數學原始概念精選(九篇)
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第1篇：數學原始概念范文
王 慧
（太湖高級中學，江蘇 無錫 214125）
摘 要：數學是由概念、命題等內容組成的知識體系，是一門以抽象思維為主的學科。而概念恰是抽象思維的語言，因此深刻理解并準確掌握數學概念是學好數學的必要條件。在教學中，恰當地運用探究的方法，充分展示數學知識的形成過程，讓學生在體驗中建構，不僅可以有效地突破概念教學的難點，而且可以更好地幫助學生深化對概念的理解，培養運用概念的意識和能力。
關鍵詞：高中數學 數學概念 探究教學
據資料顯示：多年來高考數學試卷的抽樣調查分析表明，高中生在把握數學概念的本質屬性方面存在較多問題。主要表現為對數學概念的本質屬性認識不深刻,對同一數學概念的不同表達形式缺乏系統概括的理解。究其原因，當前數學課堂中依然存在教師重解題、輕概念的現象，造成學生對數學概念的本質屬性掌握不到位，不能很好地運用于解題，最終導致嚴重影響了教學質量。
下面筆者結合自己在實際教學中的兩則案例，談談在高中數學課堂教學中對概念本質實施有效探究教學的心得。
案例1 蘇教版《數學》必修1中“對數”
(這節課的課題企圖直接讓學生提出，基本不可能。因此課題的引入就從這個“國內生產總值”問題開始，得到1.08x=2。體現數學與生活的密切相關。)
投影：（1）2x=4（2）2x=12 （3）2x=2 （4）2x=3
（這幾個方程都與指數有關系：未知數位于指數位置。）
師：這樣的方程在實際生活當中我們經常會遇到，比如：隨著經濟改革的對外開放，……假如說，國內生產總值每年平均增長率是8%。請問經過多少年，國內生產總值是2010年的2倍？你能列出什么樣的式子？
生1：(1+8%)x=2。
師（板書(1+8%)x=2）：這是把2010年的國內生產總值看作1，根據題目的意思列出這樣一個方程。這個方程與我們前面列出的方程屬于同一個類型，也就是1.08x=2。下面，我們進一步關心一下這幾個方程是否有解？
（學生很快說出前三個方程的解：（1）x=2；（2）x= -1；（3）x=12 。但是對于第四個方程不知如何下手。）
師：第四個方程有沒有解？
生2：有。
師：到哪里找解呢？解為多少呢？(提出問題)
生2：可以考察函數y=2x的圖象。這個函數的圖象是連續的，而它的值域是所有的正實數，它又是單調遞增的，必與直線y=3有且只有一個交點。所以說，有一個解。
師：他采用形數結合的方法，把這個代數問題化為圖象處理，作出y=2x與y=3的圖象。從圖象上發現有交點，交點的橫坐標就是方程的解x。想不想知道x的值是多少？
（激發學生的求知欲與學習興趣。）
生齊答：想。
師：是多少？
生齊答：不知道。
師：這里的x是確定的，但用我們已經學習過的數又表示不出來，怎么辦？大家想一下，我們有沒有曾經遇到過類似的問題？（圍繞問題，提出假設）（教師幫助學生共同回憶：小學1÷3，除不盡13 ；初中x2=2，x=?2 ，圓周率3.1415926…π……）
師：現在遇到2x =3，x= ? 怎么辦？（收集證據，形成解釋）
（對探究的一系列暗示，體現“素樸”、“本原”的思想，啟發學生想到：用一個什么符號來表示它。用適當的符號表示一個研究對象，是數學的一個基本思想方法。）
師：那么，我們給它一個記號。這個值是由底數2和3唯一確定，所以把這個值記做x=log23。log是拉丁文logreth前面的縮寫。讀作：以2為底3的對數。這一類問題就是我們這節課將要研究的問題：（板書）對數（1）。請同學們思考對數與指數有什么關系呢？
（學生先獨立思考后分組討論）（交流和評價）
生3：在方程2x =3中求指數x，實際上已知底數與冪，求指數。
生4：對數由指數而來。
生5：對數可以看作是指數的另一種表示，一種等價表示。
感悟：這是一個用一般科學研究的方法進行數學概念探究的過程。由這個過程很自然地得到對數的符號和名稱，進而再確定符號的意義。
經歷了以上探究過程，學生得出：對數的性質“受制于”指數——受到指數性質的制約；在這個意義上，對數的性質是“天生的”。這也說明對數并非“全新”概念。對于進一步學習對數函數時，學生就不會再感覺到陌生與害怕。正是因為“對數從指數而來”，所以對數問題往往要轉化為指數來研究，這就產生出“把對數交給指數”的法則，一切變得更加自然。
案例2 蘇教版《數學》選修2-2中“導數”
投影：在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10。請分別計算運動員在[0,0.5]、[1,2]、[0,6549 ]時間段的平均速度，并描述運動員在這三個時間段內的運動狀態。
生：運動員在[0,0.5]時間段內平均速度為4.05m/s，說明運動員在該段時間內做上升運動。在[1,2] 時間段內平均速度為-8.2m/s，運動員在該段時間內做下降運動。在[0,6549 ]時間段的平均速度為0m/s，運動員在這段時間內做……
師：做什么運動？
生：平均速度為0，但是運動員在這段時間內并不是靜止的啊。
師：平均速度的確為0，我們并沒有算錯，說明平均速度并不能很好的描述運動員的運動狀態。
師：那我們用什么來描述運動員的運動狀態更為合理呢？
（引發學生現有認知沖突，發現想要更為準確合理地描述物體的運動必須尋求一個新的知識。使學生處于憤悱狀態，激發學生主動探索新知的欲望。）
問題串（逐個呈現）
問題1：你會求t=2時刻的速度（瞬時速度）嗎？（學生一臉茫然）
問題2：在t∈[2,2.1]的平均速度是多少？（學生很快就解決了）
問題3：t∈[2,2.01]、[2,2.001]、[2,2.0001]、[2,2.00001]……的平均速度呢？（借助計算器組內完成）
（教師投影表格，同時介紹“Δt”。由于計算量較大，因此讓學生分組用計算器完成，而后再將數值填入表內。）
問題4：通過計算，你有何發現？（組內討論）
（學生通過表格中數據的直觀呈現，發現當Δt越接近0時，平均速度 越接近常數-13.1。）
問題5：你會求運動員在t=2時刻的瞬時速度了嗎？
（學生通過計算與觀察，歸納出當Δt無限趨近于0時，平均速度 無限趨近于常數-13.1，這個常數就是運動員在t=2時刻的瞬時速度。）
問題6：你會求運動員在某一時刻t0的瞬時速度嗎？
（用t0代替問題5中的2即可。通過以上問題的解決，學生經歷了由特殊到一般，具體到抽象的過程，加深了對“逼近思想”的感悟，思維能力得到了提升。）
問題7：現在你能合理描述運動員的運動狀態了嗎？（學有所獲、學以致用、前后呼應）
第2篇：數學原始概念范文
1．通過本章的引言，使學生初步了解本章所研究的問題是集合與簡易邏輯的有關知識，并認識到用數學解決實際問題離不開集合與邏輯的知識。
2．在小學與初中的基礎上，結合實例，初步理解集合的概念，并知道常用數集及其記法。
3.從集合及其元素的概念出發，初步了解屬于關系的意義。
二、內容分析
1．集合是中學數學的一個重要的基本概念。在小學數學中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進一步應用集合的語言表述一些問題。例如，在代數中用到的有數集、解集等；在幾何中用到的有點集。至于邏輯，可以說，從開始學習數學就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是本章學習的基礎。
把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數學的最開始，是因為在高中數學中，這些知識與其他內容有著密切聯系，它們是學習、掌握和使用數學語言的基礎。例如，下一章講函數的概念與性質，就離不開集合與邏輯。
2.1.1節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明。然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。
3．這節課主要學習全章的引言和集合的基本概念。學習引言是引發學生的學習興趣，使學生認識學習本章的意義。本節課的教學重點是集合的基本概念。
4．在初中幾何中，點、直線、平面等概念都是原始的、不定義的概念，類似地，集合則是集合論中的原始的、不定義的概念。在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識。教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。”這句話，只是對集合概念的描述性說明。
三、教學過程
提出問題：
教科書引言所給的問題。
組織討論：
為什么“回答有20名同學參賽”不一定對，怎么解決這個問題。
歸納總結：
1．可能有的同學兩次運動會都參加了，因此，不能簡單地用加法解決這個問題.
2．怎么解決這個問題呢？以前我們解一個問題，通常是先用代數式表示問題中的數量關系，再進一步求解，也就是先用數學語言描述它，把它數學化。這個問題與我們過去學過的問題不同，是屬于與集合有關的問題，因此需要先用集合的語言描述它，完全解決問題，還需要更多的集合與邏輯的知識，這就是本章將要學習的內容了。
新課講解：
1．集合的概念：（具體舉例后，進行描述性定義）
(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集。
(2)元素：集合中的每個對象叫做這個集合的元素。
(3)集合中的元素與集合的關系：
a是集合A的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；
a不是集合A的元素，稱a不屬于集合A，記作。
例如，設B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，
注：集合、元素概念是數學中的原始概念，可以結合實例理解它們所描述的整體與個體的關系，同時，應著重從以下三個元素的屬性，來把握集合及其元素的確切含義。
①確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。
例如，像“我國的小河流”、“年輕人”、“接近零的數”等都不能組成一個集合。
②互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復的。
此外，集合還有無序性，即集合中的元素無順序。
例如，集合{1，2}，與集合{2，1｝表示同一集合。
2．常用的數集及其記法：
全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作N，非負整數集內排除0的集，表示成或；
全體整數的集合通常簡稱整數集，記作Z；
全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q；
全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R。
注：①自然數集與非負整數集是相同的，就是說，自然數集包括數0，這與小學和初中學習的可能有所不同；
②非負整數集內排除0的集，也就是正整數集，表示成或。其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成或。負整數集、正有理數集、正實數集等，沒有專門的記法。
課堂練習：
教科書1．1節第一個練習第1題。
歸納總結：
1．集合及其元素是數學中的原始概念，只能作描述性定義。學習時應結合實例弄清其含義。
2．集合中元素的特性中，確定性可以用于判定某些對象是否是給定集合的元素，互異性可用于簡化集合的表示，無序性可以用于判定集合間的關系（如后面要學習的包含或相等關系等）。
第3篇：數學原始概念范文
1 抽象性
和數的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是從頭腦中由純粹的思維產生出來的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然后才能構成形的概念。純數學是以現實世界的空間形式和數量關系，也就是說，以非常現實的材料為對象的。這種材料以極度抽象的形式出現，這只能在表面上掩蓋它來源于外部世界。但是，為了對這些形式和關系能從它們的純粹形態來加以研究，必須使它們完全脫離自己的內容，把內容作為無關緊要的東西放在一邊；這樣就得到沒有長寬高的點，沒有厚度和寬度的線，a和b與x和y，常數和變數；只是在最后才得到知性自身的自由創造物和想象物，即虛數?！睌档母拍?，點、線、面等幾何圖形的概念屬于最原始的數學概念。在原始概念的基礎上又形成有理數、無理數、復數、函數、微分、積分、n維空間以至無窮維空間這樣一些抽象程度更高的概念。從數學研究的問題來看，數學研究的問題的原始素材可以來自任何領域，著眼點不是素材的內容而是素材的形式，不相干的事物在量的側面，形的側面可以呈現類似的模式，比如代數的演算可以描述邏輯的推理以至計算機的運行；流體力學的方程也可能出現在金融領域，數學強大的生命力就在于能夠把一個領域的思想經過抽象過程的提煉而轉移到別的領域。數學科學的高度抽象性，決定數學教育應該把發展學生的抽象思維能力規定為其目標。從具體事物抽象出數量關系和空間形式，把實際問題轉化為數學問題的科學抽象過程中，可以培養學生的抽象能力。
在培養學生的抽象思維能力的過程中，應該注意從現實實際事物中抽象出數學概念的提煉過程的教學，又要注意不使數學概念陷入某一具體原型的探討糾纏。例如，對于直線概念，就要從學生常見并可以理解的實際背景，如拉緊的線，筆直的樹干和電線桿等事物中抽象出這個概念，說明直線概念是從許多實際原型中抽象出來的一個數學概念，但不要使這個概念的教學變成對直線的某一具體背景的探討。光是直線的一個重要實際原型，但如果對于直線概念的教學陷入到對于光的概念的探究，就會導致對直線概念糾緾不清。光的概念涉及了大量數學和物理的問題，牽涉了近現代幾何學與物理學的概念，其中包括對歐幾里得幾何第五公設的漫長研究歷史，非歐幾何的產生，以及光學，電磁學，時間，空間，從牛頓力學的絕對時空觀，到愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論，等等。試圖從光的實際背景角度去講直線的概念，陷入對于光的本質的討論，就使直線的概念教學走入歧途。應該清楚，光不是直線唯一的實際原型，直線的實際原型是極其豐富的。
2 嚴密性
根據對于新中學數學課程教學的一些調查，新教材中對于某些公式的推導，某些內容的講解方面過于簡單，不能滿足同學的學習要求，特別典型的立體幾何中的一些關系判定定理只給出結論，不給出證明，方法上采用了實驗科學驗證實驗結論的方法進行操作確認，就與數學科學的精神和方法不一致，老師們的意見比較大，是目前數學教學實踐面臨的一個問題。數學教學的一個重要目標是教學生思維的過程與方法，讓學生充分認識數學結論的真理性、科學性，發展嚴密的邏輯思維能力。
此外，在數學教學上追求邏輯上的嚴密性需要有教學時間的保證，中學生學習時間有限。目前，在實施中學數學新課程以后，各地實際教學反映教學內容多而課時緊的矛盾比較突出，教學中適當地減少了一些對中學生來說比較抽象，或難度較大，或綜合性較強的教學內容，使教學時間比較充裕以利于學生消化吸收知識。在目前的中學數學新課程試驗中，教學內容的量怎樣才比較合理，讓一部分中學生能夠學得了的新增的數學選修課內容（尤其是選修系列四的部分專題）切實得到實施，以貫徹落實新中學課程的多樣性和選擇性，也是值得繼續探討的重要問題。
教材編制應該有利于老師組織教學，考慮為老師們優化教學過程提供設計的方案。老師的實際教學本身是對教材使用的再創造，必須有一個研究教材，能動地設計符合學生實際的合理教學方案的過程。教材不能過分地引導甚至去限定實際教學方法，更不必把實際教學過程都予以呈現。數學教材有必要為學生的學習鉆研以及老師的教學留有空間和余地，在數學教學中要講過程，很重要的方面是針對的是在實際課堂教學中讓學生簡單記憶背誦數學結論而不重視數學結論的來龍去脈的教學的問題和現象。作為數學教科書，應該提倡簡明扼要，經得起學生對于教科書的推敲和研究。
計算是數學研究的一種重要途徑，所以，中學數學教學必須培養學生的數量觀念和運算能力。現在的計算工具更加先進，還可以借助于大型的計算系統，這使計算能力可以大大加強。
3 應用廣泛性
第4篇：數學原始概念范文
一、集合的產生不是偶然的,是必然的
從原始社會的狩獵開始,人們就有意識地把自己最原始的生活生產與集合聯系在一起了。當在外狩獵了一天的男人們將自己的戰利品帶回部落時,他們會把野兔、野雞等肉食分在一起,而把一些野果、野菜分到一起。從這里,我們可以隱隱約約地看到集合的萌芽了。雖然這些只知道維持自己生活的原始人并不知道什么是集合,但他們的這種分類方法在我們現在看來還是具有一定的集合思想的。幾千年以后,1874年,德國著名的數學家康托爾開始提出“集合”的概念――把若干確定的有區別的(不論是具體的或抽象的)事物合并起來,看作一個整體,就稱為一個集合,其中各事物稱為該集合的元素。
二、集合的發展――研究的道路上充滿了陷阱
如果把現代數學比作一座無比輝煌的大廈,那么可以說集合論正是構成這座大廈的基石。
集合論的創始人――康托爾,因其集合論的成就被譽為對二十世紀數學發展影響最深的學者之一。他引入了集合論中有關基數的概念,并且定義了聚點、閉集、開集等概念。
18世紀初,正當數學家們處在集合論帶給數學的進步時,他們認為有了集合論這塊基石,輝煌的數學大廈就可以巍峨地矗立起來了。殊不知,第三次數學危機已悄然而至。1902年,英國著名數學家羅素寫了一則有關理發師的笑話,這位理發師夸下?？?“我給鎮上所有不給自己刮胡子的人刮胡子,而且只給這樣的人刮胡子”――這就是數學史上著名的“理發師悖論”正如現在的經濟危機帶給世界經濟的不僅是更殘酷經濟的競爭,而是國與國之間更加密切的交流與合作一樣,第三次數學危機帶給數學家們的不僅是種種未知的陷阱,而正是這些叵測的未知,讓數學家們更有勇往直前的科學精神。經過幾十年的努力,終于建立了公理化的集合論,至此,更進一步完美了集合論的理論。
三、集合的巨大作用
前面提到過“集合是數學的基石”,這句話終究從何談起呢?二十世紀,一群法國數學家――尼古拉?布爾巴基學派,希望在集合論發展的基礎上,用公理化的方法重新構造整個現代數學。布爾巴基學派認為,數學是一門研究集合以及作用在集合上的映射的一門學科,且具有三種基本的抽象結構――代數結構、序結構、拓撲結構。我們從一開始就接觸到的1,2,3,4,5到初中的幾何,再到高中的算法,乃至大學階段所學的泛函,都無一例外地使研究集合以及其映射的。集合論的發展,更為數學的發展拉開了嶄新的一幕。
第5篇：數學原始概念范文
關鍵詞：小學數學；概念；基礎
依照《義務教育數學課程標準》，函數概念在初中才能明確地引入，等到高中再用集合、對應的觀點去闡述函數的概念。但在我們小學的數學教學中卻一直貫穿著函數這一概念，因此，只有真正了解函數在教材中的地位和作用，才能使數學更生動，目標更明確。
小學數學是初等數學知識中最基礎的部分，但已經孕育了一些函數的觀點。比如，在我們小學數學中去討論的和、差、積、商的變化，它就直接地滲透了函數的思想。
在建立數的相等和不等的概念以及求兩數差多少的應用題的過程中也滲透了“對應”的思想，正比例、反比例關系那就更直接地揭示了兩個變量之間的相依關系。待到初中函數概念的引入就會成為數學發展認識的必然。如，方程可以看成帶有變數的函數表達式。求未知數的值，實質上是求函數值，并且要求分式的分母不能為零，實質上體現了其取值的范圍。不等式也可以類似去看，把序列函數看作是整標函數等等。笛卡爾坐標上的點與實數對的對應關系，就直接揭示其“對應”的觀點。
在以上所列知識的教學過程中，使學生從感性上認識了對應關系。對函數概念有了初步的認識后，到中學再引入函數這一概念也就順其自然了，學生接受起來也就輕松愉快了。然而，這只是函數概念的原始模型，這要到高中一步用集合、對應的觀點，去加深對“傳統定義”的理解，加以深化和提高，統一以前不完整的概念，使函數概念更精確化、準確化，為今后函數概念的學習和研究打下良好的基礎。
變量的建立，使自然科學描述現實物質世界的運動和變化過程成為可能，變量數學的基本概念――變量，函數、極限、導數和微分以及微分法和積分法，從本質上看不外是辯證法在數學上的應用，使許多在以前不能解決的問題得到比較圓滿的解決。例如，我們小學數學所學的圓的面積、周長，圓柱、圓錐的表面積、體積，無限循環小數化分數，實數概念等等，就可以讓學生清晰地去理解和掌握了。
第6篇：數學原始概念范文
【關鍵詞】 人類早期的會計行為;起源時間;產生條件
人類早期的會計行為起源于何時?是如何產生的?本文欲對此作一簡要分析和回答。
一、人類早期會計行為的起源時間
人類早期的會計行為,是指人類早期的原始計量、記錄行為,它是人類早期原始計量、記錄思想的體現,是會計的萌芽階段。關于人類早期的會計行為起源于何時的問題,國內外會計學者均作出了自己的回答。
(一)國內學者的研究成果
郭道揚教授認為,會計的萌芽階段起源于舊石器時代的中、晚期,而作為具有獨立意義的會計特征,直到原始公社制末期或到達文明時代的初期才表現出來。1982年,中國財政經濟出版社出版了湖北財經學院郭道揚編著的《中國會計史稿(上冊)》一書,標志著中國會計史系統研究的開端。隨后,中央廣播電視大學出版社于1984年出版了郭道揚的《會計發展史綱》,1988年,中國財政經濟出版社出版了郭道揚編著的《中國會計史稿(下冊)》。郭道揚著的普通高等教育“九五”國家級重點教材《會計史教程(第一卷)》也由中國財政經濟出版社于1999年出版。郭道揚教授的國家社科基金資助項目――《會計史研究》一、二、三卷也已經出版。這些論著都進一步論證了他的觀點。但1985年,河南人民出版社出版了中國人民大學高治宇的《中國會計發展簡史》,他認為,會計的產生和發展可追溯到原始公社末期。而1987年,中國商業出版社出版了文碩著的《西方會計史(上)》。書中的觀點與郭道揚教授的看法一致,認為人類原始計量和記錄時代起源于舊石器時代的中、晚期。
(二)國外學者的研究成果
國外學者則普遍傾向于會計起源于新石器時代。1605年,荷蘭數學家、會計學家西蒙?斯蒂文所著的《傳統數學》一書出版,其中第七章“古代簿記探測”,是最早的會計史研究專論,但當時會計史尚未發展成為一門科學。1933年,美國會計學家A?C?利特爾頓著的《1900年以前的會計發展》一書問世,奠定了會計史學科的基礎。1912年,英國律師沃爾芙編著的《會計師與會計簡史》在英國倫敦出版,人們習慣稱該書為《沃爾芙會計史》。1977年,邁克爾?查特菲爾德著的《會計思想史》一書在美國問世。1985年,前蘇聯著名會計學家索科洛夫著的《會計發展史》一書由莫斯科財政統計出版社出版。西蒙?斯蒂文和A?C?利特爾頓均未在其論著中對會計萌芽的起源問題作專門論述。沃爾芙認為,盡管世界上最古老的商業文書是在公元前3 500年以前,但可以推斷,記賬在公元前4 000年左右就開始了。邁克爾?查特菲爾德則引用Richard Brown的觀點,認為約7 000多年以前的巴比倫地區就出現了世界上最古老的商業記錄。前蘇聯會計學家索科洛夫認為,人類對經濟事項進行有目的的記錄活動開始于6 000年以前。這些論斷都說明人類早期會計行為出現在新石器時期。
通過比較上述國內外會計學者的不同觀點可知:國內學者傾向于認為人類早期的會計行為起源于舊石器時代的中、晚期,而國外學者則傾向于認為會計起源于新石器時代。
二、人類早期會計行為的產生條件
解決了人類早期會計行為的起源時間問題,而會計行為又是如何產生的呢?郭道揚教授認為,人類最初的會計思想與會計行為是社會生產發展到一定階段的產物。社會生產發展水平是衡量人類會計思想、會計行為發生的先決條件,而生產剩余物品的出現與陸續增加則是衡量人類會計思想、會計行為發生的具體條件。正是由于生產剩余物品的出現,人類才有可能在思維活動方面將生產、分配、儲備問題聯系起來加以考慮,從而萌生了一種計量、記錄思想,進而便產生了人類最古老的、最原始的計量、記錄行為。
高治宇認為,在人類社會的歷史長河中,會計的產生和發展的歷史過程可追溯到原始社會末期。當人們有了剩余生產物,需要對生產活動進行計量、計算和反映時,會計的原始萌芽就產生了。除了生產發展這個先決條件外,另一個重要條件,就是有了計量、計算和反映的方法,這兩個條件相結合,才可以說明會計的起源?？傊?研究我國會計的產生,必須明確認識兩方面,一方面,它的產生與當時生產力的發展水平相適應;另一方面,由于當時數量概念的形成,計量、計算和反映方法的采用,為會計核算方法提供了重要條件。
索科洛夫認為,核算(即會計,下同,筆者注)的起源或萌芽狀態對我們來說,將永遠是個謎。我們只能確信:核算不是一下子產生的。最初人們還不需要核算,因為憑人的頭腦就足以容下所有的經濟情況,這倒不是說某人有其特殊的記憶力,而是由于經濟的規模太小,有關的信息不多。只有在具備了某些條件后才有可能出現書面核算與賬簿登記。首先,經濟活動的發展應該達到相當廣泛的程度;其次,必須要有文字和學會初等算術。文字的出現與算術的發展為核算的產生創造了條件,而經營活動則有助于它的全面推廣。
本文把郭道揚教授的觀點歸納為“一條件說”,即剩余產品的出現促使了人類早期會計行為的產生。雖然郭道揚教授分析時提到了社會生產發展水平為先決條件,生產剩余物品的出現和陸續增加為具體條件,但本文以為生產剩余物品的出現和陸續增加是社會生產發展水平達到一定程度的結果,如新技術(石器打制和磨制技術、石器鉆孔技術、摩擦取火技術)、新工具(石球、標槍、骨器與角器工具)的相繼發明和應用,因此,這兩個條件實則表現為一個條件。本文把高治宇的觀點歸納為“二條件說”,即剩余產品的出現和數學的出現共同促使了人類早期會計行為的產生。本文把索科洛夫的觀點歸納為“三條件說”,即剩余產品的出現、數學的出現和文字的出現三者共同促使了人類早期會計行為的產生。
三、人類早期會計行為與數學的關系
(一)郭道揚教授在分析人類早期會計行為的產生條件時,只提到了社會生產發展水平和生產剩余物品的出現這個條件,而沒有提到數學條件和文字條件
其實,郭道揚教授是提到了這兩個條件的。郭道揚教授認為,人類最初的計量、記錄行為,其本身就表現為一種原始的“數學”行為,原始的會計行為與原始的數學行為是同時發生的。本文雖不同意郭道揚教授的這一觀點,但這并不影響我們對這一觀點的理解,即人類早期的會計行為――人類最初的計量行為(表現為數學,此時的數學為萌芽狀態)、人類最初的記錄行為(表現為文字,此時的文字為萌芽狀態)到了人類社會有了生產剩余物品時才出現。
高治宇在分析人類早期會計行為的產生條件時,提到了兩個條件:一個是“有了剩余生產物”,另一個是“有了計量、計算和反映的方法”。仔細分析第二個條件“有了計量、計算和反映的方法”,我們可以發現這個條件包含了兩層意思:第一層意思是“有了計量、計算的方法”(表現為數學),第二層意思是“有了反映的方法(表現為文字)。
剩余產品的出現、數學的出現和文字的出現三者共同促使了人類早期會計行為的產生。
(二)由于國內外對“會計”、“數學”、“文字”等概念理解上的差異,國內學者基本上以“早期的萌芽狀態”來理解這些概念,而國外學者卻按“后期的特征狀態”來理解這些概念
這樣一來,就導致了人類早期會計行為的起源時間一早一晚結論的出現,即:國內學者主張人類早期的會計行為起源于舊石器時代的中、晚期(距今約十萬至二、三萬年前),而國外學者則認為會計起源于新石器時代(距今約八千至五千年前)。
(三)會計與數學的關系源遠流長,會計的發展離不開數學的支持和幫助
早期會計的出現依賴于數學的產生和運用,后期會計的發展更是依賴于數學的支撐,如1494年意大利數學家盧卡?帕喬利出版的《算術、幾何、比及比例概要》(也譯《數學大全》),1605年荷蘭數學家西蒙?斯蒂文出版的《數學慣例法》(又譯《傳統數學》),均把會計作為數學問題的一部分進行論述,詳細介紹了意大利的復式簿記。復式簿記是會計的基本記賬方法,在會計學中占有非常重要的地位。此外,像會計恒等式:資產=負債+所有者權益,賬戶余額的計算公式:期末余額=期初余額+本期增加額-本期減少額,固定資產折舊額的計算,產品成本的計算等,都是數學原理在會計學中的具體運用。
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第7篇：數學原始概念范文
新課標提出，要讓學生“經歷從日常生活中抽象出數的過程，理解萬以內數的意義，初步認識分數和小數”。心理學研究表明：兒童獲得概念的方式主要是概念的形成和概念的同化。前者主要依靠對具體事物的概括獲得概念，后者主要利用認知結構中相關的原有概念來理解新概念。隨著學生對知識的積累，概念的同化逐漸成為他們獲得概念的主要方式。學生學習小數應該屬于概念的同化。但問題的關鍵，是如何找到用來同化小數這個概念的系統結構。
從學生已有的認知結構來看，有兩種方式可以抽象出小數的概念。一種是從十進分數入手，一般認為小數是十進分數的另一種表示形式，所以教材都是先安排認識分數，再安排認識小數。元、角、分是小數在生活中的原型，教學時都會利用這個資源，通過生活經驗（零點幾元）和知識經驗（十分之幾）的對接，讓學生知道零點幾就是十分之幾。另一種是從整數計數方法的知識結構出發，把小數看作整數計數的概念推廣，也就是基于十進制表示數量的需要，以前學生學習的整數計數是往大的方向發展的，即滿10個計數單位就往上面一級進1，但由于生活和數學的發展要求，計數也要往另一個方向（即越來越小的方向）發展。
由此，我們知道，小數與自然數一樣，都是用來計量的，是生活中很多時候不能用自然數計量時產生的新數，它也遵循十進制位值系統的一切規則。張奠宙教授指出：小數是十進制計數沿著另一個方向（越來越?。┑难由?，不是分數的附庸。
從數學史的角度來看，分數和小數的產生其實是相對獨立的，我國古代劉徽最早提出十進小數的概念，實質上就是十進制計數的發展。國內外教材對“認識小數”的編排也有兩種不同的方式：一種是從小數與十進分數的聯系來編排的，如我國的教材；另一種是從整數計數的推廣角度來編排的，如法國的教材。
基于上述分析，教學時，我采用十進制計數與分數意義相結合的方式，創設古人計數的情境，讓學生經歷小數的產生過程，通過獨立思考和小組合作的方式“再創造”出小數，并逐步抽象出小數的意義。用學生已經熟悉的十進制位值系統的知識結構來同化小數的概念，對學生來說，更容易理解小數的意義，因為這對其知識結構的構建來說，不僅能凸顯小數的本質，也是十進制位值系統完善的需要；從另一個角度講，分數的意義也是小數意義的基礎。由此，在教學中，我充分利用學生已有的分數意義的基礎，這樣，學生能更完整地認識小數的本質。
【教學目標】
1.結合具體情境，使學生經歷初步抽象出小數概念的過程，體會小數的意義，體會小數產生的必要性。
2.會讀、寫小數部分是一位的小數，知道小數各部分的名稱。
3.培養學生互相合作、互相交流的能力，激發學生學習數學的積極性，提高學生學習數學的興趣。
教學重點：使學生經歷初步抽象出小數概念的過程，理解小數的意義。
【教學活動及意圖】
一、呈現結構，喚醒舊知
1.談話導入結繩計數。
今天，老師帶來了一位大家的好朋友（出示哆啦A夢圖片），哆啦A夢有一個神奇的時光機，可以穿越時空。讓我們一起跟著他來到一個原始部落。（播放視頻）這個原始部落里的人以打獵為生，有一次，他們打到了一些獵物。（出示獵物情境）
師：同學們猜猜看，古時候的人是怎么知道打了多少只獵物的呢？（結繩計數、用小石子計數）
師：是的，古時候計數的方法很多，這個部落是用繩子打結來計數的。（出示結繩計數場景，出示圖1）你知道這表示幾只獵物嗎？
2.怎么來表示很多獵物？
師：獵物越打越多，打一只獵物就要打一個結，非常麻煩，于是他們想到了一個辦法。你知道是什么辦法嗎？（滿十只打一個大一些或者長一些的繩結）
出示圖2，這表示多少只獵物呢？（124只）
3.在計數器上畫一畫、寫一寫。
師：同學們真了不起，一下子就明白了古人的意思！請你在計數器上畫一畫，并寫下這個數。
師：與古人相比，你感覺我們現在的計數方法怎么樣？（方便、清楚、容易）
4.假如獵物儲存到十個一百只，在這個繩子上怎么來表示？（在百前面加一根更長一點的繩結）
【十進制位值系統有兩層含義：一是“滿十進一”；二是同一個數字在不同的數位上表示不同的數值。本片段十分生動地勾畫了十進制位值系統發展的歷史，喚醒了學生已有的知識積累。通過了解古代計數方法并與現代計數方法進行比較，再現十進制的知識結構，為學生接納小數的概念作好了鋪墊?！?/p>
二、自主探究，初步建構
1.把1只獵物平均分成10份，其中的1份在繩子上怎么表示？
師：有一次，部落里來了客人，他們正好打到了一只獵物，于是把這只獵物拿出來平均分成10份，用其中的9份去招待客人了，還剩下其中的1份，你會在圖2的繩結上把這1份記下來嗎？
同桌討論交流，學生自己嘗試記錄，之后反饋交流。
生：我在1只后面再畫一根更短的繩結。
師：這根更短的繩結表示什么意思？
生：表示把1只獵物平均分成10份，其中的1份。
師：想法非常棒，但老師有個疑問，假如一個不了解的人，怎么知道哪個表示1只，哪個表示（1只）10份中的1份呢？你有辦法區分嗎？
生1：這個（1份）繩結離那個（1只）繩結遠一點。
生2：在1只和1份之間作一個記號。
師（出示圖3）：好辦法！原始部落的人也是這么做的，在1只和1份之間再打個結區分一下。
2.怎么在計數器上表示1份？
師：原始部落的人會用繩結上表示1份了，你能不能在剛才表示124的計數器上把這個10份中的1份表示出來呢？
小組討論，嘗試“創造”出小數。
生1：我們小組發現原來的數位上不能表示這10份中的1份了，怎么辦呢？我們就在個位的右邊又添了一根線，在上面畫一顆珠子就表示10份中的1份了，我們給這個新的數位取名叫“分位”，因為它是平均分出來的。
生2：我們也是這樣想的，只不過我們給這個數位取名為“份位”，因為它上面的一顆珠子表示的是1份。
生3：我們取名叫“十分位”，因為是把1只獵物平均分成10份，表示其中的1份。
師：同學們的想法非常棒，自己創造出了一個新的數位。那怎么跟原來的個位區分呢？
生1：我在這兩個數位中間畫一小豎作個記號。
生2：我畫了一個點，這樣更簡單。
師：同學們的想法跟數學家創造的非常接近，現在我們又創造了一個新的數位，這個數位叫十分位，它表示把1平均分成10份。為了區分1個和10份中的1份，我們在這里用一個小圓點區分開。（課件演示十分位的產生過程）
3.認識小數。
師：把計數器（如圖4）上的數完整地寫下來。（學生寫一寫124.1）
師：這樣的數叫什么數？（揭示課題：認識小數）關于小數的知識還有很多，請自學教材第88頁的一部分內容。
學生交流124.1這個數各部分的名稱，并一起來讀一讀。（板書：整數部分，小數部分，小數點）
4.認識0.1。
師（出示表示0.1的計數器）：你能寫出這個數嗎？它的整數部分是多少？小數部分呢？0.1表示什么意思？
表示這樣的3份是多少呢？（0.3）0.4，0.5……0.9（十分位上的珠子依次增加）再加一顆呢？（往前進一，也就是說10個0.1是1）
出示兩個計數器（分別表示36.6和0.4），讓學生寫一寫、讀一讀、說一說，整數部分和小數部分分別是多少？36.6中的2個6分別表示什么意思？
5.回顧總結。
師：學到這里，你對小數有了哪些認識？怎么會出現小數的？
【小數的產生是生產和生活中計量的需要。這個片段的教學，引領學生真正經歷了小數產生的過程，弗賴登塔爾說：學習數學唯一正確的方法是實行“再創造”。通過讓學生自己創造出小數，一方面，可以加深他們對小數概念的理解；另一方面，可以讓他們感受到，十進制的位值系統除了可以向越來越大的方向發展，還可以向相反的方向發展，這是對原來計數方法的一次重大突破。】
三、逐步深化，系統建構
師：同學們，你們在生活中見到過小數嗎？
1.大自然中的小數。
（出示：蜂鳥的重量1.8克，蜂鳥蛋的重量0.2克）提問：1.8的整數部分是幾？小數部分是幾？0.2表示什么意思？
2.超市中的小數。
鉛筆0.5元 0.5元=（ ）角
橡皮9角 9角=（ ）元
文具盒8.4元 8.4元=（ ）元（ ）角
計算器25.6元 25.6元=（ ）元（ ）角
反饋時追問：為什么0.5元是5角？9角為什么是0.9元？8.4和25.6的整數部分表示什么？小數部分呢？
3.圖形中的小數。
（2）出示圖6，可以用0.1來表示嗎？為什么？
4.數軸上的小數。
出示圖7，請你在數軸上找出0.2、1.3和2.7，并展示交流你是怎么找到的，這里還有其他小數嗎？
【本片段分層進行練習：一是利用小數在生活中的應用，使學生加深對小數的理解，豐富小數的內涵；二是利用圖形溝通分數與小數之間的聯系，通過反例進一步加強學生對小數意義的理解；三是在數軸上找小數，讓學生在找的過程中加深對小數的理解，滲透數系擴展的思想?！?/p>
四、拓展應用，豐富內涵
在原始部落的繩子上又出現了更短的繩子（如圖8），它表示什么意思呢？在計數器上怎么來表示？
第8篇：數學原始概念范文
此后，對“善”的研究最有影響的人物要數英國哲學家、數學家懷特海。1939年在美國哈佛大學所做的一次題為“數學與善”的演講中，懷特海不僅對柏拉圖始終強調的一個重要思想——“善”的思想（又稱理念）予以了充分的肯定，而且對達到善的途徑和善的最終狀態進行了詳細的闡述。他從“有限”（有限的識別力、有限的知識）與“無限”（無限的宇宙）的相互關系出發，提出了“善”是一種描述無限豐富的數學世界的理想模式的思想，他指出所謂“善”，是一種理想的東西，具有無限的性質，人們正是通過模式這種有限的東西而達到對無限的宇宙——“善”的認識的。這樣，在柏拉圖眼里抽象、玄妙、讓人始終不可捉摸的“善”，通過懷特海精辟透徹的分析，使人們第一次對“善”有了一個具體而直觀的認識，那就是“善”本質上是一種描述無限豐富的數學世界的理想模式。[2]從柏拉圖與懷特海對“善”的闡述中我們也逐漸演繹出“數學理解的至‘善’追求是數學思想方法的理解”這一重要觀點。為了更好地理解這一點，下面從四個方面來具體闡述。
一、從數學理解的本質看，數學思想方法處于數學理解的最高層次
數學理解是每一個從事數學教學和數學學習的人都無法回避的問題，但究竟什么是數學理解卻眾說紛紜。有人認為，“對一個事物本質的理解，就是指該事物的性質以一定的方式在學習者頭腦中呈現并能迅速提取。而數學理解就是對數學知識的正確、完整、合理的表征。”[3]也有人認為，“一個數學的概念或方法或事實被理解了，那么它就會成為個人內部網絡的一個部分?！盵4]還有人認為，“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么就說明是理解了。”[5]但若從聯系的觀點來進行考察則可以清楚地發現，從某種意義上來說，數學理解的本質就是要在新、舊數學知識之間建立一種非人為的、實質性的聯系。
明確了數學理解的本質以后，我們再來進一步闡述“數學理解的最高層次是數學思想方法”這一觀點。為了更好地闡述這一觀點，有必要先明確一下數學思想方法的概念。關于數學思想方法，目前比較公認的說法有兩種：其一，“數學思想方法是數學概念、理論的相互聯系和本質所在，是貫穿于數學的、具有一定統攝性和概括性的概念?！盵6]其二，“數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映在人的意識中，經過思維活動而產生的結果。它是對數學事實與數學理論的本質認識?！盵7]盡管兩者的表述不盡相同，但基本上都把數學思想方法看作是人們對數學知識和方法所形成的規律性認識或基本看法，認為數學思想是在對較低水平的數學知識進行不斷概括、反思基礎上提煉出來的中心思想、原理或總綱。比如人們在對現實世界的數量關系進行抽象的基礎上產生了自然數的概念以及自然數的運算法則等，對自然數進一步抽象又可以將自然數用字母來進行表示（比如用N表示自然數），這樣就產生了字母代數的思想；而字母又可以進一步抽象為變量，這樣又會產生變量的思想。
由此可見，數學思想方法不同于數學概念、數學命題等理性知識，它更多表現為一種整體的、直觀的認識，它屬于理性知識但又高于通常所說的理性知識，它是一種至“善”的知識，這種知識追求的是一種數學的統一美、和諧美、簡潔美，這種知識作為一種高層次的思維形式它具有高度的抽象性，同時它又具有很強的直觀性，它往往會在人的頭腦中留下非常清晰的直觀形象（常常被稱為心理意象），會讓人產生清晰明確、天經地義的（被懷特海稱為自明的）感覺。若從聯系的觀點來看，數學思想方法本質上是構建各種數學知識有機聯系的方法或線索。
這樣我們就比較容易理解為什么數學理解的至善追求是數學思想方法的理解這一命題了。從聯系的觀點來看，數學理解是在數學知識之間建立聯系，而要在眾多數學知識之間建立聯系又必須首先找到構建數學知識聯系的方法或線索——數學思想方法。可以說，數學思想方法（作為線索和方法）既是構建聯系的前提，同時又是構建聯系的目標。這樣，數學思想方法層次理解的本質就是要能夠用某個思想方法作為線索將所要理解的知識“串聯”起來，從而達到奧蘇貝爾所提出的“綜合貫通”境界。
二、從數學發展歷史看，數學思想方法是數學發展的高級階段
從數學發展歷史看，數學思想方法經歷了從模糊的感性認識到精確的數學刻劃再到形成數學方法直到最后上升為理性的數學思想這四個發展階段。
在萌芽數學時期，原始人的思維還僅僅處于主客體分化的邊緣。其內部意識活動和外部信息活動的區分是極不確定、極不明晰的，原始人的思維以模糊的感性認識為主要形式。考古研究表明，在原始人那里并沒有真正的數詞，使用的僅僅是執行數詞的功能詞。而且數本身尚未形成同類序列，還只是一種“數-總和”的混合物。[8]比如，在很多原始部落，原始人只能認識到“5”，而大于5的自然數都統稱為“多”。
進入常量數學時期，為了更加精確地刻劃研究對象，科學進入了分門別類的研究階段，人們開始利用演繹方法來探究事物之間的各種聯系，其最典型的表現是數學的公理化和推理的嚴密化。
進入變量數學時期，數學的發展從對事物靜態聯系的考察進一步發展到對事物動態發展過程的考察階段。而要全面、深入地考察事物的動態發展過程就必須準確把握事物的發展脈絡。于是，數學從過去僅僅著眼于對具體數學知識的研究逐漸過渡到關注數學知識背后的數學思想并進一步發展為立足于數學思想發展變化的高度來認識數學知識這一新階段，如用函數的思想、變換的思想來重新審視代數學和幾何學的本質等。
到了現代數學時期，數學思想方法的研究又得到全新的發展。數學思想方法的研究逐漸從幕后走到了臺前，現在，數學思想方法不再僅僅只是研究數學知識的手段或工具，數學思想方法已經直接成為數學研究的對象并迅速發展成為一門重要的數學學科——數學方法論。
為了更好地理解這一過程，我們通過極限思想的發展歷史來說明這一點。
如果大家對極限的發展歷史有一點了解的話，那么應該知道極限的發展大體經歷了以下幾個階段：
1.運用模糊、直觀的日常語言對極限思想進行定性的描述的階段
極限思想起源于無限，最初表現為對無限這一概念的模糊、直觀認識。在我國，《莊子·天下篇》中曾經用“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”形象地反映人們對極限的直觀認識，而劉徽提出的“割圓術”則是極限思想的直接運用。在西方，無論是亞里士多德、德謨克利特等人提出的無限概念和無窮小量觀念，還是攸多克索斯提出的窮竭法，抑或牛頓、萊布尼茲提出的無窮小概念，都還只是對極限的一種直觀認識。盡管牛頓已經發明了微積分，但對極限的認識還沒有脫離直觀，還存在著很多模糊的地方。英國大主教貝克萊就曾對牛頓的無窮小概念提出了尖銳批評，并指出，“這些瞬時變化率既不是一給定的量，也不是無窮小的量，它什么也不是，它只是消失了的量的靈魂……。”[9]
2.借助于精確的數學語言對極限思想進行定量刻劃階段
微積分產生以后，人們發現微積分的基礎存在很多漏洞。為了完善其基礎，柯西采用“無限的趨近”、“任意小”等帶有模糊性的自然語言來描述極限，但這仍然不能徹底解決微積分基礎不嚴格的問題。后來，德國數學家魏爾斯特拉斯采用了精確的數學語言——“？著-N（？啄）”語言來刻劃極限，從而把微積分奠基于算術概念的基礎上，徹底解決了微積分中存在的漏洞。這樣極限從原來模糊的定性描述逐漸轉變為精確的定量刻劃并因此而導致了數學分析的產生。
3.極限成為解決問題的一種重要方法
極限的產生不僅促進了微積分基礎的嚴格化，而且還導致了諸如“？著-N（？啄）”語言、“lim”等一系列數學符號的產生。同時極限本身在解決問題中也顯示了巨大的作用，用極限既可以求導、求積分、還可以解方程、求收斂級數之和等等，其應用涉及現代數學的眾多分支，隨著極限在各種問題求解過程中的廣泛運用，極限已經成為解決數學問題的一種重要方法。
4.極限升華為一種理性的數學思想
隨著極限應用范圍的不斷擴大和應用層次的不斷加深，人們對極限的價值有了進一步的認識，逐漸形成了運用極限的思想來觀察問題、分析問題和解決問題的態度，并在此基礎上產生了“以直代曲”思想、“逼近”思想等重要數學思想。這表明極限已經逐漸發展成為一種重要的數學思想方法。
三、從人類認識數學的過程看，數學思想的理解是數學理解的最高層次
從人類對數學的理解過程來看，數學思想方法通常起源于人們的認識活動。洛克認為，理解過程從事物刺激感官所得到的簡單觀念開始（這時理解大部分是被動的），然后運用心中的主動性對簡單觀念進行合成、聯想和抽象而得到復雜觀念，大大增加人的理解力（這時候是知覺能力），理解便運用各種觀念作為材料，依照這些觀念的契合或相違（以此為范圍），通過感覺的、直覺的和推論的途徑，達到對個別事物、一般原則和上帝等對象的知識。[10]康德認為，一切人的認識都從感覺開始，再從感覺上升到概念，最后形成思想[11]。
通俗地說，數學思想方法的理解需要經歷從具有不確定性的數學活動經驗中抽取出具有確定性的數學知識，產生解決數學問題的方法，然后再運用這些知識和方法來解決現實世界中的問題、解釋現實世界中的現象，并在這種解釋世界、解決問題的數學活動過程中形成解決數學問題的觀念和態度——數學思想方法這幾個階段。
比如，在學分法時，一些有經驗的老師就先采用“幸運52”游戲來讓學生體驗二分的過程，當學生積累了一定的感性認識以后老師再出示具體方程讓學生猜測方程根的分布情況。如讓學生模仿“幸運52”游戲來猜方程“x5+5x-3=0”的根，先構造函數f（x）=x5+5x-3并任取兩個函數值異號的點如x=-1，x=1，由此斷定在區間（1，1）內一定有根，接著看其二等份點x=0處的函數值，發現f（0）
學生在對二分法本質獲得更加清晰的理解以后要做的事情就是要能夠靈活運用這一方法解決各類問題，如用二分法求方程的近似解，求曲線的近似交點等。
而對二分法認識的最高階段則是形成運用二分法思想觀察問題、分析問題和解決問題的態度和數學觀。如果學生能夠將二分法進一步上升為逼近這一重要數學思想，并能運用逼近思想去觀察問題、分析問題和解決問題，那么對二分法的理解就達到數學思想方法理解這一至“善”層次[12]。
四、從專家與新手的解題對比看，專家往往更擅長數學思想方法的理解
數學思想層次的理解是高水平數學理解的體現。德格魯特（deGroot）在對專家與新手解決問題的過程比較后發現：專家知識是圍繞核心概念或“大觀點”（bigideas）來組織的，專家解決問題常常涉及到核心概念或“大觀點”的思維方式。相反，新手的知識則極少按“大觀點”來組織，他們更多的是通過自己的日常直覺尋找正確的公式和貼切的答案。[13]腦科學的最新研究也充分揭示了這一點，一個領域的專家和新手的區別表現為專家傾向于（由于有大量的經驗）用更大的組塊來組織信息，而新手則以孤立的小塊信息來處理。[14]而是否能夠很好地進行組塊的關鍵在于解題者能否找到組塊的線索和方法——數學思想方法。這就難怪雅克·阿達瑪會認為，如果一個人習慣于在較深的層次上進行思想組合，那么他就偏重于直覺型；相反，如果某人習慣于在較淺的層次上工作，他就偏重于邏輯型。[15]比如在解“由ABC兩邊AB、AC分別向外作正三角形ABD、ACE，求證：ABD≌ACE”這一問題時，新手往往只能看到這兩個三角形全等這一點，而專家則往往還能看到可以通過旋轉變換將其中一個三角形變換到與另一個三角形重合這一面。前者僅僅著眼于三角形全等判斷定理的具體運用，而后者則能立足于變換這一重要數學思想來處理數學問題。
可見，新手或初學者往往比較關注細節，而專家或復習舊知時則更關注思路或方法等宏觀方面。專家之所以比新手高明就在于專家往往能夠借助于數學思想方法或站在數學思想方法的高度來認識所研究的問題。這就難怪日本數學教育家米山國藏為什么那么看重數學思想方法，為什么始終把數學思想方法的理解作為數學素質的核心，并提出了“不管學生畢業以后從事何種工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等（若培養了這方面的素質的話），卻隨時隨地發生作用，使他們終身受益?！边@一至理名言。
綜合以上分析，我們完全可以得出這樣的結論，那就是，數學思想方法的理解是數學理解的最高層次，是數學理解的至“善”追求。
參考文獻
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第9篇：數學原始概念范文
關鍵詞 美育；數學；教學
新數學課程標準中就指出：“在數學教學過程中，教師要充分利用教學資源，對學生實施美的教育，培養學生高尚的審美情趣，培養學生善于發現美、鑒賞美、創造美的能力。使學生在學習過程中充分享受美、從而形成美的心靈、美的靈魂?！?/p>
一、數學美的客觀性
數學中美的因素是極為豐富的，體現在數學概念和公式的科學性、準確性；數學定理和法則的概括性、普遍適用性；數學結構的完整、圖形的對稱、布局的合理、形式的簡潔性。
數學的最初概念起源于原始社會對數與形的早期最初認識及其相關運算。數的概念產生于原始人的生活和生產，他們在長期的狩獵與分配過程中逐漸產生了數的概念；“形”的產生源于遠古人對周圍環境的各種物體形狀的長期觀察，從而抽象出圓、直線等幾何圖形概念。這就反映了數學美的客觀性。
在日常生活中，到處可見具有確定數學關系的數學美，小學一年級開始學習數數、認數和寫數。在認識這些數的時候，可以將數的產生與實際教學聯系起來，讓學生認識到這些數是與日常生活密不可分的，是客觀存在的；小學二年級涉及到軸對稱圖形，在讓學生初步了解了軸對稱圖形的概念后，讓學生想一想，生活中有哪些事物具有對稱性，如：身邊的建筑物、身邊的動物（蝴蝶、蜻蜓）、數字、字母以及自己的身體和衣服褲子等，做到把課堂上學到的知識與現實生活相結合，以此來達到了新數學課程標準中提出的“初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中的問題，增強應用數學的意識?！边@樣的目的。
二、數學美的嚴謹性
楊振寧教授認為：“數學的高度嚴密性，也是一種美，數學美是客觀事物及其規律經過人的思維結構的呈現，是理論思維與審美意識交融的產物”。數學是一門邏輯性極強的學科。德國大數學家菲利克斯?克萊因（Felix Christian Klein）說過：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作”。數學是創造性的藝術，因為數學家創造了美好的新概念。這也就形成了數學的嚴密、簡潔、秩序、規整和高度統一的特點和數學規律的普遍性和應用的廣泛性的特點。數學的嚴謹性表現在數學中的一個概念、一個定理和一個公式，都能準確地揭示數學的本質屬性；數學的嚴謹性還表現在數學結論存在與唯一，對錯分明，不模棱兩可；數學的邏輯推理嚴密也體現了數學美的嚴謹性，從公理開始到演繹的最后一個環節都絲絲入扣、精確計算、嚴謹推理。
三、數學美的奇異性
弗蘭西斯?培根（Francis Bacon）曾經說過“美在于獨特而令人驚異，奇異與和諧是對立的統一。”如奇異的黃金分割數0.618，它是最奇異與和諧的比例關系，其美學價值日常生活中處處體現，如電視屏幕、寫字臺面、門窗等，其短邊與長邊之比應為0.618；人的肚臍高度和人體總高度之比接近等于0.618；建筑物的裝飾物主要在黃金分割處。在小學數學中也處處體現這種奇異與和諧的對立統一。小學數學的奇異較多地表現在超越常規、新穎獨特的思想方法上。比如六年級學習圓的面積公式的推導：把圓用化成無數多個小扇形，把這些一個一個的拼起來，就成了一個長方形，就可以推導出圓的面積公式，如果讓學生親自動手做做，就能讓學生體會這奇異的推導過程，讓學生以拓寬思維方式，讓學生逐步理解到數學的奇異美來源于現實世界，又將現實世界的數量關系進行“高度的抽象化”，從而具有廣泛的應用性。培養學生善于發現美、鑒賞美、創造美的能力。
四、數學美的統一性
