概率統(tǒng)計技巧精選(九篇)

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第1篇：概率統(tǒng)計技巧范文

數(shù)學難題分析思考一、前言

在當前高等教育數(shù)學學科公共基礎科目中，《高等代數(shù)》《微積分》《線性代數(shù)》等均屬于研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學分支，唯獨《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》研究的領域是隨機現(xiàn)象。因此，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的教學也應當與其他數(shù)學課程有所區(qū)別，不單單是要講授概率統(tǒng)計的相關知識點，更重要的是要向學生傳遞一種數(shù)學思維方式，將概率論縱橫交錯的邏輯架構清晰地展現(xiàn)在學生眼前，使其眼前“豁然開朗”，感受到“境界的升華”，進而有效地解決數(shù)學難題。

二、概率統(tǒng)計課程教學中的數(shù)學難題分析要重視學生數(shù)學思維的培養(yǎng)

概率論課程從學生高中時就有所接觸，那為什么學生們在大學階段更進一步地深入學習《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》時，卻頻頻出現(xiàn)學習障礙呢？其中很重要的一點問題，就在于學生在學習課程知識點時，缺乏有意識的思維訓練，所掌握的僅僅是零散的知識，未能從整體上把握該課程常需要應用到的數(shù)學解題技巧，不利于學生整體上的理解，以致在解題時頻頻失誤。對此，筆者認為，在概率統(tǒng)計教學時，不僅要強調對學生嚴謹推導問題的歸納能力的培養(yǎng)，也要將歸納和演繹思維的訓練納入教學目標內，要綜合運用多種教學手段培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，使學生的數(shù)學應用能力得到本質上的提高。

三、結合概念實際背景融入數(shù)學建模思想，解決數(shù)學難題

1.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中融入數(shù)學建模思想的可行性

總體來看，概率統(tǒng)計教材中所涉及的隨機數(shù)學問題大致可分為4大類：（1）隨機事件與概率；（2）隨機變量及其函數(shù)的概率分布；（3）大數(shù)定律和中心極限定理；（4）隨機變量的數(shù)字特征等。教師要深入鉆研教材，結合相關實例來講解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論，使其確立數(shù)學建模的思維理念，引導學生通過“再思維”來展現(xiàn)數(shù)學“活生生”的創(chuàng)造活動，逐漸深化對相關知識的理解，進而提高分析問題和解決問題的能力。

2.數(shù)學建模解決數(shù)學難題的實例分析

教師應當合理地利用教學案例來進行數(shù)學難題的講解，并以此培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模思想解題的意識。以報刊亭的收益問題為例：

例題：報刊亭每天清晨從報站批發(fā)報紙零售，晚上將未賣完的報紙退回。每份報紙零售價a元，批發(fā)價b元，回收價c元，且a>b>c，則報刊亭每售出一份報紙可賺取a-b元，退回一份會賠b-c元，問如何確定每天批發(fā)報紙的數(shù)量，才能獲得最大收益。

分析：很明顯，求解批發(fā)量需要根據(jù)需求量來確定，也就是說，報紙的需求量為隨機變量，設報刊亭每天報紙的需求量為X=x份，批發(fā)量為n份，其概率為P（x）。而需求量x是隨機的，因此報刊亭的收益也是隨機的，作為優(yōu)化模型的目標函數(shù)，報刊亭每天獲取的最大收益應考慮到其長期（半年、一年等）的日平均收入即其期望值（以下簡稱為平均收入）。

由此，假設報刊亭每日批發(fā)n份報紙，日均收入為S（n），若x≤n，則表示當前報刊亭售出報紙x份，退回n-x份；若x>n，則表示報紙完全售出。因此，平均收入，建立數(shù)學模型后，只需了解到需求量為x的概率P（x）、a、b、c的具體值，就可以求取S（x）max。

在此基礎上，教師還可以進一步提出問題：如模型中需求量x、批發(fā)量n取值較大，將x視為連續(xù)變量時應如何求解？學生們綜合以上模型及所學連續(xù)型隨機變量概念，將概率P（x）轉化為概率密度函數(shù)f（x），并套用模型S（x）可得：

進而得出結論：批發(fā)量n滿足條件

時報刊亭日均收入最高，因為

因此又可以轉化為，即每份報紙賺錢與賠錢之比越高時，批發(fā)報紙分數(shù)也越多。同樣的，指導學生運用離散型隨機變量概念解題也可以得出相同結論。

通過報刊亭收益問題建立的數(shù)學模型，還可以大量引用到其他不同的現(xiàn)實問題中，這對于鍛煉學生的思維靈活性及解決數(shù)學難題都有著很好的幫助。

四、巧用“逆事件”，解決數(shù)學難題

求解古典概率問題時一般會涉及到基本事件總數(shù)、有利事件數(shù)等，從正面探求這些問題往往不易解決，且學生在復雜的計算中稍不留神，就會陷入到思維陷阱中，腦中一團亂麻，解題就更加麻煩了。對此，教師應當在教學中指導學生熟練應用“逆事件”解題，從問題的反面逆向思維上尋求解決數(shù)學難題的方案。以下題為例：

例題：已知4個人在旅社住宿，每個人都等可能地被分配到5個房間中的任一間去住，問：事件A={4人各住一房}的概率，事件B={至少有2人同住一房}的概率？

按照一般的解題思路，首先需要求解A、B事件的有利事件數(shù)和基本事件總數(shù)，如事件A包含的有利事件數(shù)為P54，；事件B也同樣如此，。如果問題中住宿人數(shù)或房間數(shù)進一步增加，計算也會變得更加繁瑣，甚至出現(xiàn)遺漏或重復計算等情況。在此情況下，運用逆事件求解就簡單多了。如事件B的發(fā)生概率可由定理P（A）=1-P（A）推導得出，P（B）=P（A）=1-P（A）=1-0.192=0.808。同樣的，將住宿人數(shù)、房間數(shù)放大，設已知n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任一間去住，且n≤N，求A、B事件的概率。在此問題中，可以簡單地計算出基本事件總數(shù)Nn，進而得出事件A的有利事件數(shù)PNn，得出結果，。其他的常見數(shù)學題如“生日問題”“電梯問題”，U檢驗法、X2檢驗法進行的假設檢驗中臨界值的確定，也可以借鑒“逆事件”來解決，此處不再一一贅述。

五、結語

所謂“通達善變”，“通”是數(shù)學學習的基礎，是基本保證，立足通法，才能準確地應用各種解題技巧，才能發(fā)展可靠的邏輯思維和發(fā)散思維，生出巧法。在大學數(shù)學公共基礎課程的教學過程中，教師應當客觀準確地把握學生的數(shù)學能力狀況，在課堂教學中融入多種解題技巧教學，幫助學生拓展解題思路，提高其分析難題與解決難題的能力，以更好更深入地學習數(shù)學知識。

參考文獻：

[1]教育部高等學校數(shù)學與統(tǒng)計學教學指導委員會課題組.數(shù)學學科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報告[J].中國大學教學，2005，（3）.

[2]徐海靜，何立官.矩陣思想在《線性代數(shù)》教學中的應用[J].西南師范大學學報（自然科學版），2012，（5）.

第2篇：概率統(tǒng)計技巧范文

關鍵詞：概率統(tǒng)計；數(shù)學思想；教學

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中并經過人們的思維活動產生的，是人們對數(shù)學知識和數(shù)學方法的本質認識。概率統(tǒng)計是數(shù)學一個富有特色的分支，在概率統(tǒng)計的內容中同樣蘊涵著豐富的數(shù)學思想，為人們正確處理現(xiàn)實數(shù)據(jù)信息、揭示事物現(xiàn)象的變化規(guī)律、提高分析問題和解決問題的能力提供了強有力的工具。因此，數(shù)學思想的教學研究對學科本身的發(fā)展和教學效果的改善具有重要的理論和現(xiàn)實意義，受到許多學者的青睞。本文擬對近年我國學者對概率統(tǒng)計數(shù)學思想的教學研究成果和研究狀況進行綜述。

一、概率論的思想史

對概率論思想史的教學研究文獻較少。黃海平（1999）主張，在教學中適當介紹概率論的歷史和數(shù)學思想史，不但能使學生感受到數(shù)學思想的巨大價值，還可以激發(fā)他們學習概率統(tǒng)計的興趣。石瑩（2002）提出，數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識，其發(fā)展史是教學中不容忽視的環(huán)節(jié)。

二、隨機思想和偶然與必然的思想

隨機思想和統(tǒng)計思想是概率統(tǒng)計有的數(shù)學思想。魏孝章和姜根明（2003）指出，隨機思想是概率論的核心思想，是從個別偶然的現(xiàn)象發(fā)展到這種偶然現(xiàn)象所表現(xiàn)出的一種內在的必然規(guī)律。研究隨機現(xiàn)象就是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這就是偶然與必然的思想。石瑩（2002）指出，在講授概率統(tǒng)計時要注重公理化思想、模型思想、依概率收斂、統(tǒng)計推斷等典型思想方法，同時分析偶然與必然的關系，對學生進行辯證思想方法的教學。

三、公理化思想

公理化思想就是從盡可能少的無定義的原始概念和一組不證自明的命題（基本公理）出發(fā)，利用邏輯推理法則建立數(shù)學的演繹系統(tǒng)。到20世紀，柯爾莫哥洛夫學派建立了概率的公理化結構，概率論因此成為嚴謹?shù)臄?shù)學分支。

石瑩（2002）建議，在教學中可側重于講解公理化思想方法對于概率統(tǒng)計理論形成的重要意義，讓學生在嚴格的公理體系中認知定義、公式及定理，學會運用規(guī)范化的數(shù)學語言解決概率統(tǒng)計中的問題。張瑾和王永紅（2005）通過分析概率的公理化定義，說明了聯(lián)系緊密、內在結構系統(tǒng)的公理化知識體系，并用結構主義的觀點說明了各部分基礎知識的結構特征。

四、統(tǒng)計思想

統(tǒng)計思想是統(tǒng)計學中的精華，是統(tǒng)計方法的靈魂，包括統(tǒng)計調查思想、統(tǒng)計描述思想、統(tǒng)計推斷思想等。

章朝慶（2001）指出，概率統(tǒng)計教學要與人才培養(yǎng)目標相適應，并給出在教學中滲透數(shù)學思想的一些方法，例如：引導學習，體現(xiàn)方法；結合概念和定理講授概率統(tǒng)計方法；聯(lián)系實際，學習綜合運用概率統(tǒng)計方法。

倪中新和陳敏（2004）提出，在教學中要注重講授概率統(tǒng)計的思想和背景，比如，各種概型、概率分布的應用背景，隨機變量的數(shù)字特征的物理意義，參數(shù)估計、假設檢驗的哲學背景；同時指出，統(tǒng)計思想的教學還應結合統(tǒng)計軟件等現(xiàn)代教育技術。

張馳（2006）認為，要特別重視對統(tǒng)計思想的教學，在概率論教學中穿插、滲透統(tǒng)計思想，在統(tǒng)計學教學中通過將統(tǒng)計思想經典語句化來加強統(tǒng)計思想的教學。

統(tǒng)計推斷思想是貫穿于數(shù)理統(tǒng)計研究始終的思想方法，是利用研究對象總體的隨機子樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)對總體或總體間性質作出估計、推測的一種數(shù)學思想。假設檢驗、區(qū)間估計、方差分析、回歸分析等方法體現(xiàn)了統(tǒng)計推斷思想。石瑩（2002）給出了在教學中講授統(tǒng)計推斷思想的一些建議：介紹統(tǒng)計推斷的基本模式，闡明其在方法論中的價值，闡述統(tǒng)計推斷的現(xiàn)實意義。

五、數(shù)形結合思想

數(shù)形結合的思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化，從而使問題簡單化、熟悉化。張瑾和王永紅（2005）給出了概率統(tǒng)計中數(shù)形結合思想常用的一些方面。例如：用文氏圖分析揭示事件的互不相容、獨立、互逆等關系；畫出完備事件組的示意圖，有助于學生對全概率公式和貝葉斯公式的理解和應用；幾何概型中，利用線段、平面、空間圖形的長度、面積和體積計算事件的概率。舒元生（2005）基于正態(tài)分布曲線的對稱性、增減性、漸近性并結合實例說明了數(shù)形結合思想的應用。

六、分類討論思想

當問題含有多種可能，人們難以對它進行統(tǒng)一處理時，就只能按其出現(xiàn)的各種情況分類進行討論，分別得出與各類情況相對應的結論，綜合這些結論便得到原來問題的答案。這種分析問題、解決問題的思想就是分類討論思想。概率統(tǒng)計中的許多內容都體現(xiàn)了分類討論思想，它們分布在概念、定理的證明、運算法則和具體問題的解決中。

黃海平（1999）主張在教學中滲透分類討論思想，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，并特別指出復習是滲透分類思想的最佳時機。

七、化歸思想或等價轉化思想

把有待解決或未解決的對象，通過轉化過程歸結為一類已經解決或較易解決的問題，以求得原問題的解決，就是化歸轉換的思想方法。

在概率統(tǒng)計中能用化歸思想解決的問題較多。黃海平（1999）主張在教學中要挖掘化歸思想，強化學生的辯證思維能力。舒元生（2005）通過實例介紹了運用對立事件、等價命題、標準正態(tài)總體、排除法和已知的定理公式結論等進行等價轉換的思想方法。

八、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指要用運動變化的觀點分析、研究具體問題中的數(shù)量關系，通過利用函數(shù)的概念和性質去分析問題并加以研究，最終解決問題。方程思想是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解，有時還需實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉化、接軌，最終達到解決問題的目的。

九、模型思想

一切數(shù)學概念、公式、理論體系以及由數(shù)學概念與符號刻畫出來的某個系統(tǒng)中的關系結構都可成為數(shù)學模型。數(shù)學模型有廣義解釋和狹義解釋。按廣義解釋，凡是以相應的客觀原型作為背景加以一級抽象或多級抽象的數(shù)學概念、定理、公式等都叫數(shù)學模型，如古典概型、幾何概型、二項概型、條件概率、隨機變量、期望和方差等。按狹義解釋，只有那種反映特定的具體實體內在規(guī)律性的數(shù)學結構才成為數(shù)學模型，如概率中的摸球問題、擲分幣問題、分房問題、次品問題、蒲豐投針問題等。

模型思想就是構造模型、使用模型的思想方法。魏孝章和姜根明（2003）通過實例說明，概率建模思想既可以處理隨機問題，也可以處理一些非隨機問題。黃海平（1999）主張要在教學中提煉模型思想，以培養(yǎng)學生解決問題的能力。韋程東等（2008）主張要在概率統(tǒng)計教學中融入數(shù)學建模思想的內容，引入討論與講授相結合、啟發(fā)式、案例分析和現(xiàn)代教育技術等數(shù)學建模思想的方法，在課后作業(yè)中融入數(shù)學建模思想，以培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力。高巖（2008）建議將數(shù)學建模思想貫穿于整個教學過程，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力和合作意識，促進知識向應用的轉化；還介紹了將數(shù)學建模思想融入概率統(tǒng)計教學中的方法和原則。石瑩（2002）認為，在概率統(tǒng)計教學中，一方面要使學生了解典型模型的構造規(guī)律，在解題教學和練習中學會正確使用模型；另一方面要揭示模型之間的聯(lián)系，區(qū)別易混淆的模型。李曉毅和徐兆棣（2008）探討了在概率統(tǒng)計教學中數(shù)學建模思想形成和建立的途徑，對概率統(tǒng)計課程的教學從教學內容、教學實例、教學手段、教學模式等方面進行分析，闡明了在概率統(tǒng)計教學中融入數(shù)學建模思想是促使學生學好概率統(tǒng)計課程的有效途徑。

十、其他數(shù)學思想

1．集合與映射思想

隨機事件、樣本空間等概率論中的基本概念其實質就是集合，而在概率的公理化定義中則將“概率”定義為事件域F（集合）到實數(shù)區(qū)間[0，1]的一個映射。隨機變量的定義也是從樣本空間（集合）到實數(shù)域R建立的一個映射。李光平和劉洪（2004）從解釋古典概率、把握事件之間的關系、計算事件的概率三個方面介紹了在教學中滲透集合觀點的具體做法。

2．整體思想

整體思想就是把考慮的對象作為一個整體對待，而且這個整體是各要素按一定規(guī)律組合成的有機統(tǒng)一體。

3．求補思想

對于直接求解較困難或較復雜的問題，可考慮先求它的補集，這種在順向思維受阻后改用逆向思維的思想就是數(shù)學中的求補思想。王衛(wèi)華（2006）針對2005年高考概率題目說明了補集思想的應用。

綜上可知，國內概率統(tǒng)計數(shù)學思想的教學研究集中于思想的內涵、作用與功能、方法與技巧，取得了較為豐富的成果。

參考文獻：

[1]黃海平.淺談概率統(tǒng)計教學中數(shù)學思想方法的運用[J].廣西教育學院學報,1999,(4).

[2]石瑩.概率統(tǒng)計與數(shù)學思想方法教學[J].天津市財貿管理干部學院學報,2002,(2).

[3]魏孝章,姜根明.概率統(tǒng)計中的數(shù)學思想[J].陜西教育學院學報,2003,(1).

[4]張瑾,王永紅.概率統(tǒng)計課程中的數(shù)學思想方法研究[J].成都教育學院學報,2005,(9).

[5]章朝慶.概率統(tǒng)計思想方法對高職人才素質形成的作用與意義[J].南通職業(yè)大學學報,2001,(3).

[6]倪中新,陳敏.注重統(tǒng)計思想的現(xiàn)代工科概率統(tǒng)計教學方法[J].大學數(shù)學,2004,(2).

[7]張馳.概率統(tǒng)計課程應重視統(tǒng)計和統(tǒng)計思想的教學[J].高等教育研究,2006,(3).

[8]王衛(wèi)華.2005年高考概率題中的數(shù)學思想[J].數(shù)學教學研究,2006,(5).

[9]舒元生.在概率與統(tǒng)計的教學中如何滲透中學數(shù)學思想方法[J].中學數(shù)學研究,2005,(7).

[10]韋程東,唐君蘭,陳志強.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中融入數(shù)學建模思想的探索與實踐[J].高教論壇,2008,(2).

[11]高巖.在概率統(tǒng)計教學中融入建模思想[J].江西行政學院學報,2008,(S2).

[12]李曉毅,徐兆棣.概率統(tǒng)計教學與數(shù)學建模思想的融入[J].沈陽師范大學學報(自然科學版),2008,(2).

第3篇：概率統(tǒng)計技巧范文

關鍵詞： 概率與統(tǒng)計 易錯點 應對技巧

概率與統(tǒng)計是高中的一個重要知識點，也是學生在運用中很容易錯的一個知識點.下面我結合這幾年在教學過程中的感受，談談概率與統(tǒng)計的易錯點.具體從以下幾點進行剖析.

一、易錯點分析

1.基本事件的總數(shù)算錯.

2.錯用獨立重復試驗概率公式.

3.對于復雜的概率問題沒有及時應用對立事件的性質求解.

二、錯點應對技巧

1.要以課本概念和方法為主，以熟練技能、鞏固概念為目標，查找知識缺漏，總結解題規(guī)律.

2.相互獨立事件首先要概念清楚，善于把所求概率事件劃分為幾個獨立的事件.一般地，解答這類問題往往需要綜合運用等可能事件的概率公式.

3.對于互斥事件，要首先搞清概念，然后要善于將一個事件劃分為若干個互斥事件的和，能靈活運用公式求概率，還要善于靈活運用“正難則反”的思想來求復雜事件的對立事件的概率.

三、例題剖析

易錯點1：基本事件的總數(shù)算錯

例1：在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于?搖?搖?搖?搖.

解：從5個白球和3個黑球中摸出3個球，共有C種方法，摸到2個黑球有CC種方法，摸到3個黑球有CC種方法.至少摸到2個黑球的概率p==.

誤區(qū)警示：求等可能事件的概率，首先明確等可能事件中的基本事件是什么，其次要明確由基本事件組成的一般事件中包含基本事件的可能結果有多少種，最后由定義求解其概率.

易錯點2：錯用獨立重復試驗概率公式

例2：甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據(jù)以往經驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局為勝，比賽結束.設各局比賽相互之間沒有影響，求：

（1）前三局比賽甲隊領先的概率；（2）本場比賽乙隊以3∶2取勝的概率.

解：單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6，乙隊勝甲隊的概率為1-0.6=0.4.

（1）記“甲隊勝三局”為事件A，“甲隊勝兩局”為事件B，

則P（A）=0.6=0.216,P（B）=C×0.6×0.4=0.432.

所以前三局比賽甲隊領先的概率為P（A）+P（B）=0.648.

（2）若本場比賽乙隊以3∶2取勝，則前四局雙方應以2∶2戰(zhàn)平且第五局乙隊勝.

所以，所求事件的概率為C×0.4×0.6×0.4=0.138.

誤區(qū)警示：第二問中“乙隊以3∶2取勝”，并不是五局比賽中乙恰好勝了三次，通過該題，明確比賽中求概率的方法，要結合所學知識，靈活地應用到實際中來，不能盲目地套用公式.

易錯點3：對于復雜的概率問題沒有及時應用對立事件的性質求解.

例3：從10位同學（其中6女，4男）中隨機選出3位參加測驗，每位女同學能通過測驗的概率均為，每位男同學能通過測驗的概率均為.試求：

（1）選出的3位同學中，至少有一位男同學的概率；

（2）10位同學中的女同學甲和男同學乙同時被選中且通過測驗的概率.

解：（1）解法一：從10位同學中選出3位參加測試的選出方法有C=120（種）.至少有一位男同學可分為以下三種情況：1男2女；2男1女；3男.于是有CC+CC+C=100（種）選法，于是=為所求.

解法二：“至少有一位男同學”等價于“不都是女同學”，而都是女同學的情況有C種，所以至少有一位男同學的概率是1-=.

（2）解：10位同學中女同學甲和男同學乙同時被選中的概率為，他們通過測驗的概率是×，這兩類事件應該是相互獨立的，是同時發(fā)生的，應該使用乘法得，××=.

誤區(qū)警示：“至少有一個男生”的情況有三種，容易漏掉且計算量大，通過求對立事件的概率，則為我們開辟了：正難則反“之門，體現(xiàn)了轉化思想.對于復雜的概率問題，我們可用P（A）+P（）=P（A+）=1這個公式，轉化為先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率，從而使問題簡單化.

四．規(guī)律總結

1.P（A）=是等可能事件的概率，又是計算這種概率的基本方法，其中n是基本事件的總個數(shù)，m是事件A包含的基本事件的個數(shù)，所以求這類事件的概率，首先要明確基本事件是什么，其次要明確由基本事件組成的一般事件中包含基本事件的可能結果有多少種，最后由定義求其概率.

2.當A與B是互斥事件時，P（A+B）=P（A）+P（B）,所以對于復雜的概率通常有兩種常用的解題方法：一是將所求事件化成彼此互斥事件的和；二是先去求事件的對立事件的概率，然后再求所求事件的概率.

3.獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復地，各次之間相互獨立地進行的一種試驗，n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為CP（1-p），使用此公式求概率時應先考查是否滿足下列條件：①在一次實驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)P；②n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；③該公式表示n次試驗中恰好發(fā)生了k次的概率.

五、探究與突破

1.熟練應用排列組合知識的基本公式計算事件的概率.無論是基本事件的總數(shù)，還是由基本事件組成的一般事件的總數(shù)的計算都是綜合運用了排列、組合的知識，是排列、組合知識的深化和延伸.這說明排列、組合知識是解決有關等可能事件的概率的工具和基礎.

第4篇：概率統(tǒng)計技巧范文

摘要：對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學內容進行三個模塊的教學實施，就是讓教材立體化后對課程系統(tǒng)認識，對教學大綱、基本概念、重點難點、應用案例分析等方面進行教學提高。

關鍵詞：概率統(tǒng)計 模塊 教學

前言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是學生由確定性思維進入隨機性思維的入門課程，也是大學進行隨機思維培養(yǎng)和訓練的課程。要讓教材立體化就是要清楚課程的背景與概況；清楚課程的指導思想；教學理念；教學目標；對難、重點進行深度剖析，明確解決問題的思路；對教學內容的剖析有新的認識。教學實踐中將本門課程內容分為：概率論，隨機變量的函數(shù)及其分布，數(shù)理統(tǒng)計初步三大模塊進行。

第一模塊 概率論

針對大三學生在系統(tǒng)學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計之前已對概率有所了解，但從實際的隨機現(xiàn)象中把問題數(shù)學化，運用數(shù)學符號表示隨機現(xiàn)象是第一模塊學習內容的難點，這部份內容是整個概率論的基礎。所以教學具體實施分三步：第一步，從常見隨機想象出發(fā)，引導學生用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象，補充大量用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象的實際練習訓練 ，用集合的概念來表述隨機事件；第二步，結合隨機事件運算規(guī)律學習概率定義的發(fā)展規(guī)律，了解概率的公理化體系；第三步，對要掌握的條件概率，全概公式，貝葉斯公式等內容，無論是教師講授演算、還是學生做作業(yè)都要求在解題時認真書寫每一個題目的詳細解題步驟，嚴格的書寫過程方可讓學生達到邏輯性地對問題的逐步認識深度，這是非常重要的一個基礎訓練要加強實施 。

第一模塊“概率論”中要抓住對概念的引入和背景的理解。如，概率公理化定義引入的背景是：在概率論的發(fā)展史上曾經有過概率的古典定義、概率的幾何定義、概率的頻率定義和概率的主觀定義，這些定義各適合一類隨機現(xiàn)象，為了給出適合一切隨機現(xiàn)象的概率的最一般的定義，前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定義，該定義既概括了上述幾種概率定義的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之處。概率的公理化定義刻畫了概率的本質：概率是集合（事件）的函數(shù)。對概率的公理化定義的深度剖析是公理化定義未確定概率，它只是規(guī)定了概率應該滿足的性質，在公理化定義出現(xiàn)之前的古典定義、幾何定義、頻率定義和主觀定義都在一定的場合下給出了各自的確定概率的方法，因此有了概率的公理化定義之后，把它們看作確定概率的方法是恰當?shù)摹?/p>

一模塊中需要重點講授概念的直觀含義或實際意義的有；事件的概率與頻率；條件概率；事件的獨立性；全概率公式；需要多媒體課件的有效輔助實際教學，充分利用圖形演示功能幫助直觀理解。對概率論中涉及的眾多例題和習題，應理解題目所涉及的概念及解題的目的，而具體計算技巧在在高等數(shù)學已學過，因此概率論學習的關鍵不在于多做習題，而要理解不同題型涉及的概念及解題的思路。

第二模塊 隨機變量的函數(shù)及其分布

隨機變量的函數(shù)及其分布包括一維隨機變量與多維隨機變量，要求學生認識到分布函數(shù)、分布律和概率密度函數(shù)是揭示隨機現(xiàn)象本質規(guī)律的重要工具。對概率分布函數(shù)，連續(xù)性隨機變量概率密度函數(shù)的準確理解以及會計算隨機事件的概率是本模塊的重點，掌握常見的離散型和連續(xù)型隨機變量，數(shù)學期望、方差、協(xié)方差和相關系數(shù)，并應用這些概念解決實際問題。

分布函數(shù)、隨機變量的獨立和不相關等概念要仔細推敲概念的內涵和相互聯(lián)系、差異，例如，隨機變量概念的內涵是一個從樣本空間到實軸的單值實函數(shù)X（w），但它不同于一般的函數(shù)，定義域是樣本空間，不同隨機試驗有不同的樣本空間。而它的取值是不確定的，隨著試驗結果的不同可取不同值，但是它取某一區(qū)間的概率又能根據(jù)隨機試驗予以確定的。

第二模塊計算難點有二維隨機變量的邊緣分布，事件B的概率P（（X，Y）∈B），卷積公式等的計算，它們形式簡單，但f（x，y）通常是分段函數(shù)，真正的積分限并不再是（-∞，∞）或B，如何正確確定事實上的積分限就成了正確解題的關鍵，所以要綜合運用極限、連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、極值、積分、廣義積分及級數(shù)等知識去解決問題，課程進行之前一定要復習相關知識并練習一定量的習題作保障。

二模塊中需要重點講授概念的直觀含義或實際意義的有；概率密度的幾何意義及均勻分布與正態(tài)分布；幾類常用隨機變量的數(shù)學期望；相關系數(shù)概念。這些概念的引入需要多媒體課件的有效輔助利用圖形演示功幫助學生直觀理解。

第三模塊 數(shù)理統(tǒng)計初步

概率論是研究揭示隨機現(xiàn)象所隱含的本質規(guī)律，反映在課程內容上就是隨機變量分布函數(shù)、分布律和概率密度函數(shù)的尋求以及研究它們的數(shù)字特征；統(tǒng)計是以概率論為基礎，利用實驗數(shù)據(jù)對分布函數(shù)，概率密度函數(shù)進行估計和檢驗，第三模塊主要講授參數(shù)的點估計和區(qū)間估計，參數(shù)的假設檢驗，尤其要熟悉正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計方法，假設檢驗方法。重點是極大似然估計思想和假設檢驗思想的介紹。

第5篇：概率統(tǒng)計技巧范文

我們平時都將概率論和統(tǒng)計學合稱為“概率統(tǒng)計”，但顯然這兩者是有關系，卻又不是統(tǒng)一的.統(tǒng)計和概率是方法論上的區(qū)別，一個是推理，一個是歸納；一個是對原理的討論，一個是對方法的討論.

學習“統(tǒng)計與概率”要注意以下幾個要點：1.在學習過程中要抓住對概念的引入和背景的理解，這實際上是一個抽象過程；2.在學習過程中對于引入概念的內涵和相互間的聯(lián)系及差異要仔細推敲；3.在解題過程中不要為解題而解題，而應理解題目所涉及的概念及解題的目的，因此概率學習的關鍵不在于做多少習題，而在于要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去.這樣往往能“事半功倍”，同時學起來就不會枯燥而且容易記憶.下面就統(tǒng)計與概率相關題型和解答技巧與同學們交流分享.

第一類：用分類討論思想解決擲骰子、摸球、轉盤類應用問題

例1 現(xiàn)有兩枚質地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個面上都分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6.同時投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標的數(shù)字為擲得的結果，那么所得結果之和為9的概率是（ ）.

A.[13] B.[16] C.[19] D.[112]

【分析】每個骰子都有6種可能，投擲這兩枚骰子，所有可能結果共有36種，其中點數(shù)之和為9的有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）4種，所以，所求概率為：[436]=[19].

【點評】把統(tǒng)計與概率問題與我們常規(guī)的數(shù)學思想相聯(lián)系，這樣方便歸納解題方法.

例2 一個布袋內只裝有1個紅球和2個黃球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黃球的概率例3 如圖是一個能自由轉動的正六邊形轉盤，這個轉盤被三條分割線分成形狀相同、面積相等的三部分，且分別標有“1”“2”“3”三個數(shù)字，指針的位置固定不動.讓轉盤自動轉動兩次，則指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率為 .

【分析】列表可知指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率為[49].

【點評】把每次出現(xiàn)相同數(shù)字的情況全部列出，再計算都是奇數(shù)的概率.

例4 如圖，轉盤A的三個扇形面積相等，分別標有數(shù)字1，2，3，轉盤B的四個扇形面積相等，分別標有數(shù)字1，2，3，4.D動A、B轉盤各一次，當轉盤停止轉動時，將指針所落扇形中的兩個數(shù)字相乘.（當指針落在扇形的交線上時，重新轉動轉盤.）

（1）用樹狀圖或列表法列出所有可能出現(xiàn)的結果；

（2）求兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的概率.

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果；

（2）先算出兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）畫樹狀圖得：

則共有12種等可能的結果；

（2）兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的情況有4種，則兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的概率為：[412]=[13].

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.

第二類：用大數(shù)規(guī)律解決硬幣拋擲類問題

例5 在課外實踐活動中，甲、乙、丙、丁四個小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率，其實驗次數(shù)分別為10次、50次、100次、200次，其中實驗相對科學的是（ ）.

A.甲組 B.乙組 C.丙組 D.丁組

【點評】大量反復實驗時，某事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)的附近，這個常數(shù)就叫做事件概率的估計值.本題考查了模擬實驗.選擇和拋硬幣類似的條件的實驗驗證拋硬幣實驗的概率，是一種常用的模擬實驗的方法.

第三類：用比例解決估算類問題

例6 為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中捕獲30條魚，在每條魚身上做上記號后，把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈200條魚，如果在這200條魚中有5條魚是有記號的，則魚塘中魚的數(shù)量估計為 .

【點評】設未知數(shù)，用成比例關系進行估算解決此類問題.

第四類：對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理問題

例7 下列說法正確的是（ ）.

A.了解飛行員視力的達標率應使用抽樣調查

B.一組數(shù)據(jù)3，6，6，7，9的中位數(shù)是6

C.從2000名學生中選200名學生進行抽樣調查，樣本容量為2000

D.一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是10

【點評】全面調查和抽樣調查是按調查對象范圍不同劃分的調查方式.中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).樣本容量又稱“樣本數(shù)”，是指一個樣本的必要抽樣單位數(shù)目.方差是各個數(shù)據(jù)分別與其算術平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù).

例8 某中學籃球隊12名隊員的年齡如下表：

關于這12名隊員的年齡，下列說法錯誤的是（ ）.

A.眾數(shù)是14 B.極差是3

C.中位數(shù)是14.5 D.平均數(shù)是14.8

【點評】眾數(shù)、中位數(shù)、極差、平均數(shù)是統(tǒng)計的基礎知識點.找對數(shù)據(jù)就可以輕松解題.

例9 為了了解某學校學生每周平均課外閱讀時間的情況，隨機抽查了該學校m名同學，對其每周平均課外閱讀時間進行統(tǒng)計，繪制了如下條形統(tǒng)計圖（圖1）和扇形統(tǒng)計圖（圖2）.

條形統(tǒng)計圖

①求m的值；

②求扇形統(tǒng)計圖中閱讀時間為5小時的扇形圓心角的度數(shù)；

③補全條形統(tǒng)計圖.

（2）直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

【點評】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的知識，解題的關鍵是能夠結合兩個統(tǒng)計圖找到進一步解題的有關信息，難度不大.

第6篇：概率統(tǒng)計技巧范文

關鍵詞 隨機變量 分布函數(shù) 概率密度 數(shù)字特征

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

0 引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的一門數(shù)學學科，該課程作為現(xiàn)代數(shù)學的重要分支，在自然科學、社會科學和工程技術的各個領域都被廣泛地應用，它已成為各類專業(yè)大學生的數(shù)學必修課之一。

由于概率論的研究對象與一般數(shù)學學科不同，因而處理問題的方法也不一樣。它除了具有其它數(shù)學學科的理論的抽象性和邏輯的嚴密性外，還具有自己獨特的思維方式和計算技巧。它在解決問題時更注重概念與思路，因此學生在學習這門課程時，特別是在前期的學習過程中常常感到困難，不易掌握它的規(guī)律。根據(jù)這一現(xiàn)象，教師在教學中應采取一些措施，進行一些針對性的處理，以幫助學生克服困難，逐步懂得運用概率論的特點，掌握其規(guī)律性。

下面對這門課程的教學中的幾個問題進行一些探討。

1 隨機事件的關系及運算

隨機事件是概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程的最基本的概念之一。了解事件的關系及運算，把復雜的事件分解成若干個簡單事件的和或積，從而利用概率的基本公式計算隨機事件的概率，是學生應該掌握的基本方法，也是第一章的重點和難點。

在講授事件的關系和運算時，可以結合集合的關系及運算，并用文氏圖加以說明。例如，列出如下的對照表（表1，表2），就能使問題清楚、直觀，便于學生理解和掌握。

同時，在講課中，應特別注意強調其概率意義的描述，避免學生走入只會從集合的角度理解問題的誤區(qū)。

2 幾個基本概念之間的關系

在課程的第二章引進了隨機變量及其分布的概念， 這一部分的特點之一是：基本概念很多，描述這些基本概念之間的關系的定理和公式也很多。因此學生容易將一些概念混淆，搞不清它們之間的關系，記不住相應的公式。針對這些問題，在講完一部分相關的內容以后，可以進行一次小結，將相關的概念以及它們之間的關系進行梳理。例如，可以用圖形來表示各個概念之間的關系，并在圖中標出所用的公式。這樣做可使各個概念更清楚、直觀、容易記憶。

3 隨機變量的數(shù)字特征

隨機變量的數(shù)字特征是用來描述隨機變量分布特征的某些數(shù)字。其中有數(shù)學期望、方差、標準差、原點矩、中心矩、協(xié)方差、相關系數(shù)等。由于隨機變量分為離散型和連續(xù)型兩類，它們的各種數(shù)字特征的計算公式也不相同。在講授這一部分時可以將離散型和連續(xù)型的情形加以對照，這樣既能使學生加深對概念的理解，又容易記住公式。例如，在講授一維隨機變量的數(shù)字特征時，可以列出下列對照表（表3）。

從表中3可以看出，離散隨機變量與連續(xù)隨機變量的同一數(shù)字特征的計算公式的不同之處僅僅在于一個是求級數(shù)，另一個是求積分。將離散求和換成連續(xù)求和，就可以由離散隨機變量的數(shù)字特征的公式得到連續(xù)隨機變量的相應公式。

本章的另一個難點是求各種數(shù)字特征的公式太多，學生容易混淆，難以記住。例如對于二維離散隨機變量來說，就有數(shù)學期望、方差、標準差、各階原點矩、各階中心矩、協(xié)方差、相關系數(shù)等的計算公式。對于連續(xù)隨機變量也有這些相應的公式。要區(qū)分、記住這么多公式是比較困難的。針對這一問題，在講完相關的內容后，可以將上述所有公式的記憶歸結到兩個公式：離散型和連續(xù)型隨機變量4 結束語

概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程的難點主要集中在概率論的部分，教師在教學中應根據(jù)每一處難點的具體情況，采取切合實際的、具體的方法來解決問題，幫助學生克服困難。這樣才能使學生真正理解和掌握該課程的基本概念、基本理論和基本方法。

參考文獻

第7篇：概率統(tǒng)計技巧范文

【關鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計 教學方法 能力

《概率論與教學統(tǒng)計》是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學學科。它既以較深的數(shù)學理論為基礎，又以解決大量的生產、科研與管理實際問題為目的，該課程在處理問題的思想方法上與學生已學過的其他數(shù)學課程有著很大的差異，因此有的學生學起來感到困難重重?；谶@門課程的特殊性，在教學過程中，我們應采取怎樣的教學方法才能提高教學質量呢？本文從趣聞教學、類比教學、合理設疑、及時總結、理論聯(lián)系實際、及時總結等幾個方面給予闡述，希望能給讀者以借鑒。

1.趣味教學，引起學生學習興趣

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學的一個有特色的分支。在教學過程中教師要善于挖掘教材的內在魅力，使學生對你所講的東西感興趣。濃厚的學習興趣，可以使各種器官以及大腦處于最活躍的狀態(tài)，能夠最佳地接受教學信息。例如，作為“概率統(tǒng)計課”的導言，可以先向學生提出如下兩個問題。

例1：這是一枚均勻的五分的硬幣，現(xiàn)要把它拋向桌面。在我拋下之前，哪位同學能斷言：①硬幣拋下落到桌面的結果是正面向上還是反面向上？②正面向上的可能性是多大？

例2：在一個口袋中裝有六只乒乓球，其中四只紅球，二只藍球?，F(xiàn)從口袋中任取一只球。在我取球之前，哪位同學能斷言：①我取到的是紅球還是藍球？②取到紅球的可能性是多大？

以上兩個例題的問題使同學對概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課萌發(fā)了興趣。一旦有了學習興趣，興趣就能轉化為樂趣，樂趣又轉化為志趣，持久穩(wěn)定的志趣就能使學生保持經久不衰的求知動力，從而使他們能更好的學習這門課。

2.類比教學，培養(yǎng)學生想象力

數(shù)學家認為，類比是發(fā)現(xiàn)的源泉，是偉大的引路人。人的思維受生理客觀環(huán)境等多方面因素的影響，往往正常的思維容易產生定勢，要克服思維定勢的影響，必須在掌握基礎知識和基本技能的基礎上，運用類比的教學方法，使學生展開豐富的想象能力。例如，講隨機變量部分，離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量之間，兩者所涉及的知識點是完全一樣的。在講授連續(xù)型隨機變量時，教師應引導學生展開想象的空間，時時注意與離散型隨機變量進行類比。這樣，可以使學生獲得的新知識更加鮮明、準確，形成系統(tǒng)性的知識網絡，逐步構建良好的知識結構，從整體上掌握知識。

3.合理設疑，培養(yǎng)學生的求知欲

課堂教學是調動和引導學生積極思考，培養(yǎng)學生求知欲的一個重要的環(huán)節(jié)，是教與學的共同活動。學生學會思考，才有所疑，才有所思，才有所得。那么，如何才能使學生有旺盛的求知欲，主動聽講，以取得良好的效果呢？這就要求教師講課必須學會巧妙構思，合理設疑，才有可能打破學生認知結構的原有平靜，激起積極思維的層層浪花。例如，“相互獨立”和“互不相容”是概率論中兩個重要概念。初學者往往錯誤地認為“相互獨立”必“不相容”“不相容”必“相互獨立”。為了使學生對這兩個概念理解透徹，教師可以在此處提出這樣兩個問題：

例1：盒子里裝有m只白球，n只黑球，做有放回的摸球試驗，A表示“第一次摸到黑球”，B表示“第二次摸到白球”，則A和B是相互獨立的嗎？是互不相容的嗎？

例2：52張撲克牌平均分給甲、乙、丙、丁四個人，A表示甲得3張K，B表示乙得2張K，則A和B是相互獨立的嗎？是互不相容的嗎？

引導學生得出結論：①相互獨立的兩個事件不必是不相容的；②不相容的兩個事件不必是相互獨立的。這樣通過對兩個概念的深入討論，加上教師的正確引導，使學生基本上能夠明確區(qū)分兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系了。

4.及時總結，提高學生綜合分析能力

對于《概率論與教學統(tǒng)計》這門課，教師應及時進行階段性課堂小結。這種小結并不是講述內容的重復，而是進一步剖析各個概念間的聯(lián)系，從不同角度講清事物的縱橫關系。例如，在講完條件概率、全概率公式、貝葉斯公式后，教師應及時分析總結過去學生中易混淆的概念與易出現(xiàn)的錯誤，講授的主導思想是突出方法的基本思路。例如，在總結條件概率時，教師可以舉這樣一個例子：一個家庭有兩個小孩，已知其中一個是女孩。問另一個也是女孩的概率為多大？（假定一個小孩是男還是女是等可能的）。這時所求的概率是在“已知其中一個是女孩”的附加條件下發(fā)生的概率，這個概率就是條件概率。用這樣一個簡單的例子，深入淺出地分析，使學生更好的理解了條件概率的基本概念；之后再以典型例題，細微分析全概率公式、貝葉斯公式的思路和方法，以及兩個公式的關系，著眼于提高學生綜合分析問題的能力。

5.理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)學生應用能力

第8篇：概率統(tǒng)計技巧范文

1 自交后代中性狀分離概率的辨析

【例1】 豌豆灰種皮（G）對白種皮（g）是顯性，黃子葉（Y）對綠子葉（y）為顯性?，F(xiàn)有純種的灰種皮黃子葉與白種皮綠子葉的親本雜交得F1，F(xiàn)1自交得F2，F(xiàn)2植株所結種子中灰種皮顏色與綠子葉顏色的概率分別是（ ）

A. 3/4和3/4 B. 3/4和1/4

C. 5/8和3/4 D. 3/4和3/8

【解析】此題容易在F2植株所結種子的各部分的代次上發(fā)生混淆而出錯。解題的關鍵是分清F2上所結種子的種皮為母本的一部分仍是F2代，故分離比為3：1，則灰種皮占3/4；而其中的子葉為下一代，即F3代，在F3代中子葉顏色為灰色的有純合子（YY）與雜合子（Yy），其中雜合子（Yy）比例為（1/2×1/2）=1/4，故F3中子葉純合子的比例YY+yy=1-1/4=3/4，而YY與yy的概率相等，即隱性的綠子葉顏色（yy）占3/8，得顯性黃子葉（Y_）占5/8。

答案：D。

【方法總結】對植物雜交問題分析時，種子各結構性狀的規(guī)律是：種皮性狀即當代母本性狀，而胚各部分性狀為下一代的性狀。若在植株上統(tǒng)計某代性狀，只有胚和胚乳性狀可在當年母本植株上得到統(tǒng)計，其余結構性狀待到下一代植株上統(tǒng)計。

【易錯警示】正確區(qū)分果莢、種皮、胚和胚乳等結構的代次。

2 自交與自由（隨機）概率的辨析

【例2】 已知小麥抗銹病是由顯性基因（A）控制的，讓一株雜合（Aa）小麥自交獲得F1，淘汰其中不抗銹病的植株后，再自交獲得F2，從理論上計算，F(xiàn)2中抗銹病的植株占總數(shù)的（ ）

A. 3/4 B. 5/6 C. 3/8 D. 9/16

【解析】回答此類題時，容易混淆自交與自由中配子概率的處理問題。其實①小題中，該雜合小麥基因型為Aa，自交產生后代1AA、2Aa、1aa，淘汰aa后，AA占1/3、Aa占2/3，它們再自交得F2，不抗銹病aa=2/3×1/4=1/6。整理合并F2抗銹病植株為1-1/6=5/6。

答案：B。

【方法總結】自由是指各個體間均有機會，即各基因型間均可，產生子代的情況應將各自自由后代的全部結果一并統(tǒng)計（雌雄親本各自概率均需考慮，雙方概率需乘積）。而自交是指雌雄同體的生物同一個體上的雌雄配子結合，僅限于同種基因型互交，因此子代情況只需統(tǒng)計各自交結果即可（即考慮一方概率）。

【易錯警示】要掌握利用不同類型的配子概率處理隨機問題。

3 男孩患病與患病男孩概率的辨析

【例3】 人的正常色覺（B）對紅綠色盲（b）顯性，為伴性遺傳；褐眼（A）對藍眼（a）是顯性，為常染色體遺傳。有一個藍眼色覺正常的女子與一個褐眼色覺正常的男子婚配，生了一個藍眼色盲的男孩。問：這對夫婦生出藍眼色盲男孩的概率是 ；這對夫婦再生出男孩是色盲藍眼的概率是 。

【解析】本題很容易在求男孩中色盲藍眼的概率上混淆而出錯。易錯原因是在求男孩的概率是1/2后，再考慮藍眼的概率時，又乘以1/2（自然狀況下男女的出生概率）。

根據(jù)題意可知：雙親基因型分別為AaXBY和aaXBXb，因而藍眼孩子概率為1/2，色盲男孩（全部后代中色盲的男孩）的概率為1/4，故藍眼色盲男孩概率1/2×1/4=1/8；而男孩是色盲的概率為1/2，所以男孩色盲藍眼的概率為1/2×1/2=1/4。

答案：1/8；1/4。

【方法總結】① 患病男孩概率是患病的男孩占全部個體中的概率，即患病男孩概率=患病男孩/所有后代個數(shù)；② 男孩患病概率是男孩中患病的概率，即男孩患病概率=患病男孩/所有男孩；③ 若為常染色體基因控制的遺傳病：患病男孩概率=患病女孩概率=患病孩子概率×1/2。

【易錯警示】處理兩對或兩對以上基因控制的相對性狀的遺傳時，應將多對基因分開單獨處理后再結合。

4 普通人群中患病的復雜概率辨析

【例4】 （2010年海淀區(qū)模擬）小芳女士很幸運懷上了異卵雙胞胎，但是醫(yī)生卻告訴他們夫婦均屬于半乳糖血癥（人類的一種單基因隱性遺傳?。┗虻臄y帶者，請你幫助預測：小芳懷孕的兩個孩子是一男一女的概率和至少有一個小孩患半乳糖血癥的概率分別是（ ）

A. 1/2和7/16 B. 1/2和7/32

C. 1/4和9/16 D. 1/4和7/16

【解析】本題容易在至少有一個小孩患半乳糖血癥的概率上考慮不周全而出錯。解答此題關鍵要弄清兩個孩子至少有一個患病的概率既包括兩個孩子中任何一個患病，也包括2個孩子同時患病共3種情況，可采取先分開計算后綜合的方法求解，使復雜問題簡單化。即兩個孩子一男一女的概率1/2×1/2×2=1/2；至少有一個孩子患半乳糖血癥的概率為1/4×3/4+1/4×3/4+1/4×1/4=7/16。

答案：A。

第9篇：概率統(tǒng)計技巧范文

關鍵詞：討論教學法; 案例教學法; 多媒體教學法; 教學方法; 考試方法

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象客觀規(guī)律的數(shù)學學科，是高等學校公共課的一門基礎數(shù)學課程。其理論和方法在近代物理、自動控制、地震預報和氣象預報、產品質量控制、生命科學和公共事業(yè)等方面得到了重要應用，有越來越多的概率方法被引入經濟、金融和管理科學，成為它們的有力工具。因此，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學顯得非常重要。但是學生在學習掌握這門知識的過程中普遍感到概念難懂，思維難于開展，問題難于入手，方法難于掌握。基于這一現(xiàn)象，在教學中，更新教學方法，充分體現(xiàn)以人為本的教學理念成為提高教學質量的必然選擇。教師應準確把握這門課與學生所學專業(yè)的結合點，突出其應用性。激發(fā)學生對這門課程的學習興趣，提高教學質量，使學生更好地掌握處理隨機現(xiàn)象的基本理論和方法，培養(yǎng)他們解決實際問題的能力。對此，筆者結合教學實踐和經驗，從以下幾個方面來闡述：

一、更新教學內容，提高學生的應用能力

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程包括概率論和數(shù)理統(tǒng)計兩大部分，主要應用部分在數(shù)理統(tǒng)計。由于這部分內容學時少內容多，教師不可能把所有內容都詳盡講解。因此，在不影響課程體系完整性的條件下，教師可以適當?shù)販p少概率論部分的理論性，降低難度，從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論作為數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識加以介紹，并引進有關概率起源的一些經典案例，即以“概率適度，統(tǒng)計加強，引入案例”為基本思路，真正使學生的數(shù)學實踐能力得到培養(yǎng)和提高。在概率部分，教師可以多舉例生活中有意義的實際例子強化概率知識的重要。如在講解古典概率時教師可舉生日問題、彩票中獎問題，決策問題等例子。在講解隨機變量數(shù)字特征時可引用免費抽獎問題、庫存與收益問題、簡單的求職決策問題等等。教師在講數(shù)理統(tǒng)計部分時應該注重常用統(tǒng)計方法的思想和原理的分析和講解，盡量以直觀的、通俗的方法重點闡述數(shù)理統(tǒng)計方法的思想，應用的背景以及應用中應注意的問題。教師可采用有實際背景的工程、經濟、農業(yè)應用方面的例子，分析問題的實際應用，把大量的計算問題留在課后進行。這樣既能減少不必要的公式記憶，教師又能在課堂上有充分的時間來講解統(tǒng)計方法的原理和意義，還可介紹一些概率統(tǒng)計在應用中的趣聞趣事，提高學生對這門課程的興趣。

二、改革教學方法，加強對學生能力的培養(yǎng)

（一）運用討論式教學法

現(xiàn)代教學方法主要是挖掘學生的學習潛能，以最大限度地發(fā)揮和發(fā)展學生的聰明才智為目標。傳統(tǒng)的教學方式是知識傳授型的，教師是教學的主體，只重視教的過程，忽視了教學活動的互動性，不能充分調動學生學習的主動性。討論式教學是由師生共同完成教學任務的一種教學形式，是在課堂教學的平等討論中進行的，它打破了教師滿堂灌的傳統(tǒng)教學模式，師生互相討論與問答。問題是數(shù)學的心臟，對于部分重要內容，教師可預先給學生提出幾個啟發(fā)性的問題，讓他們預習自學，把學習中遇到的問題帶到課堂上討論。在提出問題時，教師往往要設置一些“陷阱”，使學生加深印象。在整個過程中，教師是活動的組織者、引導者、合作者，通過交流合作、主動探究，培養(yǎng)學生的動手能力、合作精神、創(chuàng)新意識和實踐能力，激發(fā)他們主動學習的熱情，全面提高學生素質。

（二）運用案例教學法

案例教學是根據(jù)課程教學目標，把案例作為一種教學材料，在教師指導下，學生通過對案例的研究、思考、剖析和辯論，對問題作出判斷。通過分析案例，使學生參與討論，把所學的理論知識和實際生活結合起來，把抽象的數(shù)學與生動有趣的案例結合起來，即調動學生的主動性和積極性，又培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力。例如保險是最早運用概率論的領域之一，也是我們日常談論的一個熱門話題。因此，在介紹二項分布時，可引用如下案例：一家保險公司有1000人參保，每人每年12元保險費，一年內一人死亡的概率為0.006。死亡時，其家屬可向保險公司領得1000元，問：（1）保險公司虧本的概率為多少？（2）保險公司一年利潤不少于40000元、60000、80000元的概率各為多少？保險這一類型題目的引入，使學生對概率在經濟中的應用有了初步的了解。再例如，假定每次火災發(fā)生在一周七天中每一天是等可能的。求一周每天一次火災的概率，至少有兩次火災發(fā)生在同一天的概率。本例一方面可以使學生更具體地理解“占位模型”；另一方面，也便于學生對城市消防系統(tǒng)的規(guī)劃和設置有所了解，讓學生感到學后真正有用，可有效地調動學生的學習積極性，激發(fā)求知欲望。案例教學法不僅直觀體現(xiàn)了有關知識的客觀背景，而且還可以把概率結論的發(fā)現(xiàn)過程予以還原或模擬，使學生通過自己的思維再現(xiàn)知識發(fā)生過程的各個方面，是解決傳統(tǒng)教學方式弊端的基本方法和有效的途徑。

（三）運用多媒體輔助教學

與傳統(tǒng)的教學法相比，計算機輔助教學或多媒體教學有著不可比擬的優(yōu)勢，借助于計算機輔助教學，可以將教師從很多重復性的勞動中解脫出來，使教師能把更多的精力投入到內容的分析講解中，增加與學生面對面的交流，調動學生的積極性；更重要的是多媒體可以使抽象的內容直觀化、形象化。在概率統(tǒng)計中，利用多媒體可以向學生演示一些模擬試驗，譬如投硬幣試驗，擲骰子試驗，蒲豐投針試驗等。通過這些形象生動的試驗，不僅活躍了課堂氣氛，增加了趣味性，同時學生們能直觀地看到試驗結果，這比讓學生去想象應該出現(xiàn)的結果更具有說服力；再者，一些主要的結論也可以用多媒體通過圖形或圖表的形式表示出來。如二項分布的泊松近似和正態(tài)近似的情況；正態(tài)分布、指數(shù)分布、t分布、F分布的密度函數(shù)的圖形以及圖形隨參數(shù)變化的情況等，都可以直觀地展示出來，這一點是傳統(tǒng)教學很難做到的。因此計算機輔助教學的廣泛使用引起了教學方法的巨大變革，同時也會使教學內容發(fā)生新的變化，它給傳統(tǒng)的教育模式注入了新的生機和活力。

（四）開展社會實踐

在以往的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中，有習題課而沒有社會實踐。為了培養(yǎng)學生運用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想和方法解決實際問題的意識和能力，在學生掌握必要的基礎知識后，教師應當給予學生一定的社會實踐機會。人們在進行科學研究或從事其它不同領域的實踐活動中，都會面對大量的具有隨機性的現(xiàn)象，不能應用恰當?shù)臄?shù)學工具對這些現(xiàn)象進行科學的分析和處理，最終作出科學的判斷和決策，正是學生在走出校門之后經常會遇到的難題，也是目前數(shù)學教學中最大的弊端和缺陷。因此在教學內容中教師適當增加教學實踐內容，可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，同時還可激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。具體做法是：針對日常生活中隨處可見的隨機現(xiàn)象，教師提出實際問題，學生嘗試做抽樣試驗，收集必要的數(shù)據(jù)，用課堂上所學的統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行處理，進一步作出統(tǒng)計推斷。動手能幫助學生理解該課程中一些抽象概念和理論，同時教師可讓學生利用所學的方法和技巧獨立完成，從而提高學生分析問題和解決問題的能力，達到教學的目的。

三、改革考試方法，提高教學質量

考試是教學過程中的一個重要環(huán)節(jié)，是檢驗學生對所學知識掌握的程度、評估教學質量的手段。單一的、傳統(tǒng)的考試方法不能滿足教學改革的要求?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計》的考試多年來一直沿用閉卷筆試的方式，這種考試方式對于保證教學質量、維持正常的教學秩序起到了一定的作用。但這種方式也存在著缺陷，學生在學習的過程中為了應付考試搞題海戰(zhàn)術把精力過多地花在概念、公式的死記硬背上，這與我們培養(yǎng)高素質人才的目標格格不入。因此，筆者對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程考試提出一點創(chuàng)新的建議，主要包括兩個方面：一是考試內容與要求不僅要體現(xiàn)出課程的基本知識和基本運算及推理能力，而且應注重學生各種能力的考查，尤其是創(chuàng)新能力；二是考試模式應不拘一格，除了普遍采用的閉卷考試外，還可以在教學中用討論及小論文的方式進行考核，采用靈活多樣的考試形式。學生成績的測評根據(jù)學生參與教學活動的程度、學習過程中提交的讀書報告、上機操作和卷面考試成績等綜合評定，這樣可以引導學生在學好基礎知識的基礎上注重技能訓練和能力培養(yǎng)。

四、結論

概率論與數(shù)理統(tǒng)計作為一門應用性極強的課程，其教學過程也應該針對性選用、適應現(xiàn)代科技需要的策略討論式教學法、案例式教學法、多媒體教學法以及社會實踐都是為了引導學生用理論知識解決現(xiàn)實生活中的問題的方法，可以訓練學生快速獲取信息和資料的能力，鍛煉學生快速了解和掌握新知識的技能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，更重要的是可以訓練學生的邏輯思維和開放性思考方式。

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