三角函數(shù)值規(guī)律精選(九篇)

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第1篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 教材分析 教學(xué)建議

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對函數(shù)有了一定的認(rèn)識。三角函數(shù)是學(xué)生遇到的第一個周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個基本初等函數(shù)。學(xué)完本章以后，學(xué)生應(yīng)對函數(shù)的一般內(nèi)容，如函數(shù)符號、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建立更完整的認(rèn)識。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中已有銳角的三角函數(shù)的概念，但沒有將其作為一種函數(shù)來教學(xué)，關(guān)注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問題。到了中職教育階段，需要從函數(shù)的角度來認(rèn)識三角函數(shù)，落實大綱中與三角函數(shù)部分相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容與要求。

本章首先對角的概念進行推廣，并通過弧度制對角的度量建立角與實數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)奠定基礎(chǔ)；為了角的概念推廣的需要，把角放到平面直角坐標(biāo)系中進行研究，不僅建立了角的大小與終邊位置的關(guān)系，而且通過角的終邊上的點的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，并利用角的終邊上點的坐標(biāo)的正負(fù)直觀性，判斷三角函數(shù)值的符號，得到特殊角的三角函數(shù)值，建立同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式幫助學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩方面理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的變化規(guī)律；最后利用計算器及誘導(dǎo)公式，能由已知三角函數(shù)值求出指定范圍的角。

本章內(nèi)容分為五個部分：角的概念推廣，弧度制，任意角三角函數(shù)的概念及相關(guān)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角。

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》建議本章設(shè)置18課時，其中新授部分16課時，復(fù)習(xí)部分2課時。

《大綱》對本章知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求包括：4項“了解”（角的概念推廣、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求指定范圍內(nèi)的角）；4項“理解”（弧度制，任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)）；2項“掌握”（利用計算器求三角函數(shù)值及利用計算器求角度）。

本章可看作是第三章（函數(shù)）的延伸和拓展，在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關(guān)系，即個性與共性之間的關(guān)系。同時，在本章的教學(xué)中，要特別注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如突出“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。由于三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，所以教學(xué)中既要“以形助數(shù)”，突出幾何直觀幫助學(xué)生理解抽象概念，又要“以數(shù)助形”，通過代數(shù)性質(zhì)反映圖像的變化規(guī)律。再如，由銳角的三角函數(shù)值到任意角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)圖像上一點的作法到一個周期內(nèi)的圖像上的畫法乃至整個定義域上的圖像的畫法等都遵循了由特殊到一般的思維方法。學(xué)好余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的最有效的方法是與正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行類比。

下面，筆者對本章的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過程及例題處理等方面，分節(jié)給出教學(xué)建議。

一、5.1角的概念推廣（2課時）

在學(xué)習(xí)了角概念的基礎(chǔ)上，本節(jié)的學(xué)習(xí)將進行角的概念推廣。在初中，角的定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形，角的范圍是0°～360°。

為了研究的方便，常將角放在平面直角坐標(biāo)系中，一般將角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與X軸的正半軸重合。這樣對所有的角來說，角的頂點、始邊是相同的，區(qū)別僅在終邊，而終邊的位置就決定了它是哪個象限的角。

銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角；鈍角是第二象限角，但第二象限角不一定是鈍角。

由“問題解決”可歸納出一般的結(jié)論：

若α是第一象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，則α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，則α/2是第二或第四象限角。

二、5.2弧度制（1課時）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中學(xué)習(xí)的角度制基礎(chǔ)上進行的。首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制的規(guī)定：一個周角的1/360叫做一度。

在此基礎(chǔ)上通過多種形式的教學(xué)活動使學(xué)生理解：弧度制是一種新的度量角的單位制。一個角的弧度數(shù)就是這個角（以角的頂點為圓心，任意長為半徑的圓的圓心角）所對弧的長度與半徑的比值，關(guān)鍵是要掌握弧度與角度換算的基本關(guān)系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。

三、5.3任意角的三角函數(shù)（2課時）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進行的。在初中，學(xué)生是通過直角三角形邊的比值來規(guī)定角的三角函數(shù)值：對于一個直角三角形的銳角，其正弦值為對邊與斜邊的比值，余弦值為鄰邊與斜邊的比值，正切值為對邊與鄰邊的比值?，F(xiàn)在對任意角，分別用三個比值y/r、x/r、y/x來規(guī)定，它們都只與角的終邊所在位置有關(guān)，而與點P在角的終邊上的具置無關(guān)。

從“問題解決”中，我們可以得出結(jié)論：

一個角的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)就等于這個角的正弦；與單位圓交點的橫坐標(biāo)就等于這個角的余弦；與單位圓交點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值就等于這個角的正切。

由討論可知，對于任意角α，它的正弦、余弦都有意義（因為r>0），但正切不同（因為tanα=y/x，x有可能為0），只有當(dāng)x≠0，即角α的終邊不在y軸上才有意義。因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R，正切函數(shù)的定義域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。

要確定角α的三個三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵還應(yīng)從任意角的三角函數(shù)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形更容易掌握。

四、5.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2課時）

本教材是利用單位圓導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系的：角α的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)就等于sinα，橫坐標(biāo)就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（稱為平方關(guān)系）；再由正切的定義tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（稱為商數(shù)關(guān)系）。

由兩個基本關(guān)系式可知，一個角的正弦、余弦、正切函數(shù)值之間是相互關(guān)聯(lián)的。因此，已知一個角的一個三角函數(shù)值，就可利用基本關(guān)系式求出其余兩個三角函數(shù)值。

學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，除了可以解決已知一個角的某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值，還可以對三角函數(shù)式進行化簡。要啟發(fā)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上討論并總結(jié)化簡的原則。

五、5.5三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（2課時）

根據(jù)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，就能得到誘導(dǎo)公式1；根據(jù)單位圓上點的坐標(biāo)及對稱關(guān)系，就能得到誘導(dǎo)公式2、誘導(dǎo)公式3、誘導(dǎo)公式4。

要掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，關(guān)鍵是要掌握公式2、3、4的特點：函數(shù)名稱不變，至于正負(fù)號，可以通過特殊化的辦法來確定。既然公式對任意角α都成立，那么，當(dāng)α是銳角時當(dāng)然也成立。當(dāng)α是銳角時，-α為第四象限角，其正弦、正切值為負(fù)，余弦值為正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分別為-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。

用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)值化為[0，π/2]內(nèi)的角的三角函數(shù)值，正確地化角和正確地運用誘導(dǎo)公式是關(guān)鍵。

由“問題解決”可知，誘導(dǎo)公式之間是有聯(lián)系的。如對于sin（π+α），我們可以作如下轉(zhuǎn)化：

sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.

分析例4時要引導(dǎo)學(xué)生回顧：判斷一個函數(shù)的奇偶性，一般都是從定義出發(fā)。在確認(rèn)了定義域關(guān)于原點對稱后，接著就考察f（-x）的結(jié)果等于f（x）還是-f（x），進而判定這個函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。

六、5.6正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（3課時）

用正弦線作正弦曲線的好處是不需要計算角的正弦值，實際就是把正弦線平移到相應(yīng)角的位置。這里要特別注意在坐標(biāo)系里橫軸、縱軸的單位必須一致，同時注意曲線的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五點法”作正弦曲線，實際就是列表描點法。這里的五個點分別是曲線與x軸的交點和最高點及最低點，它們的橫坐標(biāo)的間隔是π/2。

無論是幾何法還是“五點法”，都是為了找到曲線上的一些點，再用光滑的曲線把這些點連接起來。熟練之后就要把握好正弦曲線的形狀和特征，能迅速畫出正弦曲線的草圖。

由教材P152的“思考交流”所得結(jié)論，我們可以進一步推廣：y=-f（x）的圖像，與y=f（x）的圖像關(guān)于x軸對稱，y=f（x）+1的圖像，可以由y=f（x）的圖像向上平移一個單位而得到。

無論是單位圓中角在旋轉(zhuǎn)過程中正弦線的變化規(guī)律，還是由誘導(dǎo)公式1，均能得出正弦函數(shù)的圖像是呈“周而復(fù)始”的規(guī)律的。結(jié)合周期函數(shù)的定義和對周期的規(guī)定，由“探究”所得結(jié)論可知，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，它的周期為2kπ，k∈Z，最小正周期為2π。

要判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù)，通常是按照定義，尋找非零常數(shù)T，滿足f（x+T）=f（x）。由于已約定，在沒有特別說明的情況下，我們所說的周期都是最小正周期。因此，在找到這樣的常數(shù)T之后，還要再找出其中的最小正數(shù)。

由于正弦函數(shù)y=sinx的周期為2π，也就是說其圖像每經(jīng)過2π就重復(fù)，因此，要討論正弦函數(shù)的單調(diào)性，只需選取長度為2π的區(qū)間即可。

解決了例3后，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)：遇到出現(xiàn)含有正弦式的等式，求其他量的范圍問題時，通常是把正弦式放在等式的一側(cè)，其余的放在另一側(cè)。由于sinx的取值范圍是[-1，1]，等式另一側(cè)表達式的取值范圍也就是[-1，1]，這樣就可求出其他量的范圍。

不求值比較兩個角的正弦值的大小時，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問題化為在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個角的正弦，再根據(jù)單調(diào)性來確定它們的大小。

七.5.7余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2課時）

本節(jié)的教學(xué)過程中要充分運用好類比法，利用上一節(jié)研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的類似方法來研究余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

與畫正弦線類似，我們要畫出余弦函數(shù)y=cosx圖像上的點（x，cosx）。但余弦線不像正弦線那樣是“豎立”的。從畫圖的角度來說，得到每一個角的余弦線后，用圓規(guī)還是可以把它移到相應(yīng)的位置使它“立”起來的，但這樣做比較麻煩。用教材P157上的圖5-23，就能達到使它“立”起來的效果，這樣畫圖就比較方便。

無論是幾何法還是“五點法”，都是為了找到余弦函數(shù)y=cosx圖像上的一些點，再用平滑的曲線把這些點連接起來。熟練之后把握好余弦曲線的形狀和特征，就能迅速畫出余弦曲線的草圖。

仔細(xì)觀察教材P159的“思考交流”中的圖5-28，我們可以發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個單位得到。

類比正弦函數(shù)的性質(zhì)，很容易得到余弦函數(shù)的前三個性質(zhì)，對照正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域、值域、周期沒有變化，最大的區(qū)別在于奇偶性（是偶函數(shù)）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自變量不同）。如此類同的根本原因，可以從幾何上得到解釋：余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個單位得到。

不求值比較兩個角的余弦值的大小時，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問題化為在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個角的余弦，再根據(jù)單調(diào)性來確定它們的大小。

對于例3，解決時要有整體意識，即把x/3看作一個角，為了方便，用換元法，設(shè)t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，從而得到x=6kπ。最后還須注意把所得結(jié)果寫成集合形式。

八、5.8已知三角函數(shù)值求角（2課時）

為了解決有關(guān)已知三角函數(shù)值求角的問題，學(xué)生需要具備良好的基礎(chǔ)。為此，教師要組織同學(xué)一起回顧本章前面所學(xué)的知識，特別是誘導(dǎo)公式，各個象限的三角函數(shù)值的符號以及特殊角的三角函數(shù)值等。

第2篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

1.內(nèi)容與要求

1.1 本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角等

1.2 章頭引言安排了一個實際問題――求半圓內(nèi)接矩形的最大面積.這個問題可以用二次函數(shù)來解決，但如果設(shè)角度為自變量，就會得到三角函數(shù)式，學(xué)生尚未學(xué)過求它的最大值

第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)” 教科書首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角（都用坐標(biāo)定義），然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式教科書在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實例以及知識的應(yīng)用

第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)” 教科書先引入平面內(nèi)兩點間距離公式（只通過畫圖說明公式的正確性，不予嚴(yán)格證明），用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出（盡量用啟發(fā)式）其他公式，同時安排了這些公式的簡單應(yīng)用和實際應(yīng)用，包括解決引言中的實際問題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學(xué)生有所了解

第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)” 教科書先利用正弦線畫出函數(shù) ，x∈[0， ]的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動，得到正弦曲線；在此基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式，把正弦曲線向左平行移動個單位長度，得到余弦曲線接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又研究了正弦函數(shù)的簡圖的畫法，簡要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進了arcsinx、arccosx、arctanx等記號，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問題時用來表示答案

1.3 本章的教學(xué)要求是：

1.3.1 使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算

1.3.2 使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

1.3.3 使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力

1.3.4 使學(xué)生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）

1.3.5 使學(xué)生會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理解A、、φ的物理意義

1.3.6 使學(xué)生會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示

2.考點要求

2.1 理解弧度的定義，并能正確地進行弧度和角度的換算。

2.2 掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，會求的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期能運用上述三角公式化簡三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡單的三角恒等式

2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，并能解決正弦、曲線有關(guān)的實際問題

2.4 能推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式

2.5 了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式

2.6 能正確地運用上述公式簡化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值 證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題

2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過程、并能運用它們解斜三角形

3.考點分析

三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識的密切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一

本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)，不要求引入難度過高，計算過繁，技巧性過強的題目，重點應(yīng)放在結(jié)知識理解的準(zhǔn)確性、熟練性和靈活性上

試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識結(jié)合考查

復(fù)習(xí)時應(yīng)把握好以下幾點：

3.1 理解弧度制表示角的優(yōu)點在于把角的集合與實數(shù)集一一對應(yīng)起來，二是就可把三角函數(shù)看成以實數(shù)為自變量的函數(shù)

3.2 要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念

3.3 在已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值時，要注意題設(shè)中角的范圍，并對不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進行三角式的化簡、求值時，應(yīng)注意公式中符號的選取

3.4 單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來代替三角函數(shù)值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個強有力的工具

3.5 要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，進而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對函數(shù)式作恒等變形時需特別注意保持定義域的不變性

3.6 函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來比較大小

3.7 對于具有周期性的函數(shù)，在作圖時只要先作它在一個周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個函數(shù)的圖象

3.8 對于，，等表達式，要會進行熟練的變形，并利用等三角公式進行化簡

本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)，考查的知識共7個，高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過本章知識，題目多為求值題，有直接求某個三角函數(shù)值的，也有通過三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質(zhì)；以及少量的化簡，證明題考查的題量一般為3―4個，分值在12―22分，都是容易題和中等題，重點考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式

考生丟分的原因主要有以下兩點：一是公式不熟，二是運算不過關(guān)，因此復(fù)習(xí)時要注意以下幾點：

3.8.1 熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式復(fù)習(xí)中注意掌握以下幾個三角恒等變形的常用方法和簡單技巧

①常值代換，特別是“1”的代換，如：，，，等等

②項的分拆與角的配湊

③降次與升次

④萬能代換

另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實質(zhì)，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度

3.8.2 要會運用和差化積與積化和差公式對三角函數(shù)和差式，要善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，對于形如的式子，要引入輔助角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由的符號決定，角的值由確定對這種思想，務(wù)必強化訓(xùn)練，加深認(rèn)識

3.8.3 歸納總結(jié)并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡與求值的常用方法和技巧

①三角函數(shù)化簡時，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)種數(shù)，盡量化同角、化同名等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等

②三角函數(shù)的求值問題，主要有兩種類型 一關(guān)是給角求值問題；另一類是給值求角問題它們都是通過恰當(dāng)?shù)淖儞Q，設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系選用公式時應(yīng)注意方向性、靈活性，以造成消項或約項的機會，簡化問題

3.8.4 關(guān)于三角函數(shù)式的簡單證明 三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣一般規(guī)律是從化簡入手，適當(dāng)變換，化繁為簡，不過這里的變換目標(biāo)要由所證恒等式的特點來決定

①不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用數(shù)學(xué)歸納法

②附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于恰當(dāng)而適時地使用所附加的條件，也就是要仔細(xì)地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系常用的方法是代入法和消元法

三角恒等證明中要重點會用和差與積的互化公式，掌握等價轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的方法證明的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)差異――觀察等式兩邊角、函數(shù)、運算間的差異；尋找聯(lián)系――選擇恰當(dāng)公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化促進聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式

而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來說，要證，先證明的同名三角函數(shù)值相等，即，再證明在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，而后由函數(shù)的單調(diào)性得出

3.8.5 在解有關(guān)三角形的問題中，銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式，的妙用和三角形內(nèi)角和的制約關(guān)系的作用

3.8.6 求三角函數(shù)最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性等其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值

4.三角函數(shù)中應(yīng)注意的問題

4.1 本章內(nèi)容的重點是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及其運用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)難點是：弧度制的慨念，綜合運用本章公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與正弦曲線的關(guān)系關(guān)鍵是：使學(xué)生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義，講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)

由于課時較緊，教學(xué)中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補充已被刪簡的知識點例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講，三個；除（k∈Z）外，其余誘導(dǎo)公式中，要求學(xué)生記住并能靈活運用的，只是用正弦、余弦表示那幾個，以后求tan 可通過用科學(xué)計算器或者轉(zhuǎn)化為來求；在推導(dǎo)正切的和角公式以及畫正切函數(shù)的圖象時，出現(xiàn)了正切的誘導(dǎo)公式，但這只作為推導(dǎo)的中間步驟，不要求學(xué)生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和（差）角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下，結(jié)果不要求記憶，更不要求運用；此外，也不要補充“把化成一個角的三角函數(shù)的形式”這樣的例習(xí)題

4.2 在講述弧度制的優(yōu)點、角度制的不足時，要注意科學(xué)性事實上，角的概念推廣后，無論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實數(shù)集R及之間建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系說“每個角都有唯一的實數(shù)與它對應(yīng)”時，這個實數(shù)可以取這個角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分?jǐn)?shù)，或角度制下的秒數(shù)，所以對應(yīng)法則不是唯一的，但每一種對應(yīng)法則下對應(yīng)的實數(shù)是唯一的所以不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實數(shù)一一對應(yīng)有的教師認(rèn)為角度制的計量單位太小，而弧度制的計量單位大，而且可以省略不寫，這種說法雖有一定道理，但在科學(xué)上并不具有充足的理由，因為小有小的好處，何況坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸上的單位長度可以不一致關(guān)鍵在于用角度制表示角的時候，我們總是十進制、六十進制并用的，例如角其中61、21、12都是十進數(shù)，而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進（退）位的，這樣，為了找出與角對應(yīng)的實數(shù)（我們學(xué)的實數(shù)都是十進數(shù)），要經(jīng)過一番計算，這就不太方便了

4.3 定義了任意角的三角函數(shù)以后，嚴(yán)格地說，例如，只有，才可以說是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)，說明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說是三角函數(shù)，例如可以說是2x的正弦函數(shù)（這時可說它是三角函數(shù)），也可以說是正弦函數(shù)與正比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，但不能說是x的正弦函數(shù)另一點是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學(xué)中不宜隨便說（或?qū)懀罢液瘮?shù)y=sinx”，需知“函數(shù)，”只是正弦函數(shù)的一個周期，不要把部分當(dāng)作整體

4.4 關(guān)于已知三角函數(shù)值求角，在講解相關(guān)例題時，可以利用設(shè)輔助角（即通過設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知，這是化歸思想的運用）來求解，把求解過程調(diào)整為：

4.4.1 如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應(yīng)的銳角，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對值相應(yīng)的銳角

4.4.2 決定角x可能是第幾象限角

4.4.3 如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角，得出 內(nèi)對應(yīng)的角――如果它是第二象限角，那么可表示為 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或

也可以把上述輔助角看作參變量（x為自變量），那么所提供的方法就可以看作參數(shù)的應(yīng)用新大綱把參數(shù)的知識分散在有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，教學(xué)時適時提醒學(xué)生注意使用，這是有好處的

4.5 本章所使用的符號及其用法，全部與國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的取得一致，在板書中逐漸達到規(guī)范化 物理教科書也是這樣做的因此在布置和批改作業(yè)時，對于本章中的幾道與物理（力學(xué)、電學(xué)）有關(guān)的習(xí)題，解答時使用的符號及其用法，應(yīng)與教科書上的相同，以免與物理教師講課時的要求發(fā)生矛盾，弄得學(xué)生無所適從

第3篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

（1）從運動的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角。

（2）從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角。

（3）若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β=2kπ+α，kZ。

2.弧度與角度的互化

我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角，如何判斷角度以及對應(yīng)三角函數(shù)的符號，我們引入了單位圓。

1.任意角的三角函數(shù)

（1）定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正負(fù)之分，由旋轉(zhuǎn)方向決定 3.還有零角， 一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)。要點闡釋 任意角的三要素：題型一 ：鐘表走了兩個半小時，，分針?biāo)D(zhuǎn)的角度是多少？角的符號主要由旋轉(zhuǎn)方向決定角。題型二： 比較下面三個角的大小 根據(jù)角的符號判斷規(guī)律。誤區(qū)解密：下列四個命題中，正確的是（ ） A.第一象限的角必是銳角。（學(xué)生這方面犯錯比較多，初中主要學(xué)的是銳角，特別是特殊角。） B.銳角必是第一象限的角。C.終邊相同的角必相等。（從橫軸正方向開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角是正角，多轉(zhuǎn)一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。錯解：D 錯誤分析：在象限角中，做題的時候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。銳角必是第一象限的角 糾錯心得： 對于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋轉(zhuǎn)方向。初中對于角的認(rèn)識只限于0 ° ――360°，在剛接觸任意角時容易忽略任意角的方向，任意角的旋轉(zhuǎn)方向是有始邊到終邊決定的。注意： 任意角是有方向的，角的正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定 任意角的大小事沒有限制的，角可以任意大小，絕對值大小由旋轉(zhuǎn)次數(shù)及終邊位置決定 描述任意角時需要注意三個要素，尤其是旋轉(zhuǎn)方向。（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量。）

借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義。根據(jù)三角函數(shù)的定義，能夠判斷三角函數(shù)值的符號。通過學(xué)生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。單位圓對于學(xué)生理解任意角三角函數(shù)的正負(fù)有極大的幫助。當(dāng)一個角出現(xiàn)時，我們首先判斷它的象限，利用單位圓的知識很方便?，F(xiàn)實世界中的許多運動變化都有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫這種變化？我們要來學(xué)習(xí)刻畫這種規(guī)律的數(shù)學(xué)模型之一 ――三角函數(shù)。

三角函數(shù)是與角有關(guān)的函數(shù)，在學(xué)習(xí)任意角概念時，我們知道在直角坐標(biāo)系中研究角，可以給學(xué)習(xí)帶來許多方便，比如我們可以根據(jù)角終邊的位置把它們進行歸類，現(xiàn)在大家考慮：若在直角坐標(biāo)系中來研究銳角，則銳角三角函數(shù)又可怎樣定義呢？

學(xué)生情況估計：學(xué)生可能會提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點P的坐標(biāo)。

問題：1.銳角三角函數(shù)能否表示成第二種比值方式？

2.點P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3.點P在哪個位置，比值會更簡潔？符號決定于什么？橫軸和縱軸決定什么？（引出單位圓的定義）。指出sina=MP的函數(shù)依舊表示一個比值，不過其分母為1而已。

三角函數(shù)首先是函數(shù)。你能從函數(shù)觀點解析三角函數(shù)嗎？（定義域）

對于確定的角a，上面三個函數(shù)值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合和實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)。

新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗新知識的發(fā)生過程，首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數(shù)的定義是否也該推廣到任意角的三角函數(shù)的定義呢？通過這個問題，讓學(xué)生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。

第4篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

筆者現(xiàn)以概念形成理論為基礎(chǔ)簡述數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程。

概念教學(xué)的基本步驟是：（1）數(shù)學(xué)概念背景的引入。（2）通過分析、比較不同的例證，進行相關(guān)屬性的概括和綜合。（3）概括例證的共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性。（4）形成概念的定義，并用符號表示數(shù)學(xué)概念。（5）概念的辨析，進一步明確概念的內(nèi)涵和外延。（6）概念的初步應(yīng)用，形成用概念作判斷的具體步驟。（7）建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成概念之間的結(jié)構(gòu)。

1.數(shù)學(xué)概念背景的引入。一般來說，教師教學(xué)一個新概念，先應(yīng)讓學(xué)生體會和認(rèn)識學(xué)習(xí)的必要性，包括明確學(xué)習(xí)這一概念的意義，了解概念的作用，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機。這就是概念引入環(huán)節(jié)的主要目的和任務(wù)。

新概念的引入方式一般可分為兩大類：一類是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程中引入新概念，另一類是從解決實際問題的需要出發(fā)引入新概念。

2.通過分析、比較不同的例證，進行相關(guān)屬性的概括和綜合。例如，在“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)中，我們就可以首先舉出若干增函數(shù)的例子，如正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，讓學(xué)生觀察、思考，初步得出有的“在某個區(qū)間上圖像上升”，有的“在某個區(qū)間上圖像下降”，并通過表格定量地分析自變量的增大與函數(shù)值的變化之間的規(guī)律，為學(xué)生抽象概括本質(zhì)屬性奠定基礎(chǔ)。這里的例證一方面應(yīng)以正例為主，另一方面又要關(guān)注正例的多種變式。

3.概括例證的共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性。還以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例，在學(xué)生觀察思考上述例證之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試概括“增函數(shù)”的共同的本質(zhì)特征。

4.形成概念的定義，并用符號表示數(shù)學(xué)概念。例如，“增函數(shù)”的定義是“一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于定義域D內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1

5.概念的辨析，進一步明確概念的內(nèi)涵和外延。教師將概念與其他有關(guān)概念進行聯(lián)系和分化，使新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的起固著點作用的相關(guān)概念建立起實質(zhì)的聯(lián)系。例如，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)中的“第一象限的角”這個概念以后，學(xué)生如果不及時與已有的“銳角”概念分化，就很容易把兩個概念混淆。為此，教師在本階段教學(xué)中應(yīng)注意：（1）對定義的關(guān)鍵詞進行分析。（2）以實例（正例、反例）為載體，讓學(xué)生進行辨析。防止概念理解錯誤的一種有效方法是舉反例，反例就是與定義對象內(nèi)涵不一致（擴大或縮?。┑睦?。（3）讓學(xué)生自己舉出若干實例，檢驗學(xué)生對概念的理解。

6.概念的初步應(yīng)用，形成用概念作判斷的具體步驟。該步驟本質(zhì)上是檢驗和修正概念定義的過程。學(xué)生通過解決用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟，通過運用概念，使得抽象概念變成思維中的具體。例如，在形成“任意角三角函數(shù)”概念的定義后，為了讓學(xué)生熟悉定義，教師可從中概括出用定義解題的步驟，可以安排如下問題：（1）分別求自變量■，？仔-■所對應(yīng)的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值。（2）角的終邊過點P（■，-■），求它的三角函數(shù)值。

7.建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成概念之間的結(jié)構(gòu)。在概念獲得的過程中，很重要的是通過概念之間的關(guān)系來認(rèn)識新概念，由于在這個過程中經(jīng)歷了新舊概念的相互作用，無論是已有的概念還是新概念在認(rèn)識上都有了發(fā)展，認(rèn)知心理學(xué)家把此時的概念稱為“精致的概念”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“精致”可以從兩個方面進行：一方面是對新概念的內(nèi)涵與外延進行盡量詳細(xì)的“深加工”，通常表現(xiàn)為對各種可能的特例或變式進行剖析，分析可能發(fā)生的概念理解錯誤；另一方面是加強概念與概念之間關(guān)系結(jié)構(gòu)的“組織”，使學(xué)生所學(xué)概念與其相關(guān)的知識之間的聯(lián)系明確化，從而形成一個合理有序的概念系統(tǒng)。例如，在學(xué)習(xí)“任意角三角函數(shù)”的概念后，教師可通過概念的“精致”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識概念的細(xì)節(jié)，并將新概念納入到概念系統(tǒng)中去，使學(xué)生全面理解三角函數(shù)概念。這里包括如下內(nèi)容：（1）三角函數(shù)值的符號問題，（2）終邊與坐標(biāo)軸重合時的三角函數(shù)值，（3）終邊相同的角的同名三角函數(shù)值，（4）與銳角三角函數(shù)的比較——因襲與擴張，（5）從“形”的角度看三角函數(shù)——三角函數(shù)線，即聯(lián)系的觀點，（6）終邊上任意一點的坐標(biāo)表示的三角函數(shù)。

第5篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

一、抓住重點、突出重點

重點確立后，要通過每個教學(xué)環(huán)節(jié)和教學(xué)手段，象眾星捧月般地把它加以突出，即常說的“突出重點”。也就是抓住主要問題講課。如高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號一節(jié)，依次出現(xiàn)了三個內(nèi)容：①確定三角函數(shù)的符號；②三角函數(shù)的特殊值；③終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等。而確定三角函數(shù)的符號是這節(jié)教材的重點，這要分別做出四個象限的角，從三角函數(shù)的定義式出發(fā)，先分析正弦、余弦、正切在各象限中的符號，再用余割、正割、余切分別是上述三個三角函數(shù)的倒數(shù)而分別對號成組（共三組），而特殊值與終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等兩個問題也就迎刃而解了。

二、分散難點、突破難點

難點就是難于理解或難于掌握的內(nèi)容，或較抽象、或較復(fù)雜，難點與重點，有時兼?zhèn)?，有時不同。難，包括學(xué)生難學(xué)和教師難教，由于學(xué)生難學(xué)致使教師難教，若教法不當(dāng)，則學(xué)無成效，教與學(xué)相互制約、相互影響。確定難點，要著眼于多方面，不能單憑主觀臆斷。突破難點，更為艱辛，要師生密切合作，協(xié)同作戰(zhàn)，方可破之。突破難點要注重兩點，一要把難點講清，教師要由淺入深，由易到難，循序展現(xiàn)，把知識的內(nèi)在規(guī)律，清晰地交給學(xué)生，讓學(xué)生了解知識的來龍去脈，化難為易，步步相扣；二是把難點分化成若干個小問題，分散難點，各個突破。

三、尋找弱點、除掉弱點

第6篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

關(guān)鍵詞：函數(shù)；任意角三角函數(shù)；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的敘述語言雖然直接簡練，但是包含了豐富的數(shù)量關(guān)系和空間形式，是事物本質(zhì)特征、內(nèi)在聯(lián)系及規(guī)律的概括。任何一種認(rèn)知的開始即是對概念的理解。教學(xué)中概念教學(xué)將會直接影響學(xué)生后續(xù)知識的學(xué)習(xí)和能力的形成?；谝陨险J(rèn)識，教學(xué)中加強了對概念教學(xué)的重視，本文將結(jié)合實踐教學(xué)中的情況對任意角三角函數(shù)基本概念的教學(xué)作一些分析、探討。

一、任意角三角函數(shù)與函數(shù)

任意角三角函數(shù)是常用的周期函數(shù)，是繼函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的具體函數(shù)，但由于三角函數(shù)特殊的運算符號，及課本所給的形式是：sinα=■，cosα=■，tanα=■，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)為和前面所學(xué)函數(shù)y=f（x）的表達形式不同，懷疑這樣的函數(shù)和前面所學(xué)的函數(shù)真是一個概念嗎？由于學(xué)生在學(xué)習(xí)前面的函數(shù)概念時，習(xí)慣用x解析式表示y的函數(shù)，當(dāng)看到課本所給的不太一樣的形式時，比較難確定是怎樣的函數(shù)關(guān)系。即使知道具體是角與比值之間的函數(shù)關(guān)系，也較難將這抽象的概念形象具體化并靈活運用。因此，教學(xué)中要從感性的實際周期函數(shù)例子到一般抽象的函數(shù)形式逐漸深入教學(xué)，展示出三角函數(shù)概念的由來，讓學(xué)生能夠切實體會到三角函數(shù)的實際意義，明確三角函數(shù)的變量是角度和比值之間的函數(shù)關(guān)系，反映的是周期變化情況。當(dāng)能理解角度與比值的關(guān)系，自然就能明白用單位圓定義的三角函數(shù)，靈活計算出任意角的三角函數(shù)值，體會到任意角的三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)關(guān)系，最終加深對函數(shù)的理解，形成一定的概念體系。

二、明確任意角的三角函數(shù)有六種表達形式

任意角的三角函數(shù)有六種表達形式，勞動版技工學(xué)?，F(xiàn)使用的數(shù)學(xué)課本只提到較常用的三種，對于技工學(xué)校所教授的專業(yè)程度來講，這已經(jīng)足夠。不過實際上，x、y、r這三個量之間的比值有六個比值，分別是■、■、■、■、■及■，故角的變化會引起六個比值的不同，也就有六種函數(shù)形式。雖然學(xué)生能夠根據(jù)學(xué)習(xí)前三種函數(shù)的方法去理解掌握后三種函數(shù)，但在實際教學(xué)中教育者仍要明確六種表達形式，要知道若想幫助學(xué)生進一步認(rèn)知這一概念，就有必要對概念的外延做必要講解。否則，學(xué)生會認(rèn)為課本所給的三種函數(shù)表達形式就是三角函數(shù)的全部，遇到其他的表達形式會產(chǎn)生懷疑，畢竟課本上沒有給出三種之外的其他形式，且在做相關(guān)練習(xí)時，會下意識地將計變量上下顛倒來計算比值，造成答題錯誤。所以教學(xué)中應(yīng)該充分揭示概念的內(nèi)涵與外延，明確六種表達形式和它們的形式特點，以便學(xué)生靈活解決遇到的各種問題。

三、對比銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的函數(shù)名相同，表達形式一樣，形成過程也非常相似，且學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，習(xí)慣在直角三角形中的對邊、鄰變和斜邊，致使學(xué)生容易產(chǎn)生混淆，將任意角的三角函數(shù)也說成這三邊之間的比值，疏于考慮三角函數(shù)值的符號，運用概念時產(chǎn)生負(fù)遷移，造成解題錯誤。且受先入為主的影響，學(xué)生會產(chǎn)生這樣的疑問：為什么可以將銳角三角函數(shù)的定義用于任意角的三角函數(shù)？既然是這樣，怎么還這么麻煩地將對邊、鄰變和斜邊改成x、y、r。由于初次學(xué)習(xí)，很容易就忽略銳角是第一象限角，x、y的取值都是大于零的，而鈍角則是第二象限角，x的取值是小于零的，比值出現(xiàn)有負(fù)數(shù)。學(xué)習(xí)中，他們很快便能感知到銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的相似，卻較難清晰地理解兩者的連續(xù)與區(qū)別。注意引導(dǎo)學(xué)生對比兩者的概念，防止產(chǎn)生負(fù)遷移是任意角三角函數(shù)概念教學(xué)的關(guān)鍵。

四、正確運用概念

學(xué)習(xí)概念最終目的是運用概念為我們的學(xué)習(xí)、生活和生產(chǎn)所用，所以在向?qū)W生講解完基本概念后，要采取多種形式，幫助學(xué)生多次復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)的概念，并通過多種途徑去引導(dǎo)學(xué)生靈活運用概念，解決遇到的實際問題。只有這樣做才能體現(xiàn)課堂教學(xué)的真正意義，同時通過多次反復(fù)的運用概念，可以使學(xué)生加深對概念本身的理解，更好地掌握概念。

要使學(xué)生能正確運用概念，我認(rèn)為應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生運用概念去分辨出數(shù)學(xué)對象的不同屬性，抓住對象的特點，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)。所以三角函數(shù)雖有六種形式，但每種形式特點不同，能解決的對象也不一樣，俗話說：“兵來將擋，水來土掩?！弊プ∈挛锏谋举|(zhì)才能解決好問題。

五、為后續(xù)教學(xué)做好鋪墊

概念教學(xué)只是任意角三角函數(shù)教學(xué)的開始部分，后續(xù)還有三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、圖象等，這些教學(xué)都要以基本概念作為基本認(rèn)知。例如，任意角的三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)概念中的比值：■、■、■，我們就可以推斷出：sinα?cosα=1、tanα=■等基本函數(shù)關(guān)系。而在誘導(dǎo)公式教學(xué)中，學(xué)生不僅要理解概念，還要能夠用動態(tài)的觀點去看待平面直角坐標(biāo)系上角的變化，畫出任意角的終邊位置，準(zhǔn)確判斷取值的符號，懂得終邊相同的角，可以歸納出一般形式，這么多能力要求不可能一次課便能掌握到位，概念教學(xué)時就可以引導(dǎo)學(xué)生掌握終邊相同角、取值符號等知識，這樣會使教學(xué)前后呼應(yīng)，更具連貫性，學(xué)生的學(xué)習(xí)也會相對變得容易。

任意角的三角函數(shù)運用廣泛，其概念教學(xué)較具現(xiàn)實意義，教學(xué)中不僅要遵循概念教學(xué)的一般要求，還應(yīng)該注意教學(xué)與實踐的結(jié)合，避免形式化地去講解概念。教無定法，使用不同途徑和教學(xué)方法來達到更好的教學(xué)效果，實現(xiàn)教學(xué)目的，是教育工作者不斷努力追求的目標(biāo)。

參考文獻：

第7篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

一、挖掘式備課

我校采用的是集體備課模式，由一個教師主備，其他教師二次甚至三次備課，提倡先聽后上，就是一種好方法。在新理念指導(dǎo)下進行教學(xué)嘗試的過程中，我深深地體會到：一冊教材即使以前教過，再教一遍又能挖掘出不同的內(nèi)涵，得到不同的體會，獲得新的收獲。因此，要想實現(xiàn)高效的課堂效果，就必須創(chuàng)新“備課”法。

二、導(dǎo)學(xué)式預(yù)習(xí)

要想提高數(shù)學(xué)課堂效益，僅有教師精心備課還不夠，還必須把學(xué)生也帶動起來，這就是布置課前預(yù)習(xí)作業(yè)。我們采用的導(dǎo)學(xué)案教學(xué)，就是一個不錯的嘗試。在預(yù)習(xí)過程中，學(xué)生一是針對預(yù)習(xí)的內(nèi)容，自己能看得懂、能理解的，先獨立解決；二是預(yù)習(xí)內(nèi)容中理解有困難的、有疑問的，做上標(biāo)記，以備課堂上討論；三是對于預(yù)習(xí)的內(nèi)容，還有什么新方法，也把它記下來。借助于導(dǎo)學(xué)案，使每個學(xué)生學(xué)習(xí)新知識之前都有一個充分的知識與心理準(zhǔn)備，從而知道第二天講什么，什么是重點，什么是難點，做到心中有數(shù)，從而使教學(xué)過程做到有的放矢，既提高了課堂學(xué)習(xí)效率，又能讓優(yōu)秀生體驗成功的快樂，讓落后生有補給的時間和機會，調(diào)動了學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性。

三、體驗式“教學(xué)過程”

我校是一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)，有部分學(xué)生因為成績不佳、家庭經(jīng)濟條件差等原因已無擇校機會而就近入學(xué)，學(xué)生從小沒有一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，沒有得到家長的較嚴(yán)格督促和指導(dǎo)，面對學(xué)習(xí)困難時得不到有效幫助，受挫折時也很難得到及時的疏導(dǎo)和鼓勵，在家訪中還發(fā)現(xiàn)更有一部分家庭，由于父母工作不順利及其它問題，家長對子女在學(xué)習(xí)中遇到的失敗簡單責(zé)罵甚至拳腳對待，或者不管不問，導(dǎo)致這類學(xué)生怕數(shù)學(xué)，甚至討厭數(shù)學(xué)。長期以來我們的數(shù)學(xué)教學(xué)常常處于“教材是什么，我們就教什么”的狀態(tài)，有時把數(shù)學(xué)與生活的天然聯(lián)系割裂開來，把鮮活的數(shù)學(xué)異化成了純粹的符號系統(tǒng)，成了游離于生活之外的另一抽象的世界，使學(xué)生感覺數(shù)學(xué)枯燥無味。從學(xué)生的思維特點看，他們的思維是具體、形象的，他們對數(shù)學(xué)概念理解不是按我們成人意志“直接教會學(xué)生的”，而是要通過學(xué)生的形象思維，借助對客觀事物表象的理解后而產(chǎn)生的。單一的接受式教學(xué)讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)單調(diào)、呆板、毫無樂趣。對于學(xué)生的家庭現(xiàn)狀我無力去改變，于是我改變教學(xué)方法，去適應(yīng)學(xué)生的實際。根據(jù)數(shù)學(xué)自身的特點，遵循中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律去創(chuàng)設(shè)情景，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷實際問題，再抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用，使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)知識的理解。

第8篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

    教學(xué)活動是各種教學(xué)信息進行多向交流并發(fā)生作用的過程,教師為教學(xué)活動的開展而進行的教學(xué)設(shè)計也應(yīng)體現(xiàn)與各種教學(xué)相關(guān)因素的交往與對話,這樣才會更加符合新課程背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動特點.

    一、與數(shù)學(xué)課標(biāo)的對話

    課標(biāo)是教學(xué)的基本依據(jù),因此,在進行教學(xué)設(shè)計時與課標(biāo)進行高質(zhì)量的對話,全面深入地了解其中蘊含的先進教育教學(xué)理念,這對于教師在進行教學(xué)設(shè)計時準(zhǔn)確地把握教學(xué)起點,合理選擇教學(xué)方法,確立自己在課堂中的角色等都有非常重要的意義.

    與課標(biāo)的有效對話主要是為了準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo).在教學(xué)設(shè)計中,教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計是靈魂.由章建躍博士主持的“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”課題,對教學(xué)目標(biāo)設(shè)計提出了非常明確的思路:用了解、理解、掌握以及相應(yīng)的行為動詞“經(jīng)歷”、“體驗”、“探究”等表述教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上,應(yīng)當(dāng)對它們的具體含義進行解析,核心概念的教學(xué)目標(biāo)還應(yīng)進行分層解析;課堂教學(xué)目標(biāo)不宜分為“知識與技能”“過程與方法”“情感態(tài)度價值觀”,要強調(diào)把能力、態(tài)度等“隱性目標(biāo)”融合到知識、技能等“顯性目標(biāo)”中,以避免空洞闡述“隱性目標(biāo)”,使目標(biāo)對教學(xué)具有有效的定向作用.

    例如,《任意角的三角函數(shù)》一節(jié)的教學(xué)設(shè)計,依據(jù)課標(biāo),教學(xué)目標(biāo)為:

    理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

    這一目標(biāo)的含義是:

    能用直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)來表示任意角的三角函數(shù);知道三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個實數(shù)集(角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合)的對應(yīng)關(guān)系,正弦、余弦和正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù);在借助單位圓認(rèn)識任意角三角函數(shù)的定義的過程中,體會數(shù)形結(jié)合的思想,并利用這一思想解決有關(guān)定義應(yīng)用的問題.

    通過對課標(biāo)深入理解和把握其內(nèi)在精神,可以使教師以更高的觀點來指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計和實施.

    二、與數(shù)學(xué)教材的對話

    教材是教師進行課堂教學(xué)的主要依據(jù),為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動提供了基本線索,是實現(xiàn)課程目標(biāo)的主要資源.教師要通過與新教材的對話,去發(fā)現(xiàn)并認(rèn)識其內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、組織形式、結(jié)構(gòu)框架等方面的特點,以此提高自己組織實施教學(xué)的水平.

    教師在教學(xué)設(shè)計時要有整體的意識,從教材的整體角度去了解教材的編排體系及意圖,弄清每部分教材在整個教材體系中的地位和作用,要多用聯(lián)系、發(fā)展的觀點去思考教材內(nèi)容設(shè)計的作用、目的、意圖、意義以及在實際應(yīng)用中需要改進和完善之處,這樣才有可能在教學(xué)過程中實現(xiàn)對教材內(nèi)容的靈活處理和使用.

    教學(xué)設(shè)計中教師可以在對教學(xué)內(nèi)容作內(nèi)涵和外延簡要說明的基礎(chǔ)上,對教學(xué)內(nèi)容進行相應(yīng)的解讀和分析,即在揭示內(nèi)涵的基礎(chǔ)上,說明內(nèi)容的核心之所在,并對它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進行分析,其中隱含的思想方法要作出明確表述.在此基礎(chǔ)上闡明教學(xué)重點.這里要在整體框架結(jié)構(gòu)的指導(dǎo)下,圍繞當(dāng)前內(nèi)容,從學(xué)科角度進行微觀分析.比如,《任意角的三角函數(shù)》的內(nèi)容說明如下:

    這是一堂關(guān)于任意角的三角函數(shù)的概念課.在初中,學(xué)生已學(xué)過銳角三角函數(shù),知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長的比值.在此基礎(chǔ)上,隨著本章將角的概念推廣,以及引入弧度制后,這里相應(yīng)地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù),但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了.任意角的三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集(角的弧度數(shù)的集合)到另一個實數(shù)集(角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)或其比值的集合)的對應(yīng)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上再對教學(xué)內(nèi)容進行解析:三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù),它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見、最基本的數(shù)學(xué)模型,在高中數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.而任意角三角函數(shù)的概念又是整個三角函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ),所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念,同時在高中數(shù)學(xué)中還占有重要的地位.認(rèn)識它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助,其中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開,任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點,能夠利用單位圓認(rèn)識該定義是解決教學(xué)重點的關(guān)鍵.

    三、與同行的對話

    新課程的教學(xué)中僅憑教師個人的力量必然是有限的,面對其中的問題或困惑,有時需要依靠教師集體的力量才能解決,這就要求教師之間經(jīng)常進行合作、交流與對話,共同開發(fā)和利用好新課程中的教學(xué)資源.比如,開展同學(xué)科組集體備課活動,同學(xué)科組教師在集體備課中相互研討及交流,依靠集體的力量和智慧共同解決教學(xué)中的各種問題,通過學(xué)習(xí)和借鑒同行在教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、教學(xué)方法的選擇和課堂評價語言的運用等方面的長處,參考和觀摩其他教師的課堂教學(xué)實景,以此開闊自己的教學(xué)思路,使自己從中不斷獲得有益的啟示,為搞好教學(xué)設(shè)計提供可資借鑒的重要教學(xué)資源.

    四、與學(xué)生的對話

    學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,學(xué)生的具體情況是教學(xué)的出發(fā)點,教師只有與學(xué)生進行和諧平等的對話,增進師生之間的交流,才能了解學(xué)生,使教學(xué)設(shè)計具有較強的針對性,從而提高課堂教學(xué)效率.根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論,教師的教學(xué)不能忽視學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗,而應(yīng)當(dāng)把學(xué)生原有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點,引導(dǎo)學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上不斷獲得新的知識經(jīng)驗.

    在具體的教學(xué)設(shè)計中,教師可以針對學(xué)生認(rèn)知發(fā)展情況,作出可能存在問題的診斷情況分析和教學(xué)支持條件分析.在教學(xué)問題診斷分析中,教師根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗,學(xué)科內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論,對教學(xué)內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進行預(yù)測,并對出現(xiàn)障礙的原因進行分析.在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點.同時分析的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)做到言之有物,以具體學(xué)科內(nèi)容為載體進行說明.另外,不同的學(xué)生會出現(xiàn)不同的教學(xué)問題,這也是在分析過程中要加以注意的.在教學(xué)問題診斷分析的基礎(chǔ)上,為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),根據(jù)問題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析,分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支持條件,以幫助學(xué)生更有效地進行思考,使他們更好地發(fā)現(xiàn)學(xué)科規(guī)律.當(dāng)前,可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息技術(shù)的使用,以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境.

    例如,《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)設(shè)計中,教學(xué)問題診斷分析可以表述為:學(xué)生在理解用終邊上任意一點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)時可能會出現(xiàn)障礙,原因是學(xué)生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù),并習(xí)慣了直觀地用有關(guān)邊長的比值來表示銳角三角函數(shù).要克服這一困難,關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點的坐標(biāo)的比值與直角三角形有關(guān)邊長的比值的聯(lián)系;學(xué)生在理解將終邊上任意一點取在終邊與單位圓的交點這一特殊位置上時,又可能會出現(xiàn)障礙,原因是他們可能會認(rèn)為這一特殊點不具有任意性.針對這一問題,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的知識來認(rèn)識,明白對于一個確定的角,其三角函數(shù)值也就唯一確定了,表示其三角函數(shù)的比值不會隨終邊上所取點的位置的改變而改變;學(xué)生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時,還可能會出現(xiàn)障礙,主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響,仍然局限在直角三角形中思考問題.要幫助學(xué)生克服這一困難,就要讓學(xué)生知道,借助單位圓,用終邊與單位圓交點的坐標(biāo)來表示三角函數(shù),就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問題,用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù),不僅沒有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì),同時還能定義任意角的三角函數(shù).教學(xué)支持條件分析可以表述為:為了加強學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解,幫助學(xué)生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙,本節(jié)課準(zhǔn)備在計算機的支持下,利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點坐標(biāo)的關(guān)系,構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境,使學(xué)生能夠更好地數(shù)形結(jié)合地進行思考.

    另外,在與學(xué)生的對話中,不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)知識過程中可能遇到的問題,而且還要關(guān)注學(xué)生為進一步鞏固和應(yīng)用知識而進行的課堂練習(xí)及作業(yè).為此在教學(xué)設(shè)計中,教師可以在認(rèn)真思考要為學(xué)生設(shè)置什么樣的練習(xí)及作業(yè)的基礎(chǔ)之上,給學(xué)生布置和安排有價值的練習(xí)和作業(yè).也就是要注意設(shè)置問題的適切性,對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和領(lǐng)悟思想方法有真正的啟發(fā)作用,達到“跳一跳摘果子”的效果.為此應(yīng)在教學(xué)問題診斷分析、學(xué)生學(xué)習(xí)行為分析的基礎(chǔ)上設(shè)置問題案例,并對師生活動進行預(yù)設(shè),并闡明及需要概括的概念要點、思想方法,需要進行的技能訓(xùn)練,需要培養(yǎng)的能力,特別要對如何滲透、概括和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法作出明確表述,以“設(shè)計意圖”的形式反映在教學(xué)設(shè)計之中.也就是在為學(xué)生所設(shè)置的每個問題或題目后面寫出相應(yīng)的設(shè)計意圖是什么,每個問題或題目后面的“設(shè)計意圖”可以只在教學(xué)設(shè)計中呈現(xiàn)出來,而在給學(xué)生的題目中可以寫出也可以不寫.

    比如,《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)可以設(shè)計如下類似的問題、例題和練習(xí):

    問題:你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域?

    設(shè)計意圖:研究一個函數(shù),就要研究其三要素,而三要素中最本質(zhì)的則是對應(yīng)法則和定義域.三角函數(shù)的對應(yīng)法則已經(jīng)由定義式給出,所以在給出定義之后就要研究其定義域.通過利用定義求定義域,既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容,同時又可幫助學(xué)生進一步理解三角函數(shù)的概念.

    師生活動:學(xué)生求出定義域,教師進行整理.

    例題:先確定下列三角函數(shù)值的符號,然后再求出它們的值:

    設(shè)計意圖:將確定函數(shù)值的符號與求函數(shù)值這兩個問題合在一起,通過應(yīng)用公式一解決問題,讓學(xué)生熟悉和記憶公式一,并進一步理解三角函數(shù)的概念.

    師生活動:先完成題(1),再通過改變函數(shù)名稱和角,逐步完成其他各題.

    練習(xí):

    1.設(shè)α是三角形的一個內(nèi)角,則sinα·cosα·tanα的值的符號是______.

    2.選擇“>”,“<”,“=”填空:

第9篇：三角函數(shù)值規(guī)律范文

近幾年全國各省市高考試題中，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容平均有20多分，約占總分的15%.試題包括一道考查基礎(chǔ)知識的選擇題或填空題和一道考查綜合能力的解答題.解答題多考查三角化簡和三角函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性、周期性、最值等問題.本文著重分析高考題和模擬題中有關(guān)三角函數(shù)的各類解答題，主要剖析命題切入點，圍繞解三角函數(shù)解答題的方法思路，總結(jié)一些規(guī)律，供讀者參考.

一、重視對三角函數(shù)定義的考查

例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點.

（Ⅰ）若點A的橫坐標(biāo)是35，點B的縱坐標(biāo)是1213，求sin(α+β)的值；

（Ⅱ）若|AB|=32，求OA?OB的值.

【分析】本題第（Ⅰ）問直接考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)定義求得α，β的正弦、余弦值.之后通過兩角和的正弦公式展開，代入就可以求出結(jié)果.而第（Ⅱ）問求OA?OB的值的時候，除了下面解析中的定義法以外，也可以通過余弦定理求解.

【解】（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義知，

cosα=35，sinβ=1213.

α的終邊在第一象限，sinα=45.

β的終邊在第二象限，cosβ=-513.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

=45×(-513)+35×1213=1665.

（Ⅱ）|AB|=|AB|=|OB-OA|，

|OB-OA|2=OB2+OA2-2OA?OB

=2-2OA?OB，2-2OA?OB=94，

OA?OB=-18.

【點評】三角函數(shù)定義對學(xué)生而言既熟悉又陌生，熟悉是因為有銳角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)，理解不難；陌生是因為學(xué)過以后用得比較少，見面次數(shù)少了自然陌生.本題應(yīng)用三角函數(shù)定義容易得α，β的正弦、余弦值，但是如果考生從解三角形入手，則會使本題變難，從而走不少彎路.

二、三角求值注意角的范圍限制

例2（2013年湖南卷）已知函數(shù)f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2.

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g(α)的值；

（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

【分析】本題主要考查簡單三角求值以及三角不等式求解，求解此題的關(guān)鍵是利用好降冪公式、輔助角公式等，對已知函數(shù)關(guān)系式進行先化簡，之后再根據(jù)三角函數(shù)圖象或三角函數(shù)線的變化趨勢去求解.

【解】（Ⅰ）因為f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，

所以f(α)=3sinα=335，

從而sinα=35，α∈(0，π2).

因為sin2α+cos2α=1，得cosα=45，且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15.

（Ⅱ）f(x)≥g(x)3sinx≥1-cosx32?sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12x+π6∈［2kπ+π6，2kπ+5π6］x∈［2πx，2πx+2π3］，k∈Z.

【點評】本題不難，但是考生在由sinα=35求得cosα=45時，千萬要注意α∈(0，π2)，否則余弦應(yīng)該有正、負(fù)兩個取值了.此外，就是三角函數(shù)的相關(guān)公式必須熟練掌握.

三、輔助角公式要靈活應(yīng)用

例3（2013年天津卷）已知函數(shù)f(x)=-2sin（2x+π4）+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間［0，π2］上的最大值和最小值.

【分析】本題主要考查兩角和與差的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及輔助角公式.還包括三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，需要考生熟練掌握相關(guān)公式和基本的運算求解能力.

【解】（Ⅰ）f(x)=-2sin2x?cosπ4-2cos2x?sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-π4).

所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）因為x∈［0，π2］，所以2x-π4∈［-π4，3π4］，則sin(2x-π4)∈［-22，1］，所以，當(dāng)2x-π4=π2，即x=3π8時，f(x)的最大值為22；當(dāng)2x-π4=-π4，即x=0時，f(x)的最小值為-2.

【點評】所謂輔助角公式，其實就是兩角和與差的正、余弦公式的逆用.顯而易見，逆用公式比正用公式在理解上有困難，所以建議讀者在做這類題的時候，不要怕麻煩，要盡量將步驟寫全.如本題化簡過程中有2sin2x-2cos2x=22(22sin2x-22cos2x)=22(sin2x?cosπ4-cos2x?sinπ4)=22sin(2x-π4).這樣，化簡自然不會失分.

四、會用換元法求二次函數(shù)型最值

例4已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

（Ⅰ）求f(π3)的值；

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.

【分析】本題利用換元思想，引入?yún)?shù)，利用一元二次函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象，即可求得f(x)的最值.

【解】（Ⅰ）f（π3）=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94.

（Ⅱ）f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3(cosx-23)2-73，x∈R.

因為cosx∈［-1，1］，所以，當(dāng)cosx=-1時，f(x)取最大值6；當(dāng)cosx=23時，f(x)取最小值-73.

【點評】其實，比如求函數(shù)f(x)=sinx?cosx+sinx+cosx的值域，我們也可以用換元法，求二次函數(shù)值域得結(jié)論.令sinx+cosx=t，則sinx?cosx=t2-12，就能很容易求得f(x)的值域.但是，在換元的過程中，千萬注意變量的取值范圍在變化前后的等價性，本例中就是t∈［-2，2］.

五、圖象問題考查形式多樣

例5（2013年上海卷）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx)，其中常數(shù)ω>0.

（Ⅰ）令ω=1，判斷函數(shù)F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并說明理由；

（Ⅱ）令ω=2，將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π6個單位，再往上平移1個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，對任意的a∈R，求y=g(x)在區(qū)間［a,a+10π］上零點個數(shù)的所有可能值.

【分析】本題第（Ⅰ）問判斷函數(shù)的奇偶性，考生習(xí)慣上馬上入手判定F(x)與F(-x)以及-F(x)的關(guān)系.但是，當(dāng)說明一個函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的時候，我們只需要有一個反例就夠了.而第（Ⅱ）問考查函數(shù)圖象的平移伸縮變化，是考生極易出錯的地方，主要原因是沒有抓住關(guān)鍵――不論平移與伸縮順序如何，想要判斷水平方向平移的單位數(shù)，關(guān)鍵是看自變量x的變化，當(dāng)自變量由x變化到x+φ，函數(shù)圖象向左（φ>0）或向右（φ

【解】（Ⅰ)F(x)=2sinx+2sin(x+π2)

=2sinx+2cosx=22sin(x+π4).

F（-π4）=0,F（π4）=22,

F（-π4）≠F（π4），F(xiàn)（-π4）≠-F（π4）.

函數(shù)f(x)=f(x)+f(x+π2)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

（Ⅱ）當(dāng)ω=2時，f(x)=2sin2x，g(x)=2sin2(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1，其最小正周期T=π.由2sin(2x+π3)+1=0，得sin(2x+π3)=-12，

2x+π3=kπ-(-1)k?π6，k∈Z，

即x=kπ2-(-1)k?π12-π6，k∈Z.

區(qū)間［a,a+10π］的長度為10個周期，若零點不在區(qū)間的端點，則每個周期有2個零點；若零點在區(qū)間的端點，則僅在區(qū)間左或右端點處得一個區(qū)間含3個零點，其他區(qū)間仍是2個零點.故當(dāng)a=kπ2-(-1)k?π12-π6,k∈Z時，21個，否則20個.

【點評】函數(shù)圖象問題包括圖象變換（通常以選擇題形式出現(xiàn)），上述試題是一個很不錯的例子，通過函數(shù)圖象的平移、伸縮變換求函數(shù)解析式.

六、與向量結(jié)合問題?？汲Ｐ?/p>

例6（2013年遼寧卷）設(shè)向量a=（3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈［0，π2］.

（Ⅰ）若|a|=|b|，求x的值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=a?b，求f（x）的最大值.

【分析】本題注意到向量的坐標(biāo)表示，解決起來不是很困難.但是在考試的時候，考生容易忘記數(shù)量積a?b的坐標(biāo)表示，而只是記得定義a?b=|a|?|b|?cosθ，從而使得本題第（Ⅱ）問解決起來比較困難.

【解】（Ⅰ）由|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.

又|a|=|b|，得sin2x=14，以及x∈［0，π2］，從而sinx=12，所以x=π6.

（Ⅱ）f（x）=a?b=3sinx?cosx+sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12.由于x∈［0，π2］，則當(dāng)x=π3時，sin(2x-π6)有最大值為1，所以f（x）的最大值為32.

【點評】向量與三角函數(shù)等代數(shù)知識相結(jié)合考查是近年高考的熱點題型，其主要特點是用向量的形式給出條件，然后要求解決有關(guān)函數(shù)、三角、數(shù)列等問題.在解題時，有兩方面可以考慮，一是把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后由代數(shù)知識解題；二是構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄?，使問題目標(biāo)向量化，然后通過向量運算來解題.

七、解三角形問題要注意挖掘隱含條件

例7（2013年江西卷）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+(cosA-3sinA)?cosB=0.

（Ⅰ）求角B的大??；

（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范圍.

【分析】本題注意到A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B)，再利用兩角和的余弦公式展開，就可以容易求得角B的大小.第（Ⅱ）問求b的取值范圍，則需要注意到余弦定理的選擇，以及通過二次函數(shù)求b2的取值范圍，從而求出b的取值范圍.注意，如果只是求b的最小值，還可以選擇均值定理.

【解】（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，

即有sinAsinB-3sinAcosB=0.

因為sinA≠0，所以sinB-3cosB=0.

又cosB≠0，所以tanB=3.

又0

（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.因為a+c=1，cosB=12，

有b2=3(a-12)2+14.又0

【點評】三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考重點考查的內(nèi)容，以三角形為主要依托，以正、余弦定理為知識框架，結(jié)合三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容進行綜合考查.在三角形中，正、余弦定理將邊和角有機地結(jié)合起來，實現(xiàn)了邊角互化，從而使三角函數(shù)與幾何建立了聯(lián)系，為解三角形提供了理論依據(jù).

八、與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問題新穎

例8（2013年北京卷）已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.

（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(a，f(a))處與直線y=b相切，求a與b的值；

（Ⅱ）若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同的交點，求b的取值范圍.

【分析】本題第（Ⅰ）問考查直線與曲線相切的問題，只要注意相切的本質(zhì)――切點處曲線的斜率等于切線的斜率以及切點既在直線上也在曲線上，就可以求出a與b的值.本題第（Ⅱ）問設(shè)置得簡單大氣，但是對考生數(shù)學(xué)思維能力要求非常高.大多數(shù)考生判斷出來函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(0)=1.于是馬上下結(jié)論：若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同的交點，則必須b>1.但是，卻因沒有說明當(dāng)x+∞時，f(x)+∞的，不能得滿分.

【解】由f(x)=x2+xsinx+cosx，得

f′(x)=x(2+cosx).

(Ⅰ)因為曲線y=f(x)在點(a，f(a))處與直線y=b相切，所以f′(a)=a(2+cosa)=0，b=f(a).解之，得a=0，b=f(0)=1.

（Ⅱ）令f′(x)=0，得x=0.

當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的情況如下：

x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，f(0)=1是f(x)的最小值.當(dāng)b≤1時，曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點；當(dāng)b>1時，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1

所以存在x1∈(-2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)=f(x2)=b.

由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)和(0，+∞)上均單調(diào)，所以，當(dāng)b>1時，曲線y=f(x)與直線y=b有且只有兩個不同交點.