中難以有所突破。

三、大學數學實施趣味性教學的有效措施

針對當前大學數學教學現狀不佳的情況，筆者建議在大學數學教學中科學、合理的實施趣味性教學，提高大學數學教學水平。具體的做法是：

（一）重視每門課的第一節課

下足功夫備好、上好第一節課，不僅可以使學生信任老師，而且可以使學生對該門課程產生興趣甚至愛上這門課。為了是學生能夠真正對數學課程產生濃厚的興趣，需要教師樹立正確的教學觀念，重視每一節數學課程的教學。對于正確的教學觀念的樹立，應以新課程要求為準，樹立以人為本的教學理念，如此教師在規劃設計數學趣味教學的過程中注意提升學生的主體地位，緊緊圍繞學生的實際情況，結合教學內容，巧妙的運用教學方法來設計教學活動，如此可以大大提高數學教學的趣味性和有效性，為更好的教授學生數學知識、提升學生邏輯思維能力、增強學生素質等[3]。所以，在新課程要求下開展大學數學趣味性教學，要求教師高度重視每一節數學課程的教學。

（二）引入懸念，圍繞要解決的問題有條不紊地展開教學

通常情況下，學生之所以能夠對數學教學產生濃厚的學習興趣，主要是源于好奇心的驅使?；诖?，在組織學生進行大學數學趣味性教學的過程中還要注意引入懸念，圍繞要解決的問題有條不紊地展開教學，如此也可以提高大學數學教學的有效性。那么，如何引入懸念，圍繞要解決的問題有條不紊地展開教學？P者以《離散數學》教學為例，教師可以提出兩個問題，即哈密頓周游世界問題和馬的周游路線問題，讓學生思考在4×4的國際象棋上，從任何一個方格出發，假設每跳一格恰為一次，那么再回到出發的那個方格，是否可能？如此可以激發學生的好奇心，進而使學生對問題解答產生濃厚興趣，積極參與教學活動，探索答案，學習知識[4]。

結束語：

良好的開展大學數學教學，不僅能夠教授學生數學知識，還能教授學生思維方式、幫助學生樹立正確的價值觀念，培養學生的邏輯思維能力，促進學生全面發展。但現階段我國諸多地區大學數學教學不佳，存在諸多問題。對此，筆者建議在大學數學教學中實施趣味性教學，提高大學數學教學的趣味性、教育性及有效性，以便更好的教育和培養學生，提升學生的數學知識水平、邏輯思維能力、創新思維方式等，以便大學生未來能夠更好發展。所以，大學數學實施趣味性教學是非常有意義的。

參考文獻

[1] 徐立平.大學數學實施趣味性教學探討[J].中國校外教育（中旬刊），2013（z1）：66-66.

[2] 周小燕.課堂教學中體現大學數學趣味性之探究[J].浙江科技學院學報，2011，23（1）：67-70.

第8篇：離散數學答案范文

[關鍵詞]線性代數應用 矩陣三角分解 教學改革 教學方法 機考試題

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）08-0065-02

2009年1月教育部高教司啟動了“利用信息技術工具改造課程”項目，包含理工、財經、藝術等共18項，西安電子科技大學等院校的“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數課程”項目被列為第一項，西安電子科技大學課題組編寫的“線性代數實踐及MATLAB入門”及“工程線性代數（MATLAB版）”兩本教材，較好地體現了經典理論與現代計算手段相結合，將抽象概念形象化，使一些復雜的計算問題得以實現，激發了學生學習的興趣，培養了解決問題的能力，提高了教學質量。由教育部數學教指委數學基礎課程分指委對項目進行了驗收鑒定，對項目和教材作出了高度評價。

一、試題建立中遇到的問題

在建立試題的初期，我們遇到了一些看上去很簡單卻無從下手的問題。

例如：求n階矩陣A的逆矩陣問題，這是線性代數中最常見的問題，現在是我們如何給出矩陣A？如何保證矩陣A是可逆的？n階矩陣A有n2個元素，而可逆矩陣對這n2個元素沒有什么太多的限制。矩陣A可逆只要求A非奇異，即detA≠0。但是，利用行列式定義計算一個n階行列式大約需要（n2-1）n次乘法運算，這個計算量是驚人的。反之，用detA≠0這么一個條件去限制矩陣A的n2個元素的取值也是困難的。在線性代數的各類問題中，要求一個矩陣是可逆的是常見問題，比如用Cramer法則求線性方程組的唯一解，也要求方程組系數矩陣是可逆的。在線性空間中，給出兩組基之間的過渡矩陣，也要求過渡矩陣是可逆的。

再如：求一個n元齊次線性方程組Ax=0的基礎解系問題，如何保證n元齊次線性方程組Ax=0一定有基礎解系？進一步基礎解系中包含幾個解向量？這些當然應該在生成線性方程組時得到解決。理論上就是要求矩陣A的秩R（A）=r

二、矩陣三角分解的推廣應用

數值分析課程中，線性方程組的三角分解法有下面結論，只要矩陣A的各階順序主子式都不等于零，則存在唯一的單位下三角矩陣L，和上三角矩陣U，使得A=LU。但是，矩陣A可逆并不要求矩陣A的各階順序主子式都不等于零。雖然如此，矩陣的三角分解給了我們重要的啟示，容易得到下面的結論：

1. 三角形矩陣可逆的充分必要條件是對角線元素都不等于零。

2. 兩個可逆矩陣的乘積一定還是可逆矩陣。

這就給出了隨機生成可逆矩陣的方法，只要選取矩陣，

其中，lij，1≤j≤i≤n，uij，1≤i≤j≤n隨機取值，只要滿足lii，uii≠0，1≤i≤n。則兩個三角形矩陣L和U都是可逆的，再取矩陣

這樣生成的矩陣A就是可逆矩陣。這是因為|A|=|L||U|=l11l22…lnnu11u22…unn≠0。

在具體應用中，例如生成考試題時，為了使生成的可逆矩陣在求逆矩陣時計算不太復雜，而且不同試題的計算難度相差不大，生成不同矩陣時可以選取相同的階數n。而取矩陣的元素lij，uij絕對值比較小的整數，取lii=uii=1，1≤i≤n由于此時有|A|=1，利用逆矩陣的計算公式A-1=■A*，可知矩陣A的逆矩陣的所有元素都是整數，便于利用各種方法求矩陣A的逆矩陣，而且答案比較整齊。

對矩陣的三角分解進行進一步研究，我們又得到下面的重要結論：記矩陣，

其中，Lr和Ur分別是r階下三角形矩陣和r階上三角形矩陣，B是（m-r）×r階矩陣，C是r×（n-r）階矩陣，O1是r×（k-r）階零矩陣，O2是（m-r）×（k-r）階零矩陣，O3是（k-r）×r階零矩陣，O4是（k-r）×（n-r）階零矩陣。則有

是一個m×n矩陣。而且有如下結論：

如果Lr和Ur是可逆矩陣，則矩陣A的秩等于r。

證明 由于Lr和Ur是可逆矩陣，所以，LrUr可逆，于是有

R（L）=R（U）=R（LrUr）=r，R（A）≤R（L）=r

由于矩陣A中有一個r階子式|LrUr|≠0，所以，R（A）≥r。

于是，矩陣A的秩等于r。

由此可見，按上述方法可以隨機生成一個秩等于r的m×n矩陣A。

三、線性代數課程改造的重要意義

線性代數是高等學校理工科各專業和經濟管理類專業的一門重要基礎課，它不但是學習數值分析、最優化方法、離散數學和微分方程等數學課程的基礎，也廣泛地應用于工程學、計算機科學、物理學、生物學、經濟學、統計學、力學、信號與信號處理、系統控制、通信、航空等學科和領域。

工科學生之所以把線性代數課程作為一門基礎課程來學，就是因為后續課程需要應用它來快速、準確地描述和解決問題。也是因為矩陣、向量等線性代數知識是大量具體運算的工具，各種工程問題都要應用這些知識。在教學中，讓學生知道課程的用途，帶著問題學習知識，是提高學習自覺性和學習動力的重要手段。

線性代數包含行列式、矩陣、向量、線性組合、線性相關、秩、線性方程組、線性空間、線性變換、基、維數、坐標、向量正交、二次型、慣性指數等大量的抽象數學概念，也包含行列式計算、矩陣求逆、矩陣作初等變換、矩陣和向量組求秩、向量組求極大無關組、線性方程組求解、線性空間求基、維數和坐標、將矩陣相似對角化、二次型化標準形[1]等大量的具體計算。由于線性代數中大量計算是復雜的，所以，以筆算為基礎的教材只能把大量內容限制在三階以下的理論推演中，引入了科學計算軟件MATLAB，任何高階問題都可以在短時間內解出，學生可以從大量繁瑣的計算中解放出來，把主要精力放在命題實質的思考上。在線性代數課程中充分使用信息技術的最新成果，把工程的需求作為最大的目標，才能讓學生同時學習理論和實踐，才是線性代數課程發展的最大動力，才能更好地面向現代化，面向未來。

從線性代數課程的角度來看，學生的創新精神、創新能力的培養主要通過應用數學方法解決具體實例來體現。李大潛院士指出：“數學的教學不能和其它科學和外部世界隔離，只是一個勁地在數學內部的概念、方法和理論中打圈子，這不利于了解數學的概念、方法和理論的來龍去脈，不利于啟發學生自覺運用數學工具來解決各種各樣的現實問題，不利于提高學生的數學素養”。在高等學校，線性代數教學涉及專業廣，涉及學生人數眾多，加強課程與計算機的結合，加強課程的實際應用，讓學生通過具體實踐去認識、掌握所學的知識，并運用所學的知識去解決實際問題，無疑是重要的。也需要我們去進一步探索、實踐。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數（MATLAB版）[M].北京：電子工業出版社，2007，（7）.

[2] 李洪潮.多媒體教學網絡系統的應用研究[J].西北工業大學學報（社會科學版），2005，（4）.

[3] 張鐵，閻家斌.數值分析[M].北京：冶金工業出版社，2007，（3）.

第9篇：離散數學答案范文

【關鍵詞】ACM；程序設計；自主學習

ACM國際大學生程序設計競賽（英文全稱：ACM International Collegiate Progra-mming Contest（簡稱ACM-ICPC或ICPC））是由國際計算機界具有悠久歷史的權威性組織——美國計算機協會（ACM-Association for Computing Machinery）主辦的，它的目的在于通過競賽展示大學生的創新能力、分析和解決問題的能力、團隊合作精神和參加者在有限時間內進行有難度有技巧的編程水平。經過30多年的歷程，ACM國際大學生程序設計競賽已經發展成為世界最具影響力和最能體現大學計算機教學水平、學生素質的大學生計算機競賽。

作為師范院校的計算機專業參與這類競賽無疑也是激發學生學習熱情的一個非常好的契機。抓住契機，與時俱進，鼓勵學生積極參加并讓他們親身感受到很多在課堂上學不到的知識與技能，而這些知識與技能恰恰是用人單位趨之若騖的；同時，又可以鍛煉他們的各種能力，從而體會到創造過程中的無窮樂趣，這些無論對他們今后的人生還是就業都很有重大的意義。

2012年4月我院承辦了2012 ACM-ICPC國際大學生程序設計競賽亞洲區域賽（長春站）的比賽，來自全國67所高校、1所中學的140支代表隊參加了本次競賽。2012年10月在第37屆ACM-ICPC國際大學生程序設計競賽亞洲區域賽浙江金華站的賽事中我院Moon Light/月光隊以隊伍排名第五，學校排名第四的歷史最好成績榮獲金牌，并在2013年7月俄羅斯圣彼得堡舉行的第37屆ACM-ICPC世界總決賽中取得了世界排名第十七，全國排名第三的好成績。2013年4月，準備了數月的第七屆東北師范大學ACM校賽在計算機科學與信息技術學院機房正式開賽。經過了五個小時的艱苦鏖戰，百余名選手與辛勤服務的大賽工作人員們一同鑄造了這場在學校很有影響力的編程盛典，因此說：多種形式的競賽是挖掘學生無窮創造力的一個非常好的平臺。

下面僅就ACM-ICPC國際大學生程序設計競賽驅動下的學生自主學習做以下幾個方面的討論。

1.ACM-ICPC散發出的魅力對學生自主學習的吸引

1.1 競賽的魅力

ACM-ICPC競賽沒有大綱，也沒有范圍，完全憑借選手自身具備的能力利用所學的知識靈活睿智地設計解決問題的方法。盡管Hal Burch在1999年通過分析得出這樣的結論，競賽的程序設計一般有16種類型，但很少有人面對這寬泛、繁雜、深奧的狀況能真正掌握其中絕大部分的方法，而對一些包含這些方法的組合與循環等更具有挑戰性的綜合問題多數選手都會望塵莫及。因為在競賽中的很多試題都需要選手當場作出實地的判斷和分析，而不是套用固有的解題模式，這就是競賽有相當難度的所在，也是它魅力的所在。正是這種迷人的魅力，激發出那些勇于挑戰的學生的好奇和濃厚的學習興趣，這是學生自主學習的動力之一。

1.2 理論與實踐相結合的魅力

現今基礎教學與實際運用的矛盾在大學計算機科學的教學中還是普遍存在著。一方面，基礎教學與實際運用相距甚遠。很多數學、計算機專業基礎和理論課程與計算機學科的實際應用沒有形成很形象的關聯，學生理解起來很困難。部分程序設計、數據結構、算法、軟件工程等課程還采用筆試的方式來考察學生的知識掌握能力，這很難考察出學生的真正實際應用水平。很多學生學完高級語言程序設計、數據結構等課程后，考試分數很高卻不會編程，這不能不是一件很遺憾的事情，應該引起重視。另一方面，有些學生太注重實踐運用而忽略基礎課程的學習。有一部分學生比較容易被眼前流行的計算機某些技術應用所吸引，愿意學習最新的計算機技術的開發應用，而對較為枯燥的基礎學科尤其是數學類課程很反感、排斥，因此忽略了這方面的學習。這樣學生在初期雖然能夠學好一些計算機應用開發技術，可在更高層次的開發中卻顯得后勁不足，缺少基礎學科的知識支撐。

而ACM—ICPC競賽和培訓模式是案例教學的最好應用。通過具體的競賽題目，很多基礎理論知識都能很好地運用到程序設計當中，使得學生對學過的理論有更深刻的理解。在這一過程中我們可以引導學生自己動手動腦，用自己掌握的計算機理論基礎知識把解題過程講解出來，和其他學生互相交流，進一步鍛煉學生的綜合實踐能力。由于競賽題目的寬泛，只靠算法和數據結構等基礎知識來提高程序設計水平和競賽能力是遠遠不夠的。經歷過ACM—ICPC競賽的同學都知道，解決各類競賽題目需要融入很多相關學科的知識，如：離散數學、圖論、組合數學、數論、概率論、線性代數、計算幾何學、高等數學等。只有將這些理論知識很好地運用到解題當中，才能鍛煉出全面精準的程序設計和算法思維，成為賽場上的頂尖選手，為今后在計算機科學研究領域有更強的實力打下良好基礎，這也是微軟、Google、IBM等IT巨頭重視程序設計類競賽、非常青睞參賽選手的原因。這種理論與實踐相結合的魅力是促使學生自主學習的動力之二。

2.程序設計競賽提高了學生的自主學習積極性

2.1 成功與挫敗

可以說計算機程序設計競賽為學生提供了一個良好的自我展示平臺，通過這個平臺，學生可以自由地探索，領略編程過程中沖破一個又一個的困難險阻最終達到他們預期結果的神奇，使他們的才華可以淋漓盡致得到發揮。即使沒有得到預期結果，但整個思索設計過程也是充滿著痛與快樂，各種能力得到鍛煉的收獲也足以讓他們回味無窮。

無論是在ACM—ICPC競賽還是集訓時的解題過程中，學生通過自己的努力思考每完成相關題目并得到預期結果后，都會獲得一種成功感，這種成功感是促進學生繼續學習不斷進步的動力之一，渴望拓寬知識就是他們自主學習的力量源泉。相反當看到別人可以順利完成題目，而自己卻不能找到問題或發現錯誤時，帶隊教師要能及時正確引導，加強和健全學生良好的心里素質，使學生有一個能夠正確地面對失敗的平和心態，讓學生將這種挫敗感轉化為踏實學習收獲經驗的快樂過程，提高學生自主學習的積極性。這種積極性也會對周圍其他同學產生正面的作用，對形成良好的學風也是一種促進。

2.2 學無止境

從大一開始就要有意識地引導學生，培養他們扎實的程序設計基礎，如果學生一直堅持到畢業，也有十幾萬行代碼的存儲量，再加上要循序漸進地學習其他方面的知識并通過競賽培訓，強化、拓展相關學科知識的深度和廣度，使得他們考慮問題更全面。每當學生做出很有技巧很有難度的題目，就會感覺像完成一項藝術創作，一行行代碼頁會散發出詩一樣的美，讓他們充滿與自豪。正如參加過ACM—ICPC的一個學生所體會的那樣：你在學校所獲得的這個的高度可以代表你以后工作的高度，決定了你究竟是一個小小的程序員，還是一個真正的開發者。如果你不懂那些高深的算法和雄厚的理論基礎知識你就永遠只是小小的程序員，這和是否獲獎沒有關系，當然獲獎了工作出路顯然會好一些，但不要總想著拿獎，要想著開闊自己的思維，這是未來工作和生活最需要的。

2.3 團隊合作

ACM—ICPC覆蓋的知識面非常廣泛，如果僅憑一個人的力量全部掌握這些知識幾乎是不可能的，這就是組團合作最根本的原因之一。根據團員所擅長的方面，揚長避短，互相學習，分工合作，在這一過程中激發出每個團員自主學習共同提高的精神。三人行必有我師，默契配合、相互鼓勵是取勝的關鍵。在組織競賽培訓時，重要的不是老師的水平和能力，而是如何引導學生挖掘自身的潛力，為他們自主學習指引方向。使得整個團隊有一個良好的學習比賽氛圍，最大程度地激發選手之間自主學習相互合作的積極性和創造力。

3.結束語

經過ACM—ICPC競賽和培訓的學生一般都具備一套屬于自己的獨特思維方式和自主學習技能。他們迸發的自主學習熱情使得他們可以不依賴教師的提醒和監督，完全就能對自己的學習現狀進行準確地分析和評價。但具有完全自主學習能力的學生需不需要老師的指導了呢？答案是肯定的。教師還是要對學生的一些學習階段給予適當的意見反饋，幫助學生預測在自主學習過程中可能會出現的問題，使得學生對自己有一個客觀實際的估價，即使自己已經很優秀，但還是需要在自主這方面多做努力。這樣才能不斷進步，最大限度地釋放自身的學習潛能，讓他們認識到：做不斷攀登自主發展的成功學習者是一個永無止境的過程，只有不斷汲取各種營養才能在今后的學習及發展中取得更加卓越的成就。

參考文獻

[1]張勝.ACM大賽啟事錄[J].軟件世界，2005，5.

[2]陳康民，龍曉莉.程序設計競賽對教學作用的研究[J].時代教育，2007，6.