探索平行線的條件精選(九篇)

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第1篇：探索平行線的條件范文

1.平行線等分線段定理

定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他需直線上截得的線段也相等.

注意事項：定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的特殊的平行線組;它是由三條或三條以上的平行線組成.

定理的作用：可以用來證明同一直線上的線段相等;可以等分線段.

2.平行線等分線段定理的推論

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

記憶方法：“中點”+“平行”得“中點”.

推論的用途：(1)平分已知線段;(2)證明線段的倍分.

重難點分析

本節的重點是平行線等分線段定理.因為它不僅是推證三角形、梯形中位線定理的基礎，而且是第五章中“平行線分線段成比例定理”的基礎.

本節的難點也是平行線等分線段定理.由于學生初次接觸到平行線等分線段定理，在認識和理解上有一定的難度，在加上平行線等分線段定理的兩個推論以及各種變式，學生難免會有應接不暇的感覺，往往會有感覺新鮮有趣但掌握不深的情況發生，教師在教學中要加以注意.

教法建議

平行線等分線段定理的引入

生活中有許多平行線等分線段定理的例子，并不陌生，平行線等分線段定理的引入可從下面幾個角度考慮：

①從生活實例引入，如刻度尺、作業本、柵欄、等等;

②可用問題式引入，開始時設計一系列與平行線等分線段定理概念相關的問題由學生進行思考、研究，然后給出平行線等分線段定理和推論.

教學設計示例

一、教學目標

1.使學生掌握平行線等分線段定理及推論.

2.能夠利用平行線等分線段定理任意等分一條已知線段，進一步培養學生的作圖能力.

3.通過定理的變式圖形，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.

4.通過本節學習，體會圖形語言和符號語言的和諧美

二、教法設計

學生觀察發現、討論研究，教師引導分析

三、重點、難點

1.教學重點：平行線等分線段定理

2.教學難點：平行線等分線段定理

四、課時安排

l課時

五、教具學具

計算機、投影儀、膠片、常用畫圖工具

六、師生互動活動設計

教師復習引入，學生畫圖探索;師生共同歸納結論;教師示范作圖，學生板演練習

七、教學步驟

復習提問

1.什么叫平行線?平行線有什么性質.

2.什么叫平行四邊形?平行四邊形有什么性質?

引入新課

由學生動手做一實驗：每個同學拿一張橫格紙，首先觀察橫線之間有什么關系?(橫線是互相平等的，并且它們之間的距離是相等的)，然后在橫格紙上畫一條垂直于橫線的直線，看看這條直線被相鄰橫線截成的各線段有什么關系?(相等，為什么?)這時在橫格紙上再任畫一條與橫線相交的直線，測量它被相鄰橫線截得的線段是否也相等?

(引導學生把做實驗的條件和得到的結論寫成一個命題，教師總結，由此得到平行線等分線段定理)

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上掛得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

注意：定理中的“一組平行線”指的是一組具有特殊條件的平行線，即每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組，這一點必須使學生明確.

下面我們以三條平行線為例來證明這個定理(由學生口述已知，求證).

已知：如圖，直線，.

求證：.

分析1：如圖把已知相等的線段平移，與要求證的兩條線段組成三角形(也可應用平行線間的平行線段相等得)，通過全等三角形性質，即可得到要證的結論.

(引導學生找出另一種證法)

分析2：要證的兩條線段分別是梯形的腰，我們借助于前面常用的輔助線，把梯形轉化為平行四邊形和三角形，然后再利用這些熟悉的知識即可證得.

證明：過點作分別交、于點、，得和，如圖.

，

又，，

為使學生對定理加深理解和掌握，把知識學活，可讓學生認識幾種定理的變式圖形，如圖(用計算機動態演示).

引導學生觀察下圖，在梯形中，，，則可得到，由此得出推論1.

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.

再引導學生觀察下圖，在中，，，則可得到，由此得出推論2.

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.

注意：推論1和推論2也都是很重要的定理，在今后的論證和計算中經常用到，因此，要求學生必須掌握好.

接下來講如何利用平行線等分線段定理來任意等分一條線段.

例已知：如圖，線段.

求作：線段的五等分點.

作法：①作射線.

②在射線上以任意長順次截取.

③連結.

④過點.、、分別作的平行線、、、，分別交于點、、、.

、、、就是所求的五等分點.

(說明略，由學生口述即可)

總結、擴展

小結：

(l)平行線等分線段定理及推論.

(2)定理的證明只取三條平行線，是在較簡單的情況下證明的，對于多于三條的平行線的情況，也可用同樣方法證明.

(3)定理中的“平行線組”，是指每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組.

(4)應用定理任意等分一條線段.

第2篇：探索平行線的條件范文

題型一 余角概念的運用

【例1】如圖，AOB是一條直線，∠AOC=90°，∠DOE=90°，問圖中互余的角有哪幾對？哪些角是相等的？

【思考與分析】 由互為余角的定義，只需找出圖中和為90°的角即可.

解： 因為 ∠AOC=90°，∠AOB=180°，

所以 ∠BOC=90°，∠1與∠2、∠3與∠4互余.

因為 ∠DOE=90°， 所以 ∠2與∠3互余.

因為 ∠1+∠DOE+∠4=180°，∠DOE=90°，

所以 ∠1+∠4=90°.即∠1與∠4互余.

可以得到互余的角有：∠1與∠2，∠2與∠3，∠3與∠4，∠4與∠1.

因為 ∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，

所以 ∠1=∠3（同角的余角相等）.

因為∠3與∠4互余，∠3與∠2互余，

所以 ∠2=∠4（同角的余角相等）.

題型二 垂線的定義和性質

【例2】如圖，已知FEAB于E，CD是過E的直線，且∠AEC=120°，則∠DEF= .

【思考與分析】我們仔細閱讀題目，經過思考發現有兩種解法，第一種主要利用垂直的定義和對頂角的性質， 因為∠AEC和∠DEB是對頂角，∠AEC=∠DEB=120°，又因為 FEAB，∠BEF=90°，所以∠DEF=120°-90°=30°；第二種解法主要利用垂直的定義和鄰補角的定義，由∠AEC和∠AED互為鄰補角，可得∠AED=60°， 再由FEAB于E，可得∠AEF=90°，則∠DEF=90°-60°=30°.

解：∠DEF=30°.

【小結】本題主要考察我們是否掌握了角與角之間的關系，解答這類題目時，我們要清楚地知道有關概念，比如垂直，對頂角，鄰補角等.

題型三、互余、互補魅力

【例3】如圖3，先找到長方形紙的寬DC的中點E，將∠C過E點折起任意一個角，折痕是EF，再將∠D過E點折起，使DE和CE重合，折痕是GE，請探索下列問題：

（1）∠FEC和∠GEC互為余角嗎？為什么？

（2）∠GEF是直角嗎？為什么？

（3）在上述折紙圖形中，還有哪些互為余角？還有哪些互為補角？

解：（1）由折紙實驗，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互為余角.

（2）因為∠GEF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角.

（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互為余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互為補角等等（同學們還可以舉出一些例子）.

題型四 平行線的性質與判定證明

【例4】如圖，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F嗎？為什么？

【思考與分析】我們從已知條件入手分析題目.∠2和∠3互為對頂角，∠2=∠3，由∠1=∠2可得∠1=∠3，而∠1和∠3是一對同位角，由平行線的判定條件可知BD∥CE，再根據平行線的性質可得∠4=∠C.又因為已知∠C=∠D，我們可以得到∠4=∠D，從而DF∥CA，從而可以推出∠A=∠F.

解：因為∠1=∠2，∠2=∠3，

所以∠1=∠3.

所以BD∥CE.

所以∠4=∠C.

又因為∠C=∠D，

所以∠4=∠D

所以DF∥CA.

所以∠A=∠F.

題型五 利用平行線性質與判定進行運算

【例5】 如圖，AB∥CD，若∠2=135°，則么∠1的度數是 （ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【思考與分析】 本題主要考查平行線的性質、互為鄰補角概念.

解：∠2與∠1的鄰補角互為內錯角，所以∠1=180°-∠2=45°.

【小結】 解答本題需要注意兩點：第一，兩直線平行，內錯角相等，第二，互為補角與互為鄰補角的區別.

題型六 學科間的綜合

【例7】 已知：如圖，∠AOB的兩邊 OA、OB均為平面反光鏡，∠AOB=40°.在OB上有一點P，從P點射出一束光線經OA上的Q點反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則∠QPB的度數是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

【思考與分析】 觀察題目，我們可以利用平行線的性質，“兩直線平行，同位角相等”，以及PQ與OA的夾角，與QR與OA的夾角相等的原則，可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°，借助平角的定義，則∠QPB=80°.

解：B.

【小結】在學習的過程中我們一定要注意學科間的綜合，這是中考命題的熱.

題型七 探究性問題

【例8】 觀察圖1～圖5.

（1）如圖1，若AB∥CD，則∠B+∠D=∠BED，你能說明為什么嗎？

反之，若∠B+∠D=∠BED，直線AB與CD有什么位置關系？請說明理由；

（2）若將點E移至圖2所示位置，此時∠B、∠D、∠BED之間有什么關系？請說明理由；

（3）若將E點移至圖3所示位置，情況又如何？

（4）在圖4中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關系？

（5）在圖5中，若AB∥CD，又得到什么結論？

分析：要說明（1）的結論成立，若過點E作EF∥AB，則由平行線的特征即可說明；其余幾個問題也都可以按照此方法說明.

解：（1）如圖1，過點E作EF∥AB，則EF∥CD，∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF，而∠BED=∠BEF+∠DEF，故∠B+∠D=∠E.

反之，若∠B+∠D=∠E，則AB∥CD.

理由：如圖1，過點E作EF∥AB，則∠B=∠BEF，又因為∠B+∠D=∠E，所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D，所以EF∥CD，故AB∥CD.

（2）若將點E移至圖2所示位置，此時有∠B+∠BED+∠D=360°.理由：過點E作EF∥AB，則∠B+∠BEF=180°.因為AB∥CD，所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°，故∠B+∠BED+∠D=360°.

（3）若將E點移至圖3所示位置，此時有結論：∠BED+∠D=∠B.

理由：因為AB∥CD，所以∠B=∠BMD，而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E，故∠E+∠D=∠B.

（4）仿照（1）可以猜想：在圖3-4中，若AB∥CD，則有結論：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

提示：可以分別過點E、F、G作AB的平行線，仿照（1）即可說明.

第3篇：探索平行線的條件范文

所謂發散型思維，又叫求異思維，就是從某一點出發，運用全部的信息進行發散性聯想，朝著不同的方向，去探索多種解決問題的方案的思維過程。發散思維一般是在問題存在多種可能的解決方案，但卻不能肯定哪一種是正確的情況下進行的，發散思維開始時往往是在常識范圍內進行思索，通過不斷摸索嘗試，反復變通，找到新的發散方向，產生新型成分。發散型思維方法是向外擴展的，有可能找到更多更好的方案。因此，發散型思維具有多向性、獨立性、探索性、運動性等特征，它在創造性思維中占有主導地位。

數學是思維的體操，因此，數學教師在教學中必須研究教材、研究學生、研究教法、研究學法。創設最佳思維情境，激發學生的學習興趣，有計劃、有目的地培養學生的發散思維。牛頓說過:“例子有時比定律更重要”。因此，精選典型習題，鼓勵學生一題多解、一題多變，進行歸納、總結，是培養發散思維的重要方法。

求線段的比及比例線段的證明是平面幾何重要內容之一，也是學生普遍感到棘手的問題。究其原因有二，其一：不知如何構造相似三角形；其二：不知如何添加平行線，構造平行線分線段成比例。下面結合一個例題談談具體做法。

一、一題多解，思維發散

讓學生用已學過的知識從不同角度、不同方向，多方位觀察，縱橫聯想，積極探索，大膽猜測，這是尋求解決問題的各種方案的集中表現。一題多解就是這種理論的具體化。因此一題多解對于調動學生學習數學的積極性、主動性，拓寬解題思路，培養學生的探索精神和發散思維能力有著重要的意義。通過各種方法的討論和比較，可以達到擇優棄劣，提高解題速度和質量的目的，有利于學生思維品質的發展。

例：已知，如圖（1），B、E分別是DC和AB的中點， 延長DE交于點F，求 的值。

創設思維情境，引發學習動機，教師要精心設疑、激疑，從而轉化為強烈的學習要求。求線段的比必須有相似三角形或平行線分線段，但和所在的三角形不相似，怎樣添加輔助線，構造成比例線段呢？啟發學生回憶:經常過線段的中點作平行線。

解法一：如圖（1-1），作 交 于點 ，

是 的中點， ，又 ， ， 。

解法二：如圖（1-2），作 交 于點 ， 是 的中點， ， 又 是 的中點， ， 。

解法三：如圖（1-3），連 ，過點 作 分別交 于點 ， 是 的中點， 是 的中點，

，又 是 的中點， ， ， 。

解法四：如圖（1-4），連 ，作 別交 的延長線于點 ，連

作 別交 于點 ， 是 的中點，

又 是 的中點， ，又易證 ，

， ， ， ，即 。

解法三：如圖（1-3），作 交 于點 ， 是 的中點， 是 的中點， ， ， ， 。

解法四：如圖（1-4），作 交 于點 ， 是 的中點， ，又 是 的中點， ， ，

展示思維過程，指導學生聯想、探索、總結，指導學生在實踐的基礎上有所發現、有所突破、有所創新，這是發展發散思維的要求。引導學生及時總結這四種解法的共同之處:過線段的中點作平行線，構造出平行線分線段成比例定理的條件，且三角形中位線在每種解法中都發揮著巨大的貢獻。如果不過中點，比如過不是中點的分 作平行線是否也能求解呢？

解法五：如圖（1-5），作 交 于點 ， ， ， ， ， ， ， ，

解法六：如圖（1-6），作 交 于點 ， ， ，又 ， ， ， ， ，

調動學生學習積極性，人人開動腦筋，個個發揮聰明才智，不僅達到提高解題能力的目的，而且把教學推向一個新的臺階。剛才過三個“分點”作平行線有種解決方案，那么過三個“端點”是否也有解決方案呢？引路指津，誘導思維。

解法七：如圖（1-7），作 交 的延長線于點 ， 是 的中點， 是 的中點， ， ， ，

解法八：如圖（1-8），作 交 的延長線于點 ， 是 的中點， ， ， ，即 ， 解得

解法九：如圖（1-9），作 交 的延長線于點 ， 是 的中點， 是 的中點， ， ， ， ，

解法十：如圖（1-10），作 交的延長線于點 ， 是 的中點， 是 的中點， ，

解法十一：如圖（1-11），作 交 的延長線于點 ， 是 的中點， ，又 ， ， ，

解法十二：如圖（1-12），作 交 的延長線于點 ， 是 的中點， ，又 是 的中點， ， ， ， 。

如此一題多解，不僅開闊了學生的視野，提高了學習的興趣，使學生的知識更靈活、更牢固，而且使學生的發散思維能力得到鍛煉和培養。

二、一題多變，鞏固發散

美國著名數學家G•波利亞曾說過：“一種想法使用過一次是一個技巧，經過多次使用，就可以成為一種方法”。一題多變即變式練習是數學中訓練思維的常用手段之一，數學題目往往能進行改造、變換。如題目的多種敘述方式、交換條件和結論、削弱條件或加強條件等。因此，在例題的選講中，不能僅僅滿足于就題論題，應注意多角度、多途徑、全方位地對例題進行分析和挖掘，對例題進行“一題多變”，探索例題的解法和解題規律。這樣不但能以點串線、舉一反三，有利于調動學生向學習的興趣和積極性，從而將知識深化，而且能較好地培養學生的發散思維能力，防止思維僵化，提高解題能力。

變式1：例題中 、 、 它們各自被分割的兩條線段之比現在都知道了，那么 與 的比值是多少？能求出了嗎？

變式2：如果將例題中“ 為 的中點”改為 與 的比值是2，能否還有辦法求得 與 的比值嗎？

變式3：已知，如圖(2)， ，求 的值。

上面變式1和變式2中的圖形沒變，只是比值變動而已;變式3的圖形幾乎一樣，只是此處僅一個中點。下面的兩個習題表面上看圖形變化很大，研究后發現可以去掉圖形中的某線段，解法就一樣了。

變式4：已知，如圖(3)， 中， 為 上一點， ， 是 的中點，求 的值。

變式5：已知，如圖(4)， 中， ， 是 邊上的高， 是 的中點， 的延長線交 于 ，求證

上面的五個題目都有十二種解法，由于篇幅所限，不再一一贅述。如此借題發揮，一題多變，以點串線，對培養學生由表及里、由此及彼的思維方法起到了觸類旁通的效果，同時又鞏固了發散思維。

通過上述各題的練習，讓學生體會數學的奧妙，勤于思考，多做、多總結，就會發現許多問題都有多種解法，同時許多問題的解法又是類似的，只要做個有心人，必定會事半功倍。作為數學教師，要深入鉆研教材，精心設計教法，充分利用典型例題的延展性、開拓性，引導學生積極聯想，激發學生的學習興趣和求知欲望，培養學生的發散型思維。以上只是筆者在教學中的一點粗淺的體會，不足之處有待于今后不斷探討、求索。

第4篇：探索平行線的條件范文

蘇科版《數學》八年級（上冊）在“1.5 等腰三角形的軸對稱性”第二課時中設計了如下的一組探索問題：

1.如圖1，在一張長方形紙條上任意畫一條截線AB，所得∠1與∠2相等嗎？為什么？

2.如圖2，將紙條沿截線AB折疊，在所得ABC中，仍有∠1=∠2.度量邊AC和BC的長度，你有什么發現？

圖1圖2

教材設計這兩個相關聯的探索問題意在通過學生的動手操作、度量、思考，引導學生發現等腰三角形的判定定理“等角對等邊”.在探索過程中還可以改變折痕的位置重新操作，使學生進一步發現雖然∠1、∠2的大小改變了，AC、BC的大小也隨之改變，但是AC =BC的結論不變.這個探索過程，啟發我們提煉出等腰三角形的一個常見的又非常有用的基本圖形.

二、基本圖形的提煉

圖3

如圖3，OC平分∠AOB，D為射線OC上一點（不與O重合），DE ∥AO，與BO交于點E，則EO =ED.用語言可表述為：“過角平分線上不與角的頂點重合的一點作角的一邊的平行線，與角的另一邊相交，交點到這點與角的頂點的距離相等.”可簡稱為“角平分線+平行線=等腰三角形”（以下稱基本圖形1）.圖2是這一基本圖形在折疊背景下的變式：長方形的對邊始終平行，折痕可看作是角的平分線，圖中始終會出現等腰三角形.實際上，這個基本圖形中三個主要元素“角平分線、平行線、等腰三角形”出現其中的任意兩個，第三個必然出現，即還可得：“等腰三角形+角平分線=平行線”（以下稱基本圖形2）或“等腰三角形+平行線=角平分線”（以下稱基本圖形3）.

三、基本圖形的應用

1.顯性圖形，直接運用

例1（1）如圖4，ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線分別交AB、AC于點E、F. 求證：EF =EB +FC.

圖4圖5

（2）如圖5，ABC中，∠ABC、外角∠ACM的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線分別交AB、AC于點E、F.則線段EF、EB、FC之間有什么關系？不必說明理由.

解析：（1）根據BD平分∠ABC，EF∥BC，由基本圖形1可證ED =EB，同理可證FD =FC，所以EF =ED +FD =EB +FC.

（2）EF =EB -FC.

評析：問題（1）將兩個基本圖形1巧妙結合在一起，探索三條線段的關系；問題（2）將一個內角平分線演變成外角平分線，設計成開放性問題，可考查學生在相對復雜的背景下發現基本圖形并運用基本圖形的能力.

圖6

例2 （2012年深圳市）如圖6，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連結AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形； （2）略.

解析：由折疊可知：EF平分∠AFC，AF =CF，EA = EC由矩形ABCD可得AE∥BC，利用基本圖形1可得AF =AE，從而AE = EC =CF =FA，所以四邊形AFCE為菱形.

評析：此題即是基本圖形在折疊背景下的變式運用，實際上題目中矩形這個條件換成一組對邊平行的四邊形后再按同樣方式折疊仍可得到相同的結論，通過這個問題的探究有利于學生認識問題的本質.

2.隱性圖形，構造運用

例3已知：如圖7，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在CD上，∠FAE =∠BAE.求證：AF =BC +FC.

解析1：如圖7，此題有∠FAE =∠BAE（即AE平分∠BAF）這個條件，出現了基本圖形的部分條件，由正方形ABCD可得AB∥CD，因而將這兩個條件結合起來，延長AE交DC的延長線于G，利用基本圖形1可得等腰FAG，即AF =FG =FC+CG，易證GCE≌ABE，得GC =AB，又因為AB =BC，所以AF =BC +FC.

圖7圖8

解析2：如圖8，此題有∠FAE=∠BAE（即AE平分∠BAF）這個條件，部分出現了基本圖形的條件，由于點E為BC的中點，故取AF的中點H，連結EH，由梯形中位線可得：AB +CF =2EH、EH∥AB，由AE平分∠BAF、EH∥AB利用基本圖形1可得等腰EHA，即HA=EH，所以FA =2AH =2EH，即FA =AB +CF=BC +CF.

評析：解析1將∠FAE =∠BAE、AB∥CD這兩個看似毫無關聯的條件通過輔助線巧妙結合起來，構造基本圖形使問題得到解決，解析2通過題中已有中點，再取一個中點，利用中位線性質得到EH∥AB這個結論，從而與題中∠FAE =∠BAE這個條件聯姻，構造基本圖形使問題得到解決. 此題是蘇科版《數學》九年級（上冊）一道課本習題，題目解法靈活多樣，遠不止上面介紹的兩種方法，題中還蘊含了其他的一些基本圖形、重要結論，絕對稱得上是一道經典幾何題.

圖9

例4（2012 福州市）如圖9， AB 為O 的直徑，C為O 上一點，AD 和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交O 于點E.

（1）求證：AC 平分∠DAB；（2）略.

解析：初看此題根本沒有基本圖形的影子，由于遇到切線常作輔助線“連結圓心與切點”，故連結OC，此時得OA =OC，即構造了等腰OCB，且OCCD，又因為ADCD，可得OC∥AD，由基本圖形3可得AC 平分∠DAB.

評析：試題將等腰三角形、平行線隱藏起來，需要學生綜合題中條件進行思考，通過輔助線使基本圖形顯現出來.試題具有一定的拓展變化空間，將條件“AB 為O 的直徑”、“CD是O 的切線”“ADCD”之一與結論“AC 平分∠DAB”對調，借助基本圖形可以證明得到的新的命題仍然成立.

3.綜合運用，彰顯能力

例5 （2012年武漢市）如圖10，點A為拋物線C1：y= 12x2-2的頂點，點B的坐標為（1，0），直線AB交拋物線C1于另一點C.

（1）求點C的坐標；

（2）略；

（3）如圖11，將拋物線C1向下平移m（m>0）個單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點為點P，交x軸負半軸于點M，交射線BC于點N，NQx軸于點Q，當NP平分∠MNQ時，求m的值.

解析：（1）易求點A的坐標為（0，-2），故由點A、B的坐標得直線AB的解析式為： y=2x-2，從而求得點C的坐標為（4，6）.

（3）如圖11，由NP平分∠MNQ，NQy軸，根據基本圖形1可得等腰三角形，故設直線MN與y軸交于點T，則NT =TP.下面可考慮將NT、TP用有關點的坐標的代數式表示出來，建立方程解決該題.故過點N作NH y軸于點H，由（1）知直線AB的解析式為：

y=2x-2，故可設直線AB與拋物線C2的交點N的坐標為

（t，2t-2）.由題知拋物線C2的解析式為

y=12x2-2-m，將點N的坐標代入解析式可得

12t2-2-m=2t-2，即

m=12t2-2t，故拋物線C2的解析式為

y=

12x2-2-12t2+2t

.令y=0可求得點M的坐標為

（2-t，0）

，從而求得NQ =MQ= 2t-2，即∠MNQ =45°，故MOT與NHT均為等腰直角三角形，所以TO=MO=t-2，HN=HT=t，即NT=

2t.由拋物線C2的解析式可得P的坐標為（0，

-2-12t2+2t），所以TP=TO+OP=

12t2-t，根據TP = NT可得方程

12t2-t=2t，解得

t=22+2（t =0舍去），所以m=2..

圖10圖11

評析：本題是一道壓軸題，充分考查了兩個函數圖象交點坐標的處理方法、消元法、構造法、一元二次方程的解法等多種數學方法，體現了轉化、方程、數形結合等數學思想，難點頗多，但發現圖11中的基本圖形1，得到兩條線段相等，利用其作為相等關系建立方程顯然是解答此題的一個關鍵.

總之，

第5篇：探索平行線的條件范文

二、學習支架的遞進構建與教學應用實錄

支架性問題1 如圖2，在平面直角坐標系中，直線AB 分別交x軸、y軸于點A（-2，0），B（0，-2）.

（1）求直線AB的函數解析式；

（2）若直線l與直線AB平行，增加一個怎樣的條件就可以確定直線l的解析式？

（3）若直線AB 向下平移2個單位，求所得的函數解析式.

設計意圖 通過開放性問題的設問，能有效打開學生的思維，可以讓學生積極探索，歸納總結兩平行直線解析式的特征和決定一直線的條件，同時也為下面講題埋下了伏筆.

設計意圖 進一步強化通過平行線之間的距離來求解析式，強化用特殊到一般，熟練掌握用方程的思想在幾何中的運用.

教師：很好，你已經知道所求函數解析式的特征，求一個字母b，只要再求出一個點就可以了，同時你會用相似求出相應線段，進而求出點的坐標.

支架性問題3 如圖4，在平面直角坐標系中，一條拋物線經過點A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）.問題1：在此拋物線上是否存在點D，使得以A，B，C，D為頂點、BC為腰的四邊形是梯形？

若存在，請求出所有點D的坐標；若不存在，請說明理由.

設計意圖 讓分類更為完備，逐步加大平行線想象難度，

培養學生的分類思想，同時也強化了兩平行線的函數特征.

教師：好，能用分類思想探究問題，方程思想解決問題，從而求出點D坐標.

支架性問題4 如圖5，在平面直角坐標系中，一條拋物線經過點A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）.問題2：在此拋物線上是否存在點E，使得ABE的面積等于0.5 ？若存在，請求出所有點E的坐標；若不存在，請說明理由.

設計意圖 逐步過渡到第26題的第（3）問，讓學生回憶并用轉化的思想.

第6篇：探索平行線的條件范文

關鍵詞：點子圖；概念準確性；平行四邊形；爭議與思考

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）29-0058-03

“點子圖”是小學數學中重要的操作工具，也是小學生幾何圖形學習的有效素材。點子圖的設計與運用，尊重了小學生的認知基礎，順應了小學生數學學習的需求；使小學生在觀察、操作、探究等活動中，獲得幾何圖形的直觀經驗，有效地幫助學生建立空間觀念。然而，筆者在教學人教版小學四年級數學上冊（2014年7月出版）第65頁“做一做”第2題時，卻引發了學生的爭議與筆者的思考。

一、爭議焦點一：“兩個不同平行四邊形”的理解

（一）生1作品展示：

生1：我在點子圖上畫的是兩個上下邊不同的平行四邊形。即：先橫著用4格畫一條平行四邊形的邊，在從這條邊下面往前移動1格用4格畫另一邊，連接這兩條邊的兩端；用同樣的方法再用3格畫一個平行四邊形的上下兩邊，連接這兩條邊的兩端，這樣就得到兩個不同的平行四邊形，經測量，它們的高相等。

生2：生1這樣畫的圖（1）和圖（2）不對，因為圖（1）和（2）這兩個平行四邊形雖然不同，但是它們的四條邊不存在任何關系，在點子圖上畫這樣的兩個平行四邊形，不符合題意的要求；我們要結合學過的內容和做過的第1題，應把畫出的兩個平行四邊形看成是由四根小棒擺成的不同形狀的平行四邊形，也就是說平行四邊形的四條邊是確定的，由于高的變化導致了平行四邊形的形狀不同。

生3：題目中沒有明確告訴“平行四邊形四條邊確定”這個條件。

生4：我們應該把“在點子圖上畫出兩個不同的平行四邊形”和課本中的“平行四邊形四條邊確定了，它的形狀能確定嗎？”這個問題，聯系在一起進行考慮。

（二）分析與思考

解決“在點子圖上畫出兩個不同的平行四邊形”這個問題，應引導學生認真研讀教材內容，深刻理解各部分內容間的相互聯系，不要片面地理解為隨意畫兩個“不一樣”的平行四邊形；要進一步組織學生通過觀察、操作、探究平行四邊形的特性，充分理解“兩手捏住長方形的兩個對角，向相反方向拉”的含義。通過動手操作讓學生自己觀察不同平行四邊形的形成過程，使學生清楚認識到，平行四邊形的高隨著拉的程度不同而在改變。在操作探究的過程中，要關注教材中給出的提示：“兩組對邊有什么變化？拉成了什么圖形？”，更要關注以學生交流的方式給出的結論：“拉成了不同的平行四邊形”。這個結論，不僅說明了“平行四邊形四條邊確定了，它的形狀不能確定”，而且還為幫助學生理解“兩個不同平行四邊形”的概念，提供了重要的依據。

二、爭議焦點二：不規范點子圖中的點帶來的偏差

（一）生5作品展示：

生5：結合本節課所學的內容，根據平行四邊形容易變形這一特性，我認為在點子圖上畫的這兩個不同平行四邊形的四條邊是確定的，它們的不同之處應該是“高”不同。應該這樣畫：先橫著用4格畫平行四邊形的一邊，然后往下移2格，往前移1格，用4格畫平行四邊形的另一條邊，連接這兩條邊的兩端；用同樣的方法：橫著用4格畫平行四邊形的一邊，然后往下移1格，往前移2格，用4格畫平行四邊形的另一條邊，連接這兩條邊的兩端。這樣畫出的兩個平行四邊形，它們的上、下兩邊都是4格，左右兩條邊都是由兩格組成的長方形的對角線，它們的高分別是2格和1格，所以它們的形狀不同。

生6：生5這樣畫的圖（1）和圖（2）兩個平行四邊形的四條邊不應該說是確定的，因為圖（1）和圖（2）這兩個平行四邊形上下的邊雖然都相等，但是圖（1）和圖（2）這兩個平行四邊形左右兩邊是否相等不能隨意確定；而要根據這兩條邊在點子圖中的具置來確定。

生7：生5的畫法不錯，只不過是書中的點子圖有問題，課本中給出的點子圖相鄰的四個點圍成的不是一個小正方形，而是一個小長方形。

（二）分析與思考

點子圖是小學數學幾何圖形教學中常用的操作工具，它與釘子板一樣，相鄰的四個點圍成一個小正方形，這樣才能發揮點子圖在畫圖時的參照作用。“在點子圖上畫出兩個不同的平行四邊形”，這兩個平行四邊形的四條邊是確定的，高不確定，平行四邊形的上下兩邊要利用點子圖中的點直接畫，下面的邊向前或向后移的格數不一樣，而左右兩邊要借助點圍成的小長方形的對角線來畫，這樣才能保證平行四邊形的左右兩邊既平行又相等。因為課本65頁的點子圖中相鄰的四個點不能圍成小正方形，導致這兩條對角線所在的長方形一個“胖”些，一個“瘦”些，這充分說明兩個平行四邊形中的左右兩邊是不相等的。所以這樣的兩個平行四邊形的也不符合題意的要求。

三、爭議焦點三：拋開不規范點子圖中的點先量后畫

（一）生8作品展示：

生8：如果不按書中的點子圖中的點來畫，利用直尺測量，使圖（1）和圖（2）這兩個平行四邊形的四條邊確定，再畫出不相同的高。

生9：在點子圖畫圖，從點開始畫到點結束，各個點的連線，橫橫平行，豎豎平行，橫豎垂直，離開點子圖中的點來畫，你能保證畫的四邊形的對邊是平行的嗎？……

（二）分析與思考

第7篇：探索平行線的條件范文

1.中考試題.如圖1，拋物線y=ax2 + bx + 4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，EFK的面積最大？并求出最大面積．

2.參考答案.（1）解析式為

y=-12x2-x+4，D點坐標為（－1，

92

）．

（2）探求得直線EF的解析式為y=12x +

32．設K（t，

-12t2-t+4），

xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N．則 KN=yK－yN =－

12t2-t+4-（12t+32）=

-12t2-32t+52．

所以SEFK=SKFN+SKNE=12KN（t+3）+

12KN（1－t）=2KN =－t2－3t + 5 =-（t +

32）2+

294

．

即當t =－32時，EFK的面積最大，最大面積為

294，此時K（

-32

，358）．

3.質疑思考.本題條件是“點K在x軸上方的拋物線上”，但參考答案只對“xF＜t＜xE”作了解答，那么 “xA＜t≤xF”、 “xE≤t＜xB”會怎么樣呢？筆者認為這是一個名副其實的“參考答案”，不夠嚴謹．如果要完整地解答此題就必須分類討論，分類表示SEFK又是一個復雜的問題．

像這樣的面積問題是近幾年中考的熱點之一，常結合一次函數、二次函數、四邊形、相似形等知識而命題，具有一定的綜合性.筆者研讀了2009年和2010年部分中考試題及解答，一般都通過分割，建立面積函數，用函數知識解決問題．這些分割方法通常比較麻煩，有時還回避不了分類討論．筆者進一步研究發現，這些問題通常可以分為兩類，都可以用簡單的平移法來解決．

二、解法來源

1.書本習題.人教版教科書91頁習題19.1第8題：如圖2，直線l1∥l2,ABC和DBC面積相等嗎？你還能畫出一些與ABC面積相等的三角形嗎？

2.習題解答.顯然，ABC和DBC面積相等，原因是這兩個三角形同底等高．直線l1上任意一點P與B、C兩點構成的PBC與ABC面積總相等．

3.習題啟示.可以通過平行線，把三角形等積變形為其他更有利于解決問題的三角形．

三、解法探究

1.動點在直線上，利用平行線，通過等積變形建立函數模型

例1（2009年濟南）已知：如圖3，拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的對稱軸為

x=-1與x軸交A、B兩點，與y軸交于點C,其中A(-3,0)、C(0,-2).

（1）求這條拋物線的函數表達式．

（2）若點D是線段OC上的一個動點．過點D作DE∥PC交x軸于點E.設CD的長為m，

PDE的面積為

S．求S與m之間的函數關系式．試探討S是否存在最大值，說明理由．

解：（1）拋物線的解析式為

y=23x2+43x-2.

（2）連接AD，因為

DE∥AC, 所以S=SAED， OED∽OAC.

所以ODOC=OEOA，即

2-m2

=OE3

，所以

OE=3-32m.

所以AE=32

m.

所以S=12?32m(2-m)

=-

34m(m-2).

所以當m=

0+22=

1時， S最大=34.

點評：本題的動點D在直線上運動，沒有采用分割的方法也沒有分類討論，而是利用題目先天的DE∥PC條件，把PDE等積變形為一邊在坐標軸上的ADE，便于表示

PDE的面積，建立函數模型解決問題．

例2 （2010年三明）如圖4，已知拋物線y=

ax2+bx+c (a≠0)經過點B（2，0）和點C（0，8），且它的對稱軸是直線

x=-2．

（1）求拋物線與x軸的另一交點A坐標；

（2）求此拋物線的解析式；

（3）連結AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B）不重合，過點E作EF∥AC交BC于點F，連結CE，設AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式；

（4）在（3）的基礎上探討S是否存在最大值，說明理由．

解：（1）A點的坐標為（-6，0）.（2)解析式為

y=-23 x2-83x+8.

（3）過點F作FGAB，垂足為G，因為EF//AC.所以

S=SAEF,BEF∽BAC,

所以FGCO

=BEAB

，又AE=m，BE=8-m ，所以

FG8

=8-m8

，所以FG=8-m,所以

S=12m(8-m)，

（4）由（3）得當

m=0+82=4時， S最大=8.

解題策略：以上兩例都是動點在直線上運動，利用天然的平行條件，通過等積變形，把三角形轉化為有一邊在坐標軸上的三角形，從而比較簡捷地建立函數模型，應用函數知識解決問題．不必分割，不必分類．

2.動點在拋物線上動，構建平行線，通過等積變形建立方程模型

例3（2010年恩施）如圖5，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出最大面積.

解：（1）函數表達式為y=x2-2x-3．

（2）因SABC=6，所以當BPC的面積最大時，四邊形 ABPC的面積最大．作PQ∥BC交y軸于點Q，則SBPC=SBQC，BQC高OB為定值，所以當PQ平移到使得CQ取得最大值時，BQC的面積最大，此時直線PQ和拋物線恰好一個公共點．設直線PQ：y=x+m，得方程

x2-2x-3=x+m，當Δ=9+4(m+3)=0時，

x=32， m=

-214，所以SBQC=

94

．

點評：本例是動點在拋物線上運動，沒有天然的平行條件，采用構造平行線的方法，等積變形為有一邊在坐標軸上的圖形，建立方程模型解決問題．

例4（2010年宜賓）如圖6，將直角邊長為6的等腰RtAOC放在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B(3，0)．

(1) 求該拋物線的解析式；

(2) 若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當APE的面積最大時，求點P的坐標；

(3) 在第一象限內的該拋物線上是否存在點G，使AGC的面積與（2）中APE的最大面積相等?請說明理由．

簡析：本題的第（2）是動點P在直線上運動類型，利用天然的PE∥AB條件，把S

APE轉化為一邊在x軸上的SBPE，建立函數模型解決問題．第（3）題是動點在拋物線上運動類型，直接求出直線HG的解析式，更顯此法的優越性．

再來看看問題一中的那道中考題該怎樣完整地解決？

解：圖7，探求得F點坐標為（-3,0），直線EF為y =

12x +32．過K點作EF的平行線，交y軸于M點，設直線KM的解析式為y =12x+b，EFK的邊EF為定值，又CE=EB，平移直線KM可知，當KM與拋物線有且只有一個公共點時，EFK的高取得最大值，從而面積最大．由方程

-12x2-x+4=12x+b得=0，得

b=418， x=-32， K點坐標（

-32，

358），SEFK=SEFM=

294.

點評：動點K在拋物線上運動，構建平行線后，雖然不能轉化為有一邊在坐標軸上的三角形，但是依然可以通過平移直線的方法建立方程模型解決問題．K點和M點雖然都是動點，但卻有本質的區別，M點只能在y軸上上下移動，但一定在E、F之間，所以不必分類，但K點卻是上下左右都移動，完全可能不在E、F之間，那就必須分類討論．

以上解法簡單地說就是利用平行線或構造平行線，實際是平移思想的具體運用．用平移的觀點看待問題，會使問題顯得簡單、易理解，許多問題可以通過平移直線來解決.

四、再思考

1.命題啟示

為什么學生采用了分割法建立面積函數解決問題？筆者研究發現，一些中考試題要求學生建立面積函數再求最值，這些試題試圖給學生思考的臺階，實際卻束縛了學生的思維．作為一道好的中考題，應該給學生充分發揮個人才智、展現獨特個性、彰顯創新成果的空間，中考題是教學的指揮棒，是學生學和教師教的參照標準，中考怎么考，教師就怎么教，學生就怎么學，因此作為命題者一定要慎重！

不嚴謹的教學、不嚴謹的答案，都會影響學生的思維，形成學生思維的不嚴謹性，教師在教學中一定要培養學生嚴謹的思維習慣，否則會影響學生的后續學習，甚至造成學生為人的不嚴謹、工作的不嚴謹，教師是學生的楷模，應該做好“嚴謹”的示范，中考題是教師教學的風向標，更應做好教師“嚴謹”的標桿．

2.教學啟示

第8篇：探索平行線的條件范文

1、指導學生操作的助學激趣

學生理解和掌握知識總是以感性認識為基礎，感性認識豐富，表象清晰，理解就深刻。因此，教學中讓學生動操作，獨立探索，會極大地激發學生的求知欲和學習興趣。如在教學有余數的除法時，讓學生通過擺小捧深刻理解被除數、除數、商和余數之間的關系及余數的實際含義。

2、通過競賽以助學激趣

競賽也是激發學生學習興趣的一種好辦法。因此，在數學中，要常在小組間、個人間、男女生間開展口算、速算、分析等競賽活動。在競賽中，教師的一次高分，一句贊美之詞往往會給學生帶來新的希望，產生神奇的力量，有些甚至影響終生。對于后進生，更應注意給予鼓勵，獎其助學所長，讓他們也體驗到學習的興趣。

3、通過變式比較以助學激趣

在概念教學中，加強變式訓練，可使學生排除非本質屬性的干擾，增強探究知識的新奇性，從而形成正確的概念。如認識平行線時，可出示不同方向的四組平等平行線，讓學生觀察比較得出，它們都符合在同一平面內且不相交這兩個條件，都是平行線。

4、創設情境以助學激趣

創設一定情景，讓學生產生親身感受的體驗。在教學相遇應用題時，可以創設這樣的情景：兩位同學代表兩列火車，站于教室前后通道口，另一同學代表中間站站一通道口，讓學生演示兩列火車相遇的情景，并配以恰當的火車汽笛聲，既活躍了課堂氣氛，又使學生輕松愉快地理解了相遇問題的條件和含義。

5、通過游戲以助學激趣

讓學生在游戲中學知識，定會收到事半功倍的效果。這既符合小學生的年齡特點又符合他們的認識規律。如在教學一位數除法時，可以設計摘蘋果的游戲：在黑板上畫一蘋果樹，在又紅又大的蘋果上分別寫有不同的算式，樹旁畫上表示不同結果的各種籃子，讓學生將算式與結果對應的平果摘到各自的籃子，這樣大大提高了學生的計算興趣。

第9篇：探索平行線的條件范文

一．選擇題（共8小題，每題3分）

1．（2014•欽州）如果收入80元記作+80元，那么支出20元記作（）

A．+20元B．﹣20元C．+100元D．﹣100元

考點：正數和負數．

分析：在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．

解答：解：“正”和“負”相對，

所以如果+80元表示收入80元，

那么支出20元表示為﹣20元．

故選：B．

點評：此題考查的是正數和負數的定義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．

2．（2015•深圳模擬）北京時間2010年4月14日07時49分，青海省玉樹縣發生地震，它牽動了全國億萬人民的心，深圳市慈善總會在一星期內接受了54840000元的捐款，將54840000用科學記數法（精確到百萬）表示為（）

A．54×106B．55×106C．5.484×107D．5.5×107

考點：科學記數法與有效數字．

分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值是易錯點，由于54840000有8位，所以可以確定n=8﹣1=7．

因為54840000的十萬位上的數字是8，所以用“五入”法．

用科學記數法表示的數的有效數字只與前面的a有關，與10的多少次方無關．

解答：解：54840000=5.484×107≈5.5×107．

故選D．

點評：本題考查科學記數法的表示方法以及掌握利用“四舍五入法”，求近似數的方法．

3．（2014•臺灣）數軸上A、B、C三點所代表的數分別是a、1、c，且|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．若下列選項中，有一個表示A、B、C三點在數軸上的位置關系，則此選項為何？（）

A．B．C．D．

考點：數軸；絕對值．

分析：從選項數軸上找出a、B、c的關系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．看是否成立．

解答：解：數軸上A、B、C三點所代表的數分別是a、1、c，設B表示的數為b，

b=1，

|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．

|c﹣b|﹣|a﹣b|=|a﹣c|．

A、b＜a＜c，則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a=|a﹣c|．正確，

B、c＜b＜a則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣a+b=2b﹣c﹣a≠|a﹣c|．故錯誤，

C、a＜c＜b，則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣b+a=a﹣c≠|a﹣c|．故錯誤．

D、b＜c＜a，則有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a≠|a﹣c|．故錯誤．

故選：A．

點評：本題主要考查了數軸及絕對值．解題的關鍵是從數軸上找出a、B、c的關系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|是否成立．

4．（2014•日照）某養殖場2013年底的生豬出欄價格是每千克a元，受市場影響，2014年第一季度出欄價格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均每千克比第一季度又上升了20%，則第三季度初這家養殖場的生豬出欄價格是每千克（）

A．（1﹣15%）（1+20%）a元B．（1﹣15%）20%a元

C．（1+15%）（1﹣20%）a元D．（1+20%）15%a元

考點：列代數式．

專題：銷售問題．

分析：由題意可知：2014年第一季度出欄價格為2013年底的生豬出欄價格的（1﹣15%），第二季度平均價格每千克是第一季度的（1+20%），由此列出代數式即可．

解答：解：第三季度初這家養殖場的生豬出欄價格是每千克（1﹣15%）（1+20%）a元．

故選：A．

點評：此題考查列代數式，注意題目蘊含的數量關系，找準關系是解決問題的關鍵．

5．（2014•煙臺）按如圖的運算程序，能使輸出結果為3的x，y的值是（）

A．x=5，y=﹣2B．x=3，y=﹣3C．x=﹣4，y=2D．x=﹣3，y=﹣9

考點：代數式求值；二元一次方程的解．

專題：計算題．

分析：根據運算程序列出方程，再根據二元一次方程的解的定義對各選項分析判斷利用排除法求解．

解答：解：由題意得，2x﹣y=3，

A、x=5時，y=7，故A選項錯誤；

B、x=3時，y=3，故B選項錯誤；

C、x=﹣4時，y=﹣11，故C選項錯誤；

D、x=﹣3時，y=﹣9，故D選項正確．

故選：D．

點評：本題考查了代數式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解運算程序列出方程是解題的關鍵．

6．（2014•安徽）已知x2﹣2x﹣3=0，則2x2﹣4x的值為（）

A．﹣6B．6C．﹣2或6D．﹣2或30

考點：代數式求值．

專題：整體思想．

分析：方程兩邊同時乘以2，再化出2x2﹣4x求值．

解答：解：x2﹣2x﹣3=0

2×（x2﹣2x﹣3）=0

2×（x2﹣2x）﹣6=0

2x2﹣4x=6

故選：B．

點評：本題考查代數式求值，解題的關鍵是化出要求的2x2﹣4x．

7．（2014•常州）下列立體圖形中，側面展開圖是扇形的是（）

A．B．C．D．

考點：幾何體的展開圖．

分析：圓錐的側面展開圖是扇形．

解答：解：根據圓錐的特征可知，側面展開圖是扇形的是圓錐．

故選：B．

點評：解題時勿忘記圓錐的特征及圓錐展開圖的情形．

8．（2011•黃岡模擬）下列圖形中，是正方體表面展開圖的是（）

A．B．C．D．

考點：幾何體的展開圖．

分析：利用正方體及其表面展開圖的特點解題．

解答：解：A、B折疊后，缺少一個底面，故不是正方體的表面展開圖；選項D折疊后第一行兩個面無法折起來，而且下邊沒有面，不能折成正方體，故選C．

點評：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．

二．填空題（共6小題，每題3分）

9．（2014•湘西州）如圖，直線AB和CD相交于點O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，則∠DOE=20°度．

考點：對頂角、鄰補角；角平分線的定義．

分析：由∠AOC=40°，根據對頂角相等求出∠DOB=40°，再根據角平分線定義求出∠DOE即可．

解答：解：∠AOC=40°，

∠DOB=∠AOC=40°，

OE平分∠DOB，

∠DOE=∠BOD=20°，

故答案為：20°．

點評：本題考查了對頂角的性質角、角平分線定義的應用，關鍵是求出∠BOD的度數．

10．（2014•連云港）如圖，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，則∠2=31°．

考點：平行線的性質．

分析：根據兩直線平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根據角平分線的定義可得∠2=∠EFD．

解答：解：AB∥CD，

∠EFD=∠1=62°，

FG平分∠EFD，

∠2=∠EFD=×62°=31°．

故答案為：31°．

點評：本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．

11．（2014•溫州）如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，則∠3=80度．

考點：平行線的性質．

專題：計算題．

分析：根據平行線的性質求出∠C，根據三角形外角性質求出即可．

解答：解：AB∥CD，∠1=45°，

∠C=∠1=45°，

∠2=35°，

∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，

故答案為：80．

點評：本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質的應用，解此題的關鍵是求出∠C的度數和得出∠3=∠2+∠C．

12．（2014•齊齊哈爾）已知x2﹣2x=5，則代數式2x2﹣4x﹣1的值為9．

考點：代數式求值．

專題：整體思想．

分析：把所求代數式整理成已知條件的形式，然后代入進行計算即可得解．

解答：解：x2﹣2x=5，

2x2﹣4x﹣1

=2（x2﹣2x）﹣1，

=2×5﹣1，

=10﹣1，

=9．

故答案為：9．

點評：本題考查了代數式求值，整體思想的利用是解題的關鍵．

13．（2014•鹽城）“x的2倍與5的和”用代數式表示為2x+5．

考點：列代數式．

分析：首先表示x的2倍為2x，再表示“與5的和”為2x+5．

解答：解：由題意得：2x+5，

故答案為：2x+5．

點評：此題主要考查了列代數式，關鍵是列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用．

14．（2014•懷化）計算：（﹣1）2014=1．

考點：有理數的乘方．

分析：根據（﹣1）的偶數次冪等于1解答．

解答：解：（﹣1）2014=1．

故答案為：1．

點評：本題考查了有理數的乘方，﹣1的奇數次冪是﹣1，﹣1的偶數次冪是1．

三．解答題（共11小題）

15．（2005•宿遷）計算：（﹣2）2﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣）．

考點：有理數的混合運算．

分析：含有有理數的加、減、乘、除、乘方多種運算的算式．根據幾種運算的法則可知：減法、除法可以轉化成加法和乘法，乘方是利用乘法法則來定義的，所以有理數混合運算的關鍵是加法和乘法．加法和乘法的法則都包括符號和絕對值兩部分，同學在計算中要學會正確確定結果的符號，再進行絕對值的運算．

解答：解：原式=4﹣7+3+1=1．

點評：注意：（1）要正確掌握運算順序，即乘方運算（和以后學習的開方運算）叫做三級運算；乘法和除法叫做二級運算；加法和減法叫做一級運算．

（2）在混合運算中要特別注意運算順序：先三級，后二級，再一級；有括號的先算括號里面的；同級運算按從左到右的順序．

16．（2014秋•吉林校級期末）計算：（﹣﹣+）÷（﹣）

考點：有理數的除法．

分析：將除法變為乘法，再根據乘法分配律計算即可求解．

解答：解：原式=（﹣﹣+）×（﹣36）

=﹣×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）

=27+20﹣21

=26．

點評：此題考查有理數的混合運算，掌握運算順序，正確判定運算符號計算即可．

17．（2014•石景山區二模）已知當x=1時，2ax2+bx的值為﹣2，求當x=2時，ax2+bx的值．

考點：代數式求值．

專題：整體思想．

分析：把x=1代入代數式求出a、b的關系式，再把x=2代入代數式整理即可得解．

解答：解：將x=1代入2ax2+bx=﹣2中，

得2a+b=﹣2，

當x=2時，ax2+bx=4a+2b，

=2（2a+b），

=2×（﹣2），

=﹣4．

點評：本題考查了代數式求值，整體思想的利用是解題的關鍵．

18．（2014秋•吉林校級期末）出租車司機小張某天上午的營運全是東西走向的路線，假定向東為正，向西為負，他這天上午行車里程如下：（單位：km）+12，﹣4，+15，﹣13，+10，+6，﹣22．求：

（1）小張在送第幾位乘客時行車里程最遠？

（2）若汽車耗油0.1L/km，這天上午汽車共耗油多少升？

考點：正數和負數．

分析：（1）根據絕對值的性質，可得行車距離，根據絕對值的大小，可得答案；

（2）根據行車的總路程乘以單位耗油量，可得答案．

解答：解：（1）|﹣22|＞|15|＞|﹣13|＞|12|＞|10|＞|6|＞|﹣4|，

小張在送第七位乘客時行車里程最遠；

（2）由題意，得

（12+|﹣4|+15+|﹣13|+10+6+|﹣22|）×0.1=82×0.1=8.2（升），

答：這天上午汽車共耗油8.2升．

點評：本題考查了正數和負數，利用了絕對值的意義，有理數的乘法．

19．（2005•廣東）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2的度數．

考點：平行線的性質；對頂角、鄰補角．

專題：計算題．

分析：根據平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”，再利用角平分線的性質推出∠2=180°﹣2∠1，這樣就可求出∠2的度數．

解答：解：AB∥CD，

∠1=∠AEG．

EG平分∠AEF，

∠1=∠GEF，∠AEF=2∠1．

又∠AEF+∠2=180°，

∠2=180°﹣2∠1=180°﹣80°=100°．

點評：兩條平行線被第三條直線所截，解答此類題關鍵是在復雜圖形之中辨認出應用性質的基本圖形，從而利用性質和已知條件計算．

20．（2014秋•吉林校級期末）已知直線AB和CD相交于點O，∠AOC為銳角，過O點作直線OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度數．

考點：對頂角、鄰補角；角平分線的定義．

分析：根據角平分線的定義可得∠AOF=∠EOF，然后解答即可．

解答：解：OF平分∠AOE，

∠AOF=∠EOF，

∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE=90°．

點評：本題考查了角平分線的定義，是基礎題，熟記概念并準確識圖是解題的關鍵．

21．（2014秋•吉林校級期末）如圖，已知OFOC，∠BOC：∠COD：∠DOF=1：2：3，求∠AOC的度數．

考點：垂線；角的計算．

分析：根據垂線的定義，可得∠COF的度數，根據按比例分配，可得∠COD的度數，根據比例的性質，可得∠BOC的度數，根據鄰補角的性質，可得答案．

解答：解：由垂直的定義，得

∠COF=90°，

按比例分配，得

∠COD=90°×=36°．

∠BOC：∠COD=1：2，

即∠BOC：36°=1：2，由比例的性質，得

∠BOC=18°，

由鄰補角的性質，得

∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣18°=162°．

點評：本題考查了垂線，利用了垂線的定義，按比例分配，鄰補角的性質．

22．（2014秋•吉林校級期末）∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AOBO，則∠EOF是多少度？

考點：垂線；角平分線的定義．

分析：根據垂線的定義，可得∠AOB的度數，根據角的和差，可得∠AOC的度數，根據角平分線的性質，可得∠COE、∠COF的度數，根據角的和差，可得答案．

解答：解：由AOBO，得∠AOB=90°，

由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．

由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，得∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．

由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．

點評：本題考查了垂線，利用了垂線的定義，角平分線的定義，角的和差．

23．（2012•錦州二模）如圖，直線AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，則∠E等于25°．

考點：平行線的性質．

專題：探究型．

分析：先根據平行線的性質求出∠EFD的度數，再由三角形外角的性質得出結論即可．

解答：解：直線AB∥CD，∠A=100°，

∠EFD=∠A=100°，

∠EFD是CEF的外角，

∠E=∠EFD﹣∠C=100°﹣75°=25°．

故答案為：25．

點評：本題考查的是平行線的性質，即兩直線平行，同位角相等．

24．（2005•安徽）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度數．

考點：平行線的性質；角平分線的定義；對頂角、鄰補角．

專題：計算題．

分析：根據角平分線的定義，兩直線平行內錯角相等的性質解答即可．

解答：解：∠EMB=50°，

∠BMF=180°﹣∠EMB=130°．

MG平分∠BMF，

∠BMG=∠BMF=65°，

AB∥CD，

∠1=∠BMG=65°．

點評：主要考查了角平分線的定義及平行線的性質，比較簡單．

25．（2014秋•吉林校級期末）將一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角頂點O的重合，其中，在AOB中，∠A=60°，∠B=30°，∠AOB=90°；在COD中，∠C=∠D=45°，∠COD=90°．

（1）如圖1，當OA在∠COD的外部，且∠AOC=45°時，①試說明CO平分∠AOB；②試說明OA∥CD（要求書寫過程）；

（2）如圖2，繞點O旋轉直角三角尺AOB，使OA在∠COD的內部，且CD∥OB，試探索∠AOC=45°是否成立，并說明理由．

考點：平行線的判定與性質；角的計算．

分析：（1）①當∠AOC=45°時，根據條件可求得∠COB=45°可說明CO平分∠AOB；②設CD、OB交于點E，則可知OE=CE，可證得OBCD，結合條件可證明OA∥CD；

（2）由平行可得到∠D=∠BOD=45°，則可得到∠AOD=45°，可得到結論．

解答：解：（1）①∠AOB=90°，∠AOC=45°，

∠COB=90°﹣45°=45°，

∠AOC=∠COB，

即OC平分∠AOB；

②如圖，設CD、OB交于點E，

∠C=45°，

∠C=∠COB，

∠CEO=90°，

∠AOB=90°，

∠AOB+∠OEC=180°，

AO∥CD；

（2）∠AOC=45°，理由如下：

CD∥OB，

∠DOB=∠D=45°，

∠AOD=90°﹣∠DOB=45°，