高等函數(shù)的概念精選(九篇)
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第1篇：高等函數(shù)的概念范文
關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 初等數(shù)學(xué) 教材內(nèi)容 比對 銜接
中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A
Comparison between the Content of Higher
Mathematics and Elementary Mathematics
DU Huijuan
(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)
Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.
Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison
經(jīng)過調(diào)研了解到，2003年3月教育部頒發(fā)的《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點(diǎn)是新教材進(jìn)一步加強(qiáng)了高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，高中教材中安排了大學(xué)數(shù)學(xué)課程里的一些基本概念、基礎(chǔ)知識和思維方法。試圖從教學(xué)內(nèi)容方面解決高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接問題。但是，大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，對大學(xué)新生盡快適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成了障礙。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的有效銜接亟待解決。
1 “函數(shù)與極限”的銜接
函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考要求較高，學(xué)生掌握也比較牢固。高等數(shù)學(xué)教材中的這部分內(nèi)容基本相同，但內(nèi)涵更豐富，難度也提高了。
（1）函數(shù)概念：在原有內(nèi)容中，增加了幾個在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的實(shí)例，如取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)、符號函數(shù)等。因此，在學(xué)習(xí)中，函數(shù)概念部分可以簡略，重點(diǎn)學(xué)習(xí)這幾個特殊函數(shù)即可。
（2）初等函數(shù)：反三角函數(shù)要求提高，新增加了“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”等內(nèi)容。反三角函數(shù)的概念在高中已學(xué)過，但高中對此內(nèi)容要求較低，只要求學(xué)生會用反三角函數(shù)表示“非特殊角”即可。而高等函數(shù)中要求較高，此處在學(xué)習(xí)中應(yīng)補(bǔ)充有關(guān)內(nèi)容：在復(fù)習(xí)概念的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生熟悉其圖像和性質(zhì)，以達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。新增加的“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到，故應(yīng)特別注意。
（3）函數(shù)極限：“數(shù)列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數(shù)學(xué)重用的是“”定義，此處是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)引導(dǎo)，避免影響函數(shù)極限后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。新增內(nèi)容“收斂數(shù)列的性質(zhì)”雖是新增內(nèi)容，但比較容易理解和掌握，教學(xué)正常安排即可。“極限四則運(yùn)算”處增加了“兩個重要極限”，要加強(qiáng)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。
2 “導(dǎo)數(shù)與微分” 的銜接
高中新教材中的一元函數(shù)微積分的部分內(nèi)容，是根據(jù)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)需要所添加，目的是加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，讓中學(xué)生初步了解微積分的思想。
（1）導(dǎo)數(shù)的定義：高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教材中，這一內(nèi)容是相同的，不同的是學(xué)習(xí)要求。高中數(shù)學(xué)要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。也就是說，盡管極限與導(dǎo)數(shù)在高中已經(jīng)學(xué)過，但主要是介紹概念和求法,對概念的深入理解不作要求。到了大學(xué)，概念上似懂非懂、不會靈活運(yùn)用，成了夾生飯。但高等數(shù)學(xué)要求學(xué)生掌握并熟練應(yīng)用，這是高等數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在此處應(yīng)用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學(xué)中應(yīng)給與足夠的重視。
（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：高中新課標(biāo)教材要求較低：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求簡單的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)考察利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。
高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對這部分內(nèi)容要求：掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；掌握初等函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，會求分段函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；了解微分的概念與四則運(yùn)算。
建議：高中學(xué)過的僅僅是該內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此需重新學(xué)習(xí)已學(xué)過的內(nèi)容，為本節(jié)后面更深更難的內(nèi)容打好基礎(chǔ)。
（3）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并通過實(shí)際的背景和具體應(yīng)用事例引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由函數(shù)增長到函數(shù)減少的過程，使學(xué)生了解函數(shù)的單調(diào)性，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求結(jié)合函數(shù)圖像，知道函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。
高等數(shù)學(xué)對這部分內(nèi)容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式，然后嚴(yán)格證明函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，給出函數(shù)的極值、最值的嚴(yán)格定義，及函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎(chǔ)上，討論求最大最小值的應(yīng)用問題，以及用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的方法步驟。
建議：由以上分析比較可知，高中數(shù)學(xué)所涉及的一元微分學(xué)雖然內(nèi)容差別不大，但內(nèi)容體系框架有很大差異，高等數(shù)學(xué)知識更系統(tǒng)，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)習(xí)要求上，對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及簡單函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值都是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的重點(diǎn)，是重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練的知識點(diǎn)。而在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中建議一點(diǎn)而過，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在用微分中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理、函數(shù)極值點(diǎn)的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點(diǎn)等內(nèi)容上。
以上主要分析比較了高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重復(fù)知識點(diǎn)。除此之外，二者之間以及高等數(shù)學(xué)與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。
3 高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識的“斷裂帶”
高考對平面解析幾何中的極坐標(biāo)內(nèi)容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學(xué)教材中，極坐標(biāo)知識是作為已知知識直接應(yīng)用的，如在一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用中求曲率，以及定積分的應(yīng)用中求平面圖形的面積等。建議在相應(yīng)的地方補(bǔ)充講解極坐標(biāo)知識。
初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)除了在教材內(nèi)容上的銜接外，在學(xué)習(xí)思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不能很好地銜接，教師在教學(xué)中要注意放慢速度，幫助學(xué)生熟悉高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關(guān)系，在備課時，了解中學(xué)有關(guān)知識的地位與作用及與高等數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的密切聯(lián)系，對教材做恰當(dāng)?shù)奶幚?；上課時教師要經(jīng)常注意聯(lián)舊引新，運(yùn)用類比，使學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上獲得新知識。
總之，努力探索搞好初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接問題，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。
參考文獻(xiàn)
第2篇：高等函數(shù)的概念范文
關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)； MATLAB； GUI編程； 教學(xué)輔助系統(tǒng)； 演示模塊
中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2017）05-64-04
Design and implementation of higher mathematics computer aided teaching
demonstration system based on MATLAB GUI
Liu Bing1，2
（1. Chengde Petroleum College， Chengde， Hebei 067000， China； 2. Hebei Instruments and Meters Engineering Technology Research Center）
Abstract： According to the teaching status of higher mathematics course and the geometric meaning of important mathematical concepts and the mathematical thought that it contains， in the higher mathematics course， using MATLAB language for GUI programming， a higher mathematics computer aided teaching demonstration system for each teaching module is developed. The system is comprehensive in content， interactive， simple operation and intuitive demonstration， which is beneficial to the understanding of the concepts. The application of this system can stimulate students' interest in learning， and improve the teaching effect and teaching quality.
Key words： higher mathematics； MATLAB； GUI programming； computer aided teaching system； demonstration module
0 引言
高等笛[1]課程一直是高等院校絕大多數(shù)專業(yè)的必修基礎(chǔ)性課程。在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，教師是教學(xué)活動的主體，教師對數(shù)學(xué)概念的定義與對相關(guān)定理及結(jié)論的推導(dǎo)會貫穿整個課堂教學(xué)。由于學(xué)生很少參與知識的形成過程，一直處于被動的學(xué)習(xí)狀態(tài)，所以學(xué)生學(xué)習(xí)效果差。高等數(shù)學(xué)計算機(jī)輔助教學(xué)[2-6]是計算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)軟件進(jìn)入數(shù)學(xué)教學(xué)后出現(xiàn)的一種新型教學(xué)模式，此種教學(xué)模式將先進(jìn)的計算機(jī)技術(shù)引入到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，借助于計算機(jī)技術(shù)將數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及其幾何意義可視化、形象化，進(jìn)而可實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的直觀化、通俗化，改善教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。
當(dāng)前，在高等數(shù)學(xué)計算機(jī)輔助教學(xué)中，常用的開發(fā)工具主要有PowerPoint、Flash等。這些軟件雖然都可以在不同程度上實(shí)現(xiàn)對高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的輔助教學(xué)作用[2-3]，但都存在比較明顯的不足。例如，軟件本身所具有的科學(xué)計算功能微乎其微；教學(xué)演示過程中無法做到對概念的準(zhǔn)確與定量的描述，且它們的主要作用都體現(xiàn)在放映效果上，缺乏與操作人員的交互性。與這些軟件不同，Matlab[7-10]是一款具有高性能的數(shù)值計算與可視化功能的軟件，它既能進(jìn)行科學(xué)計算，又具有面向?qū)ο蟮膱D形技術(shù)與GUI功能[11-12]。利用該軟件所提供GUI圖形界面編程機(jī)制，可以使開發(fā)者輕松的設(shè)計與開發(fā)出自己所需的人機(jī)交互性良好的應(yīng)用程序。近年來，伴隨著MATLAB軟件自身技術(shù)的不斷進(jìn)步及其在各領(lǐng)域的應(yīng)用，出現(xiàn)了許多利用MATLAB GUI開發(fā)的高等數(shù)學(xué)輔助教學(xué)系統(tǒng)[4-6]。這些系統(tǒng)可以起到一定的教學(xué)輔助效果，但系統(tǒng)的演示效果單調(diào)、乏味，且對概念的演示較為膚淺，對學(xué)生的直觀理解幫助很大。此外，系統(tǒng)的演示內(nèi)容也較為單薄，對于高等數(shù)學(xué)中的一些重要知識點(diǎn)并未涉及。因此，本文利用Matlab的 GUI編程，從高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，依據(jù)高等數(shù)學(xué)課程中各重要數(shù)學(xué)概念的幾何意義及其數(shù)學(xué)思想，開發(fā)出了一種針對于高等數(shù)學(xué)各個教學(xué)模塊的輔助教學(xué)演示系統(tǒng)。與文獻(xiàn)[4-6]中的系統(tǒng)相比，本系統(tǒng)交互性良好，系統(tǒng)的設(shè)計理念與設(shè)計原則均來源于教學(xué)實(shí)踐，且演示內(nèi)容全面，演示效果生動、深刻，能準(zhǔn)確揭示出所演示概念的本質(zhì)。
1 演示系統(tǒng)的設(shè)計與開發(fā)
在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，對各個重要數(shù)學(xué)概念的理解與掌握是最關(guān)鍵的。概念掌握了，與概念相關(guān)的其他教學(xué)內(nèi)容，包括一些定理、推論等也就不難理解了。而對于概念的理解與掌握，最關(guān)鍵的是要借助于其具體的幾何意義?；诖?，本系統(tǒng)的演示對象主要針對的是高等數(shù)學(xué)課程中一些主要教學(xué)模塊所包含的重要數(shù)學(xué)概念，而系統(tǒng)的設(shè)計依據(jù)與演示內(nèi)容則為各個演示對象（即數(shù)學(xué)概念）的幾何意義。
1.1 系統(tǒng)的演示內(nèi)容
高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容繁多，本系統(tǒng)重點(diǎn)針對四大教學(xué)內(nèi)容，分別是一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、空間解析幾何和多元函數(shù)微分學(xué)。這四大教學(xué)內(nèi)容中，每部分都包含許多重要的數(shù)學(xué)概念，有導(dǎo)數(shù)、微分、空間曲面及偏導(dǎo)數(shù)等等。整個演示系統(tǒng)共有17個教學(xué)演示模塊，如圖1所示。
1.2 系統(tǒng)主界面的設(shè)計
系統(tǒng)主界面的設(shè)計主要是菜單欄的設(shè)計。菜單欄選項(xiàng)與圖1中系統(tǒng)各個教學(xué)演示模塊是相對應(yīng)的，其設(shè)計是通過MATLAB GUIDE所提供的菜單編輯器來實(shí)現(xiàn)的。系統(tǒng)主菜單共有6項(xiàng)，其中主要菜單項(xiàng)有4項(xiàng)，分別為一元函數(shù)微分學(xué)菜單項(xiàng)、一元函數(shù)積分學(xué)菜單項(xiàng)、空間解析幾何菜單項(xiàng)和多元函數(shù)微分學(xué)菜單項(xiàng)。而對于每一個主菜單項(xiàng)，又會包含許多子菜單項(xiàng)，這些子菜單項(xiàng)即為最終要演示的具體對象。主界面設(shè)計完成后，運(yùn)行效果如圖2所示。
2 系統(tǒng)的演示效果
本系統(tǒng)的演示模塊數(shù)量較多，由于篇幅所限，在此我們從空間解析幾何和多元函數(shù)微分學(xué)兩個主菜單中各選出一個演示模塊，來對整個系統(tǒng)的教學(xué)演示效果加以說明。
2.1 “柱面的認(rèn)識與繪制”教學(xué)模塊的演示效果
“柱面的認(rèn)識與繪制”教學(xué)演示模塊從屬于系統(tǒng)中的空間解析幾何主菜單項(xiàng)。柱面是高等數(shù)學(xué)空間解析幾何教學(xué)中的一類重要的空間幾何圖形，它有兩類基本構(gòu)成要素：一個是準(zhǔn)線，一個是母線。教材中，重點(diǎn)學(xué)習(xí)的是準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上，母線垂直于該坐標(biāo)面的柱面。在傳統(tǒng)的板書及PPT教學(xué)方式下，部分內(nèi)容的難點(diǎn)在于，教師無法實(shí)現(xiàn)對任意給定的此類柱面的直觀繪制，這又率寡生很難理解與認(rèn)識此類空間幾何圖形。
運(yùn)行本演示模塊，可得如圖3（a）所示界面。在界面的參數(shù)設(shè)置區(qū)中首先選擇柱面類型，這里選擇“準(zhǔn)線在xoy面，母線平行于z軸”類型，然后再輸入準(zhǔn)線函數(shù)表達(dá)式2*x^2+x-2（即準(zhǔn)線在xoy面的表達(dá)式為y=2x2+x-2），單擊“繪制圖形”按鈕，得到圖3（b）所示界面。
由以上演示過程易見，該演示模塊可實(shí)現(xiàn)對所學(xué)任意類型柱面的繪制。圖3（b）實(shí)現(xiàn)了對“準(zhǔn)線在xoy面，母線平行于z軸”類型柱面的繪制，通過改變選擇的柱面類型并修改準(zhǔn)線表達(dá)式，還可以繪制出其他類型的柱面。如圖4，此時，繪制的為“準(zhǔn)線在zoy面，母線平行于x軸”且準(zhǔn)線表達(dá)式為的柱面。
2.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)模塊的演示效果
“二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義”教學(xué)演示模塊從屬于系統(tǒng)中的多元函數(shù)微分學(xué)主菜單項(xiàng)。偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的核心概念，同時，也是學(xué)習(xí)與解決多元函數(shù)全微分、多元函數(shù)極值與最值等各類問題的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)與掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念關(guān)鍵是要去理解其幾何意義。眾所周知，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)為一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，其幾何意義仍為曲線在某點(diǎn)處切線的斜率。以二元函數(shù)z=f（x，y）為例，其在點(diǎn)（x0，y0）處對x偏導(dǎo)fx（x0，y0）的幾何意義為曲面z=f（x，y）與平面y=y0的交線在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處切線的斜率；其在點(diǎn)（x0，y0）處對y偏導(dǎo)fy（x0，y0）的幾何意義則為曲面z=f（x，y）與平面x=x0的交線在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處切線的斜率。在傳統(tǒng)的板書教學(xué)與PPT演示教學(xué)中，此部分教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)在于教師不能夠靈活、直觀、準(zhǔn)確地繪制出任意所給定的二元函數(shù)z=f（x，y）所表示的曲面與相應(yīng)平面的交線，這樣，致使學(xué)生對于其幾何意義的認(rèn)識不直觀、不深刻。
運(yùn)行該模塊，可得如圖5（a）所示界面。在該界面中，當(dāng)在參數(shù)設(shè)置區(qū)內(nèi)輸入二元函數(shù)的表達(dá)式f（x，y）及（x0，y0）點(diǎn)的具體值并選擇求偏導(dǎo)的類型后，當(dāng)點(diǎn)擊“計算偏導(dǎo)”按鈕，可以計算出輸入的二元函數(shù)在輸入點(diǎn)（x0，y0）處關(guān)于選定的偏導(dǎo)的類型的偏導(dǎo)數(shù)。之后，當(dāng)點(diǎn)擊“演示幾何意義”按鈕，可形象直觀地繪制出相應(yīng)計算出的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。例如，當(dāng)輸入的二元函數(shù)為2*x^2+x*y^2+x*y（即書面中的函數(shù)2x2+xy2+xy），x0為1，y0為1，選擇求偏導(dǎo)類型為“對x求偏導(dǎo)”，點(diǎn)擊“計算偏導(dǎo)”按鈕，之后，點(diǎn)擊“計算偏導(dǎo)”按鈕，可形象直觀地繪制出其幾何意義，如圖5（b）。
由圖5（b）易見，該演示模塊可實(shí)現(xiàn)對所輸入的任意二元函數(shù)在任意點(diǎn)（x0，y0）處的偏導(dǎo)數(shù)。本例中，求得的f（x，y）在點(diǎn)（1，1）處對自變量x的偏導(dǎo)值fx（1，1）為6。除此以外，該演示模塊最大的優(yōu)勢在于可以直觀、生動的演示出fx（1，1）的幾何意義。由圖5（b），易知，該演示模塊界面左側(cè)的空間直角坐標(biāo)系中可顯示出此時曲面z=2x2+xy2+xy與平面y=1的交線；而與此同時，為了更直觀的來理解fx（1，1）的幾何意義，演示模塊界面右側(cè)，則將該交線從空間直角坐標(biāo)系中分離出來，將其放置在平面y=1內(nèi)部的平面直角坐標(biāo)系（該坐標(biāo)系橫軸為x軸縱軸為z軸）內(nèi)，此時該平面曲線在點(diǎn)（1，4）的切線（即圖5（b）中右側(cè)坐標(biāo)系中紅色的切線）的斜率即為fx（1，1）的幾何意義。當(dāng)然，通過改變偏導(dǎo)的類型，選擇“對y求偏導(dǎo)”，也可以類似的獲得f（x，y）在點(diǎn)（1，1）處對自變量y的偏導(dǎo)值fy（1，1）及其幾何意義。
3 結(jié)束語
本文中所研發(fā)的基于MATLAB GUI的高等數(shù)學(xué)輔助教學(xué)演示系統(tǒng)，人機(jī)交互性良好，演示內(nèi)容全面，演示手段豐富且演示效果生動、深刻，能準(zhǔn)確的揭示出所演示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，因而，更能貼近于教學(xué)實(shí)踐。從實(shí)踐教學(xué)活動中的應(yīng)用來看，學(xué)生對系統(tǒng)的交互性使用及其演示效果均較為滿意。下一步，計劃將高等數(shù)學(xué)中一些更為復(fù)雜的教學(xué)模塊（包括多元函數(shù)積分學(xué)及級數(shù)等）引入到模塊中來，從而實(shí)現(xiàn)對整個高等數(shù)學(xué)課程知識點(diǎn)的全覆蓋。
參考文獻(xiàn)（References）：
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第3篇：高等函數(shù)的概念范文
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 連續(xù)性 體驗(yàn)式學(xué)習(xí)
【中圖分類號】G633.66 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）4-0080-01
所謂體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，簡單的說就是通過實(shí)踐來認(rèn)識周圍事物。最早提出體驗(yàn)式學(xué)習(xí)模型的學(xué)者是美國的教育家科爾布?？茽柌颊J(rèn)為學(xué)習(xí)不是內(nèi)容的獲得與傳遞，而是通過經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)換從而創(chuàng)造知識的過程。數(shù)學(xué)課程中的體驗(yàn)式學(xué)習(xí)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生自然過渡到教學(xué)氛圍中，并激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)動力，使學(xué)生積極地由被動到主動、由依賴到自主、由接受性到創(chuàng)造性地自主對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行體驗(yàn)。
體驗(yàn)式學(xué)習(xí)分為四個步驟：第一步，實(shí)際經(jīng)歷和體驗(yàn)。創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生投入到當(dāng)時當(dāng)?shù)氐膶?shí)際體驗(yàn)活動中；第二步，觀察和反思。引導(dǎo)學(xué)生從多個角度觀察和思考實(shí)際體驗(yàn)活動和經(jīng)歷；第三步，抽象概念和歸納的形成。通過觀察與思考，抽象出合乎邏輯的概念和理論；第四步，在新環(huán)境中測試新概念的含義。運(yùn)用這些理論去作出決策和解決問題，并在實(shí)際工作中驗(yàn)證自己新形成的概念和理論。
函數(shù)的連續(xù)性是《高等數(shù)學(xué)》中一個重要的概念，在高等數(shù)學(xué)體系中有著重要的地位。首先，連續(xù)性為微積分夯實(shí)了基礎(chǔ)。17世紀(jì)下半葉，以牛頓和萊布尼茨為代表的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)立了微積分，解決了很多實(shí)際問題。但當(dāng)時的微積分從概念到推導(dǎo)都是不夠嚴(yán)密的， 19世紀(jì)前后，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱耸刮⒎e分更嚴(yán)密，抓住了極限和連續(xù)這兩個本質(zhì)概念，使用數(shù)量化的語言精確的定義了極限和連續(xù)，使微積分有了嚴(yán)密牢靠的基礎(chǔ)，最終形成了完整的理論體系。連續(xù)的教學(xué)內(nèi)容可以從“函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)”開始，到“函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)”，接著進(jìn)一步討論“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)”。以下基于體驗(yàn)式學(xué)習(xí)理論設(shè)計教學(xué)過程。
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念
教師在課件中給出一個群山的圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察、描述群山的輪廓。教師：“伽利略說過：宇宙是永遠(yuǎn)放在我們面前的一本大書，而這本書是用數(shù)學(xué)語言寫成的。數(shù)學(xué)可以幫助我們更精準(zhǔn)地認(rèn)識世界。請大家觀察這群山的輪廓，你可以試著用數(shù)學(xué)的語言來描述它嗎?”
由于群山的輪廓是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，再加上科學(xué)家的名言，很容易達(dá)到引人入勝的效果。學(xué)生自然會說道，“連綿不斷”、“一條連綿不斷的曲線”的描述。教師予以肯定：“平面上的一條連綿不斷的曲線可以抽象成數(shù)學(xué)里一個連續(xù)函數(shù)的圖像。這就是本節(jié)課的研究對象?！?這一教學(xué)過程間斷有效，使學(xué)生印象深刻，體現(xiàn)了體驗(yàn)式學(xué)習(xí)的第一步。
二、觀察歸納，形成概念
有了第一步直觀的感受，接下來就是精確的刻畫連續(xù)的數(shù)學(xué)定義，這是這堂課的難點(diǎn)。教師可給出函數(shù)在一個點(diǎn)連續(xù)和函數(shù)在一個點(diǎn)有跳躍間斷點(diǎn)兩張圖片，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值該變量的角度觀察比較、分析歸納，探尋函數(shù)在一個點(diǎn)出連續(xù)的精確定義。通過演示課件，讓學(xué)生看到函數(shù)的連續(xù)的情況下，隨著自變量改變量的不斷減少，雖然兩個圖像中的函數(shù)值改變量都是在不斷減少，但函數(shù)的連續(xù)本質(zhì)是函數(shù)值該變量可以無限小，而跳躍間斷點(diǎn)的情形則始終大于一個固定的值，這就是連續(xù)與不連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別。通過這樣的體驗(yàn)，學(xué)生很容易理解連續(xù)的概念。同事也可以融匯前面的極限的知識，自出寫出函數(shù)連續(xù)的精確定義，即函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)就是在這一點(diǎn)處當(dāng)自變量該變量趨于零時，函數(shù)值改變量也趨于零。
三、討論研究、推廣概念
得出了函數(shù)在一個點(diǎn)處連續(xù)定定義，進(jìn)一步，如果一個函數(shù)在一個區(qū)間中的每一個點(diǎn)都連續(xù)，則稱作該函數(shù)在這個區(qū)間連續(xù)。討論一般初等函數(shù)在定義區(qū)間中都是連續(xù)的。初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的函數(shù)，那么連續(xù)函數(shù)在區(qū)間中連續(xù)的性質(zhì)的討論就顯得很有必要。觀察閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)如果一個函數(shù)在一個比區(qū)間連續(xù)，如果從一個負(fù)值變化成一個正值，那么，幾何上，函數(shù)圖象一定會經(jīng)過x軸至少一次。解析的角度就是該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。這是著名的零點(diǎn)定理。用這樣的方式進(jìn)行推廣概念，過渡自然，承上啟下。
四、建立模型，應(yīng)用概念
學(xué)生知道了零點(diǎn)定理的定理表述，那么這個定理究竟可以幫助解決什么實(shí)際問題呢？這個部分體驗(yàn)式學(xué)習(xí)可以充分顯示出其優(yōu)勢。教師提出一個問題情境。
“登山運(yùn)動員第一天早上七點(diǎn)鐘出發(fā)，經(jīng)過十二個小時的艱難跋涉于晚上7點(diǎn)到達(dá)山頂。在山上住了一晚，第二天早上7點(diǎn)出發(fā)沿原路下山，又經(jīng)過了十二個小時，于晚上7點(diǎn)到達(dá)山腳。問題是，是否存在某個時刻，兩天里運(yùn)動員在這個時刻經(jīng)過同一個地點(diǎn)？”
引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)問題的過程，將題干中的文字?jǐn)⑹鼋⒛Ｐ?，轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)中兩條曲線是否具有交點(diǎn)的問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成零點(diǎn)存在問題，再利用零點(diǎn)定理證明其存在。學(xué)生親身體會到了零點(diǎn)定理的妙用。才能更加深刻的理解這個概念，從而掌握定理的用法。
參考文獻(xiàn)：
[1] 高等數(shù)學(xué) 科學(xué)出版社 2012.8
第4篇：高等函數(shù)的概念范文
,性質(zhì)
首先是初等函數(shù)相關(guān)問題分析:
1.絕對值函數(shù)的概念及性質(zhì)
絕對值函數(shù)是個很廣的概念,可分為兩大部分,一部分是絕對值施加在X上的,另一部分是絕對值號施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就記住絕對值號在誰上頭就把原圖像根據(jù)哪一個軸做軸對稱變換,記住這一點(diǎn),不管多復(fù)雜的解析式都可以照此辦理.絕對值函數(shù)可以看作初等函數(shù)。
1.1絕對值函數(shù)的定義域,值域,單調(diào)性
例如f(x)=a|x|+b是
定義域:即x的取值集合,為全體實(shí)數(shù);
值域: 不小于b的全體實(shí)數(shù)
單調(diào)性:當(dāng)x<0,a>0時,單調(diào)減函數(shù);
> > 增 ;
< < 增 ;
< < 減 ;
1.2絕對值函數(shù)圖象規(guī)律:
|f(x)|將f(x)在y軸負(fù)半軸的圖像關(guān)于x軸翻折一下即可,在y軸正半軸的圖像不變。
f(|x|)將f(x)在x軸負(fù)半軸的圖像關(guān)于y軸翻折一下即可,在x軸正半軸的圖像不變。。
1.3帶絕對值的函數(shù)求導(dǎo),即將函數(shù)分段。
2.取整函數(shù)的概念與性質(zhì)
2.1取整函數(shù)是:設(shè)x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數(shù),并用"{x}"表示x的非負(fù)純小數(shù),則 y= [x] 稱為取整函數(shù),也叫高斯函數(shù)。任意一個實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)與非負(fù)純小數(shù)之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)稱為小數(shù)部分函數(shù)。
2.2取整函數(shù)的性質(zhì):a 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對任意x∈R,函數(shù)y={x}的值域?yàn)閇0,1).c 取整函數(shù)(高斯函數(shù))是一個不減函數(shù),即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個以1為周期的函數(shù).e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,則在區(qū)間[1,x]內(nèi),恰好有[x/n]個整數(shù)是n的倍數(shù).h 設(shè)p為質(zhì)數(shù),n∈N+,則p在n!的質(zhì)因數(shù)分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…
3.導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1導(dǎo)數(shù),是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時,稱這個函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個求極限的過程,導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來源于極限的四則運(yùn)算法則。導(dǎo)數(shù)另一個定義:當(dāng)x=x0時,f‘(x0)是一個確定的數(shù)。這樣,當(dāng)x變化時,f'(x)便是x的一個函數(shù),我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))。
3.2求導(dǎo)數(shù)的方法
(1)求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟:① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限,得導(dǎo)數(shù).
(2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ① C'=0(C為常數(shù)函數(shù));② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數(shù));⑦ (Inx)' = 1/x(ln為自然對數(shù);⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).
補(bǔ)充:上面的公式是不可以代常數(shù)進(jìn)去的,只能代函數(shù),新學(xué)導(dǎo)數(shù)的人往往忽略這一點(diǎn),造成歧義,要多加注意。
(3)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.
(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t。
4.高等函數(shù)的概念以及含義問題
4.1一元微分
1)一元微分是設(shè)函數(shù)y = f(x)在x.的鄰域內(nèi)有定義,x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數(shù)),而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小,那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的,且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy = AΔx。
通常把自變量x的增量 Δ x稱為自變量的微分,記作dx,即dx = x。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此,導(dǎo)數(shù)也叫做微商。 當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+X時,相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+X),如果存在一個與X無關(guān)的常數(shù)A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0關(guān)于X
的高階無窮小量,則稱A·X是f(X)在X的微分,記為dy,并稱f(X)在X可微。一元微積分中,可微可導(dǎo)等價。記A·X=dy,則dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。
2)其幾何意義為:設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量,Δy是曲線在點(diǎn)M對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量,dy是曲線在點(diǎn)M的切線對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)|Δx|很小時,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小),因此在點(diǎn)M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。
4.2多元微分
1)多元微分的概念:與一元微分同理,當(dāng)自變量為多個時,可得出多元微分的定義。
2)多元微分的運(yùn)算法則
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2
3)微分表
d(x^3/3)=x^2dx
d(-1/x)=1/x^2dx
d(lnx)=1/xdx
d(-cosx)=sinxdx
d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx
高等函數(shù)中還有值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級數(shù)等,本文就簡單的函數(shù)問題做一總結(jié)。
【參考資料】
1.復(fù)變函數(shù)論.高等教育出版社,2004,01.
2.實(shí)變函數(shù)簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.
第5篇：高等函數(shù)的概念范文
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué)法 創(chuàng)新
中圖分類號：G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0000-00
科研能力和科研成果標(biāo)志著一個國家的科技水平，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實(shí)際問題，然而科研能力的培養(yǎng)并非要從研究生階段才開始著重培養(yǎng)，在本科階段的教學(xué)中給學(xué)生盡早接觸科研的機(jī)會，讓學(xué)生從本科階段開始培養(yǎng)一種標(biāo)新立異提問題的習(xí)慣至關(guān)重要。而對本科生科研能力的培養(yǎng)最主要的途徑就是在對其傳授知識的過程中完成的。高等數(shù)學(xué)作為高等院校各院系一門重要的公共基礎(chǔ)課之一對學(xué)生在四年大學(xué)生活中扮演著重要的角色，高等數(shù)學(xué)中微積分的創(chuàng)立、一元微積分到多元微積分的發(fā)展以及各個重要概念的產(chǎn)生無不透露出數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思路，如果能夠從中進(jìn)行引導(dǎo)，找到適合的切入點(diǎn)，逐步在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生積累素材并培養(yǎng)一種問“好”問題的習(xí)慣，本科學(xué)生一樣可以接觸科研。
培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)覺問題的能力，而這首先要求學(xué)生改變以往的學(xué)習(xí)模式，即由被動的接受到主動的思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變，這種學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變進(jìn)而要求教師授課模式的轉(zhuǎn)變。本文就講透基本概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)等幾方面來談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)模式，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。
1 講透基本概念
數(shù)學(xué)中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學(xué)生可能只會做部分簡單的習(xí)題。事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)授課的主要目的并非讓學(xué)生學(xué)會如何計算導(dǎo)數(shù)和微分，更多的是該讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想，深刻理解數(shù)學(xué)概念。深刻理解概念即要把握概念的本質(zhì)。以極限概念為例，怎么理解數(shù)列 ，如果只是按照書上的定義把 語言寫出來還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，應(yīng)該告訴學(xué)生極限最本質(zhì)的東西就是用距離去刻畫，即數(shù)列和某個定點(diǎn)的距離當(dāng) 時無限接近。知道了這一點(diǎn)，平面上一個點(diǎn)列 的概念自然就有了，同樣我們用點(diǎn)列和點(diǎn)的距離當(dāng) 時無限接近去刻畫。只是需要注意的一點(diǎn)的是，平面上兩點(diǎn)間的距離不能再用絕對值了，而是用
進(jìn)而到 維空間中乃至無窮維空間中如何定義點(diǎn)列收斂我們都可以知道，關(guān)鍵是距離起著重要作用。再以函數(shù)可微概念為例，很多學(xué)生只知道 ，至于為什么求微分，以及什么是可微函數(shù)不知道。這些就需要老師在講授這個基本概念的時候介紹清楚，讓學(xué)生搞透這個概念。事實(shí)上，一個函數(shù)是不是可微就是看這個函數(shù)的增量與其自變量的增量是否可成一個線性比例關(guān)系，即 是否成立，知道了這一點(diǎn)，可以立即讓學(xué)生去思考如果是一個二元函數(shù) 是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數(shù)的增量和其自變量的增量是否成線性比例關(guān)系，二元函數(shù)的變量是兩個，即看 是否成立？同樣多元函數(shù)的可微性乃至一個泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數(shù)學(xué)中的基本概念這是讓學(xué)生能夠不斷思考并發(fā)現(xiàn)問題的前提。
2 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足
無論哪門學(xué)科之所以產(chǎn)生、發(fā)展，往往源于人們對已有相關(guān)學(xué)科的不滿以及該學(xué)科創(chuàng)立時的不完善。作為教師，應(yīng)當(dāng)更多地呈現(xiàn)給學(xué)生所講學(xué)科的不足及存在的問題，這樣學(xué)生才有思考的余地，把學(xué)科的不足及問題隱藏起來而只把學(xué)科完美的漂亮的結(jié)果展現(xiàn)給學(xué)生，那么他們就只會做練習(xí)而永遠(yuǎn)也不會去創(chuàng)作東西。要知道，正是當(dāng)年微積分的不完善才有了極限的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足并改進(jìn)的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數(shù)學(xué)史上曾發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，可每一次危機(jī)都沒有前人的理論而只是在數(shù)學(xué)這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機(jī)使數(shù)學(xué)更加完善了，危機(jī)的產(chǎn)生正是由于學(xué)科本身的問題和不足導(dǎo)致的。
當(dāng)講完定積分時不能讓學(xué)生認(rèn)為定積分是完美無暇的，應(yīng)該讓學(xué)生尋找這個概念的不足之處，比如狄利克雷函數(shù) ，這樣簡單的函數(shù)為何不可積？可能有人認(rèn)為這是實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容超出了高等數(shù)學(xué)的范圍，事實(shí)上不是這樣的。通過讓學(xué)生尋找定積分的不足可以鍛煉學(xué)生的一種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。人人都認(rèn)為所創(chuàng)造出來的學(xué)科是神圣不可侵犯的話就不會有所發(fā)展了，這給了學(xué)生一種提出質(zhì)疑的態(tài)度，培養(yǎng)了學(xué)生問問題的一種習(xí)慣，久而久之，學(xué)生的科研能力也能加強(qiáng)。另一方面，我們可以告訴學(xué)生黎曼積分不是那么完美的，因?yàn)檫€有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學(xué)生在微積分之后還有一門后續(xù)課程是實(shí)變函數(shù)，感興趣的同學(xué)會自己去查閱。同時我們可以用形象地數(shù)錢地方式告訴學(xué)生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數(shù)目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數(shù)目這就是黎曼積分，如果會打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數(shù)各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學(xué)生的興趣，加深了他們對概念的理解，也開闊了學(xué)生的思維。
3 類比教學(xué)
數(shù)學(xué)中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，展示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從整體上把握所學(xué)到的諸多概念，這樣既可以學(xué)習(xí)新知識又可鞏固舊知識。以無窮積分與無窮級數(shù)為例，從定義來講，無窮級數(shù) 與無窮積分 的基本概念之間存在離散與連續(xù)的對應(yīng)關(guān)系：
，
（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級數(shù) 與 有相同的斂散性（這是教材的一個定理），這樣學(xué)生能自己去給出這個定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發(fā)現(xiàn)定理的成就感。
3 結(jié)語
高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要使學(xué)生不僅知道許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法，而且領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想，從而在自己所學(xué)的領(lǐng)域中不斷發(fā)現(xiàn)問題并運(yùn)用其相同或相近的思想解決問題。只有轉(zhuǎn)變了學(xué)生從被動接受到主動思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式，才能培養(yǎng)其科研能力。
參考文獻(xiàn)
第6篇：高等函數(shù)的概念范文
關(guān)鍵詞： 高數(shù)概念教學(xué) 概念本質(zhì) 整體性教學(xué) 思維能力
一直以來，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量與高等教育中人才的培養(yǎng)息息相關(guān)。而高數(shù)概念教學(xué)作為高數(shù)教學(xué)中一個很重要的環(huán)節(jié)，應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視。所謂數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維方式，往往脫離了事物的具體屬性，具有相對獨(dú)立性，抽象與具體雙重性，邏輯聯(lián)系性。我認(rèn)為在高數(shù)概念教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個方面。
一、教學(xué)中應(yīng)注重對概念進(jìn)行概括提煉
高數(shù)概念的內(nèi)涵就是指那個概念所包括的一切對象的共同的本質(zhì)屬性的總和，概念的外延就是適合那個概念的一切對象的范圍。在高數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)能注重提取出概念的內(nèi)涵，并能引導(dǎo)學(xué)生抓住抽象的詞語、符號和術(shù)語中的本質(zhì)，讓學(xué)生一開始就對這個概念有一個明確的認(rèn)識。例如，在極限概念的教學(xué)中，由于極限概念包含了數(shù)列極限和函數(shù)極限，而且函數(shù)極限中還包含自變量x各種變化情況，因此導(dǎo)致學(xué)生難以理解，在極限概念使用中出現(xiàn)種種不足甚至錯誤，如學(xué)生可能會產(chǎn)生下列錯覺：數(shù)列必單調(diào)地趨于極限，數(shù)列只能從一側(cè)趨于極限，數(shù)列的項(xiàng)不能等于極限，等等。產(chǎn)生這種學(xué)習(xí)困難的最大原因就是學(xué)生并未真正弄清楚極限語言中所蘊(yùn)含的概念本質(zhì)。所以在極限的概念教學(xué)中，教師應(yīng)該盡可能提煉出極限概念的本質(zhì)，可以提煉成一句話：極限就是自變量變化過程中，分析函數(shù)因變量的變化情況。在教學(xué)中，應(yīng)對概念分析出本質(zhì)后，再給出多種形式的具體例子，排除學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中受到的非本質(zhì)屬性的干擾，使學(xué)生一開始就感知到數(shù)列可以不同的方式趨于極限，從而將注意力集中到對極限本質(zhì)的認(rèn)識上。
二、在概念教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)整體性教學(xué)
美國著名教育家布魯納曾說：“學(xué)生獲得的知識知果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系起來，那是一種多半會被遺忘的知識?！痹诟邤?shù)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)重視其整體結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，可以說，數(shù)學(xué)概念的發(fā)展是體系化的、網(wǎng)絡(luò)狀的發(fā)展，別的數(shù)學(xué)概念通過改變內(nèi)涵和外延獲得發(fā)展，發(fā)展的新概念與原有概念形成概念體系，個別概念既反映自身來自于其他概念的關(guān)系，又反映來自系統(tǒng)的整體性質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師必須加強(qiáng)整體觀念，把個別概念置于概念體系之中。把新概念置于舊概念之中，通過比較個別與整體、新概念與舊概念的區(qū)別，揭示個別與整體、新概念與舊概念間的聯(lián)系，確定好個別概念在概念體系中的相對位置，使學(xué)生在對知識不斷更新、改造、組織、整理的過程中，形成有序完整的概念整體結(jié)構(gòu)，這能幫助學(xué)生弄清楚所學(xué)概念間的區(qū)別和聯(lián)系。以導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)為例，導(dǎo)數(shù)的概念作為微積分知識的基礎(chǔ)，如果學(xué)生不能做到對概念真正理解和掌握，將會影響對后續(xù)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)。雖然導(dǎo)數(shù)概念作為一個全新的概念，但是教師在講解時，應(yīng)加強(qiáng)概念整體性教學(xué)，將導(dǎo)數(shù)與之前學(xué)習(xí)過的極限聯(lián)系起來講解，特別是講解清楚導(dǎo)數(shù)概念與極限之間的聯(lián)系。導(dǎo)數(shù)就是一類特殊的極限，和之前學(xué)習(xí)的無窮小、無窮大這類特殊的極限類似；又如不定積分與定積分，兩個概念的本質(zhì)有著很大區(qū)別，但又有微積分基本定理將兩個概念聯(lián)系在一起，相當(dāng)一部分定積分可以通過不定積分（原函數(shù)）來求。這種整體性教學(xué)的最大好處是更利于學(xué)生真正掌握所學(xué)的新概念，更能加強(qiáng)學(xué)生對前后所學(xué)知識的整體理解，達(dá)到將所學(xué)知識融會貫通。
三、在概念教學(xué)中應(yīng)注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)
數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程，通過自己的思維過程，誘導(dǎo)學(xué)生的思維過程，這是數(shù)學(xué)教學(xué)概念的教學(xué)活動成功進(jìn)行的保證。為此，在高數(shù)概念教學(xué)中，要善于引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識概念建立的必然性及概念體系的發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，只有引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才能更好地完成數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。比如，在某些高數(shù)概念的教學(xué)中，我們可以利用概念的特點(diǎn)設(shè)置疑問，提出問題，然后從疑問入手，層層剝離，得出結(jié)論，從中培養(yǎng)學(xué)生探索求異的精神。以多元函數(shù)微分學(xué)的概念教學(xué)為例，多元函數(shù)微分學(xué)也是高數(shù)中的重要內(nèi)容之一，涉及大量的概念，對概念的講述，不僅是拓展大學(xué)生思維的良好素材，而且是培養(yǎng)學(xué)生探索精神的很好實(shí)例。在教學(xué)中可與一元函數(shù)的相應(yīng)概念作類比，我們可向?qū)W生提出以下問題：與一元函數(shù)的極限定義比較，區(qū)別在哪里？為什么會存在這種差異呢？講授偏導(dǎo)數(shù)概念時，也可對比提出：對于一元函數(shù)，可導(dǎo)則比連續(xù)，對于多元函數(shù)是否有類似的性質(zhì)呢？合偏導(dǎo)數(shù)是否都相等呢？具備怎樣的條件才相等呢？等等。這個過程不但能夠讓教師很好地完成數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，更能夠達(dá)到充分啟發(fā)學(xué)生和有效地提高學(xué)生的探索意識與思維能力的目的。
總之，能否把高數(shù)概念講好，直接影響高數(shù)教學(xué)效果的好壞。只有在高數(shù)概念講解時注重概念本質(zhì)的講解，講清楚概念間的區(qū)別聯(lián)系，才能更好地完成高數(shù)概念的教學(xué)工作和提高學(xué)生的思維能力，取得良好的教學(xué)效果。
參考文獻(xiàn)：
[1]胡傳孝.高等數(shù)學(xué)的問題、方法與結(jié)構(gòu)[M].武漢大學(xué)出版社，2000.
第7篇：高等函數(shù)的概念范文
關(guān)鍵詞:連續(xù);偏導(dǎo)數(shù);可微分
中圖分類號:O172
文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
文章編號:1672-3198(2010)09-0211-01
1 問題的提出
多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué),一定要弄清連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分之間的關(guān)系,才能更好地掌握和使用這些基本概念。本文通過作者幾年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),以二元函數(shù)為例,總結(jié)和完善了多元微分學(xué)幾個概念間的關(guān)系和實(shí)例說明,以便給廣大教師提供更有價值的參考,同時若能給正在學(xué)習(xí)的新生和正在考研的學(xué)生以點(diǎn)撥,將會起到很大的效果。
2 幾個重要概念間的相互關(guān)系及其反例
本節(jié)首先對教材中的結(jié)果,以定理的形式加以總結(jié),使結(jié)論更加簡潔明了。并以推論的形式給出了二元函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微間的關(guān)系,并給出具有代表性的例子以驗(yàn)證推論的正確性,使結(jié)果更加具有說服力。
定理1若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微,則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處
(1)連續(xù);
(2)偏導(dǎo)數(shù)存在,且dz=zxdx+zydy
說明:這個定理給出了全微分存在的必要條件,作為教材上的結(jié)果,本文不再加以證明。與一元函數(shù)不同,這些條件都不是充分條件。由此得到以下七個推論:
推論1:對多元函數(shù),連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在,從而也未必可微。
反例:函數(shù)f(x,y)=|x|,在(0,0)點(diǎn)顯然連續(xù),但fx(0,0)卻不存在。
推論2:對多元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在未必連續(xù)。
例如:函數(shù)
f(x,y)=xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0
依定義知在(0,0)處,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).
推論3:偏導(dǎo)數(shù)存在未必可微。
例如:函數(shù)
f(x,y)=xyx2+y2 x2+y2≠00 x2+y2=0
依定義知在(0,0)處,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函數(shù)在該點(diǎn)處并不可微。說明如下:
Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]=Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2),
P′(Δx,Δy)如果考慮點(diǎn)沿著直線y=x趨近于(0,0),則
Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2ρ=Δx•Δx(Δx)2+(Δx)2=12,
說明它不能隨著ρ0而趨于0,當(dāng)ρ0時
Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]≠O(ρ),
因此函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不可微。
盡管偏導(dǎo)數(shù)存在未必可微,但在偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)的時候函數(shù)一定可微。即
定理2:若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處一定可微。
推論4:函數(shù)f(x,y0)在點(diǎn)x=x0連續(xù),函數(shù)f(x0,y)在點(diǎn)y=y0也連續(xù),但函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)不一定連續(xù)。
例如:f(x,y)=0 xy≠01 xy=0.在原點(diǎn)就是這樣。
3 結(jié)束語
正是因?yàn)橛珊瘮?shù)在某個方向上的極限存在性,并不能推出其二重極限的存在性,導(dǎo)致了二元函數(shù)諸多關(guān)系的復(fù)雜性。事實(shí)上,關(guān)于二元函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微、方向?qū)?shù)間的關(guān)系,可以看到反例的討論基本都在轉(zhuǎn)折點(diǎn)(特殊點(diǎn))處。這與我們所學(xué)知識是依存的,在學(xué)習(xí)每個概念的初始階段,我們都在強(qiáng)調(diào),對于特殊點(diǎn)處的性質(zhì),只能按照定義去進(jìn)行討論,因特殊點(diǎn)處是最容易出現(xiàn)以外的地方。
參考文獻(xiàn)
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第8篇：高等函數(shù)的概念范文
關(guān)鍵詞： 極限 計算方法 錯誤剖析
極限是研究函數(shù)的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，極限計算是高等數(shù)學(xué)課程要求熟練掌握的一種運(yùn)算，對于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要意義.處于高等數(shù)學(xué)入門階段的學(xué)生，在計算極限時常常會出現(xiàn)各種錯誤，究其原因，一方面是由于學(xué)生對極限理論的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視，另一方面是由于學(xué)生的思維品質(zhì)有待進(jìn)一步提升.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)高度重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，對學(xué)生在極限計算中的錯誤作分析和訂正，既幫助學(xué)生加深對極限理論的認(rèn)識，又能夠提升其思維品質(zhì).
一、對極限概念理解不透徹導(dǎo)致混淆不同類型的函數(shù)極限
函數(shù)極限刻畫了自變量某個變化過程中對應(yīng)函數(shù)的變化趨勢，因而計算函數(shù)極限，既要關(guān)注自變量的變化過程，又要關(guān)注函數(shù)的解析式.然而，部分學(xué)生在計算極限時，會忽略自變量的變化過程，只關(guān)注函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選用方法.
例1：計算■■.
錯誤解法：■■=■■=■=■=0.
正確解法：■■=■■=■■=■.
學(xué)生錯用自變量趨于無窮大的極限計算方法，計算自變量趨于有限值的函數(shù)極限，并誤認(rèn)為■■=0，■■=0.這表明學(xué)生對極限概念理解不透徹，不清楚函數(shù)極限所刻畫的函數(shù)變化趨勢是與自變量的變化過程相聯(lián)系的.教學(xué)中，可通過分析函數(shù)y=■的圖像，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識x4和x∞的函數(shù)極限，提醒學(xué)生在計算極限時注意自變量的變化過程，正確地選擇計算方法.
例2：計算■■.
錯誤解法：由重要極限，有■■=1.
正確解法：■■=■■sinx=0.
由于只注意到題目中的函數(shù)與重要極限■■=1中的函數(shù)相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結(jié)果得出錯誤的答案.事實(shí)上，當(dāng)x∞時，sinx是有界函數(shù)，■是無窮小，根據(jù)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.
極限概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一個嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)科，教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.
二、對極限理論的認(rèn)識不足導(dǎo)致主觀臆造公式
函數(shù)的有窮極限與函數(shù)的無窮極限，在性質(zhì)上有所不同[1].當(dāng)函數(shù)的極限為無窮大時，按照函數(shù)極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運(yùn)算，其結(jié)果有多種情況，詳見文[1].由于學(xué)生對有窮極限與無窮極限的認(rèn)識不足，會錯把有窮極限的運(yùn)算性質(zhì)搬到無窮極限的運(yùn)算中.
1.臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則
極限的四則運(yùn)算法則要求其中的每一個函數(shù)都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對于無窮極限的四則運(yùn)算，上述法則是不成立的.有的學(xué)生不加推理地把它們搬到無窮極限的運(yùn)算中，臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則.
例3：計算■（■-■）.
錯誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.
正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.
學(xué)生在無窮極限的運(yùn)算中使用了函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運(yùn)算公式：∞-∞=0.教師在教學(xué)中有必要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)無窮極限與有窮極限的不同，促使學(xué)生以嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的態(tài)度分析問題，從而準(zhǔn)確地計算極限.
2.臆造無限個函數(shù)的極限運(yùn)算法則
關(guān)于和、差、積的極限運(yùn)算法則，可以推廣到有限個函數(shù)的情形，部分學(xué)生仿照此法則臆造了無限個函數(shù)的極限運(yùn)算法則.
例4：計算■（■+■+…+■）.
錯誤解法：
■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.
正確解法：因?yàn)椤觥堋?■+…+■≤■，
又■■=■■=1，由夾逼準(zhǔn)則，有
■（■+■+…+■）=1.
對于無限個函數(shù)的和的極限，必須先把無限項(xiàng)的和轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)的情形，常用的轉(zhuǎn)化方法有利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、夾逼準(zhǔn)則等.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整理清楚相關(guān)的知識和方法，促使學(xué)生正確地運(yùn)用公式和方法.
3.臆造冪指函數(shù)的極限公式
文[2]中給出了冪指函數(shù)的一個極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.
公式要求a>0，且a，b都必須是有限實(shí)數(shù).若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.
例5：計算■（■）■.
錯誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.
正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.
學(xué)生在未定式中錯用了冪指函數(shù)的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運(yùn)算性質(zhì)，是正確運(yùn)用公式和法則的前提保障.
三、對極限定理和公式的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視導(dǎo)致錯用公式
與中學(xué)數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)深入，初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生，由于思維的嚴(yán)謹(jǐn)性不足，在運(yùn)用定理或公式時，往往會忽略對其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結(jié)論.
1.忽略洛必達(dá)法則的條件判斷導(dǎo)致錯用公式
洛必達(dá)法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計算法則，其只能用于未定式的極限計算，如果不符合條件也用法則，則必然導(dǎo)致計算錯誤.
例6[2]：計算■■.
錯誤解法：■■=■■=■■=■■=1.
正確解法：■■=■■=■■=■.
在此例的錯誤解法中，連續(xù)三次使用了洛必達(dá)法則，事實(shí)上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達(dá)法則，而應(yīng)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)計算極限.在用公式法則之前，應(yīng)注意相關(guān)條件的判斷，才能避免犯這樣的錯誤.
2.對等價無窮小替換理解錯誤導(dǎo)致錯用公式
求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)用等價無窮小替換.
例7：計算■■.
錯誤解法：■■=■■=0.
正確解法：■■=■■=■■=■.
當(dāng)x0時，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價無窮小，不能對分子中的每一項(xiàng)分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當(dāng)x0時，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x?■x■，可以將改造后的分子用x?■x■替換.由于學(xué)生不重視對公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導(dǎo)致解題錯誤.教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生分析透徹等價無窮小替換的原理，才能確保學(xué)生準(zhǔn)確靈活地運(yùn)用公式.
以上極限計算中出現(xiàn)的錯誤，反映出學(xué)生對極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.一方面，教師在極限教學(xué)中重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生加深對極限的理解，靈活地掌握好極限的計算.另一方面，學(xué)生堅持以嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的態(tài)度對待學(xué)習(xí)和解題，能夠進(jìn)一步提升思維品質(zhì).
參考文獻(xiàn)：
第9篇：高等函數(shù)的概念范文
關(guān)鍵詞: 函數(shù)極限 無窮小 復(fù)合函數(shù)
1.引言
高等數(shù)學(xué)是工科院校最重要的基礎(chǔ)課程,又是理工科學(xué)生進(jìn)入大學(xué)首先必須接觸的課程之一,具有高度抽象性、嚴(yán)密邏輯性和廣泛適用性。它既是學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ),又是對大學(xué)生思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練。而且,中學(xué)與大學(xué)的學(xué)習(xí)方式和思考問題的方法有較大的區(qū)別。所以,從中學(xué)升到大學(xué)的學(xué)生,常常對大學(xué)的教學(xué)方式感到困惑或難以適應(yīng)。因此,高等數(shù)學(xué)教師就必須承擔(dān)起讓他們盡快從中學(xué)的學(xué)習(xí)和思維方式轉(zhuǎn)變到大學(xué)的學(xué)習(xí)和思維方式的引導(dǎo)任務(wù)。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)就需要從思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法上加以改變,教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)分析思維能力、解決實(shí)際問題的能力為主要目標(biāo)。
函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中最抽象的概念,是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn),高等數(shù)學(xué)中的許多概念和定理都與極限有關(guān)。從連續(xù)到導(dǎo)數(shù)、從微積分到級數(shù)等都是用極限來定義的,極限貫穿了高等數(shù)學(xué)的始終。因此,全面掌握函數(shù)與求極限的方法及技巧是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基本要求。下面兩個定理在求解函數(shù)極限時起了極其重要的作用。
定理1[2]:有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。
定理2[2]:設(shè)函數(shù)y=f(g(x))由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成,g(x)的值域包含在f(u)的定義域中。若g(x)=u,且函數(shù)y=f(u)在u=u連續(xù),則:f(g(x))=f(u)=f(u)= fg(x)。
我在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生對上述定理只是單純地記憶和應(yīng)用,只是機(jī)械性地去計算極限,而不是加以理解性地應(yīng)用,這與鍛煉數(shù)學(xué)的思維方法和解題思路相違。因此,為了加深學(xué)生對上述兩個定理的理解和應(yīng)用的熟練程度,教師需要適當(dāng)?shù)刂v解一些相關(guān)例題,讓他們加深理論基礎(chǔ)、計算方法的能力和技巧。
2.利用定理巧解函數(shù)極限
下面我從幾個實(shí)例來闡述在教學(xué)過程中對這兩個定理的應(yīng)用。
例1.求,其中α>0。
分析:當(dāng)x∞時,分子及分母的極限都不存在,故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用。但把分解為與sinx的乘積,由于為當(dāng)x∞時的無窮小,而sinx是有界函數(shù),則根據(jù)上述定理1就有:=?sinx=0。
例2.求。
分析:把分解為xsin與的乘積。當(dāng)x0時,函數(shù)f(x)=x為無窮小;雖然函數(shù)g(x)=sin的極限不存在,但g(x)是有界函數(shù);利用定理1可得xsin=0。再利用第一個重要極限的結(jié)論,知=1。于是有:=?xsin=1?0=0。
定理2的結(jié)論可以看作求連續(xù)復(fù)合函數(shù)的極限時,連續(xù)函數(shù)符號與極限符號交換次序的理論基礎(chǔ),即先取極限后求函數(shù)值,該方式可簡化求復(fù)合函數(shù)極限的過程。
例3.求。
分析:利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),上述函數(shù)可等價變形為f(x)=log(1+x)。顯然,它是由函數(shù)f(u)=logu與u=(1+x)復(fù)合而成。由第二個重要極限結(jié)論知:(1+x)=e;又函數(shù)f(u)=logu在u=e處連續(xù),于是根據(jù)定理3可得:=log(1+x)=log(1+x)=loge=。
例4.求(1+2x)。
分析:利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),則f(x)=(1+2x)=e?？梢苑纸鉃閒(u)=e與u=6??ln(1+2x)復(fù)合,且6??ln(1+2x)?又分解為與ln(1+2x)的乘積。根據(jù)極限乘法法則及兩個重要極限的結(jié)論,可得:
6??ln(1+2x)=6??ln(1+2x)=6e,
又函數(shù)f(u)=e在u=6e處連續(xù),于是根據(jù)定理2可得:
(1+2x)=e=e=e=e。
3.結(jié)語
本文將教學(xué)過程中遇到的困惑提出來,目的是提醒學(xué)生不能只重視計算方法,應(yīng)把計算過程及方法的理論基礎(chǔ)弄清楚,奠定扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。我們通過對例題的分析和求解方法分析,使學(xué)生加深了對道理的理解,加強(qiáng)了定理的應(yīng)用能力,達(dá)到了預(yù)期的效果。
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