線性規劃精選(九篇)

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第1篇：線性規劃范文

關鍵詞:線性規劃 概率

線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法.在經濟管理、交通運輸、工農業生產等經濟活動中,提高經濟效果是人們不可缺少的要求,而提高經濟效果一般通過兩種途徑:一是技術方面的改進,例如改善生產工藝,使用新設備和新型原材料.二是生產組織與計劃的改進,即合理安排人力物力資源.線性規劃所研究的是:在一定條件下,合理安排人力物力等資源,使經濟效果達到最好.一般地,求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統稱為線性規劃問題.滿足線性約束條件的解叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域.決

策變量、約束條件、目標函數是線性規劃的三要素.而此類問題在課本中已經有了很多體現,在此筆者不再贅述.本文中,筆者想敘述線性規劃應用的一種情況,就是用線性規劃的方法解決一類概率問題.此類概率問題一般是幾何概率的問題.

請看下面兩例:

例1.甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應等候另一人一刻鐘,過時即可離去.求兩人能會面的概率.

稍加分析我們不難發現,本題中顯然不是一個變量,而是兩個變量,即甲、乙各自到達約會地點的時間,所以可以假設兩個變量.那么可以在平面直角坐標系內用x軸表示甲到達約會地點的時間,y軸表示乙到達約會地點的時間,用0分到60分表示6時到7時的時間段,則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點的坐標(x,y)就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內到達的時間.而能會面的時間由x-y≤15

所對應的圖中陰影部分表示.

反思說明:

(1)三角形三邊長度都是在0到l之間,故每一對結果對應三條邊長,分別用x,y軸上的數表示,則每一個結果(x,y)就對應于圖中三角形內的任一點;

(2)找出事件A發生的條件,并把它在圖中的區域找出來分別計算面積即可;

(3)本題的難點是把三條邊長分別用x,y兩個坐標分別表示,構成平面內的點(x,y),從而把邊長是一段長度問題轉化為平面圖形中的線性規劃問題,轉化成面積為測度的幾何概型的問題.

但是對于類似問題我們一定要注意是否是以面積為測度的概率問題,有些仍然是古典概率,如下例:

例3.如下圖,從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高,測量發現被測學生身高全部介于155cm和195cm之間,將測量結果按如下方式分成八組:第一組[155,160)、第二組[160,165)、……第八組[190,195),下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數相同,第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列.若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生,記他們的身高分別為x、y,求滿足x-y≤5的事件概率.

所以上面的解法顯然是錯誤的,問題出在哪兒呢?主要是人的個數不是連續的,而是只能取自然數,所以本題并非幾何概率,而是古典概型的概率問題.正確的解法為:

第2篇：線性規劃范文

一、目標函數中含有參數

這個參數往往與直線的斜率有關系，并且已知最優解，因此解題時可充分利用斜率的特征加以轉化。

1.目標函數中的系數為參數

例1、(2009年陜西理11)若x，y滿足約束條件x+y?叟1x-y?叟-12x-y?燮2，目標函數z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是（ ）

A. (-1,2) B. (-4,2) C. (-4,0) D.(-2,4)

分析：明確a的幾何意義，與直線的斜率有關，根據圖形特征確定怎樣才能保證僅在點（1，0）處取得最小值。

解：作出約束條件所形成的區域圖形，目標函數化成y=-■x+■，則斜率k=-■，截距為■，要使截距最小，則-1

2.目標函數中的系數為參數

例2 (2006湖北理) 已知平面區域D由以A(1，3)，B(5，2)，C(3，1)為頂點的三角形內部和邊界組成，若在區域D上有無窮多個點(x，y)可使目標函數z=x+my取得最小值,則m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.4

分析：最優解有無窮多個，往往是指目標函數與其中一條直線重合，此外要注意到參數為或的系數上的不一致。

解：要使目標函數z=x+my的最優解有無窮多個，則直線z=x+my應與直線AC或AB，BC重合，但要使目標函數Z=X+my取得最小值，必須使得函數斜率為負值，且斜率的絕對值要大，從而只能與直線AC重合，則-■=kAC=-1，所以m=1，選C。

3.目標函數中x,y的系數均為參數

例3 (2009年山東理12) 設x，y滿足約束條件3x-y-6?燮0x-y+2?叟0x?叟0,y?叟0，若目標函數z=ax+by，(a>0,b>0)的值是最大值為12，則■+■的最小值為( )。

A.■ B.■ C.■ D. 4

分析：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,并且能夠求得目標函數的最值,對于形如已知2a+3b=6,求■+■的最小值常用乘積進而用均值不等式解答。

解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線z=ax+by(a>b,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點A(4,6)時,目標函數z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,4a+6b=12,即2a+3b=6,而■+■=(■+■)■=■+(■+■)?叟■+2=■,故選A。

二、約束條件中含有參數

約束條件中某一個約束條件含有參數，意味著約束條件是變動的，這種變動導致了目標函數最值的變動。

1.已知目標函數最值，求參數的值

例4 （2010年浙江理7）若實數，滿足不等式組x+3y-3?叟0，2x-y-3?燮0，x-my+1?叟0，且z=x+y的最大值為9，則實數m=（ ）。

A.-2 B.-1

C.1 D.2

分析：已知目標函數的最值求參數的值，關鍵是找到最優解，代入到目標函數中，求出參數的值。

解：不等式組表示的平面區域如圖中陰影所示，把目標函數化為y=-x+z，則當直線y=-x+z過A點時z最大，由2x-y-3=0，x-my+1=0，得到A(■，■)，代入目標函數得■+■=9，所以m=1。

2.已知目標函數最值范圍，求參數的范圍

例5 (2011年高考湖南卷理科7)設m>1，在約束條件y?叟xy?燮mxx+y?燮1下，目標函數Z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為

。

分析：本題關鍵是理解參數的幾何意義是直線的斜率，找到關于m的一個不等式。

解：不等式組表示的平面區域如圖中陰影所示，把目標函數化為y=-■x+■，(m>1)，則-1

第3篇：線性規劃范文

1. 滿足線性約束條件[2x+y≤3，x+2y≤3，x≥0，y≥0]的目標函數[z=x+y]的最大值是（ ）

A. 1 B. [32]

C. 2 D. 3

2. 若實數[x]，[y]滿足不等式組[x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，]且[x+y]的最大值為9，則實數[m=]（ ）

A. [-2] B. [-1]

C. 1 D. 2

3. 設不等式組[x+y-11≥0，3x-y+3≥0，5x-3y+9≤0，]表示的平面區域為[D]，若指數函數[y=ax]的圖象上存在區域D上的點，則[a]的取值范圍是（ ）

A. [（1，3]] B. [[2，3]]

C. [（1，2]] D. [[3，+∞）]

4. 某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗[A]原料1千克、[B]原料2千克；生產乙產品1桶需耗[A]原料2千克，[B]原料1千克.每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗[A]，[B]原料都不超過12千克. 通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）

A. 1800元 B. 2400元

C. 2800元 D. 3100元

5. 在平面直角坐標系[xOy]中，[M]為不等式組[2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0]所表示的平面區域上一動點，則[OM]斜率的最小值為（ ）

A. [2] B. [1]

C. [-13] D. [-12]

6. 已知[a>0]，[x，y]滿足約束條件[x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3），]若[z=2x+y]的最小值為[1]，則[a=]（ ）

A. [14] B. [12]

C. [1] D. [2]

7. 某旅行社租用[A]，[B]兩種型號的客車安排900名客人旅行，[A]，[B]兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數不超過21輛，且[B]型車不多于[A]型車7輛. 則租金最少為（ ）

A. 31200元 B. 36000元

C. 36800元 D. 38400元

8. 設變量[x，y]滿足[x+y≤1，]則[x+2y]的最大值和最小值分別為（ ）

A. 1，-1 B. 2，-2

C. 1，-2 D. 2，-1

9. 已知變量[x，y]滿足[2x-y≤0，x-2y+3≥0，x≥0，]則[z=log12（x+y+5）]的最小值為（ ）

A. -8 B. -4

C. -3 D. -2

10. 已知實數[x，y]滿足[y≥0y≤2x-1x+y≤m]，如果目標函數[z=x-y]的最小值的取值范圍是[-2，-1]，則目標函數的最大值的取值范圍是（ ）

A. [1，2] B. [3，6]

C. [5，8] D. [7，10]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 已知[z=2x-y]，式中變量[x]，[y]滿足約束條件[y≤x，x+y≥1，x≤2，]，則[z]的最大值為 .

12. 拋物線[y=x2]在[x=1]處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為[D]（包含三角形內部和邊界） . 若點[P（x，y）]是區域[D]內的任意一點，則[x+2y]的取值范圍是 .

13. 設[P]是不等式組[x，y≥0，x-y≥-1，x+y≤3]表示的平面區域內的任意一點，向量[m=（1，1）]，[n=（2，1）]，若[OP=λm][+μn]（[λ，μ]為實數），則[2λ+μ]的最大值為 .

14. 記不等式組[x≥0x+3y≥43x+y≤4]，所表示的平面區域為[D]，若直線[y=a（x+1）]與[D]有公共點，則[a]的取值范圍是 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）若變量[x，y]滿足約束條件[3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，]求[z=x+2y]的最小值.

16. （10分）設不等式組[x≥1，x-2y+3≥0，y≥x]所表示的平面區域是[Ω1]，平面區域是[Ω2]與[Ω1]關于直線[3x-4y-9=0]對稱，對于[Ω1]中的任意一點[A]與[Ω2]中的任意一點[B]， [|AB|]的最小值.

第4篇：線性規劃范文

關鍵詞：線性規劃；題型變化；高考復習

線性規劃是高中數學新課程改革后的新增內容，因其集形于一身，又能把眾多知識交叉在一起，已成為高考的必考題，每年占4分到5分，選擇、填空居多。縱觀從2004年以來的浙江高考試題，它出題的形式越來越靈活，高考題型變化模式也很多，今天就線性規劃問題類型變化及策略分4個演變階段進行歸納總結。

一、第一階段：考基本簡單題：

例1.①畫出表示的平面區域；（即圖1）

          

  ②若（2，1）與（2，0）在的兩側，求a的范圍。   圖1

析：  

變題：在同側呢？

③試畫出不等式組所表示的平面區域                          圖2

④、如圖2，在平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為A(0,2),B(-2,3),C（2,6），試寫出（包括邊界）所對應的二元一次不等式組。

注：一些方法規律：二元一次不等式（組）表示平面區域的判斷方法：

①直線定邊界，測試點定區域。

②注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線。測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，測試點常選取原點。也可選（1，0）、（0，1）等。

③應學會逆向使用。

例2、（2009 年浙理改編）已知滿足

①求的最大值 ②求的最小值 ③求的最大值

師生分析：1、概念先弄清：有線性約束條件、目標函數、可行域、最優解等概念；

2.第一小題為直線的截距型，

步驟：①先畫出可行域（作圖必須要精確）

方法一：②畫出直線，并平移直線至C時Z取到最大值；

③求出最優解C點的坐標，從而得到Z的最大值；

方法二：這類問題往往在端點出能取得最優解，所以只要代入A、B、C端點，找到最大值即可，

解這類題型，注意Z與截距符號是否一致，（例）

此時Z最大，反而直線截距的是最小值。

變題：①、如求的最大值。 ②、如求的最大值

3.第二小題為斜率型，看成（x,y）與（-1，-1）的斜率范圍。

這樣的題目一般是先找角的變化情況，利用圖象，從而得到斜率的范圍。

4.第三小題為距離型，看成（x,y）與（-1，-1）的距離的平方。

注意點：與的區別

變題：的最小值。

5.有時最優解沒有或不止一個。

6.有一個題型：求整數解，

例3、 （2011年浙理）若實數x,y滿足不等式組，若x,y為整數，則的最小值為（  ）  A、 14     B、16     C、17     D、19

規律方法：要求目標函數的最大值或最小值，必須先求出準確的可行域，令目標函數等于0，將其過原點對應的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是要找的最優解。

特別提醒：解線性規劃問題的關鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應盡可能的精確，另外也要明確目標函數的幾何意義是什么，是解答該類問題的關鍵。

以上為線性規劃最基本的題型。

二、第二階段：考以實際生活為背景的線性規劃

例2、（2012年世紀金榜P112）某企業生產甲，乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A原料1噸，B原料3噸，生產每噸乙產品要用原料3噸，B原料2噸；銷售每噸甲產品可獲利3萬元，每噸乙產品可獲利5萬元，。那么該企業可獲得的最大利潤是（  ）

（A）12萬元                   （B）20萬元

（C）25萬元                    (D)27萬元

析:設乙為x噸，甲為y噸

   求的最大值。

接下來就是第一階段的解法。

2.在解實際應用題時，審題是關鍵

規律方法：線性規劃的實際應用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關系，有時先列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標函數，轉化為簡單的線性規劃問題，再按如下步驟完成：

（1） 作圖——畫出約束條件所確定的平面區域；

（2） 平移——畫出目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線L,并將直線L平行移動，以確定最優解的對應點M的位置；

（3） 求值——解方程組求出M點坐標（即最優解），代入目標函數，即可求出最值。

第三階段：含有參數的線性規劃

（一）線性約束條件不定型

例4、（廣東惠州10屆三模）已知x、y滿足（k為常數）。若的最大值為8，求k。

析：此題是斜率定、截距在動問題：方法就是將直線進行“平移”。

方法一：k>0,觀察為不可能；k<0,向上移，可形成可行域

① 觀察發現為最優解，

代入

方法二：B點為交點，既先求出交點。再求出k即可。

總之，這類題都是先找到最優解，再進行解題。

例5、（2010年浙理數）

  若實數x、y滿足不等式組，且x+y的最大值為9，則實數m=（  ）

A、 -2   B、  -1  C、  1   D、2

析：此題是過定點（-1,0），斜率動問題，方法就是直線進行將“旋轉”。接下來方法如上

（二）、目標函數含參數型

例6、（09年安徽理）若不等式組所表示的平面區域被直線分為面積相等的兩部分，則k的值為（   ）   A、  B、    C、  D、

例7、（09年陜西卷）若x、y滿足且，僅在點（1,0）處取得最小值，則a的取值范圍是（  ）   A、（-1,2）   B、（-4,2）    C、（-4,0）     D、（-2,4）

方法總結 ：不管是將直線進行平移或是進行旋轉，最終是先找到最優解在哪是關鍵。

（三）線性條件含參數，且目標函數含參數

例8、設m﹥1，在x、y滿足下，目標函數的最大值小于2，則m的取值范圍是（A  ）     A、   B、    C、  D、

小小結：線性規劃含參問題，從各個角度可以分為：

線性約束條件

目標函數

定

定

定

不定

不定

定

不定0

不定

各個題型都鞏固一下，方法要學會歸納。

四、第四階段：綜合性強、或隱藏性比較深的線性規劃

例9、（2012年臺州四校聯考理改編）實系數方程的一根在（0,1）內，另一根在（1,2）內。求的最值。

析：①根的分布與線性規劃的綜合題

   ②因為：       求的最值。

例10、（2011年浙江臺州一模卷）如圖，在梯形ABCD中,點P在陰影區域（含邊界）中運動，則的取值范圍。

方法一：

運用投影思想，在D點最大，在B、C最小。

方法二：如圖建系

寫出直線BC、BD、DC方程  ,從而寫出線性約束條件

設P（x,y） ,寫出線性目標函數Z=即可

例11、（2011年臺州四校聯考）在直角梯形ABCD中，  ,動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內運動，設

則的取值范圍是（   ）

分析：同例10，建系，轉化為線性規劃問題

第5篇：線性規劃范文

關鍵詞：線性規劃；教學模式；實效性

本文為2013年河北省人力資源與社會保障廳課題（編號：JRS-2013-2017）；2012年度河北省社會科學發展研究課題（編號：201204001）階段性成果

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A

收錄日期：2014年3月13日

線性規劃是最優化問題的重要領域之一，很多運籌學的實際問題都可以用線性規劃的形式來表述。線性規劃的理論與方法起源于20世紀初、發展于20世紀中，完善于二戰后期、成熟于冷戰時期。線性規劃的理論與方法構成了軍事運籌學的基礎，不僅在軍事領域獲得了巨大成功，同時也在經濟決策、科學研究以及其他領域都獲得了普遍應用。通過本課程的學習，學生應理解解決線性規劃問題的工作步驟及其特點，掌握建立、分析和解決生產、生活及科學研究和管理工作中各種問題的線性規劃數學模型的基本理論、基本方法和技術。特別要關注這些模型在解決物流及供應鏈管理系統、信息管理系統、交通運輸系統、金融工程和經濟管理問題中的廣泛應用。

線性規劃的傳統教學過程中，大部分情況是全程板書進行詳細講解。因為線性規劃這門課的獨特性，教師在講解線性規劃主體知識點之初就應該把線性代數中的矩陣的逆，矩陣的初等行變換，線性方程組求解等等知識點重新幫助學生們貫穿起來，在保證這些知識點深刻理解的前提下進行單純形法的講解自然就水到渠成。鑒于課時的有限性，講解的任務量會非常重。然而，最關鍵的問題還不是任務量重，而是如果按照我們這種傳統的教學模式會使得很多學生聽課時覺得云里霧里，抓不到重點。線性規劃具有極強的應用性，學習線性規劃的最終目的是會用來解決實際問題，在整個教學過程中就必須充分體現出這一鮮明的特點。總的說來，在線性規劃的傳統教學中存在很多不足之處，而這些不足之處往往使得教學效果事倍功半。

在線性規劃課程的具體教學中往往會碰到如下問題：一方面是講解知識時如何使學生把比較難的知識點理解掌握；另一方面是該科目的實效性如何提高。這是讓高校任課教師非常頭疼的，怎么才能在時間短、任務重的情況下，讓學生能更好地理解掌握并且熟練應用本門課所講的基本技能呢？下面就筆者的一些教學實踐，淺談一下對這門課程教學改革的一點體會。

一、了解基礎知識掌握程度，把握教學難易進度

大部分高校對線性規劃的課程定位仍是純理論化的教學，盡管高校在資金投入、人員配置等方面已經做了大量的工作，但由于種種原因使得該課程的實效性和功效性沒有完全發揮出來，而教學的目的不應該僅僅是讓學生掌握基礎知識，更應該是在掌握知識的基礎上能夠熟練應用該知識去解決實際問題。

實際教學過程中，很多時候多數學生是在對于線性代數等基礎知識掌握薄弱的情況下學習線性規劃，而線性代數對于線性規劃有不言而喻的重要作用，正是因為對于線性代數的掌握不佳使得大部分學生不能真正地理解線性規劃的理論依據，故而很多學生反映上課講解的式子多而雜，記不住，顯然做題效果就比較差。所以，在講解線性規劃之前應先對學生的基礎知識掌握情況有詳盡的了解，對于他們的薄弱環節先要加以鞏固，加深他們對線性代數等內容的理解，為講解后面線性規劃的核心內容做好知識鋪墊。

二、運用適當的教學模式

目前，大多數線性規劃教學模式為全程板書或全程多媒體兩種。

對于基礎課來說，按照教案平鋪直敘的講解是傳統課堂的授課方式，采用全程板書的教學模式來系統地進行公式的推演和傳授巧妙的解題技巧，這樣的講解模式有其優勢所在：學生對于知識的推導過程有更清晰的理解。不過也有其劣勢所在：全程板書會使學生們一開始就覺得這門課很高深、很難，覺得自己學不會，更不會去想如何才能在這門課中有所作為，使得學生把目標定位在被動學習的位置上；再加上有限的黑板容量，對于線性規劃來說就更顯得渺小，因為線性規劃解題的運算量相對較大，很多時候解一道題就至少要用3黑板才能結束，這樣不僅不利于把握教學時間，更是因為要反復擦黑板使得學生想翻看前面的解題過程變也只能是奢望，這不僅不利于學生們抓住重點、把握難點，也不利于課堂總結，更無法在提高實踐能力上投入較多的時間。這樣的教學方式雖然使學生掌握了一些數學模型的解法技巧，但是對于提高實踐能力卻收效甚微。

當然，全程多媒體的講解模式也是有不足之處。雖然多媒體的應用會使得講解效率大大提高，一堂課下來學生對于重點難點也會一目了然，但是全程多媒體教學會因為多媒體的過度使用使得大部分學生聽得云里霧里的，甚至連筆記都沒辦法及時補全，更別提對知識理解的深度了，故全程多媒體教學對于知識的理解掌握不利。

線性規劃課程教學中應該適當采用多媒體技術，板書和多媒體結合起來使得各自優勢能發揮出來，避免各自的劣勢，這其實對于教師的要求是比較高的，任課教師不僅對于課件的把握要相當熟悉，還要對于板書的設計要精準，不然反而起不到相應的效果。在教學中一些難懂的抽象的內容，教師使用傳統的教學工具不好表達清楚的，可以借助于計算機的圖形、演示等功能，使學生能更好地理解領悟，這樣我們在保證教學質量的前提下不僅提高了教學效率，更是為培養學生的實踐能力提供了時間的保證。

三、運用數學軟件

線性規劃本身就是一門注重實踐的課程，在教學過程中不應該重理論而輕實踐，理論的最終目標就是實踐，通過實踐來理解掌握、鞏固加深知識，甚至改革創新出更好的算法也是極有可能的。在越來越提倡學以致用，增強實效性的當今，教師不應該埋頭于教材，而應該以教材為踏板，把眼光放在生活實際中，使學生通過學習這門課能真正地提高自己解決實際生活中問題的能力。

對于提高課程的實效性來說，可以適當添加一些數學應用軟件的學習，如利用Lingo、Lindo和Matlab等工具軟件求解線性規劃問題。在講解線性規劃問題時，如何才能讓學生深刻認識到軟件在求解線性規劃問題上的方便快捷，尤其是在實踐課上更應該切實讓學生練習掌握相關軟件的應用。比如，筆者在講解單純形法時，就通過舉例來說明理論推導的結果和運用Lingo軟件的運行結果是一致的；在講解靈敏度分析時，通過Lingo軟件直接得到結果，不僅讓學生深切認識到線性規劃知識的重要性，同時又使學生熟練掌握相關的數學軟件，為他們以后的學以致用構建好鋪墊。

四、針對不同的專業舉出不同的案例

目前，學生們對于可以直接應用的知識表現出的熱情極高，而這對于數學中的大部分科目來說是個很大的挑戰，因為數學的理論性和抽象性，很難找到特別切合學生認知的實際生活案例來呈現。然而，這個難題在線性規劃中幾乎不存在，因為課程本身就是來源于生活又反饋于生活的，在生活實際中諸如此類的例子很多。只要多注意總結，就能在不同專業的教學過程中，找到與其認識的實際生活息息相關的例子。通過對這類實際問題的解決，會讓學生更深切的體會到線性規劃知識的學以致用，提高學習的積極性和主動性。此外，各大高校的很多學生都有參加數學建模的興趣或經歷，所以在實踐課上也可以通過練習歷年賽題的求解來激發學生學習的興趣。特別是，對于金融、管理等專業的學生更要選用適合本專業的教材和應用軟件，適時地通過線性規劃的知識來解決本專業的相關問題，這樣會使得學生對金融、管理的專業知識掌握得更加深深刻。

主要參考文獻：

[1]徐玖平，胡知能等.運籌學（II類）[M].北京：科學出版社，2006.

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[3]廖宇波.Bland規則的一點改進[J].華東交通大學學報，2005.2.

第6篇：線性規劃范文

關鍵詞：線性規劃 單純形法 矩陣 求解

現代科學技術迅猛發展的今天對數學問題的研究提出了更新更高的要求，而線性規劃問題在數學領域及科學技術中應用廣泛，所以對線性規劃問題的求解法要求也越來越高。教材中介紹的主要是用單純形法求解，由于線性約束條件是由線性方程組構成的，而方程組的問題可以轉化為矩陣的形式。所以本文結合自己的學習，通過認真分析查閱資料，整理出了用矩陣法求解線性規劃問題的步驟，以期對線性規劃問題的研究有一定的參考價值。

1、線性規劃問題基本知識簡介

1.1線形規劃問題的標準形式

我們考慮下列線性規劃問題：

約束條件為

其中，稱為決策變量，變量表示決策方案，滿足上述約束條件的決策變量的值稱為線性規劃問題的可行解，我們把使目標函數達到最大的可行解叫最優解，這個最大的值我們稱為最優值；叫價值系數. 在解問題時若要求線性規劃問題的極小值，即

這時只需令

即可將原問題轉化為

即可.

當約束條件為不等式時，有兩種處理方式：當約束條件為“ ”的不等式時，可在不等式的左端加入非負松弛變量，將不等式變為等式；當約束條件為“”的不等式，可在不等式左端減去一個非負剩余變量（也可稱松弛變量），把不等式變為等式約束.

1.2線性規劃問題標準形式的矩陣形式

線性規劃問題用矩陣描述時為：

其中：

―約束條件的維系數矩陣，一般

―資源向量； ―價值向量； ―決策變量向量

為便于使用矩陣法求解上述線性規劃問題，我們構造如下初始矩陣

這里是一個由約束方程的增廣矩陣和價值系數組成的

矩陣，其中是約束條件的個數，是決策變量的個數.而問題中涉及的 表示的是矩陣秩，即 .問題的基變量可由矩陣中列向量的最大線性無關組的選取方式來確定。

1.3線性規劃問題的最優解

(1)可行解

線性規劃問題：

中，滿足約束條件的

稱為線性規劃問題的可行解，而使目標函數值達到最大的可行解稱為該問題的最優解.

(2)基

設是約束方程組的維系數矩陣，其秩為,是矩陣中階非奇子矩陣（）,則稱是線性規劃問題的一個基.這就是說，矩陣是由個線性獨立的列向量組成,不失一般性，可設

稱為基向量，與基向量相應的變量 為基變量，否則稱為非基變量. 為了進一步討論線性規劃問題的解，下面研究約束方程組(1-1) 的求解問題.假設該方程組系數矩陣的秩為，因 ，故它有無窮多個解，假設前個變量的系數列向量是線性獨立的，這時(1-1)式可寫成

或

方程組(1-3)的一個基是

設 是對應于這個基的基變量

現若令(1-3)式的非基變量 ，這時變量的個數等于線性方程的個數.用高斯消去法求出一個解

該解的非零分量的數目不大于方程的個數 ，稱為基解.由此可見，有一個基，就可以求出一個基解.

(3)基可行解

滿足非負條件，的基解，稱為基可行解.

(4)可行基

對應于基可行解的基稱為可行基.

單純形法的基本思想是用迭代法從初始基可行解出發，判斷當前基可行解是否為最優解，如果是則求解結束，否則要進行換基，即將一個非基變量變為一個基變量（叫做入基），同時將一個基變量變為非基變量（叫做出基），換基的原則是換入使目標函數變化最大的,不斷重復上述過程找到問題的最優解為止.

1.4用矩陣法求解線性規劃問題的步驟

(1)確定初始基變量，求得初始基可行解.

將矩陣第一列中 ，得到新的矩陣.重復(2)-(5)直到終止.

2、應用舉例

例1.某工廠在計劃期內要安排生產兩種產品,已知生產單位產品需要設備1臺時，原材料 4千克，生產單位產品需要設備2臺時，原材料 4千克，且該工廠共有設備8臺時，原材料 16千克，原材料12千克.該工廠每生產一件產品可獲利2元，每生產一件產品可獲利3元，問應如何安排計劃使該工廠獲利最多？

解 設分別表示在計劃期內產品的產量，則該問題可用數學模型表示為

第二步，比較價值系數，確定進基變量.

因為價值系數的大小對目標函數值的改變有影響，價值系數大的可以加快目標函數值的改變，故從所有價值系數中選擇絕對值最大的正數如，確定該數在矩陣中的位置，然后把該列代表的決策變量 作為一個新的基變量取代前一個基變量中的一個變量.在本題中由于2＜3，所以此題中價值系數最大的正數為，它在中占第二列，于是就把 作為一個新的基變量.

第三步，依據最小比值原理,找到出基變量，進而求得基可行解.

將 所對的那一列的前三個正數分別去除最后列的對應元素，選出所得商中最小的正值并確定出其在中所占的行數，于是把該行所代表的基變量作為出基變量.通過計算可知

那么其對應的行所代表的基變量就作為出基變量被換出而成為非基變量.于是得到矩陣 如下：

將矩陣作一系列初等變換，將矩陣中第三行第二列處的值變為1，第二列的其他位置的值變為0，這樣得到矩陣

令代入約束條件就求得該可行基對應的可行解

第四步，比較確定矩陣中的最后一行是否還有正數，有則重復二三步，直到最后一行所有元全為非正數為止.題中的最后一行中有正數=2，故重復上述二三步，因，且占中的第一行，故將作為新的基變量，作為非基變量，對作同的初等變換得到

從上面的例子我們可以看出，如果所給定的線性規劃問題有現成的基，那么我們可以直接寫出初始單純形矩陣.如果所給定的線性規劃問題沒有現成的基，則可通過引入人工變量的方法得到一個人造基，從而構造一個輔助問題.然后利用例一中使用的單純形法來求得輔助問題的最優解或判斷輔助問題無最優解.此時原問題和輔助問題的解的情況相同.如果原問題有無最優解無法判定，且輔助問題的最優解中已不含人工變量可以去掉輔助問題的單純形表中對于原問題來說是多余的行及多余的列.如果輔助問題的最優基中含有人工變量，這時若人工變量所對應的行中非人工變量的系數全為0，則可將此行去掉而使輔助問題的最優基中少一個人工變量.若人工變量所對應的行中某一非人工變量的系數不為0，則以此出發對單純形表進行適當的變換進行換基.目的是迫使人工變量離基，經有限個步驟以后總可以使輔助問題的最優基中不再含有人工變量，從而得到原問題的初始單純形表.以上所有的工作都可以用相應的單純形矩陣代替單純形表而對單純形矩陣施行初等行變換達到預期的目的.

3、靈敏度分析

靈敏度分析也叫優化后分析，是研究線性規劃模型某些參數或限制量的變化對最優解的影響及其程度的分析過程.靈敏度分析的主要內容包括研究目標函數的系數發生變化時對最優解的影響，約束方程右端系數發生變化時對最優解的影響以及約束方程組系數陣發生變化時對最優解的影響.針對上述情況，我們會作如下思考：如果上述問題中涉及的系數有一個或幾個發生變化時，那么我們所求得的最優解又回隨這些問題的變化而發生變化嗎？或者說它們會發生怎么樣的變化以及這些系數在哪個范圍內變化時不會影響原問題的最優解或者說不會使問題的最優基發生變化呢？下面我將從資源數量變化和技術系數兩方面的變化來討論它們的變化對線性規劃問題最優解和最優基的影響.

3.1資源數量變化的分析

3.2技術系數的變化

討論技術系數的變化，下面我們以具體例子來說明

例4.分析在原計劃中是否應該安排一種新產品.以例1為例，設該廠除了生產產品 外，現有一種新產品 ，已知生產產品每件需消耗原材料A,B各為6千克，3千克，使用設備2臺時，每件可獲利5元.問改廠是否生產該產品和生產多少？

4、結束語

線性規劃的求解問題在運籌學中中是最重要的知識點，且是貫穿運籌學各個章節的重要理論，在研究其他規劃方面有非常重要的作用.本文通過對線性規劃的矩陣求解法的描述加深了對單純形法實質的理解，矩陣形式是表達最為簡潔又便于理論推證的形式，單純形法的矩陣描述也為研究修正單純形法奠定了基礎.靈敏度分析作為優化后分析對于線性規劃的應用是非常重要的，但在考慮系數變化時一般每次只考慮一個，當多個系數同時變化時，就需要用參數線性規劃進行處理，因此，可以把參數線性規劃看作是靈敏度分析的擴展.

參考文獻：

[1]楊民助．運籌學[M]．西安：西安交通大學出版社，2000

[2]陶謙坎主編.運籌學應用案例[M]．北京：機械工業出版社，1993

第7篇：線性規劃范文

一、注意知識的交匯及變量間的轉變，找出約束條件

這類線性規劃問題的約束條件是隱藏在其他知識背景下，同時約束條件中的變量不要總是認為是x，y，也可以是其他變量，如a，b或m，n等.

例1（2011年重慶卷）設m，k為整數，方程mx2―kx+2=0在區間（0，1）內有兩個不同的根，則m+k的最小值為

A.―8B.8C.12D.13

解析該題的約束條件是隱藏在函數與方程背景下.方程mx2―kx+2=0在區間（0，1）內有兩個不同的根可以轉化為二次函數f（x）=mx2―kx+2在區間（0，1）內有兩個不同的零點.故滿足

m>0，

f（1）>0，

Δ=k2―8m>0 k2>8m，

m>0，

m―k+2>0.

將k看成函數值，m看成自變量，畫出可行域如圖1陰影部分所示.因為m，k均為整數，結合可行域可知m=6，k=7時，m+k最小，最小值為13.

例2在平面區域D中任取一點，記事件“該點落在其內部的一個區域d內”為事件A，則事件A發生的概率P（A）=d的面積D的面積.在區間[―1，1]上任取兩值a，b使方程x2+ax+b=0有實根的概率為P，則

A.0

C.916

解析方程x2+ax+b=0有實根，則Δ≥0，即a2―4b≥0，依題意得到約束條件

―1

―1

a2―4b≥0.

作出可行域如圖2陰影部分所示.

設陰影部分的面積為S1，則

2

S總=4，

所以概率P的取值范圍12

即選B.

二、注意換元法，構造新元形成新的約束條件

通過換元法，構造出新元形成新的約束條件是這類問題的關鍵，其他方法不奏效時可試一試.

例3若函數y=3sinx2+4cosx2的定義域為[0，2π]，求此函數的值域.

解析令u=cosx2，y=sinx2，x2∈[0，π]，則點（u，v）在單位圓的上半圓上，原函數的值域即當點（u，v）在單位圓的上半圓上運動時，目標函數y=3v+4u所對應的直線l在v軸上的截距的取值范圍，如圖3.

由圖3經過計算可知，當l與上半圓相切于點A時，ymax=5；當l經過點B時，ymin=―4.所以所求函數值域為[―4，5].

三、注意發散思維，找出或利用約束條件，巧用線性規劃求解

教學中要多培養學生的發散思維.很多時候換位思考問題往往能化繁為簡.下面兩題用線性規劃思想來解也是一條捷徑.

例4設等差數列{an}的首項a1及公差d都為整數，前n項和為Sn.若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數列{an}的通項公式.

解析由已知a1≥6，

a11>0，

S14≤77，

化為a1≥6，

a1+10d>0，

2a1+13d≤11.

將d看成函數值，a1看成自變量，畫出可行域如圖4陰影部分所示.問題轉化為求a1及公差d的整數解.

由圖可得d=―1，a1=11或12.

所以數列{an}的通項公式an=12―n或an=13―n.

例5若直線l：mx+y+2=0與點A（―2，3），B（3，2）為端點的線段AB有交點，求實數m的取值范圍.

解析直線l與線段AB有交點，等價于A、B兩點在直線的兩側或其中一點在直線上.由線性規劃知識，A、B點滿足約束條件

（―2m+3+2）（3m+2+2）≤0，

即（2m―5）（3m+4）≥0，

解得m≥52或m≤―43.

第8篇：線性規劃范文

關鍵詞：數形；教學；規劃；案例；應用

一、請同學們畫出下列不等式表示的平面區域

1.①x+y-2≥0②x+y-2≤0

2.若將上述不等式中的等號去掉，結論如何

設計目的：

1.理解數與形的轉化，體會數形結合的思想。

2.通過圖像理解每個不等式所表示的區域的區別與聯系。

教學過程：首先讓學生在電腦上用幾何畫板畫直線x+y-2=0（無電腦的學校可讓學生在練習本上畫）。引導他們發現一條直線將平面分為兩部分，每一部分的點的坐標代入直線方程所得到的不等式是一樣的，因此到底哪一部分表示x+y-2≥0，只需取一點驗證就行，從而總結結論：畫二元一次不等式，Ax+By+C≥0（≤0）的平面區域常采用“直線定界，選點定域”的方法，不等式有等號時，直線畫成實線，無等號時，直線畫成虛線。

二、畫出下列不等式組3≤2x+y≤96≤x-y≤9 表示的平面區域

設計目的：借助圖像的直觀性，將代數問題幾何化，使學生清楚畫二元一次不等式組所表示的平面區域要注意尋找各個不等式所表示的平面區域的公共部分。

教學過程：借助多媒體教學手段做出四條直線：2x+y=3，2x+y=9，x-y=6，x-y=9，分別找不等式所代表的平面區域取其交集，最后得到結論：該不等式組所表示的平面區域為平行四邊形。

三、（2011新課標高考）

若變量滿足約束條件3≤2x+y≤96≤x-y≤9 ，則z=x+2y的最小值是

設計目的：借助高考題，使學生領會求線性目標函數的最值體現的數形結合思想。

教學過程：

1.做出可行域即不等式組所表示的平面區域。

2.理解的幾何意義。

3.做出目標函數所表示的平行直線系中的特殊直線，并且將之平移，在可行域中找到最優解所對應的點。

4.求出線性目標函數的最大值或最小值。

5.總結結論：線性目標函數的最優解一般在可行域的頂點或邊界上取得。當表示目標函數的直線與可行域的邊界平行時，其最優解有無數個。

四、求取值范圍

1.已知函數滿足不等式組x≥1y≥0x-y≥0，則■的取值范圍是

（ ）

A.[-■，1） B.[-1，1） C.（-1，1） D.[-■，1]

2.已知實數滿足不等式組x+y-3≥0x-y+1≥0x≤2，求z=■的最值。

設計目的：近幾年高考有關線性規劃的考題中，有許多試題是結合其他知識點的綜合題，在作出可行域后，要充分利用代數式本身的幾何意義，解決其最值問題。

教學過程：

1.引導學生理解■所表示的幾何意義，即動點（x，y）與定點（-1，1）連線的斜率，而■的幾何意義即動點（x，y）與定點（0，0）的距離。

2.引伸：

若1題改為求■最值又如何處理呢？

運用配湊手段： ■=■=1+■實質上仍然研究斜率的變化。

若2題改為求最值又該如何解呢？

通過以上教學片斷可使學生清楚利用線性規劃的知識理解高中數學中非線性函數的最值問題，主要是利用其代數式的幾何意義運用數形結合的思想加以解決。利用線性或非線性函數的幾何意義，通過作圖解決最值問題既形象又直觀，既可提高學生學習的熱情，又使學生掌握了知識。

參考文獻：

第9篇：線性規劃范文

關鍵詞：線性規劃 土地管理 土地利用 應用

中圖分類號：O29 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2015）06-0260-01

對土地進行規劃和管理是城市對區域土地進行總體上規劃、引導和管理的有效手段，實踐證明，在土地管理過程中對土地利用總體規劃是土地用途管理中，最有效的方法之一。為了能夠合理利用土地資源，在對土地進行管理過程中，采用有效的規劃方案就顯得十分重要了。在現有的對土地利用總體規劃的基礎上，線性規劃方法十分符合那些人地復合系統中用地類型結構的優化和決策。這種規劃方法的基本思路是從區域內土地利用的綜合效益中提煉出一個土地資源特點和社會發展要求單一的效益，而將其作為其他效益的約束條件進行分析和考慮。本次研究主要分析了線性規劃地對土地管理和利用的適用性，并建立了相應的土地利用和管理模型結構。

一、土地管理中總體規劃系統的定位分析

對土地進行總體的利用和管理是在人類活動的持續或者周期性干預之下進行的土地資源的再生產等一系列復雜的社會經濟活動的過程。從系統理論角度出發，對土地進行管理和利用的本質就是在人地關系系統中由資源、經濟、生態以及社會環境因素相互作用、相互影響而形成的一種具有生態性的經濟生態系統，以及土地在生態系統中如何持續運動的過程。對土地進行管理和利用是一個多層次和多復雜結構的生態系統，土地在管理過程中其及結構與相應的系統功能有著十分密切的聯系。這兩者之間存在著明顯的結構互聯性，結構決定了功能能否得以實現，而功能的體現是合理利用土地資源的有效方式，能夠有效的產生結構效應，從而有效的保證土地系統管理結構的提升和相應功能的增強，提高土地利用的效率。

二、土地總體規劃的原則分析

1.目的性原則

在對土地進行管理過程中，土地利用的優化目標最終通過對土地管理的經濟效益、社會效益以及環境效益三個方面全面體現出來。但是這個目標并不是目標間均衡或者活動目標中的最大化，是一種主導向目標輔助其他目標得以實現的基礎環節。

2.持續協調的原則

在全新修訂的《土地法》中，強調了土地和自然、社會以及經濟發展的可持續性，并對全新的土地管理和規劃提出了全新的要求，要求將工作的重點全面突出區域土地持續利用的思想方面。采用科學思想、對土地、產業以及部門之間的資源分配進行協調發展，從而達到資源合理分配的目的，繼而使區域土地供求關系持續平衡，確保土地生產力的持續和穩定發展。

3.適宜的原則

土地管理的結構必須符合本地區土地資源的適宜性和限制性原則，將土地的自然屬性連同土地管理的要求進行不斷的匹配，最終做到人盡其才，各盡其用的目的，只有這樣才能算得上對土地資源進行合理的優化配置。

4.動態漸進的原則

土地的管理和規劃是一個動態和漸進的社會發展過程。在進行土地管理過程中，任何一個土地總體管理和規劃方案的提出首先應該針對當期土地管理過程中存在的問題，土地在管理過程中，其總體的規劃和利用方案只能是愿望滿足程度的接近，并不能達到這個目標。在對土地進行管理過程中，動態漸進的原則就是要求我們在實施土地利用總體規劃過程中，根據當前土地管理過程中存在的問題進行分析，并對今后管理發展過程中的趨勢不斷地對總體的規劃進行修訂，從而保證管理不斷向著目標前進。

三、線性規劃在土地管理中的應用分析

1.線性規劃方法簡介

線性規劃是從區域土地利用的綜合效益中提煉出來的一種全新的能夠全面體現本地土地資源特色的和社會發展需求的單一效益方式，并將其他的效益作為一種約束條件其考，在對土地進行線性規劃過程中其思路為：首先，在規劃過程中，根據區域土地資源的特點和社會經濟發展的需求，從整個區域中的經濟、社會以及環境等三個效益中選取一個沒內容作為規劃的主導性目標；其次，確定好目標之后，制定若干個不同類型的土地利用類型，并對各種土地利用類型的效益權重進行確定，然后將這些權重構成最終的權重集；再次，構建相應的目標函數S（x）=KW1xi。其中在函數中S（x）就是目標函數，而K表示的各地效益的總體系數，其是一個常數。而W1主要表示的各類土地相對權重的數值，xi表示分類土地的面積大小。第四，根據耕地的效益對每公頃耕地的產出效益進行有效的預測，最終確定常數K的數值大小；第五，在規劃過程中，選取區域內土地的面積、規劃目標年耕地保有面積、規劃期內建設需要用地的面積、園林施工建設需要的土地面積，退耕還林增加林地的面積，以及區域內適合農業發展，林業發展以及畜牧發展所需要的土地面積等幾種，作為約束條件；最后，通過上述的函數列出等式和不等式組，運算求解。最終就能夠得到土地線性規劃最佳的面積。

2.線性規劃在土地管理中的要求

2.1主導性目標的實現

線性規劃最大的特點就是在規劃過程中能夠選取唯一的目標作為規劃的主導目標，而這一個目標還能夠全面體現出本地區土地資源的特點和社會經濟發展的本質需求。當這個目標實現之后就能夠保證土地資源效益利用的最大化，這種規劃方式就能夠有效的避免在規劃過程中對多種效益的進行復雜的操作，整個規劃方式也將更加簡單易行。同時，在規劃過程中將其他的條件作為限制條件，又不會導致對其他客觀條件忽略的現象，能夠實現對土地總體規劃的實現。

2.2可持續利用的實現

采用線性規劃的方法通過選取區域內土地的面積、規劃目標年耕地抱有面積、規劃期內建設需要用地的面積等具有嚴格意義上的數據作為約束條件，其結果就是限制了對某些土地利用類型的利用程度，避免規劃的不協調和不整體，實現了土地資源在各個領域的優化配置。在規劃過程中因為各個階段規劃的目標和效益系數不同，因此，實現了各類資源在時間和空間上的合理分配。這對確保資源有效利用和經濟社會的可持續發展有著十分重要的作用和實踐意義。

2.3修編簡便易行

對于一個土地規劃的總體方案，其能否更好的適應經濟社會發展的變化，動態化的對歸還目標進行改善，其關鍵點就在修編是否方便，在規劃過程中，線性規劃能夠很好的解決修編不便的特點，當規劃中各種用地類型的產出效益發生了改變之后，只需要對常數系數K以及用地的效益權重系數進行修正即可。在規劃過程中即使總體的形式都發生了改變之后，也可以通過重新對規劃目標進行劃分和調整制定全新的規劃方案。

參考文獻

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[4]姜晴，張冬益，戎葉，顧月仙. 淮安市公交站臺形象優化設計[J]. 經濟研究導刊. 2013（10）

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