討論單調(diào)性的步驟精選(九篇)

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第1篇：討論單調(diào)性的步驟范文

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 特點 方法規(guī)律 破解

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2015）11-0138-02

導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念，有是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容之一，在高中階段的引入意義深遠(yuǎn)，利用導(dǎo)數(shù)既可從更深的角度來研究函數(shù)性質(zhì)，又可更廣泛地聯(lián)系其他學(xué)科，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性。

從近幾年高考來看，該部分高考命題有以下特點：從內(nèi)容上看，考查導(dǎo)數(shù)主要有三個層次：①導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)公式與法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義;②導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)極值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的單調(diào)性等;③導(dǎo)數(shù)的綜合考查，包括導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式等的綜合題.從特點上看，高考對導(dǎo)數(shù)的考查有時單獨考查，有時在知識交匯處考查，常常將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、解析幾何等結(jié)合在一起考查.從形式上看，考查導(dǎo)數(shù)的試題有選擇題、填空題、解答題，有時三種題型會同時出現(xiàn).

考點一 導(dǎo)數(shù)的運算及幾何意義

例1、直線 是曲線y= 的一條切線，則實數(shù)b=

破解 設(shè)切點坐標(biāo)為（x0，y0），則 = = ，所以x0=2，y0= ，

又 切點也在直線y= x+b上， 則b= -1.

[方法規(guī)律]

求曲線y= 的切線方程的類型及方法.

（1）已知切點P（x0，y0），求切線方程;

（2）已知切線的斜率k，求切線方程;

（3）已知切線上一點（非切點），求切線方程.

考點二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例2、設(shè)函數(shù) = + ，其中a為常數(shù).

（1）若 ，求曲線y= 在點（1， ）處的切線方程;

（2）討論函數(shù) 的單調(diào)性.

破解 （1）由題意知 時，此時 = .可得 = ，又

f（1）=0，

所以曲線y= 在（1，f（1））處的切線方程為x-2y-1=0.

（2）函數(shù) 的定義域為（0，+∞）.

當(dāng)a≥0時， ，函數(shù) 在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時，令g（x）= ，由于Δ= ，

①當(dāng)a=- 時，Δ=0， ，函數(shù) 在（0，+∞）上單調(diào)遞減

②當(dāng)a<- 時，Δ<0，g（x）<0， ，函數(shù) 在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

③當(dāng)- 0時，Δ . 設(shè) 是函數(shù) 的兩個零點，

所以x∈（0，x1）時， <0， <0，函數(shù) 單調(diào)遞減;x∈（x1，x2）時， >0， >0，函數(shù) 單調(diào)遞增;x∈（x2，+∞）時， <0，

<0，函數(shù) 單調(diào)遞減.

綜上可得：當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a≤- 時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減;

當(dāng) 時， 在 ，

上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.

[方法規(guī)律]

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟

（1）確定函數(shù)的定義域.

（2）求導(dǎo)數(shù) .

（3）①若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù) 的定義域內(nèi)解（或證明）不等式 >0或 <0即可;②若已知 的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式 ≥0或 ≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.

考點三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

例3、已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 為偶函數(shù)，且曲線 在點（0， （0））處的切線的斜率為4-c.

（1）確定a，b的值;

（2）若c=3，判斷 的單調(diào)性;

（3）若 有極值，求c的取值范圍.

破解 （1）對 求導(dǎo)得 ，由 為偶函數(shù)，知

= ，

所以a=b.又f′（0）=2 +2b-c=4-c 故a=1，b=1.

（2）當(dāng)c=3時，f（x）=e2x-e-2x-3x，

那么 =2e2x+2e-2x-3≥2 -3=1>0，故 在R上為增函數(shù).

（3）由（1）知 =2e2x+2e-2x-c，而2e2x+2e-2x≥2 =4，當(dāng)x=0時等號成立

下面分三種情況進(jìn)行討論.

當(dāng)c<4時，對任意x∈R， =2e2x+2e-2x-c>0，此時 無極值;

當(dāng)c=4時，對任意x≠0 =2e2x+2e-2x-4>0，此時 無極值;

當(dāng)c>4時，令e2x=t，注意到方程2t+ -c=0有兩根t1，2= >0，

即 =0有兩個根x1= lnt1或x2= lnt2.

當(dāng) 時， <0;又當(dāng) 時， >0，從而 在

處取得極小值.

綜上，若 有極值，則c的取值范圍為（4，+∞）.

[方法規(guī)律]

（1）求函數(shù)y= 在某個區(qū)間上的極值的步驟：

第一步：求導(dǎo)數(shù) ;

第二步：求方程 =0的根x0;

第三步：檢查 在 左、右的符號

（2）導(dǎo)數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點，它是函數(shù)在該點取得極值的必要而不充分條件.

（3）求函數(shù) 在區(qū)間[ ，b]上的最大值與最小值的步驟：

第一步：求函數(shù) 在區(qū)間（ ，b）內(nèi)的極值（極大值或極小值）;

第二步：將 的各極值與 ， 進(jìn)行比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

考點四 定積分及應(yīng)用（理）

例4直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為

A.2 B.4 C.2 D.4

破解 首先求出兩曲線的交點，畫出圖形，確定出被積函數(shù)，再用積分求出面積.

令4x=x3，解得x=0或x=±2，

S=錯誤！（4x-x3）= =8-4=4， 故選D.

[方法規(guī)律]

（1）求函數(shù) 在某個區(qū)間上的定積分，關(guān)鍵是求出滿足 的原函數(shù) ，要正確應(yīng)用定積分的性質(zhì)，正確運用求導(dǎo)運算與求原函數(shù)

的運算互為逆運算的關(guān)系.如果被積函數(shù)為分段函數(shù)，那么需要根據(jù)公式

第2篇：討論單調(diào)性的步驟范文

一、得分技巧

1.中等偏下學(xué)生,記住公式,求導(dǎo)得分.

導(dǎo)數(shù)問題雖然是壓軸題,但他的第一個問通常是在含參數(shù)的前提下求單調(diào)區(qū)間,求極值的問題,只要有函數(shù),就一定要求導(dǎo),求導(dǎo)時會應(yīng)用的公式為

①相乘形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法,即(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x))

②自然對數(shù)的導(dǎo)數(shù),指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即(lnx)′=■,(ex)′=ex,(sinx)′=cosx,(cosx)′=－sinx

所以作為中等偏下學(xué)生只要記住以上幾個公式,就可以得到這道高考題的2分左右.

2.中等學(xué)生注意定義域,利用導(dǎo)數(shù)的恒成立,解決第一問.

高考中的導(dǎo)數(shù)大題一定是含參數(shù)的,我們會在參數(shù)參與的前提下求解點調(diào)區(qū)間,或極值問題,這就需要對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論.

例如1:2011遼寧卷文科22題第一問

已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

在對函數(shù)求導(dǎo)后得到,f′(x)=■+2ax=■,

在定義域為(0,+∞)的前提下,導(dǎo)數(shù)的分子為最高次項含參數(shù)的一個新函數(shù)g(x)=2ax2+a+1,而當(dāng)a≥0時,函數(shù)g(x)≥0恒成立.所以得到了第一種情況的單調(diào)性.同時,第一種情況中a≥0這個范圍的出現(xiàn)也給下面的討論提供了范圍依據(jù),接下來再在a

這道題是利用導(dǎo)數(shù)與0之間存在某種可確定大小關(guān)系的可能性,先分析出導(dǎo)數(shù)大于0或小于0恒成立的參數(shù)的取值范圍,得到單調(diào)性的第一個結(jié)論,再在參數(shù)的其他范圍內(nèi),對導(dǎo)數(shù)與0所構(gòu)成的不等式進(jìn)行求解,從而得到第一個問的結(jié)論.

3.上中等學(xué)生常回顧,利用本題曾經(jīng)獲得的結(jié)論,構(gòu)造函數(shù)爭取滿分.

高考中導(dǎo)數(shù)問題一般為兩個問,第一個問以討論函數(shù)的單調(diào)性居多,第二個問多為不等式的恒成立問題,第二個問的不等式的求解過程中常常要用到第一個問曾經(jīng)獲得的結(jié)論,所以在解題時要時刻回顧,尋找可利用的依據(jù).

二、解題技巧

在對最近五年高考題的整理中，我發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)問題在解法上還是有一定的規(guī)律可查的。

具體規(guī)律有以下幾個：

(1)求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)的幾個固定形式：①含分母的導(dǎo)數(shù)形式f(x)=■ ，此類導(dǎo)數(shù)是由含有l(wèi)nx的函數(shù)求導(dǎo)得到的，所以定義域為(0,+∞)，此時導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與分母無關(guān)，只要研究分母g(x)=mx2+nx+p，分m=0 及m≠0時與0的關(guān)系即可.②含ex的導(dǎo)數(shù)形式，此類導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)若為相乘形式的函數(shù)，則提取ex，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與ex無關(guān)，若只有個別式子含有ex則考慮二次求導(dǎo)。③含三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，利用三角函數(shù)的有界性。

（2） 二次求導(dǎo)的使用。

高考題中有時會涉及到二次求導(dǎo)的使用.

如2010課標(biāo)卷第21題

設(shè)函數(shù)f(x)=ex－1－x－ax2。

（1）若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍

在(2)問中,一階求導(dǎo)后,f′(x)=ex－1－2ax,而這一函數(shù)仍為超越函數(shù),要研究原函數(shù)的單調(diào)性,我們還是無從下手,所以用二階求導(dǎo),令g(x)=f′(x),則g′(x)=ex－2a ,此時,由已知x≥0,所以ex≥1,即2a與1的大小關(guān)系是二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系討論的依據(jù),而二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系決定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,一階導(dǎo)數(shù)若單調(diào)的話,則一定有f′(x)≥(≤)f′(0)=0恒成立,即獲得了原函數(shù)得單調(diào)性.

考慮會用到二階求導(dǎo),是當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)仍為超越函數(shù),無法直接研究原函數(shù)的單調(diào)性.

(3)恒成立的應(yīng)用.恒成立是導(dǎo)數(shù)問題中永恒的話題.歸結(jié)為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問題,所以是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個最重要的體現(xiàn).在導(dǎo)數(shù)問題中,幾乎所有的最后一問都要涉及到這類恒成立問題.

如2011年北京卷第18題

已知函數(shù)f(x)=(x－k)■e■.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對于任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≤■，求k的取值范圍；

即為證明f(x)■≤■即可.

如2010課標(biāo)卷第21題

設(shè)函數(shù)f(x)=ex－1－x－ax2。

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

第3篇：討論單調(diào)性的步驟范文

23.求的值；24.設(shè)公路與曲線相切于點，的橫坐標(biāo)為．請寫出公路長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；當(dāng)為何值時，公路的長度最短？求出最短長度．分值: 12分 查看題目解析 >21已知定義為的函數(shù)滿足下列條件：①對任意的實數(shù)都有：；②當(dāng)時，．25.求；26.求證：在上為增函數(shù)；27.若，關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．分值: 12分 查看題目解析 >22已知函數(shù)．28.設(shè)是函數(shù)的極值點，求并討論的單調(diào)性；29.設(shè)是函數(shù)的極值點，且恒成立，求的取值范圍（其中常數(shù)滿足）．22 第(1)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；解析

，因為是函數(shù)的極值點，所以，所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．2分當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考查方向

本題主要考查函數(shù)的極值點以及函數(shù)的單調(diào)性。解題思路

先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點處的導(dǎo)函數(shù)為零，求出m的值；然后對函數(shù)求導(dǎo)，對x分類，當(dāng)；當(dāng)時，確定函數(shù)單調(diào)性。易錯點

函數(shù)單調(diào)性的討論22 第(2)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

．解析

，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增．由于是函數(shù)的極值點，所以是在的零點，所以…………………………………………………………6分由于時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增………………………………8分且函數(shù)在處取得最小值，所以，因為恒成立，所以………………………………………………9分，即．又因為，故可解得…………………………………………………………11分所以，所以，即的取值范圍是……………………………………………………12分考查方向

本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、不等式的證明與恒成立問題，以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力、分類討論的思想與轉(zhuǎn)化思想.解題思路

第4篇：討論單調(diào)性的步驟范文

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 復(fù)合函數(shù) 解法 應(yīng)用

1.定義

復(fù)合函數(shù)： 一般來說，如果y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，即y=f（u），u=g（x）， 那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f[g（x）]叫做f和g的復(fù)合函數(shù).其中u叫做中間變量.

例如： f（x） = 3x+5， g（x） = 2x+1；復(fù)合函數(shù)f（g（x））即把f（x）里面的x換成g（x）， f（g（x）） = 3g（x）+5 = 3×（2x+1）+5 = 6x+8.

2.定義域

若函數(shù)y=f（u）的定義域是B﹐u=g（x）的定義域是A﹐則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的定義域是： D={x|x∈A，且g（x）∈B}.

3.復(fù)合函數(shù)——奇偶性

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與構(gòu)成與它的函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)，其規(guī)律可列表如下： 若函數(shù)f（x）， g（x）， f[g（x）] 的定義域都是關(guān)于原點對稱的，那么由u=g（x）， y=f（u） 的奇偶性得到y(tǒng)= f[g（x）] 的奇偶性的規(guī)律是：即當(dāng)且僅當(dāng) u=g（x）和 y=f（x） 都是奇函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）] 是奇函數(shù). 若u=g（x）或y=f（x）中只要有一個為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）] 是偶函數(shù)。

4.復(fù)合函數(shù)——單調(diào)性

若函數(shù)u=g（x），在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)， 函數(shù)y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性規(guī)律是：

即u=g（x），y=f（u）增減性相同時，y=f[g（x）]為增函數(shù)，當(dāng)u=g（x），y=f（u）增減性相反時，y=f[g（x）]為減函數(shù)。

5.解法精選

5.1 求復(fù)合函數(shù)的定義域。

例1：已知f（x）的定義域為（1，2] ，求函數(shù)y=f（1+x2） 的定義域。

分析：由已知函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域，只須將所求式中括號內(nèi)的式子看成已知式中的x，再解不等式，求出其定義域。

解：由1≤1+x2

|x|

函數(shù)y=f（1+x2）的定義域為（-1，1）

例2：已知y=f（x2-2x-1）的定義為（0，3] ，求函數(shù)f（x） 的定義域。

分析：由復(fù)合函數(shù)的定義域，求原來函數(shù)的定義域，只要根據(jù)x的范圍確定復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍即可。

解：設(shè)u=x2-2x-1，則u=（x-1）2-2. 當(dāng)0

函數(shù)y=f（x2-2x-1）的定義域為[-2，2]

5.2 確定復(fù)合函數(shù)的值域。

求復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）] 的值域，實際上是在函數(shù)的定義域上先求出u=φ（x） 的值域，以確定y=f（x） 的定義域，再求出函數(shù)y=f（x） 的值域（對于兩重以上的復(fù)合函數(shù)仍按此法依次進(jìn)行）。

例：求函數(shù)y=11-x2-4x+13 的值域.

解：設(shè)t=x2-4x+13，v=t，u=1-v，則 y=1u

由t=（x-2）2+9≥9 得v≥3

-v≤-3 ≤-2

由反比例函數(shù)的圖象可知-12≤y

函數(shù)y=11-x2-4x+13的值域為[-12 ，0）.

5.3 復(fù)合函數(shù)的解析式。

（1）已知內(nèi)層與外層函數(shù)，求復(fù)合函數(shù)。

例1：已知f（x）=3x2-x-1，g（x）=2x+3，則f[g（x）] .

解： f[g（x）]=3[g（x）]2-g（x）-1

=3（2x+3）2-（2x+3）-1

=12x2+34x+23

點撥：解決這類問題，一般用代換法將外層函數(shù)的自變量用內(nèi)層函數(shù)表示。

（2）已知內(nèi)層函數(shù)及復(fù)合函數(shù)，求外層函數(shù)。

例2：設(shè)f（x-1）=2x2-3x，求f（x）。

解法1：設(shè)t=x-1，則x=t+1代入原式得：

f（t）=2（t+1）2-3（t+1）=2t2+t-1

所以f（x）=2x2+x-1.

解法2：f（x-1）=2x2-3x=2（x-1）2-3x+4x-2

=2（x-1）2+（x-1）-1

所以f（x）=2x2+x-1.

5.4 求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例1：求函數(shù)y=log12（x2+2x-3） 的遞增區(qū)間.

解： 由x2+2x-3>0解得函數(shù)的定義域為{x|x1|}

設(shè)u=x2+2x-3，則y=log12u

y=log12u是（0，+∞）上的減函數(shù).

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

u=x2+2x-3（x1）的遞減區(qū)間就是函數(shù)

y=log12（x2+2x-3）的遞增區(qū)間

u=（x+1）2-4

當(dāng)x≤-1時，u=x2+2x-3是減函數(shù).

{x|x1}∪{x|x≤-1}={x|x

函數(shù)y=log12（x2+2x-3）的遞增區(qū)是（-∞，-3）.

例2：已知函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的定義域都是R，值域分別是（0.+∞）與（-∞，0） ，在R上f（x）是增函數(shù)而g（x）是減函數(shù)，求證：F（x）=f（x）·g（x）在R上為減函數(shù).

分析：證明的依據(jù)應(yīng)是減函數(shù)的定義.

證明：設(shè)x1，x2是R上的任意兩個實數(shù)，且x1

則F（x1）-F（x2）=f（x1）g（x1）-f（x2）g（x2）

=f（x1）g（x1）-f（x1）g（x2）+f（x1）g（x2）-f（x2）g（x2）

=f（x1）[g（x1）-g（x2）]+g（x2）[f（x1）-f（x2）]

f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）是R上的減函數(shù)，且x1

f（x1）g（x2）即f（x1）-f（x2）0.

又f（x）的值域為（0，+∞），g（x）的值域為（-∞，0），

f（x1）>0，g（x2）

F（x1）-F（x2）>0即F（x1）>F（x2）

F（x）在R上為減函數(shù).

小結(jié)：此題涉及抽象函數(shù)的有關(guān)證明，要求較高，此外在F（x1）-F（x2） 的變形中涉及到增減項的技巧，它也應(yīng)是源于單調(diào)性只能比較同一個函數(shù)的某兩個函數(shù)值，必須構(gòu)造出f（x1） 與f（x2）的差和g（x1）與g（x2）的差。

5.5 奇偶性與單調(diào)性。

深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象是高考的重點內(nèi)容之一。

設(shè)a>0，f（x）=exa+aex 是R上的偶函數(shù)，（1）求a的值；（2）證明： f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù).

案例探究

[例1]已知函數(shù)f（x）在（-1，1）上有定義，f（12）=-1，當(dāng)且僅當(dāng)0

（1）f（x）為奇函數(shù)；（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運算能力和邏輯推理能力。屬題目。

知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想。

錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得。

技巧與方法：對于（1），獲得f（0）的值進(jìn)而取x=-y是解題關(guān)鍵；對于（2），判定x2-x11-x1x2 的范圍是焦點。

證明：（1）由f（x）+f（y）=f（ ），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（ ）=f（0）=0.f（x）=-f（-x）.f（x）為奇函數(shù).

（2）先證f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減

令0

00，

又（x2-x1）-（1-x2x1）=（x2-1）（x1+1）

x2-x1

即f（x2）

f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，又f（x）為奇函數(shù)且f（0）=0.

f（x）在（-1，1）上為減函數(shù).

例2：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，f（2a2+a+1）

命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法。本題屬于級題目。

知識依托：逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題。

錯解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂。

技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法。

解：設(shè)0

f（-x2）

f（x2）

又2a2+a+1=2（a+14）2+78>0，3a2-2a+1=3（a-13）2+23>0.

由f（2a2+a+1）3a2-2a+1.解之，得0

又f（2a2+a+1）3a2-2a+1.解之，得0

又a2-3a+1=（a-32）2-54.

函數(shù)y=（12 ）a2-3a+1 的單調(diào)減區(qū)間是[ 32，+∞]

結(jié)合0

本難點所涉及的問題及解決方法主要有：

（1）判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性。

若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價性。

若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性。

同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一。

復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性。問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù)。

（2）加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一，正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目。

5.6 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

關(guān)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要理解法則，掌握步驟，善于應(yīng)用。

（1）法則：y'x = y'u ·u'x 。

（2）步驟：分解——求導(dǎo)——回代（熟練后可省寫步驟）。

（3）應(yīng)用：能對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；能解有關(guān)的應(yīng)用問題。

例1：求y =sin4x +cos 4x的導(dǎo)數(shù).

【解法一】y =sin 4x +cos 4x=（sin2x +cos2x）2-2sin2cos2x

=1- 12sin22 x

=1-14 （1-cos 4 x）

=34 +14 cos 4 x.y′=-sin 4 x.

【解法二】y′=（sin 4 x）′+（cos 4 x）′=4 sin 3 x（sin x）′+4 cos 3x （cos x）′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x （-sin x）=4 sin x cos x （sin 2 x -cos 2 x）=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x

【點評】解法一是先化簡變形，簡化求導(dǎo)數(shù)運算，要注意變形準(zhǔn)確。解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步。

例2：曲線y =x（x +1）（2-x）有兩條平行于直線y =x的切線，求此二切線之間的距離。

【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2

令y′=1即3 x2-2 x -1=0，解得 x =-13 或x =1.

于是切點為P（1，2），Q（-13 ，-1427 ），

第5篇：討論單調(diào)性的步驟范文

一、以小題形式呈現(xiàn)基本知識，逐個擊破知識點

這一階段復(fù)習(xí)的基本方法是從小到大，先細(xì)后粗，把教學(xué)中的每一個知識點細(xì)化成對應(yīng)的題目，讓學(xué)生從問題中發(fā)現(xiàn)知識的漏

洞.同時，還要重點強化基本方法和解題步驟的規(guī)范性練習(xí).例：教學(xué)引入部分。

1.問題探究

問題1：判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有哪些？

問題2：在區(qū)間（a，b）內(nèi)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)f′（x）的正負(fù)關(guān)系：

如果______________________________，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

如果______________________________，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

如果______________________________，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù).

2.基礎(chǔ)自測

（1）設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y=f′（x）的圖象如左圖所示，則y=f（x）的圖象最有可能是（ ）

（2）函數(shù)f（x）=x-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為 .

（3）函數(shù)f（x）=x3-15x2-33x+6的單調(diào)增區(qū)間為

.

3.知識梳理

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 .

二、精選高考題作為例題精講，突破難點

重視高考試題的研究是高三教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，充分有效

地利用高考題也是一個值得深入探究的課題.在教學(xué)過程中，把緊扣教學(xué)重難點的高考題作為例題詳細(xì)講解，或可以稍加變形加以

應(yīng)用，或作為變式給學(xué)生嘗試、討論，都是很好的教學(xué)手段.

三、及時進(jìn)行課堂反饋，查漏補缺

數(shù)學(xué)課的教學(xué)設(shè)計不在于多么精美復(fù)雜，而在于真正腳踏實

地地讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想和方法.在課堂教學(xué)最后，及時進(jìn)行教學(xué)反饋是切實必要的.利用課上10分鐘左右的時間，進(jìn)行相關(guān)知識點的考查，既可以及時發(fā)現(xiàn)本節(jié)課存在的問題，又為下節(jié)課的教學(xué)設(shè)計引入新的問題做必要的思考.

著名教育學(xué)布魯納說過：“知識的獲得是一個主動過程，學(xué)習(xí)者不應(yīng)該是信息的被動接受者，而應(yīng)是知識獲取的主動參與者.”

第6篇：討論單調(diào)性的步驟范文

一、抽象函數(shù)定義域

所謂抽象函數(shù)是指用f（x），g（x）或F（x），G（x）等表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，這類函數(shù)求定義域關(guān)鍵是對定義域概念的真正理解.

例1：已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，4]，求f（x2）的定義域.

解析：注意在對應(yīng)法則f下，函數(shù)f（x2）中x2 的范圍與函數(shù)f（x）中x的范圍相同.

解答：函數(shù)f（x）的定義域為[0，4]，

，

f（x）的定義域為[-2，2].

誤區(qū)警示：誤認(rèn)為f（x2）的定義域是[0，16]，同時易漏掉x+1>0這一限制.

二、定義域與函數(shù)值域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例2：求函數(shù) 的值域.

換元法（代數(shù)換元法）：令 則

原函數(shù)可化為

原函數(shù)值域為 .

上例說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

三、定義域與函數(shù)奇偶性

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例3：判斷函數(shù) 的奇偶性.

解：

定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱

函數(shù) 是非奇非偶函數(shù).

若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論：

函數(shù) 是奇函數(shù).

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯誤的原因。

四、定義域與復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例4：指出函數(shù)f（x）=log4（-x2+2x+3）的單調(diào)區(qū)間.

解：先求定義域：

由-x2+2x+3>0，

得-1

令g（x）=-x2+2x+3.

則g（x）在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

又y=log4x在（0，+∞）上遞增，

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1），遞減區(qū)間是（1，3）.

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、奇偶性、單調(diào)性等問題中，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

第7篇：討論單調(diào)性的步驟范文

關(guān)鍵詞：高考；解答失誤；教學(xué)建議

筆者有幸參與了2016年四川數(shù)學(xué)高考閱卷工作，u閱理科21題. 從試題來看，第（1）問（滿分5分）較為簡單，命題者有送分之意，體現(xiàn)了命題專家們對考生的人文關(guān)懷；第（2）問（滿分9分）盡管難度較大，但解答方法卻較為常規(guī). 從閱卷場反饋的信息看，全省理科考生30余萬，平均得分約3.28分，試題難度約為0.24，近4萬考生得0分，約40位考生得滿分，試題0分率高達(dá)13.3%，滿分率僅僅約為0.013%，這顯然與“關(guān)懷”和“常規(guī)”不相符合. 因此，對考生解答失誤的分析顯得尤為重要. 從閱卷分析來看，考生的解答失誤可歸結(jié)為四類：心理性失誤、解題規(guī)范性失誤、知識性失誤、思維性失誤. 下面，筆者重點分析這四類解答失誤，并給出教學(xué)建議.

一、試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

【試題 】（2016年四川高考理科21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx其中a∈R.

（I）討論f（x）的單調(diào)性；

二、解答失誤分析

（一）心理性失誤

心理性失誤主要指數(shù)學(xué)焦慮造成的失誤.亨布里研究表明：數(shù)學(xué)焦慮與積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度之間呈負(fù)相關(guān)[1].蘇恩和愛德華認(rèn)為，數(shù)學(xué)焦慮是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要非智力因素，它會導(dǎo)致學(xué)生逃避數(shù)學(xué)，造成數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績低落.21題是整張試卷的壓軸題，而考生面對壓軸題往往會有緊張的情緒，尤其會給基礎(chǔ)不太好的學(xué)生造成焦慮甚至恐懼.

失誤 1 直接放棄

從考后訪談學(xué)生來看，大部分放棄21題的考生缺乏解答壓軸題的心理準(zhǔn)備，沒有信心，逃避壓軸題.事實上，從評分標(biāo)準(zhǔn)來看，只要考生正確求出f'（x）=2ax-即可得1分.

失誤2 抄寫錯誤

許多考生由于心理緊張，將字母、符號抄寫錯誤造成嚴(yán)重丟分.比如：把抄成；把f（x）=ax2-a-lnx抄成f（x）=ax2-ax-lnx等等.

失誤3 漏看條件

漏看條件主要指審題時由于緊張等原因?qū)е骂}中部分條件沒有看到.比如：試題中函數(shù)的定義域為（0，+∞），而考生漏掉lnx中隱含條件x>0，錯誤認(rèn)為定義域為R.

（二）解題規(guī)范性失誤

解題規(guī)范是解題的基本要求，同時是影響學(xué)業(yè)成績的重要因素.解題規(guī)范包括書寫規(guī)范和解題過程規(guī)范（表述規(guī)范、推理規(guī)范等等）.“會而不對、對而不全”往往是解題規(guī)范性失誤所致.

失誤4 書寫失誤

書寫失誤具體表現(xiàn)在：

①不用指定筆答題；

②字跡潦草、亂涂亂畫；

③不在指定區(qū)域作答.

失誤5 符號亂用

失誤14 思維僵化

思維僵化與思維靈活相對，主要表現(xiàn)為思維的封閉性、惰性、僵化性.思維的封閉性主要指僅用熟悉的辦法處理問題，把思維禁錮在有限的知識板塊，相當(dāng)局限、保守；思維的惰性指習(xí)慣于用老眼光看待數(shù)學(xué)問題，希望所有問題都用老辦法處理；思維的僵化性指一味模仿已有模型、機(jī)械模仿套用模型.

比如：討論f（x）的單調(diào)性：？坌x1，x2∈（0，+∞），且x10，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，很難判斷單調(diào)性.

失誤之處在于思維僵化：一味套用高一學(xué)的證明函數(shù)單調(diào)性的套路，放棄導(dǎo)數(shù)這一有力工具.

失誤15 邏輯錯誤

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯體系.邏輯性錯誤是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完善的常見錯誤之一.解題過程中導(dǎo)致違反邏輯思維規(guī)律的認(rèn)知盲點不僅僅是數(shù)學(xué)知識，而在于邏輯，常見的邏輯錯誤有：偷換概念、偷換論題、自相矛盾、虛假理由、分類不當(dāng)、因果倒置、循環(huán)論證、潛在假設(shè)等等.

比如：試題中a≥是恒成立的充要條件，而很多考生錯誤認(rèn)為a≥是恒成立的必要條件，對充分性沒有證明（充分性證明4分）.

三、 教學(xué)建議

（一）緩解焦慮情緒

“焦慮指個人預(yù)料會有某種不良后果或模糊性威脅將出現(xiàn)時產(chǎn)生的一種不愉快的情緒.其具體表現(xiàn)通常是緊張不安、憂慮、煩惱、害怕或恐懼.”[2]551理查森和蘇恩將數(shù)學(xué)焦慮界定為：“在各種各樣的一般生活和學(xué)習(xí)環(huán)境中，阻礙數(shù)字操作和數(shù)學(xué)問題解決的緊張和焦慮感.”[2]554研究表明，焦慮情緒與成績的取得成負(fù)相關(guān). 從21題的解答來看，得0分的4萬余名考生中絕大多數(shù)存在焦慮情緒、缺乏解題的信心；對于得分較低、過失性得分較多的考生也存在不同程度的焦慮情緒. 因此，在備考過程中要疏導(dǎo)學(xué)生焦慮的情緒，樹立積極、健康的應(yīng)試心態(tài).

（二）注重解題規(guī)范

高考采用網(wǎng)上閱卷，注重解題規(guī)范. 因此，教師要培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫習(xí)慣和規(guī)范的解題過程. 具體來講應(yīng)做到：書寫工整、卷面整潔；層次分明、步驟完整；有理有據(jù)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)；表述準(zhǔn)確、符號規(guī)范；簡明扼要、找準(zhǔn)區(qū)域.

（三）加深知識理解

數(shù)學(xué)知識分為陳述性知識、程序性知識和過程性知識.簡單地說，陳述性知識是關(guān)于“是什么”的知識，程序性知識是關(guān)于“怎么做”的知識，過程性知識是一種內(nèi)隱的、動態(tài)的知識[3].對知識的理解做到三個層面：準(zhǔn)確記憶“是什么”、熟練掌握“怎么做”和靈活運用. 具體來講應(yīng)做到：準(zhǔn)確記憶公式、法則、定理及成立條件；理解概念內(nèi)涵和實質(zhì)；掌握知識間的聯(lián)系和邏輯關(guān)系. 正如張奠宙先生在《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》一書中所講：“記憶通向理解，嚴(yán)謹(jǐn)形成理性.”

（四）研究高考試題

絕大多數(shù)高考試題設(shè)計新穎，構(gòu)思巧妙，集中體現(xiàn)了命題專家的智慧，是我們學(xué)習(xí)的典范.研究高考試題，是探求命題者的思維過程，更是復(fù)習(xí)備考中有的放矢的最佳途徑.文中21題主要考查函數(shù)不等式恒成立問題，涉及的基本方法是“單調(diào)性+分類討論”，一般要經(jīng)歷兩個步驟：（1）找出并證明滿足條件的a取值范圍；（2）通過列舉反例證明其余的a不滿足條件.事實上，這一類問題一直都是高考考查的熱點問題，比如：2006全國卷Ⅱ第20題、2007全國卷I第20題、2008全國卷2第22題、2010新課標(biāo)卷第21題、2011新課標(biāo)第21題、2013新課標(biāo)第21題等等都是此類問題.但是如此常規(guī)的一類試題，從解答結(jié)果來看，學(xué)生對該類試題表現(xiàn)得十分陌生，得分不盡如人意.可見，復(fù)習(xí)備考中對高考試題的研究顯得不足. 因此，筆者認(rèn)為高考試題是高三復(fù)習(xí)備考的最佳素材，建議高三復(fù)習(xí)應(yīng)以歷年高考試題為藍(lán)本展開.

參考文獻(xiàn)：

[1] HEMBREE R. The nature， effects， relief of mathematics anxiety[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1990，21（1）：33-46.

第8篇：討論單調(diào)性的步驟范文

例14 （1） 若函數(shù)f（x）的定義域為［2，4］，求函數(shù)f（x+3）的定義域；

（2） 若函數(shù)f（x+3）的定義域為［2，4］，求函數(shù)f（x）的定義域.

解析 對于這類問題，首先必須弄清“什么是定義域”.定義域是自變量x的集合.

然后必須認(rèn)清兩個函數(shù)之間的聯(lián)系，（）內(nèi)的式子的范圍應(yīng)該保持一致.

因此在（1）中，函數(shù)f（x+3）必須滿足2≤x+3≤4，所以x的范圍即定義域為［-1，1］.

在（2）中，函數(shù)f（x+3）的定義域為［2，4］，即其中的2≤x≤4，所以5≤x+3≤7，所以函數(shù)f（x）的定義域為［5，7］.

提煉 知函數(shù)f（x）的定義域D，求函數(shù)f［g（x）］的定義域，就是求使g（x）∈D的x的取值范圍；知函數(shù)f［g（x）］的定義域D，求函數(shù)f（x）的定義域，就是求在x∈D時，g（x）的值域.

（二） 抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性綜合問題

例15 已知函數(shù)f（x）的定義域D={x|x＞0}，對于任意的x，y∈D，滿足f（xy）=f（x）+f（y）.若x＞1時，f（x）＞0，試判斷f（x）的單調(diào)性.

解析 抽象函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法判定.

設(shè)xy=x1，x=x2，然后利用f（x1）=f（x2）+f，結(jié)合條件“x＞1時，f（x）＞0”，設(shè)＞1，即x1＞x2，此時f＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在定義域D上為單調(diào)增函數(shù).

提煉 要注意對條件中等式進(jìn)行整理變形，同時考慮與不等關(guān)系結(jié)合，使得等式成為不等式，從而判斷單調(diào)性.

例16 已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0］上是單調(diào)減函數(shù)，且f（1）=0，解不等式f（x+2）≤0.

解析 常規(guī)解題思路是分為x+2＜0和x+2≥0兩種情況求解，但這樣比較麻煩.

如果利用偶函數(shù)滿足f（-x）=f（x）=f（|x|），則可以在變量為正數(shù)或0這個范圍內(nèi)求解.

因為偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0］上是單調(diào)減函數(shù)，所以f（x）在［0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以由f（x+2）=f（|x+2|）≤0=f（1），則|x+2|≤1，所以-1≤x+2≤1，即-3≤x≤-1.

提煉 利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x）=f（|x|）可以避免分類討論.

（三） 值域（最值）求解中的數(shù)形結(jié)合問題

例17 函數(shù)y=|x+1|+|x-1|的值域為.

解析 將函數(shù)變形為y=-2x，x≤-1，2，-1＜x＜1，2x， x≥1，結(jié)合函數(shù)的圖像（如圖1），可知函數(shù)的值域為［2，+∞）.

提煉 充分利用函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求值域.

例18 對a，b∈R，記max{a，b}=a，b≥b，b，a＜b，則函數(shù)f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）的最小值為.

解析 理解函數(shù)max{a，b}是求兩個實數(shù)a，b中的較大值，顯然函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，因此應(yīng)該利用函數(shù)的幾何意義結(jié)合圖像解決.如圖2，得函數(shù)f（x）的最小值為.

提煉 利用數(shù)形結(jié)合可以簡化求解過程，使得問題直觀化.

（四） 方程求解中的數(shù)形結(jié)合問題

例19 若方程|2x-1|=m有且只有一解，則實數(shù)m的取值范圍是.

解析 可以利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，先進(jìn)行去絕對值運算，再進(jìn)行分類討論得到結(jié)論.但這種方法過于繁瑣.

如果作出函數(shù)y=|2x-1|的圖像，然后研究圖像與直線y=m的交點的情況，如圖3，即可得到正確結(jié)論：m=0或m≥1.

提煉 利用圖像交點個數(shù)來解決方程解個數(shù)的問題是常用方法.本題中主要運用指數(shù)函數(shù)的圖像、絕對值運算與函數(shù)圖像變化的關(guān)系，作出函數(shù)圖像，簡化了求解過程.需要提醒的是，對于區(qū)間端點要認(rèn)真分析，防止出現(xiàn)遺漏或增根.

（五） 函數(shù)模型及其應(yīng)用問題

數(shù)學(xué)建模能力是新課標(biāo)重點強調(diào)的，在高考中也經(jīng)常考查.常見的模型在前文已經(jīng)指出，這里不再贅述.數(shù)學(xué)建模的過程一般有“建模―解模―答模”三個步驟，即從實際問題中來，利用數(shù)學(xué)知識解決后，再回到實際問題中去解決該問題的一個系統(tǒng)工程.

例20 某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖4，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖5.（注：利潤與投資單位：萬元）

（1） 分別寫出將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元.

解析 （1） 設(shè)投資為x萬元，A產(chǎn)品的利潤為

f（x）萬元，B產(chǎn)品的利潤為g（x）萬元，故可設(shè)f（x）=k1x，g（x）=k2.

由圖4，5，知f（x）=x（x≥0），g（x）=（x≥0）.

（2） 設(shè)投入A產(chǎn)品x萬元，則投入B產(chǎn)品10-x萬元.

設(shè)企業(yè)利潤為y萬元，則y=f（x）+g（10-x）=x+（0≤x≤10）.

令=t，則y=+t=-t-2+（0≤t≤），故當(dāng)t=時，ymax=，此時x=.

所以當(dāng)投入A產(chǎn)品萬元，投入B產(chǎn)品萬元時，企業(yè)獲得最大利潤萬元.

提煉 利用待定系數(shù)法確定函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的知識解答實際應(yīng)用問題，最后再回到問題中去提出解決問題的方案.

（一） 關(guān)于函數(shù)的定義域、值域

例21 若函數(shù)f（x）=lg（x2+x+k）的值域為R，求實數(shù)k的取值范圍.

錯解 由二次函數(shù)y=x2+x+k的判別式Δ=1-4k＜0，得k＞.

分析 將該問題與“若函數(shù)f（x）=lg（x2+x+k）的定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍”混淆.若是“定義域為R”的問題，就需要對于一切實數(shù)x滿足x2+x+k＞0，所以Δ＜0.但該問題是“值域為R”.

正解 結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)該理解為“x2+x+k可以取得大于0的一切實數(shù)”，所以Δ≥0，故k的取值范圍應(yīng)為k≤.

提醒 對這類問題應(yīng)注意正確理解題意，并利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解決.

（二） 關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性

例22 已知函數(shù)y=loga（2-ax）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

錯解 由題意可知實數(shù)a＞0且a≠1，所以t=2-ax為單調(diào)減函數(shù).又因為函數(shù)y=loga（2-ax）單調(diào)遞減，所以y=loga t為單調(diào)增函數(shù)，所以a＞1.

分析 上述求解過程看似毫無漏洞，但析知條件“區(qū)間（0，1）”沒有用到，可能會有疏漏.

正解 認(rèn)真分析，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0，所以函數(shù)t=2-ax在區(qū)間（0，1）上必須大于0，所以有2-a×0≥0，2-a×1≥0，所以a≤2.綜合上述求解過程，最終正確的答案應(yīng)為1＜a≤2.

提醒 對單調(diào)性的討論要在定義域內(nèi)進(jìn)行.

（三） 關(guān)于函數(shù)的奇偶性

例23 判斷函數(shù)f（x）=的奇偶性.

錯解 f（-x）==，所以f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），所以函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

分析 這里乍一看，分子為偶函數(shù)，分母既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以容易判斷錯誤.同時，沒有求解函數(shù)的定義域并判斷是否關(guān)于原點對稱.再者，通過特殊值舉例可以發(fā)現(xiàn)f-=-f，

f-=-f，故有可能為奇函數(shù).

正解 由1-x2≥0，|x-2|-2≠0，得函數(shù)的定義域為［-1，0）∪（0，1］.因此f（x）===，所以f（-x）==-f（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù).

提醒 求解定義域是判定函數(shù)奇偶性不可或缺的環(huán)節(jié)，對于函數(shù)式的變形有著至關(guān)重要的影響，因此求解定義域應(yīng)作為判定奇偶性的第一步驟.

（四） 關(guān)于指、對、冪函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

例24 已知a+lga=10，b+10b=10，求a+b的值.

錯解 令10b=k，則b=lgk，因此k+lgk=10.又a+lga=10，可知a=k=10b.所以a+b=10b+b=10.

分析 顯然，在由條件“k+lgk=10，a+lga=10”得“a=k”時，僅僅是從方程形式的一致性上得出該結(jié)論，邏輯不嚴(yán)密，需要進(jìn)一步證明.

正解 令10b=k，則b=lgk，因此k+lgk=10.又a+lga=10.令f（x）=x+lgx，則f（k）=f（a）=10.又因為y=x和y=lgx均為增函數(shù)，所以f（x）在（0，+∞）上也為增函數(shù)，于是由f（k）=f（a），得a=k=10b.所以a+b=10b+b=10.

1. 函數(shù)y=log3-x的定義域是.

2. 函數(shù)y=log2（-x2+2x+3）的值域是.

3. 已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在［0，+∞）上是增函數(shù)，若f（-2）＜f（1），則實數(shù)x的取值范圍是.

4. 已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R都滿足關(guān)系式f（ab）=af（b）+bf（a）.判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論.

5. 試判斷函數(shù)y=+的奇偶性，并求解該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

第9篇：討論單調(diào)性的步驟范文

一、探究的真與假

真正的探究有一定的形式但并不強調(diào)過程的完整，其核心本質(zhì)是自主解決問題，其結(jié)果是學(xué)生通過探究的自主發(fā)現(xiàn)和自主構(gòu)建. 但目前的教學(xué)中很多教師為了表現(xiàn)探究的形而忽略探究的質(zhì)，往往把高中學(xué)生嬰兒化，以致學(xué)生早就理解掌握的問題還進(jìn)行不必要的討論和探究，這就是典型的假探究，是有探究的外形而沒有探究本質(zhì)的表面現(xiàn)象. 高中數(shù)學(xué)課程中的知識、方法和生活的貼近為探究提供了大量的素材，怎樣才能組織起真正的探究式教學(xué)是作為一名數(shù)學(xué)教師必須面對的課題．

1. 探究教學(xué)要有適當(dāng)?shù)男问?/p>

探究性教學(xué)，是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生像“數(shù)學(xué)家”一樣主動參與到發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題并在探究過程中獲取知識、發(fā)展技能、培養(yǎng)能力的教學(xué)活動. 它的基本教學(xué)模式是：“情景—探究—建構(gòu)”、 “情景—問題—探究”和“情景—問題—探究—開發(fā)”等教學(xué)模式．

案例1 函數(shù)單調(diào)性探究片段

師：我們已經(jīng)學(xué)過反比例函數(shù)y=，可以由圖象判斷它的減區(qū)間，請你們畫出其圖象觀察．

（學(xué)生動手很快就畫出了其函數(shù)的圖象）

師：請描述這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性．

生：在（-∞，0）、（0，+∞）上是減函數(shù)．

師：請證明得到的結(jié)論．

在這個案例中學(xué)生也有動手操作、觀察思考和邏輯證明，但這些不是基于學(xué)生自然合理地提出問題、解決問題、解析和拓展結(jié)果以及對活動過程中進(jìn)行反思和概括的自覺運用，各種推理的運用不是自主的，而是零碎的，因此這種探究活動是有形式但是沒有突出其本質(zhì)．

2. 真正的探究需要有學(xué)生自主解決問題的核心本質(zhì)

要擯棄徒有形式的“假探究”，走向“真探究”，這就要確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，確保學(xué)生在自主的探究過程中產(chǎn)生問題、提出問題、探究解決問題都經(jīng)過自身足夠強度的思維. 如有些教師在公開課時，情境設(shè)計問題提出都很到位，而在教學(xué)生思考回答問題時，學(xué)生在翻書尋找答案，任由學(xué)生拿書上的原話來糊弄，師生亦步亦趨把探究這場戲表演完畢. 對學(xué)生過于放松其實是放縱學(xué)生偷懶逃避思考. 這種只有探究的形式而沒有充分積極引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和思考就不是真正的探究；又如實際的操作有時會遇到學(xué)生無法完成某一步驟，教師為了趕進(jìn)度，把本來該讓學(xué)生說的自己說了，該讓學(xué)生做的自己做了，把各個步驟時間壓縮，或者本應(yīng)讓學(xué)生自主完成的卻拼命把思路往自己想說的話上引，一旦學(xué)生猜出就表揚學(xué)生，說遠(yuǎn)了就趕緊制止. 學(xué)生的探究活動變成猜測、迎合教師意圖，失去思維獨立性和失去思維能力. 這樣的探究活動丟失了探究性學(xué)習(xí)強調(diào)自主性的基本內(nèi)核，是一種異化的探究性學(xué)習(xí)，是一種“馴服了的探究性學(xué)習(xí)”. 教師過度控制“結(jié)構(gòu)化”的探究減少了學(xué)生犯錯誤、走彎路、“浪費”時間的概率，同時也剝奪了學(xué)生從錯誤、挫折和彎路中學(xué)習(xí)的機(jī)會. 這樣的形式空殼和表面的嚴(yán)格要求造成能力目標(biāo)無法達(dá)成，更嚴(yán)重的是情感價值觀目標(biāo)喪失，會讓學(xué)生誤解科學(xué)和科學(xué)方法. 所以真正的探究是讓學(xué)生有自主解決問題的本質(zhì)，在探究活動中發(fā)展其推理能力. 如案例1中的探究活動可以改進(jìn)為：①用教材中的例子：物理學(xué)中的波義耳定律p=（k是常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)V體積減少時，壓強p就增大，試用函數(shù)的單調(diào)性證明. 然后順勢提出問題，這個反函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，那么反比例函數(shù)y=（k是非零常數(shù)）在定義域上的單調(diào)性如何？（學(xué)生可能提出不合理猜想）引導(dǎo)學(xué)生選擇合理例子（如函數(shù)y=）并研究其單調(diào)性；（在適當(dāng)?shù)那榫持幸龑?dǎo)學(xué)生自然提出問題）②怎樣研究函數(shù)y=的單調(diào)性？（確定定義域、畫圖象、找規(guī)律、根據(jù)定義證明）這樣的探究就是真正自主解決問題，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

3. 真正的探究并不強調(diào)過程的完整性

有些教師以為探究式教學(xué)就該完成整個探究過程，因而對課堂探究耗時、耗力又沒有立竿見影的效果望而生畏，認(rèn)為與其浪費時間還不如自己講. 其實，如果無法完成完整的探究活動，可以進(jìn)行局部的探究. 所謂的局部探究所指的是根據(jù)教材的特點，圍繞某個小專題或者是某個具體的數(shù)學(xué)問題，從一堂課中拿出5～10分鐘時間，在教師的組織、引導(dǎo)下，讓學(xué)生用自我探究與合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，體驗過程，獲取知識，培養(yǎng)能力. 這樣的局部探究小巧、靈活，容易操作，學(xué)生樂學(xué)．

二、探究的正與偏

優(yōu)質(zhì)的探究活動需要有良好的探究目的，要有準(zhǔn)確的探究方向，引導(dǎo)學(xué)生探究應(yīng)該探究的問題，而不能偏離方向探究不必探究、不適合探究、不值得探究的問題，并且探究要上升到內(nèi)部的數(shù)學(xué)思維操作層面．

案例2 學(xué)習(xí)橢圓探究片段