函數思想精選(九篇)

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第1篇：函數思想范文

一、分類討論思想

分類討論思想就是根據問題可能存在的情況，進行分類討論，從而解決問題的一種數學思想。這是一種重要的數學思想，對培養思維的周密性大有好處。在分類討論時應明確標準，不重不漏。

已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函數y=的圖像上，且x1＞x2，比較y1與y2的大小。

分析 討論反比例函數圖像的增減性有一個前提條件：x在哪一象限內，而已知條件中點是否在同一象限不確定，所以要分類討論。

解 （1）當兩點在同一象限時，即當x1＞x2＞0或0＞x1＞x2時，由于k＞0，所以y隨x的增大而減小。因為x1＞x2，所以y1＜y2；

（2）當兩點不在同一象限時，即當x1＞0＞x2時，因為k＞0，x1＞0，所以y1＞0。同理y2＜0，所以y1＞y2。

點評 比較函數值的大小問題時，若反比例函數y=中的k的符號不確定時要進行分類。

二、數形結合思想

數形結合，主要是指數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優化解題途徑的目的。

如圖1，正比例函數y1=k1x的圖像與反比例函數y2=的圖像相交于A、B點，已知點A的坐標為（4，n），BDx軸于點D，且SBDO=4。過點A的一次函數y3=k3x+b與反比例函數的圖像交于另一點C，與x軸交于點E（5，0）。

（1）求正比例函數y1、反比例函數y2和一次函數y3的解析式；

（2）結合圖像，求出當k3x+b＞＞k1x時x的取值范圍。

分析 （1）因為SBDO=4，由k的幾何意義得y2=。由A點可得y1，由A、E兩點可得y3。在第（2）問中，就是求y3＞y2＞y1時x的取值范圍，要結合圖像，通過觀察直接寫出結果。

解 （1）y1=x；y2=；y3=-2x+10；

（2）x＜-4或1＜x＜4。

點評 對第（2）問，以形助數觀察出結果很重要，不要去解不等式，直接觀察圖像就可得出答案，這也是解這類題的通法。

三、方程思想

方程思想就是根據所要解決的問題建立方程模型。

如圖2，P1是反比例函數y=（k＞0）圖像在第一象限的一點，點A1的坐標為（2，0）。

（1）當點P1的橫坐標逐漸增大時，P1OA1的面積將如何變化？

（2）若P1OA1與P2A1A2均為等邊三角形，求此反比例函數的解析式及A2點的坐標。

分析 第（2）問中有正三角形，可想到作正三角形底邊上的高：作P1COA1于C，作P2DA1A2于D。先求出P1的坐標，則函數的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐標，則可代入函數解析式列方程求解。

解 （1）P1OA1的面積將逐漸減小；

（2）作P1COA1于點C，因為P1OA1為等邊三角形，

所以OC=1，P1C=，所以P1（1，）。

把點P1的坐標代入y=，得k=，所以反比例函數的解析式為y=。

作P2DA1A2于點D，設A1D=a，則OD=2+a，P2D=a，所以P2（2+a，a）。

把點P2的坐標代入y=，得（2+a）a=，化簡得a2+2a-1=0。

解得：a=-1±。

因為a＞0，所以a=-1+。

所以點A2的坐標為（2，0）。

點評 若把圖2中的兩個正三角形改為正方形或等腰直角三角形，仍可列方程求解。

四、轉化思想

轉化思想就是將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題來解決的一種數學思想。

如圖3，過y軸上任意一點P作x軸的平行線，分別與反比例函數y=-和y=的圖像交于A點和B點，若C為x軸上任意一點，連接AC、BC，則ABC的面積為（ ）

A.3 B.

C.2 D.4

分析 連接AO、BO，將SABC轉化為SABO，然后運用k的幾何意義求解。

解 因為AB∥x軸，所以ABC與ABO同底等高。

第2篇：函數思想范文

【關鍵詞】函數思想；方程；不等式

在數學思想方法中，函數思想是其中十分重要的內容，在高中數學的學習中起到了至關重要的作用，函數代表的不僅僅是我們學習中抽象的理論知識，更反映出了自然界中量之間的依存和相互轉化關系，函數明確的反映出了兩個變量之間的關系，從某種意義上來說，函數就是將現有的已知條件轉化為專業的數學語言，構造函數關系，再利用我們構造的函數關系來解決實際的問題。

1函數的概念

函數代表的是變量之間的關系，從變量的角度分析，函數可以闡述為兩個變量x和y之間的關系，在x的某一取值范圍內，y會隨著x的變化呈現出規律化的變化，在這一對應關系中，因變量y就被稱為是自變量x的函數，其表示形式為：y=f（x）。

函數有許多性質，包括奇偶性、單調性、周期性等。將函數所具有的這些性質與其他的數學知識聯系起來，可以幫助學生更好地學好數學，并利用函數的概念或者性質，快速且方便地解答數學問題。

2函數思想在解題中的應用

2.1以函數為載體，實現函數與方程、不等式之間的相互轉化

函數與方程、不等式之間關系緊密，對函數的研究與應用依賴于不等式和方程，例如，在求函數的定義域和值域時，就是利用不等式知識進行求解的。證明函數單調性時，利用的也是不等式知識。同時，在進行方程和不等式的性質研究時，也需要函數思想的指導，這三者之間是密不可分的。例如在求解方程時，就相當于是在求函數f（x）的零點，在解題的過程中，要將學到的知識活學活用，注意不同知識間的交叉互換，培養自己的融匯交叉意識，從而對知識有一個整體的把握。

例1設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的篩x1、x2滿足0

證明：根據題意可知，

x1、x2是方程f（x）-x=0的根，即x1、x2是ax2+（b-1）x+c=0的根，

ax2

由上題的解題過程可以看出，這是一道求解二次方程的根的分布區間的問題，解答這一類問題時，要將題目中給出的已知條件轉化為二次函數f（x）-x=0求解的問題來解答，通過二次函數與二次方程之間的相互轉化，構建簡化的函數或方程形式，將其轉化為我們熟悉的形式進行解答，這種解題方式可以很好的培養學生的函數轉化思想，提高學生的解題能力。

2.2以函數為載體，促進函數與角的轉化

在進行三角函數問題求解時，要將角的變化與函數值的變化緊密地聯系起來。由于角與三角函數之間有著緊密的依存關系，因此，可以從函數的角度對角進行研究。

例2已知a>0，且a≠1，要使方程有解，則k的取值范圍是多少。

通過對例題的分析我們可以發現，這一類方程的解題方法一般是將方程中包含的等式轉換為不等式來求解，然后根據建立的不等式組有解這一解題條件，對k的取值進行討論，從而求得k的取值范圍。這一類題解題較為簡便，但在解題的過程中容易忽略對k值的討論，使得答案有所遺漏，在解題中充分的利用函數思想，就會使解題變得簡單。

解：原方程可以等價為如下方程：

將上述方程再次等價為不等式組為

解出k為

令x=acosθ，θ∈（，0）∪（0，）

則

當θ∈（，0）時，

此時k

當θ∈（0，）時，

此時0

所以k的取值范圍為k

3結語

函數作為中學數學中的重要教學內容，其在整個數學知識領域有著廣泛的應用，其思維邏輯方式新穎，解法多樣，因此也是歷年考試的重點內容。通過對近年來高考試題的命題進行分析，函數在高考數學中占有非常大的比例，因此，靈活掌握函數的解題方法，學會知識的靈活運用，對于學生推理能力和論證能力的培養都有著重要的意義。

參考文獻：

[1]黃炎哲.函數思想在解題中的應用[J].科教導刊.2016，02：124-125.

[2]何冬梅，趙國清.淺談函數思想在解題中的應用[J].保山師專學報.2005，05：40-43.

第3篇：函數思想范文

一、數形結合的思想

總結：在判斷三角函數性質的題目中，運用數形結合的思想解決，更容易讓學生形象化、具體化、生動化，進而讓學生理解、掌握.

二、換元的思想

總結：在三角函數式中，若同時含有sinα±cosα與sinαcosα，則可利用換元的思想，將三角問題轉化為代數問題解決.

三、分類討論的思想

總結：在三角運算中，有關三角函數所在象限符號的選取常需要進行討論，三角函數與二次函數綜合問題，以及三角函數最值等問題也要注意討論.

四、化歸與轉化的思想

總結：本題從“角”“名”“形”不同的角度，將三角函數式進行轉化，使問題得以解決，化歸與轉化的思想普遍應用于三角函數式的化簡、求值和證明中.

五、方程的思想

第4篇：函數思想范文

一、充分利用教材中的素材，滲透函數思想

小學數學的學習中，也有很多涉及到函數思想。老師不僅要在教學過程中挖掘其內容涉及的函數思想，更需要做好相關教學設計。只有有意識地將其中的函數思想滲透在教學中，才能產生良好的教學效果。例如，在長方體的體積教學一課中，長方體的體積公式為：V（體積）=a（長）×b（寬）×h（高）。這就是一個三元一次函數。如果僅是進行公式代入計算教學，學生無法深刻理解和靈活應用。因此，要將函數思想在“量、估、算”等活動中體現：師：（黑板上貼紙條，長10厘米。另一根長度不明的紙條貼于下方，兩根紙條一端對齊），同學們，這紙條長lO厘米，你能根據它的長度估計下面的紙條有多長嗎？生估計。師：說說你們的方法。生：可以比較一下，下面這根的長度大概為上面的3倍以上。（請另一位學生上臺測量，結果為35厘米。對估計比較準確的學生予以鼓勵）師：（將已知長12.5cm，寬8em面積100cm2的長方形貼于黑板，下面貼要估計面積的長方形），上面這個長方形面積100平方厘米，你能據此估計下面的長方形面積嗎？生估計。師：說說你們的方法。生：上面這個長方形的長是下面的3倍少一點，寬也是大約3倍。所以下面的長方形面積約為900cm2，（請另一位學生上臺測量，結果875平方厘米，估計比較準確。）師：（出示兩個長方體，一個已知長3cm，寬7cm，高10cm，另一個未知），這個長方體的體積是219cm3，你能據此估計一下另一個盒子的體積嗎？

老師拿著盒子走進學生以讓學生近距離觀察，進行估測、記錄。最后具體測量，公布結果。統計估計較準確的人數。（很少）師：都是通過已知的估計未知的，為什么對體積的估計會比較難？生：估計長度時只需比較長，估計面積就涉及到長和寬，體積則要比較長寬高三個方面。估計的數越多，就越不準。生：長方體的長、寬、高只要有一樣變動了一點，相乘算出的體積變化就非常大了。可見，學生可以分析出，面積是兩個變量決定的，體積由三個變量決定。再加上乘積關系，學生都體會到了只要其中一個變量變化一點點，就會較大程度影響最后的結果。這樣初步的認知，是對f（x，y，z）=xyz這一函數模型中因變量與三個自變量存在的關系的感知體驗過程。

其實小學教學中很多內容都有涉及函數思維。這需要教師不斷琢磨教學內容，深入分析理解，才能合理應用于教學設計。而深入滲透的教學設計，才能真正挖掘教學內容的深層作用，讓學生充分理解函數思想。

二、將靜止的問題改造成運動、變化的問題，滲透函數思想

計算占小學數學教學內容的很大篇幅。如果能把死板的計算，變得生動，蘊含變化，學生則更能感受到函數思想的魅力。如，小學一年級的上冊，教學中涉及到的計算問題：+2=6，教師只需把“+”和“2”靈活變化，如：=6。中填運算符號，中填兩個數字，小小的計算題，經過改造，就從靜止中有了變化，從而滲透了函數思想，開拓了學生的思維，全方面培養、挖掘學生的數學分析能力和潛力。以下為相關教學片段：師：（黑板上貼=6一題）同學們，今天我們來看一道有趣的計算題，想想在的位置能填什么運算符號？生：可以填加號也可以填減號！師：如果填加號，第一個里能填哪些數字？生：1到5都可以。生：0也可以1 6也可以。因為6+0=6，0+6=6。師：（在第一個口中填上1，請學生上臺填第二個的數字）。生填5。師：只能填5嗎？還有其他數字可以填嗎？生：只能填5.因為只有1加5才等于6，1加別的數就不等于6了。師：第一個口中的數字變成2，還能在第二個中填5嗎？生：不能，要填4，因為2+4=6。師：第一個的數字變成3呢？生：第二個填3。師：第一個填4呢？生：第+就填2。師：通過填數，你發現了什么？生：第一個數改變了，第二數也要跟著變。生：第一個數變大，第二個數就變小。生：第一個里的數加了1，第二個口里的數就會減1。如果是第一個減1，第二個則加1。因為一年級只學了簡單的加減運算，而高年級將學習乘除等復雜運算，所以這樣類似的計算模型練習，可以應用到每個年級段，根據不同年級學習的運算知識做相應調整。這樣有趣的填空探究游戲，學生不同程度地理解了函數涉及到的變量知識，以及其與未知數的不同：任意變換變量，未知數就可以根據變量唯一固定。這一計算模型練習，可以為將來學習方程打好基礎。另外一個典型的例子在五年級的下冊教材，其中一道練習題如下：一張長方形紙，長18cm，寬13cm。分別在四個角剪除四個正方形，邊長都為1cm，剩下部分折出無蓋的長方體，則這個長方體的容積是多少？這是一道可以拓展空間思維的計算題，雖然比較簡單，但如果教師可以探究出其中的函數思想，稍作改造，將是個很好的例題：一張長方形紙，長18cm，寬13cm。分別在四個角剪除四個正方形，剩下部分折出無蓋的長方體。請你假設出其中一種剪法，并計算剪后長方體的容積。在學生多種剪法的歸集后，可以讓學生自己發現規律。即剪除正方形的邊長不同，紙盒體積也不同。并且，這種變化是有規律的――先變得快，后變得慢。這樣難得的例題，可以讓學生多重.體驗二次函數的變化規律，對極值有了初步感知。可見，只要教師肯動腦筋，都可以把教學素材中一些算術問題做點變化，讓學生充分體驗函數知識的樂趣！

三、巧用數學游戲。滲透函數思想

以上例子中，都是在教學的具體例題練習中挖掘函數思想，進行相應變化讓學生初步感知的例證。其實，在課堂教學外，老師也可以利用數學游戲，讓學生體驗函數的相關知識。

1.巧用數學游戲，讓學生感受字母語言的優越性。數學語言無處不在，學生使用數學語言，能鍛煉其抽象邏輯思維，開拓想象。比如簡潔的字母就可以代表很多變量，做表格可以理清數學規律，直觀的圖像更能讓學生易于理解相關知識，這就是數學語言的魅力。在數學語言中，學生更是在無形中體會數學的變化、數學知識中各數量的聯系以及相關的規律，等等。下面就字母這一數學語言舉例說明數學游戲的設計：讓學生在心里想好一個數字，用這個數加上5，再乘以2，減4，除以2，最后減去所選的那個數，學生發現，無論選的哪個數字，最后結果都是3！這樣神奇的游戲，能激發學生的探究興趣，經過不斷實驗驗證，學生更加想找出原因以及肯定答案，但數字無窮無盡。是無法一一舉例研究的，在教師引導下，學生開始應用字母來代表任意數字，進行相關演算：設所選數為x， 1x+5： 22（x+5）； 32x+10-4=2x+6； 4（2x+6）/2=x+3： 5x+3-x=3！小小的一個規律，通過簡單的一個字母，就可以進行驗證推理最終得以肯定。這樣有趣的探究過程，學生不僅能體會到數學語言的魅力，更滲透著初步的函數思想，能讓學生了解函數的巨大力量！

第5篇：函數思想范文

關鍵詞：函數；高中數學；求解思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）02-0203-02

高中數學容量很大，本身課程安排又很緊，如何在有限的時間內快速、準確的求解數學題目，給其它科目騰出更多的時間，是一個值得認真思考的問題。函數存在于高中數學的整個過程，也是高考必考的一個熱點，可以用來解決很多實際問題，同時函數求解思想對我們高中生的思維能達到很好的訓練。高中數學當中通過構造函數求解的數學問題大概有以下幾類，比較數和式子的大小，求極值問題，不等式的證明，方程是求解和討論參數的取值范圍等等。當下，我們對數學認識不夠深刻，對用數學思想解決實際問題這種思維模式比較陌生，不太容易和當下的實際生活接軌，適當的培養函數求解思想能增強我們學習的熱情，同時可以培養學生的數學興趣。

1 函數求解思想的介紹

函數求解思想是指在求解某些實際問題時通過構造成數學函數，然后以求解函數思想來解決所要求解的問題。通過構造函數，應用函數的特性求解非函數問題，會轉換思考問題的思路，簡化題目的難度，值得我們學習和運用。函數求解思想的解題策略實際上是將原本好像是靜態的問題放到動態的過程中去考慮和觀察，將片面的問題投放到全面的層次上去思考解決。這種求解思想很具有創新性。構造函數在降低解決問題難度的同時還可以塑造我們的數學思維，增強我們數學思維的靈活性，對我們的創新能力有一定的促進作用。

2 函數求解思想在高中數學解題方法中的的應用舉例

函數求解思想貫穿于高中數學的各個層面，很多實際問題和幾何問題都可以通過構造函數來求解，函數本身的特性和特定的函數以及題目的約束條件會大大的提高解題速度和準確性。本文就以下幾個例題對函數求解思想加以闡述和說明。求解例題如下：試著比較0.80.5和0.90.4大小。

求解：這是一個不等式的比較問題，用常規的方法很難求解，若運用函數思想，將其構造成冪函數，，再通過函數的單調性，則可以得出，接才來構造冪函數，同樣根據函數的單調性可知，由此可以得出。由該例題可以看出，函數求解思想可以化不可能為可能，原本無法著手的題目通過構造函數可以簡單、清晰的求解。轉換求解問題的思路，值得我們學習。

再看下一個不等式題目，令e

求解：該題目同上，也不好求解，運用函數思想，構造對數函數，，則導數，令=0，則得出x=e。再通過函數的單調性分析如下：

（1）當0

（2）當e0，在（e，+∞]上是單調遞減的。

由于e

再來看一道通過構造函數來求參數的取值范圍的題目，如果不等式對滿足的所有x都成立，那么求x的取值范圍。

求解：該題目若不通過構造函數來求解，則解題過程相當復雜，還的分類討論。

構造函數，則題目可以轉化為使得求解不等式組可得。由構造函數使得題目變得簡單易解，這在考場上很有優勢，可以節約大量的時間，減少計算量，使我們保持清晰的思維過程。

3 利用函數求解思想解決數學問題

函數求解思想需要大膽的想象，聯想找到數學題目和函數的關聯，類比，這和敏銳的數學嗅覺是分不開的，這就需要我們平時多思考，多做題目，多積累。深刻理解每一類函數的性質和特點，每一個函數的幾何意義，實際意義，以及函數相關的數學定理，推論，只有深刻的洞悉這些函數內在的意義，在解題過程中才會有靈光一現的瞬間，我們在做題中應當刻意的去培養這種數學思維。尤其是在不等式的證明，求最值和比較大小，這時我們應該仔細觀察題目中數學式子的模型，做一定的聯想和匹配，再應用函數的特性尤其是單調性求解，使得所求解的問題簡單化，取得化腐朽為神奇的效果，這也是當下課改以后高考的一個趨勢。此外若涉及到求某個參數的取值范圍，這種題目十有八九就是要通過函數來解決，因為通過求導，判斷函數的單調性，求出函數的零點和極值，這本身也是一個很綜合復雜的題目，考察的知識點也比較全面，符合當下課改的要求，更有助于培養我們解決問題的綜合能力，在學習和解題過程中需要多加注意和總結。拋物線和一元二次方程的關系，未知數系數所代表的實際意義，以及有解和無解的判斷，判別式的合理運用，可以快速的解決一部分選擇題，大大減少題目的計算量。此外，不等式的證明類題目，大多數都是通過構造函數做差，證明該函數恒大于零或者恒小于零，這個題目的轉化過程值得我們注意和思考。最后，還有一些實際問題也可以通過構造函數來解決，比如二次函數和車燈的激光反射問題，只是在考慮這類問題時，應該嚴格注意題目中自變量和因變量的取值范圍，實際問題往往有實際取值的限制。只要我們善于思考，學習，嘗試和總結，函數求解思想一定可以在解題中給我們很大的啟發性。

4 結語

函數求解思想是高中數學解題別實用又很常用的一種方法，通過函數求解思想的應用可以更好的幫我們熟悉函數的性質和意義，進一步促進函數的學習，鞏固先前的學習效果，挖掘單純的函數學習背后的意義，其次和實際問題的接軌，可以削減單純數學學習的枯燥，高效的解題方法除了提高我們學習熱情和培養較好的數學思維外，還給其它科目騰出更多的學習空間，這樣更有利于我們全面的學習，培養其它的興趣愛好，全面發展，在高考中占據更有利的位置，函數求解思想觸類旁通在物理中也可以借鑒，值得我們思考。將靜態的問題通過動態的思想去解決，講局部的問題通過全面的思想去解決，運用函數的性質和特性，尤其是單調性和O值，最后很好的解決數學問題這本身是一種具有創新性的思維模式，很符合當前的教育愿景，值得學習和思考。

參考文獻：

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[7]章建躍.普通高中數學課程標準教材的研究與編寫[J].課程.教材.教法，2005，01：45-50.

第6篇：函數思想范文

關鍵詞：數學；函數思想；方程思想

一、知識內容

1. 函數的思想

就是利用函數的圖像和性質分析問題，通常將一些方程、不等式的問題轉化為函數的問題。具體體現有求方程的根的問題、不等式恒成立的問題，特別是一些超越方程或超越不等式中，巧用函數的思想，會使問題迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函數構造成方程，利用方程進一步研究方程的思想。具體體現有求函數的值域的問題、解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關系問題，都可利用解二元方程組來巧妙解決。

二、典例分析

1. （題型1）構造函數，并利用函數的圖像和性質來解決有關問題

例1 若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。

分析：方程2x+2x=5與方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以應找到兩個方程之間的聯系，轉化為函數的思想來解答。

解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）

2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）

由（1）式知x1可以看做函數y=2x-1與函數y=-x的產生的交點A的橫坐標；

由（2）式知x2可以看做函數y=log2（x-1）與函數y=-x產生的交點B的橫坐標。

而y=2x-1與y=log2（x-1）分別由y=2x與y=logx同時向右平移一個單位得到y=2x與y=logx函數圖像關于y=x對稱，即y=2x-1與log2（x-1）函數圖像關于y=x-1直線對稱。因為y=x-1與y=-x互相垂直，其交點C坐標為（，），同時A、B兩點關于C點對稱，所以x1+x2=2×=。

點評：本例由已知方程構成函數，巧用指對函數圖像的對稱性來巧妙地解決問題。

變式：設a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。

分析：觀察已知條件中結構形式，構造函數f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）為奇函數且y=f（x）在R遞增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。

例2 設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足的一切實數恒成立，求實數的取值范圍。

分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是構造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可達到解決問題的目的。若構造二次函數F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分類討論思想較為復雜化，若變換以m為主元，x為輔元，即一次函數F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max

只要f（-2）

實數x的取值范圍為（，）。

點評：本例將不等式恒成立問題構造函數，利用函數的性質巧妙解決問題。

2. （題型2）建立方程，利用方程的思想解決有關問題

例3 如果函數y=的最大值是4，最小值是-1，求實數的值。

分析：函數y=的定義域為R，值域為-1≤y≤4，由y=轉化為yx2-ax+y-b=0關于x的一元二次方程有實數根，使用到別式。

解：y=定義域為Ryx2-ax+y-b=0有實數根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。

-1≤y≤4，4y2-4by-a2-=0產生有兩根-1，4。

-1+4=-1+4=a=±4b=3。

點評：本例巧妙地將函數問題轉化成方程根的問題解決問題。

例4 已知函數f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。

（1）當a>1時，求證：函數f（x）在（0，+∞）單調遞增。

（2）若函數y=f（x）-t-1有三個零點，求的值。

分析：函數y=f（x）-t-1有三個零點轉化方程f（x）-t-1=0有三個根，再轉化成f（x）=t±1方程有三個根，再轉化成函數y=f（x）與函數y==t±1有三個交點，利用函數與方程思想相互轉化。

解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。

x>0，a>1，ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。

（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。y=f（x）在（0，+∞）是單調遞增的。

（2）函數y=f（x）-t-1有三個零點？圳方程f（x）-t-1=0有三個根？圳f（x）=t±1方程有三個根？圳函數y=f（x）與函數f=t±1有三個交點。

由（1）式知當a>1時，函數f（x）在（0，+∞）單調遞增，f'（x）=（ax-1）lna+2x，當a>1時，若x

當a>1時，y=f（x）在（-∞，0）單調遞減。

當00時，ax-1

當a>1時，y=f（x）在（-∞，0）單調遞增。

當00 lna

（ax-1）lna

當0

y=f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增。

y=f（x）與y=t±1有三個不同的交點，又t+1>t-1，y=t-1=f（0）=1時，且t=2時滿足要求。

t=2。

點評：本例巧妙利用函數與方程相互轉化的思想解決問題。

第7篇：函數思想范文

一、函數與方程思想中的基本要素分析

初中數學中，函數與方程思想的掌握是學生解決數學問題的基本技能.首先必須對初中階段函數類型和性質有較為深刻的理解，熟悉函數與方程思想解題時所涉及的基本元素.初中階段最為常見的函數包括一次函數和二次函數.在實際題目中，這兩種函數的考查頻率也相對較高.因此，一次函數和二次函數的基本概念和表達式成為函數與方程思想中的首要元素.

1.函數要素分析

對函數基本表達式的理解是掌握函數與方程思想的先決條件.比如，表達式：（1）y=kx+b；（2）y=ax2+bx+c中，要使（1）成為一次函數，必須k≠0.這是對一次函數最起碼的理解.要達到熟練應用的程度，必須進一步挖掘該解析式中一次項系數k決定的圖像類型，結合坐標軸構建清晰的數學模型，（2）式成為二次函數的先決條件是a≠0.函數對應的具體形狀曲線隨a的取值不同隨之改變.按照教材內容中對該類函數基本概念的解釋，從圖像上構建數學模型，結合圖形能夠加深對函數知識的掌握.具體如下：（1）式中，根據k、b的正負取值可以構建不同形狀的函數曲線；（2）式中可以根據a的正負確定二次曲線的開口方向等，合坐標系可以得到以下圖像：

圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）

從以上基本知識的梳理中可以看出，構建數學模型是對簡單函數知識深刻理解的有效途徑，通過對關鍵系數的分類思考，可以全面掌握函數思想在解題過程中所具備的基本要素，實際題目中涉及的函數知識點往往圍繞以上關鍵系數展開.因此學會采用數學模型方法，以數形結合的方式鞏固基本知識，是熟練掌握函數與方程思想的基礎.

2.方程要素分析

方程是解決問題的直接入手點，也是定量求解實際問題的必經之路.求解題目首先要挖掘隱含條件.構建方程的首要任務是尋找題目中的等量關系.設想在題目所給條件下，存在一個類似方程式的等式，其中包括若干未知量和已知量.能否順利應用函數與方程思想，取決于尋找方程所需要的對等條件.任何方程的求解，可以視為是對函數值為0時的自變量方程求解.比如，一元一次方程kx+b=0可以看做是y=kx+b的函數值為0時，自變量x的表達式.方程思想的應用在一定程度上拓寬了解題思維，使得對方程式的求解更加形象具體，某種意義上賦予了一定的數學含義，對學生來說更加具有啟發性.

二、函數與方程思想在解題中的應用

方程與函數本身就有必然的聯系，方程可以視為是函數賦予特值后的自變量表達式.因此，方程與函數有著相同的思路和解題方法，都是通過建立相等關系，求出未知數的值.兩者結合的思想關鍵就是找出相等關系，建立變量之間的等量關系，這是輕松求解函數問題的基礎，可以使數學問題變得簡潔、清晰.

通常情況下，函數與方程思想的應用涉及方程組的求解，此類題目的一般解題步驟是盡可能挖掘題目所含條件，根據上文所提到的函數和方程所具備的基本元素，限定特征方程解析式對應的等式條件，將互相制約的各個方程聯立起來，構建具有共解的方程組，以下實例具體說明.

【實例】一條拋物線y=-12x2+（5-m2）x+m-3與x軸有兩個交點A、B，點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB.求m的值.

分析：A，B為兩交點且關于x軸對稱，可知該拋物線對稱軸x=-b2a為y軸，再結合特殊點位置x=0時，y>0，可輕松建立方程組求解.即

5-m2=0m-3>0聯合求解即可.該題在求解過程中首選根據拋物線特征參數，亦即對稱軸方程確定關于m的方程式，再結合拋物線定點特征，限定m的取值范圍，通過二者之間的制約關系，建立方程組求解，是典型的函數與方程思想的應用，是初中數學解題中的有效途徑.

第8篇：函數思想范文

本篇運用函數思想方法, 通過建立函數或構造輔助函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質, 從而使問題得到解決．

1．構造函數解不等式

在構造函數解不等式中，應抓住所解不等式的結構特征，適當構造函數，利用函數的圖象和性質解不等式，往往會優化解題過程，甚至出奇制勝，給人以耳目一新的感覺．

（1）利用函數的定義域解不等式

例1 解不等式

解：構造函數,原不等式化為其定義域為

當x≥0時,

所以，原不等式的解集為

（2） 利用函數的值域解不等式

例2 不等式- 的解集為R，求實數 a的取值范圍．

解：構造函數

所以

原不等式的解集為R，所以有 同時成立,解得

（3） 利用函數的奇偶性解不等式

例3 解不等式

解：構造函數

易證 是偶函數.設 原不等式可化為

解得 原不等式的解為

（4） 利用函數的單調性解不等式

例4 當 時，不等式 恒成立，求實數x的取值范圍．

解：構造函數 恒成立，由一次函數單調性知，只須 同時成立．解得x>3或x

（5）利用“ 的解集即函數的圖象在軸的上方的部分對應的點的橫坐標的取值范圍”解不等式.

例5 解不等式

解：構造函數 其定義域為 解方程f(x)=0無實根，所以函數的圖象與x軸無交點，取 函數f(x)圖象分別在 上連續．所以，解集為

（6）利用“f(x)>g(x)的解集即函數y=f(x)的圖象上方的部分對應的點的橫坐標取值范圍”解不等式．

例6 不等式的解集為，求實數α的取值范圍．

解：構造函數

函數f(x)的圖象為等軸雙曲線在軸上方的部分，其漸近線與y=x+1平行，所以原不等式的解集為 ．由圖象知兩函數圖象交點的橫坐標為0，所以α=1，α=-1．

2．構造函數證明不等式

函數思想是最基本的數學思想．根據所證不等式的特征，構造適當的函數，然后利用函數的有界性、單調性、奇偶性及二次函數的性質來證明不等式，往往是解決此類問題的簡捷思路．下文試圖通過一些實例，簡述函數思想在不等式證明中的運用．在“不等式的證明”教學中，滲透函數思想，不僅可降低題目的難度，更重要的是提高了學生轉化問題、運用知識的能力，更有助于學生構造整體知識體系，加強知識板塊之間的聯系，從而逐步做到運籌帷幄，游刃有余．

（1）利用函數的單調性

例7 巳知

本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數思想，構造出與所證等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證之，思路則更為清晰．

證明：令

例8 求證：

本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索．若考慮構造函數，運用函數的單調性證明，問題將迎刃而解．

證明：令 ，可證得f(x)在[0，∞]上是增函數,

第9篇：函數思想范文

【關鍵詞】高中函數 化歸思想 解題研究

引言

在對學生進行化歸思想教育的過程中，要注意化歸思想的幾個主要原則，首先是把未知的問題轉化為已知的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題。其次把有難度的問題轉化為基礎的問題，把抽象的問題具體化、特殊化。另外，還要注意理論與實際相結合，教師還要在解題的過程中，不斷的深化化歸思想，使學生能夠熟練的掌握和應用。

一、化歸思想方法的類型

化歸思想簡單的理解就是轉化與歸結，主要包括三個基本的要素：化歸的對象、化歸的途徑以及化歸的目標。轉化主要包括等價的轉化和非等價的轉化，其中通過等價轉化而得到的問題與原問題在本質上是相同的，而非等價轉化得來的問題與原問題的本質不相同，必須對結果進行檢驗并加以補充與修改，才能確定轉化的等價性。化歸思想主要有以下幾種

1.數與形的轉化

在函數教學中，數形結合是常用的解題方法之一，函數的解析式可以用函數的圖像清晰的表示，而且函數的圖像也可以借助函數表達式進行表達，在解題的過程中可以通過數與形的相互聯系和統一，使學生獲得準確而簡單的答案。

例：已知x=ax+1方程式中有一個負根，而且沒有正根，求出a的取值范圍。

根據分析，可以將方程的兩邊看作是兩個函數，然后分別作出函數圖像。

L1：y=x；L2：y=ax+1。等式中L2是通過（0，1）的直線，如果要使x的取值為負的，則需要a≥1。

2.映射的化歸

（1）高中數學中的函數概念有很強的抽象性與概括性，其本質是一種映射關系。在教學的的過程中，教師傾向于通過舉例來講解函數的概念，導致學生沒有從本質理解函數的概念，只是大概的了解函數的概念和例子。在函數性質的教學中，教師可以將抽象的函數概念化歸成簡單的形式，以便于學生的理解和記憶。例如：滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）的函數模型為三角函數，滿足f（x）?f（y）=f（xy）的函數模型為冪函數，另外滿足f（x+y）=f（x） ?f（y）的函數模型為指數函數，這些等價關系之間的化歸在函數解題過程中有著重要的作用。

（2）在計算函數問題的過程中，我們可以將其轉化為具體數值，通過對數值進行計算找到解題的思路與方法，這就是函數問題中經常用到的“賦值法”。例如：已知偶函數g（x）在零到正無窮上是增函數，那么g（x）>g（1）的解集是？對于這個問題，教師舉一個具體的函數g（x） =x2的例子即可以向學生說明。

3.一般與特殊的轉化

在解決數學問題的過程中，一般與特殊的情況可以進行相互的轉化。有些數學問題通過一般的方法比較復雜，但是如果根據特殊情形進行思考則可以獲得比較簡單的解題思路。另外，特殊情況下得到的結論通過總結與歸納也可以推廣到一般的情形。例如：如果（3x+1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4+a5x5，求a0+a2+a4的值。首先分析，這個題目運用一般的思路比較復雜也不容易得出答案，那么就可以考慮運用特殊值的方法進行解題。

令x=1，則可以得出a0+a1+a2+a3+ a4+a5=4

令x=-1，可以得出a0-a1+a2-a3+a4-a5=32相加得2（a0+a2+a4）=36，得出結果a0+a2+a4=18

這種方法不僅簡單那便捷，而且可以激發學生的學習興趣與思考的熱情，使其更愿意主動的發現的新的解題方法，以此來提高學生的解題能力。

4.正面與反面的轉化

解決數學問題的過程中，我們可以從不同的角度進行思考與分析，有的問題從正面解決比較容易，而有的問題則需從反面入手。根據實際情況，從正確的角度來解決問題。在解決概率問題的過程中，我們可以運用到正面與反面的轉化。例如某射擊選手每次擊中目標的概率為0.7，連續射擊8次，并且每次的射擊都是獨立、互不影響的。那么這個射擊選手至少擊中一次目標的概率為多少？

首先我們考慮從正面對這個問題進行解答，這就需要我們把8種情況進行逐一分析。那么就要考慮在射擊的過程中恰好擊中一次、兩次、三次、四次、五次、六次、七次、八次的情況，這個過程分析起來就比較的復雜，所以我們可以忽略這種方法，從反面進行著手，來分析對立事件的概率，即射擊選手八次均未擊中目標的情況。把八次均為擊中目標的概率記為p8（0），那么p8（0）=C80（0.7）0 （1-0.7）8那么射擊選手至少擊中一次目標的概率為1-p8（0）。這種方法避免了繁瑣的分析過程，不僅減少了運算過程中的錯誤率而且使問題的解決更加的快速。在考試的過程中，學生如果能夠熟練的運用。

二、化歸思想的重要性

1.學生在學習數學知識的過程中，化歸思想可以起到很好的融合作用，并使學生循序漸進的掌握數學知識。例如在平面幾何的教學中，我們可以多次使用化歸的思想，使學生清楚的了解到復雜的幾何圖形都是由簡單的圖形組合而成的，幫助學生理清思路。另外在鈍角三角函數中，將鈍角轉化為銳角進行來解決問題。通過這種方法，可以加深學生對化歸思想的理解。

2.化歸思想不僅可以提高學生的學習能力，而且可以培養學生分析解決問題的能力。在解題的過程中，學生不僅可以回顧已學過的知識，而且可以使用不同的方法進行模型轉換。在高中的函數教學中，化歸思想就是將各個函數溝通起來的橋梁，它可以把函數知識與解題模式充分的結合起來，從而提高學生的解題能力。

小結