建模思想在中學數學中的應用精選(九篇)

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第1篇：建模思想在中學數學中的應用范文

【關鍵詞】建模思想 小學數學 應用題教學 應用方法

數學應用題是小學數學教學的重點和難點，在培養學生的理解能力、分析能力和創新能力等方面發揮著重要的作用。但是由于小學生搜集整理信息和總結歸納能力有限，應用題教學的課堂效果難以盡如人意。而建模思想可以將幫助學生依據問題情境構建數學模型，從而找到思考的方向和解題的途徑，因此教師在應用題的課堂教學中，選擇合適的時機，有意識的向學生滲透建模思想，可以使課堂教學事半功倍。

一、實施材料引導時應用建模思想

知識學習的目的之一是將知識應用到生活中。小學數學的應用題題材很多都來源于學生熟悉的生活，學生之所以很難理解，大多因為應用題的題目較長或者背景復雜，學生在沒有真正理解題意的時候就已經開始進行解答，出現錯誤自然在所難免。因此，教師在課堂教學中要引導學生學會用建模思想解答問題。

例題1：某玩具模型廠生產飛機模型，其包裝采用棱長為1分米的正方體盒子，并以24盒為一箱。為了節省資源，包裝箱的表面積要盡可能的最小，現廠家征集包裝箱的設計方案。小強為此設計了3種方案。

（1）請你設計出與小強不同的3種方案（1、1、24，1、24、1，24、1、1為一種方案）；

（2）觀察表格中長、寬、高的數據變化，設想：如果長方體的體積不變，什么時候其表面積最小？寫出你的結論；

（3）依據你的結論，如果要以48盒玩具為一箱，其長、寬、高各為多少時，箱子的表面積最小。

這類應用題的設計以逐層遞進的方式呈現給學生，引導學生以數學模型為線索，不斷的分析和思考問題，既符合學生學習的特點和規律，又很好的激發了學生的學習興趣，讓學生學會用發展的眼光去觀察生活。

二、分析典型例題時應用建模思想

教師在應用題教學中滲透建模思想是為了簡化題目形式，拓展學生思維空間，發揮學生的主觀能動性，提高學生自主學習能力，讓學生可以將數學知識學以致用，從而培養學生的創新精神。例如教師在講解“平均數”的時候，就可以借助如下題目培養學生的建模思想。

問：哪組學生取得了最后的勝利？

學生在觀察完圖表后，一致認為第四組學生取得了勝利，教師宣布最后勝利的小組為第二組。此時，很多學生都開始討論起來，認為比賽結果不公平，因為雖然第二組的成績最高，但是那是在比第四組多一個人的情況下取得的。教師此時可以因勢利導，問學生有無改進措施，保證比賽的公平性，學生自然而然就會想到借助平均數，此時教師再開始講解平均數的概念和用法，學生的理解也隨之加深。

這種以建模的方式呈現教學內容，讓學生依據分析問題，逐步的引入到所學內容中，可以讓學生借助構建的數學模型，發現問題、提出問題和解決問題，從而將抽象的數學概念具象化，更利于學生理解和掌握。

三、解決實際問題時應用建模思想

小學數學的應用題也分為很多的類型，學生在思考具體數學題目的時候，在潛意識中很容易去回想與之相似的題目，以發現兩者之間的共同點，從而希望找到正確的解題思路。應用題的特點之一即為取材范圍廣，實際生活中遇到的數學問題比比皆是。因此，教師在課堂教學中要讓學生學會以分類思考的方法，構建相應的數學模型，解決生活中的實際問題。

例題3：A、B兩地相距為220km，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時相向而行，甲的速度為40km/h，乙的速度為50km/h。在行駛途中，乙修車所用1h。問：甲、乙兩車從出發一直到相遇共用了多少小時？

學生常遇到的應用題題目多為兩個物體始終處于運動狀態，而在此題目中出現了變化。因此，教師可以引導學生構建如下模型，讓其成為學生所熟悉的題型：①假設甲單獨行走1h以后，兩車在同時行駛余下的路程；②假設讓乙車再行走1h，此時兩車所行駛的時間就相同。經過這樣的假設，學生很容易將構建的模型與自己熟悉的模型聯系起來，思路也會豁然開朗，正確的解答問題自然水到渠成。

第2篇：建模思想在中學數學中的應用范文

數學模型的難點在于建模的方法和思路，目前學術界已經有各種各樣的建模方法，例如概率論方法、圖論方法、微積分方法等，本文主要研究的是如何利用方程思想建立數學模型從而解決實際問題。實際生活中的很多問題都不是連續型的，例如人口數、商品價格等都是呈現離散型變化的趨勢，碰到這種問題可以考慮采用差分方程或差分方程組的方式進行表示。有時候人們除了想要了解問題的起因和結果外還希望對中間的速度以及隨時間變化的趨勢進行探索，這個時候就要用到微分方程或微分方程組來進行表示。以上只是簡單的舉兩個例子，其實方程的應用極為廣泛，只要有關變化的問題都可以考慮利用方程的思想建立數學模型，例如常見的投資、軍事等領域。利用方程思想建立的數學模型可以更為方便地觀察到整個問題的動態變化過程，并且根據這一變化過程對未來的狀況進行分析和預測，為決策的制定和方案的選擇提供參考依據。利用方程建立數學模型時就想前文所說的那樣，如果是離散型變化問題可以考慮采用差分思想建模，如果是連續型變化問題可以考慮采用常微分方程建立模型。對于它們建模的方式方法可以根據幾個具體的實例說明。

2方程在數學建模中的應用舉例

2．1常微分方程建模的應用舉例

正如前文所述，常微分方程的思想重點是對那些過程描述的變量問題進行數學建模，從而解決實際的變化問題，這里舉一個例子來說明。例1人口數量變化的邏輯斯蒂數學方程模型在18世紀的時候，很多學者都對人口的增長進行了研究，英國的學者馬爾薩斯經過多年的研究統計發現，人口的凈相對增長率是不變的，也就是說人口的凈增長率和總人口數的比值是個常數，根據這一前提條件建立人口數量的變化模型，并且對這一模型進行分析研究，找出其存在的問題，并提出改進措施。解:假設開始的時間為t，時間的間隔為Δt，這樣可以得出在Δt的時間內人口增長量為N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)對于這種一階常微分方程可以采用分離變量法進行求解，最終解得N(t)=N0er(t－t0)而后將過去數據中的r、N0帶入上述式子中就可以得出最后的結果。這個式子表明人口數量在自然增長的情況下是呈指數規律增長的，而且把這個公式對過去和未來的人口數量進行對比分析發現還是相當準確的，但是把這個模型用到幾百年以后，就可以發現一些問題了，例如到2670年的時候，如果仍然根據這一模型，那么那個時候世界人口就會有3．6萬億，這已經大大的超過了地球可以承受的最大限度，所以這個模型是需要有前提的，前提就是地球上的資源對人口數量的限制。荷蘭的生物學家韋爾侯斯特根據邏輯斯蒂數學方法和實際的調查統計引入了一個新的常數Nm，這個常數就是用來控制地球上所能承受的最大人口數，將這一常數融入邏輯斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)該方程解為N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一個新的數學模型建立后，首先要做的就是驗證它的正確性，經過研究發現在1930年之前的驗證中還是比較吻合的，但是到了1930年之后，用這個模型求出的人口數量就與實際情況存在很大的誤差，而且這一誤差呈現越來越大的變化趨勢。這就說明當初設定的人口極限發生了變化，這是由于隨著科學技術的不斷進步，人們可以利用的資源越來越多，導致人口極限也呈現變大的趨勢。

2．2差分方程建模的應用舉例

如前文所言，對于離散型問題可以采用差分方程的方法建立數學模型。例如以25歲為人類的生育年齡，就可以得出以下的數學模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)，k=0，1，2，…即為yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r為固有增長率，N為最大容量，yk表示第k代的人口數量，若yk=N，則yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡點。令xk=r(r+1)Nyk，記b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)這個方程模型是一個非線性差分方程，在解決的過程中我們只需知道x0，就可以計算出xk。如果單純的考慮平衡點，就會有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，則x*=rr+1=1－1bx因為f''(x*)=b(1－2x*)=2－b，當|f''(x*)|＜1時穩定，當|f''(x*)|＞1時不穩定。所以，當1＜b＜2或2＜b＜3時，xkk∞x*．當b＞3時，xk不穩定。2．3偏微分方程建模的應用舉例在實際生活中如果有多個狀態變量同時隨時間不斷的變化，那么這個時候就可以考慮采用偏微分方程的方法建立數學模型，還是以人口數量增長模型為例，根據前文分析已經知道建立的模型都是存在一定的局限性的，對于人類來說必須要將個體之間的區別考慮進去，尤其是年齡的限制，這時的人口數量增長模型就可以用以下的式子來表示。p(t，r)t+p(t，r)r=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r);p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t時候處于r歲的人口密度分布情況，μ(t，r)表示的r歲人口死亡率，φ(t，r)表示r歲人口的遷移率，β(r，t)表示r歲的人的生育率。除此之外，式子中的積分下限r1表示能夠生育的最小歲數，r2表示能夠生育的最大歲數。根據人口數量增長的篇微分方程可以看出實際生活中的人口數量與年齡分布、死亡率和出生率都有著密不可分的關系，這與客觀事實正好相吻合，所以這一個人口增長模型能夠更為準確地反應人口的增長趨勢。當然如果把微分方程中的年齡當做一個固定的值，那么就由偏微分方程轉化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那么上述偏微分方程就變成了Verhulst模型。偏微分方程在實際生活中的應用也相當廣泛，物理學、生態學等多個領域的問題都可以通過建立偏微分方程來求解。

3結束語

第3篇：建模思想在中學數學中的應用范文

關鍵詞：小學機器人教育；數學建模

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8454（2012）10-0065-02

為了更好的培養學生的思維能力與創新能力，機器人教育已成為部分地區小學信息技術課程的一部分。讓學生經歷采集信息——處理信息——控制動作的過程，領會編程的思想，是機器人教育的主要目標。然而，機器人編程對于小學生來說較抽象、難度較大，實踐中，我們可以借助數學領域的建模思想來使機器人編程變得更容易一些。數學建模是指把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題。[1] 建模思想在編程領域的應用可以理解為把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為程序的模型，并用已有程序模型來解釋與解決實際問題。引導學生把編程思想與實際問題相結合，合理構建程序模型，不僅有利于學生已有知識的正遷移，起到舉一反三的效果，更有利于培養學生透過現象揭示本質的洞察能力，也有利于培養學生簡約、嚴密的思維品質。建模思想在機器人學習中的滲透可以從以下三個方面入手。

第一、從生活入手，把自然語言轉化成程序語言

與數學建模相通，要用程序解決問題，首先需要學會把實際問題轉化為程序問題，即從復雜的現實現象當中抽取問題的主要因素來分析和討論，當學生能夠用程序的語言描述實際問題，程序建模就基本完成。有兩種方法可以培養學生建模的能力：第一種是讓學生把機器人想象成自己，自己完成某個任務所要經歷的過程也是機器人要經歷的過程；第二種是從最簡單的實際生活問題入手，一步步引導學生用程序語言描述問題，循序漸進培養學生構建模型的能力。比如，讓機器人唱一首曲子。學生說，我在唱曲的時候是一個音符一個音符唱出的，機器人也該這么做。如何編寫程序呢？學生說出把發不同音調的發音模塊連在一起，順序執行就能演奏歌曲了。再比如，機器人走一個正四邊形。學生說：我在走正四邊形的時候需要“前進轉彎前進轉彎前進轉彎前進轉彎”。教師追問前進多少？轉多少角度的彎？機器人需要用哪些模塊來實現？重復的過程怎么處理？再比如，開發一個簡單的紅綠燈系統，要求五分鐘紅燈過后是一分鐘的黃燈，接著是五分鐘的綠燈。教師提出這樣的問題：如何控制紅燈亮的時間？紅綠燈系統只執行一次嗎？這樣步步引導學生用程序的語言表達實際過程，久而久之，學生就會形成用合理的程序語言來重新描述問題的習慣，建模的方法被應用于編程的過程中，編寫程序不再神秘且越來越容易。

第二、 提煉方法，建立并應用解決問題的模型庫

在數學領域，針對不同的問題類型，有與之對應的基本關系式，比如體積公式V=abc、路程速度公式S=vt等等，這些關系式使學生能在解析問題之后快速找到與之對應的解決方法。在機器人教育中，應借助具體的編程實例，把重點放在總結和提煉在實際問題中用到的編程方法，構建解決問題的模型庫。比如，假設機器人要躲避障礙物，那么就需要不斷地判斷前方是否有障礙物，要用永遠循環，而走正方形需要走出四條相同的邊，所以要用多次循環，由多個這樣的實例讓學生理解需要重復做的事件要用循環程序結構；再比如，在鬧鐘程序中，如果光線符合天亮的條件，機器人要奏響音樂，反之，機器人要繼續判斷是否天亮。通過此類實例，學生歸納得出條件判斷的事件用分支結構，符合條件后要做的事情填在“是”的分支，不符合條件要做的事情填在“否”的分支；比如演奏歌曲等一般的程序用順序結構。如此，構建解決問題的基本模型庫，便于學生在遇到實際問題時選擇使用。

第三、設置圖形化模塊，解決問題

第4篇：建模思想在中學數學中的應用范文

一、中學數學教學中融入數學建模思想的重要意義

在中學數學教學中融入數學建模思想，有助于提升學生的綜合素質：數學建模能鍛煉學生的想象力、洞察力和分析綜合能力，提高學生分析、解決問題的能力。在數學建模的過程中，學生通過深挖教材及廣泛地查詢、研究相關信息資料的方式，使得自身的動手動腦的能力和實踐技能得到了提升。通過共同合作建模解決問題的過程中，又能培養學生溝通協調的能力和團隊合作的精神。最后，因為數學建模重視的是學生體驗數學知識的過程，因此，數學教學中數學建模的參與，有利于對學生的真實水平進行正確的評價。由此可見，將數學建模思想融入到中學數學教學中有著重要的作用及意義。

二、數學建模思想融入中學數學教學中存在的問題

目前，將數學建模思想融入到中學數學教學中，主要存在以下四個方面的問題，分別是：傳統數學教學方式制約著數學建模思想的融入；學校的重視不夠和教師對數學建模思想的誤解；學生缺乏足夠的數學知識；適合的中學數學建模教學教材的缺乏。

數學建模思想涉及的面較廣，不僅有數學知識，還有地理、物理、生物方面的知識等，學生雖對數學建模思想融入到數學教學中有著濃厚的興趣，但學生自身的知識不足，使得數學建模思想融入到數學教學中缺乏一定的、堅實的基礎。

另外，我國有關中學數學建模教學的、適合各地中學數學建模教學的教材也較為少見，這也是阻礙數學建模思想全面融入中學數學教學中的一大因素。

三、將數學建模思想融入中學數學教學中的策略

將數學建模思想融入到中學數學教學中，是數學新課程改革一個正確的方向。在中學數學教學中融入數學建模思想，可以從以下幾個方面入手：

1.學校、教師要更重視數學建模思想的融入

為促進數學建模思想更好、更快地融入到中學數學教學中，學校和老師要更加重視數學建模思想在教學中的融入。數學教師則要在教學過程中發揮好主導和指導的作用，教師在熟悉教材的基礎上，還要深入挖掘教材中可以用來融入數學建模思想的教學內容，全面地備課，在課堂上不僅要引導學生自己找到正確的模型，而且要鼓勵學生大膽設想、體現學生的主體性，在教學的過程中要自然地將數學建模思想融入到日常的教學中。

2.在中學數學教學中根據教材章節構建數學模型來教學

許多問題都可以根據具體的數學模型來解決，若要避免走彎路，就要恰當地運用數學工具。運用數學工具來解決一些實際問題，會有事半功倍的效果。對于中學數學教學而言，教材內容基本都是由實際問題引入，再講述相關知識點，最后再用該知識點來解決所引入的問題，而所用到的這個知識點就是數學模型。建立數學模型是至關重要的，在中學數學教學中，教師要根據教材的章節內容構建數學模型來輔助教學，如引入細胞分裂來進行指數函數教學。

3.聯系生活實際、強化應用意識

許多應用題都是從日常生活中演化而來的，現實生活中的諸多問題都可以通過建立數學模型來解決。中學數學教師若能利用生活中學生熟悉的事情作為背景來編制應用題，不僅能大大提高學生學習數學的興趣，而且也能強化學生運用數學模型解決問題的意識。

4.依據教材內容設計恰當問題進行課外建模活動

中學數學教材中，每章都有涉及到數學應用的內容，教師可以依據教材內容設計恰當的問題，讓學生可以進行課外建模活動。將學生分為若干組進行課外數學建模活動，通過對老師提出的問題進行探討，讓學生在此過程中更深一步地體味其中運用的數學知識、思想方法并在腦中儲存一定的基本的數學模式，培養學生的數學建模能力，更好地將數學建模思想融入到中學數學教學中。

5.拓寬學生的數學認識、提高數學學習興趣

第5篇：建模思想在中學數學中的應用范文

關鍵詞：數學建模；數學模型；建模思想；數學建模方法

一.數學建模在教學中的應用

數學建模能力的培養，讓學生體驗、理解和應用探究問題的方法。教師在教學中，應根據他們的年齡特征和認知規律設計出適應他們探究的問題，這樣才能激發學生對學習的思考和探索，從而達到培養學生數學探究性學習的效果。

例：拆數問題。總長100米的籬笆靠墻圍一個矩形羊圈。

（1）當x=20米時，面積S是多少？（2）當x分別為30米，40米，50米，60米呢？

（3）當x為多少時，所圍矩形面積最大？

本例中，學生原有知識為：矩形面積=長×寬；總長100米，一邊為x，則另一邊為100-x。例中的問題（1）（2）簡單計算就可得出，但卻是問題（3）的輔墊，學生在訓練中容易比較發現，當把100分成50米和50米時，所圍成的矩形面積最大。

例：函數圖像的交點坐標。在一次函數教學時，可設計以下漸進式問題：

（1）直線y=x+3與X軸，Y軸分別交于點A、B，求點A、B的坐標。

（2）直線y=x+3與直線y=-2相交于點P，求點P的坐標。

（3）直線y=x+3與直線Y=3x-5相交于點M，

求點M的坐標。

結合（1）的方法容易解出問題（2），但問題（3）具有一定的挑戰性。教學時問題（1）可總結為解方程組的形式，求出與X軸的交點坐標；同理對問題（2）可總結為解方程組的形式，求出點P的坐標。這樣學生容易想到問題（3）的解答方法了。

數學建模能力的培養不在于某堂課或某幾堂課，而應貫穿于學生的整個學習過程，并激發學生潛能，使他們能在學習數學的過程中自覺地去尋找解決問題的一般方法，真正提高數學能力與學習數學的能力。

二.數學建模教學的基本過程

培養學生運用數學建模解決實際問題的能力，關鍵是把實際問題抽象為數學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統去處理，這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷地引導學生用數學思維去觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題的目的，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。

三.數學建模教學的重要性

二十一世紀課程改革的一個重要目標就是要加強綜合性、應用性內容，重視聯系生活實際和社會實踐，逐步實現應試教育向素質教育轉軌。縱觀近幾年高考不難推斷，數學應用題的數量和分值在高考中將逐步增加，題型也將逐步齊全。而以解決實際問題為目的的數學建模正是數學素質的最好體現。

目前中學數學教學現狀令人擔憂，相當一部分教師認為數學主要是培養學生運算能力和邏輯推理能力，應用問題得不到應有的重視；至于如何從數學的角度出發，分析和處理學生周圍的生活及生產實際問題更是無暇顧及；為應付高考，只在高三階段對學生進行強化訓練，因學生平時很少涉及實際建模問題的解決，其結果是可想而知的，所以在中學加強學生建模教學已刻不容緩。

四.數學建模教學的意義

在學校開展數學建模教學，可激發學生的學習積極性，學會團結協作的工作能力；培養學生的應用意識和解決日常生活中有關數學問題的能力；能使學生加強數學與其它各學科的融合，體會數學的實用價值；通過數學建模思想的滲透和訓練，能使學生適應對人才的選拔要求，為深造打下堅實的基礎，同時也是素質教育的重要體現。

參考文獻：

[1] 數學思想與數學教育[J]，數學教育學報.1995

[2] 丁石孫、張祖貴.數學與教育[M]，湖南教育出版社.1998

[3] 孫亞玲.現代課程與教學研究新視野文庫--課堂教學有效性標準研究、教育科學出版社.2008

第6篇：建模思想在中學數學中的應用范文

【關鍵詞】數學思想；數學方法；傳授；滲透

提到數學，人們往往想到思想方法，殊不知數學的思想與方法是既區別又聯系的兩個概念。

一、數學思想與方法

1.數學思想

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識。首先，數學思想比一般說的數學概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質、更深刻。其次，數學思想、數學觀點、數學方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運用數學去觀察和思考問題，那么數學思想也就成了一種觀點。中學數學中出現的數學觀點（例如方程觀點、函數觀點、統計觀點、向量觀點、幾何變換觀點等）和各種數學方法，都體現著一定的數學思想。

基本數學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結構思想，數形結合的思想，化歸的思想，對立統一的思想，整體思想，函數與方程的思想，抽樣統計思想，極限思想（或說無限逼近思想）等。它有兩大“基石”：符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”：對應思想和公理化與結構思想。有些基本數學思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數與方程的思想”衍生于符號與變元表示的思想（函數式或方程式）、集合思想（函數的定義域或方程中字母的取值范圍）和對應思想（函數的對應法則或方程中已知數、未知數的值的對應關系）。所以我們說基本數學思想是體現或應該體現于“基礎數學”（而不是說“初等數學”）的具有奠基性和總結性的思維成果。基本數學思想及其衍生的數學思想，形成了一個結構性很強的網絡。中學數學教育、教學中傳授的數學思想，應該都是基本數學思想。

2.數學方法

數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。

數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性。

宏觀的數學方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結構方法，實驗方法。微觀的且在中學數學中常用的基本數學方法大致可以分為以下三類：

（1）邏輯學中的方法。例如分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類討論）等。

（2）數學中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法（如代數中的坐標系、幾何中的圖形）、向量法、比較法（數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同）、放縮法、同一法、數學歸納法（這與邏輯學中的不完全歸納法不同）等。

（3）數學中的特殊方法。例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法（也稱之為中間變量法）、拆項補項法（含有添加輔助元素實現化歸的數學思想）、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法、旋轉法等圖形變換方法。

如上所述，方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產物，是包含或體現著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。

二、教學中要傳授的數學思想與數學方法

1.中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想

中學數學教科書擔負著向學生傳授基本數學思想的責任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。

①滲透。“滲透”就是把某些抽象的數學思想逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。要滲透的有集合思想、抽樣統計思想、對應思想、化歸思想、公理化與結構思想、極限思想等。前五種基本數學思想從初中七年級就開始滲透了，并貫徹于整個中學階段；極限思想也可從初中九年級的教科書中安排類似于“關于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結構思想，要注意根據人類的認識規律，一開始就采取擴大的公理體系。

這種滲透是隨年級逐步深入的。

②介紹。“介紹”就是把某些數學思想在適當時候明確“引進”到數學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想、抽樣統計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。

③突出。“突出”就是把某些數學思想經常性地予以強調，并通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎上進行的，目的在于最大限度地發揮這些數學思想的功能。要突出的有集合的思想、化歸的思想、對應思想等。

2.中學數學教學中應該傳授的基本數學方法

在傳授基本數學方法方面，仍如課程標準所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活運用”這四個層次。這四個層次的含義也可以遵照該課程標準中的提法，分別屬于這四個層次的基本數學方法的例子有：“了解數學歸納法的原理”；“了解用坐標法研究幾何問題”；“理解‘消元’、‘降次’的數學方法”；“掌握分析法、綜合法、比較法等幾種常用方法證明簡單的不等式”；“靈活運用一元二次方程的四種解法求方程的根”。（四種解法指直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法。）

有關數學思想和數學方法，是一個深刻的話題，本人只就書中所得小議皮毛，淺談薄見，望能起拋磚引玉之效，共同切磋。

【參考文獻】

[1]郭田芬，宋韋.淺談數學思想和數學方法.《焦作大學學報》，2004年第03期

[2]林益龍.初中數學教學中如何滲透數學思想和數學方法.《中國科教創新導刊》，2013年第18期

第7篇：建模思想在中學數學中的應用范文

【關鍵詞】中職數學；RMI原理；信息技術；整合

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】B

【論文編號】1671-7384（2015）09-0083-03

RMI原理概述

1. RMI原理即關系映射反演原理

RMI原理即關系映射反演原理（關系Relation、映射Mapping、反演Inversion），是由中國著名數學教育家徐利治教授于1983年首先得出的，它是經過建立一種映射，把所研究的對象從一個結構系統中映射到另一個結構系統中去，利用新的結構系統中的知識，研究問題的解，然后再通過反演，得到原來問題的解答的一種解決問題的思維方法。它是實現化歸的一種重要的、規范化的原理。因此，在較復雜的數學問題解決過程中，可以考慮借助于RMI這一模式簡化數學問題，達到解決問題的目的。

RMI原理的內容可用框圖表示如圖1所示。

圖1 RMI原理

簡單地解釋這個框圖就是：我們要求的未知目標原象x是一個不容易求出的量，通過含有x的原象關系結構R，利用映射M（一一對應）將所求問題映射到映象關系結構R*，從R*中找出未知原象x的映象x*，如果x*可以確定下來，再通過反演即逆映射M-1就可以將未知目標原象x確定下來。值得注意的是，這里用到的映射M與反演M-1必須是確實可行的，否則整個過程都將無任何意義。

2. RMI原理的具體應用

人們一看到RMI原理，會產生很多的疑問，不知道其是何意。其實，早在我國古代就已經有人運用它來解決問題了，“曹沖稱象”就是一個典型的實例。在當時的技術條件下，直接稱大象的質量是很難辦到的，于是曹沖就想到了利用現代物理學的有關浮力的原理，把稱量大象的質量轉化為稱量與其等重的石塊的質量，稱量大象轉化為稱量石塊，問題一下子就被解決了。簡單地說，RMI原理的基本思想就是數學的化歸思想。

此外，我們在利用對數來計算龐大的數字的乘、除、乘方、開方等運算時，常常用的就是這一模式。一般是先取其對數，然后利用對數的性質將乘、除、乘方、開方等運算轉化為加、減、乘、除等運算，計算出結果后再求反對數，就得到所需計算的結果。

中職數學教學中RMI原理與信息技術的整合

1.在解決幾何問題中的整合應用

學習數學不僅要學習它的知識內容，還要掌握數學的思維、思想和方法。掌握基本數學思想方法能使數學更易于理解與記憶，領會數學思想方法是通向正遷移大道的“光明之路”。結合中職數學的具體內容滲透數學思想方法，不僅能使學生更好地理解和掌握數學內容，更有利于學生感悟數學思想方法，初步理解數學內容的精神，感受數學科學的精髓和思想。在教學中，教師應注意這種思想在中職數學中的滲透，使學生領會RMI這種重要的數學思想，使他們學會運用這種思想解決在數學學習中遇到的困難，從而達到鍛煉思維、激發學習數學的興趣的目的。而適時引入多媒體、網絡等信息化教學手段進行教學，可以大大加快學生對知識理解的進程。

例如，中職數學教材中有這樣一個問題：在鐵路的同側有兩個工廠A、B，要在路邊建一個貨場C，使A、B兩地到貨場C的距離之和最小，如圖2所示。問貨場C應在什么位置？

圖2

要解決這個問題首先要把它數學化，把它變成一個幾何問題，即用到建模的思想，然后利用RMI原理進一步求解。因此，可把此問題映射到平面幾何中對稱的結論，作A以鐵路為軸的對稱點A’，連結A’B，A’B與鐵路的交點就是貨場C，此過程中我利用幾何畫板制作了一個課件，利用軟件繪制的生動、形象的圖形，讓學生通過對直觀圖形進行觀察和測量，理解抽象的理論概念，從而證明C點到AB兩點距離之和最短。再反演回到問題的開始，即可得出結論，在整個解題過程中滲透此原理，而信息化教學手段的應用又降低了學生的學習難度，達到了很好的整合效果。

2.在解決應用問題時的整合應用

應用問題從來都是中職學生學習數學的一個難點，教學過程中如何突破難點是一個需要認真思考的問題。數學思想方法總是蘊含在具體的數學基本知識里，處于潛形態。如何挖掘問題中深層次的信息是關鍵，要獲得問題的答案，當然會想到把它化歸成我們熟悉的問題來解決，RMI原理的應用就順理成章了。例如，在人教版中等職業教育課程改革國家規劃新教材數學（基礎模塊）上冊（2009版）3.3中有下列例題：一家旅社有客房300間，每間房租20元，每天都客滿，旅社欲提高檔次并提高租金，如果每間房租每增加2元，客房出租數會減少10間，不考慮其他因素時，旅社將房租租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？

我們先設提高x個2元時，利潤為y元，把問題映射到y關于x的函數，求出函數的最值，再反演回到問題的開始的原象，問題便得以解決。具體過程思維框圖如圖3所示。

圖3

教師可用多媒體課件把配方的過程加以演示，以提高教學效率。

3.在求函數值域問題中的整合應用

又如求函數f（x）=0.2-x+1（x∈R）的值域，由于直接求原函數的值域有困難，學生很難想出思路，教師適時進行引導，把此問題映射為求其反函數f -1（x）= log（x-1），再求反函數的定義域x>1，反演回到原函數的值域y>1，具體過程思維框圖如圖4所示。

圖4

此時，教師“另辟蹊徑”，利用教學軟件給出函數y=0.2-x+1（x∈R） 的圖像，如圖5所示。

圖5

學生直接從圖像上即可看出函數的值域，遵循了教學的直觀性原則，可見“數形結合”的重要性，也體現了信息化教學的優點。

4.求函數解析式時的整合應用

函數中的換元法，也是RMI原理應用的一種表現，即將函數的“自變量”或某個關系式代之以一個新的變量（中間變量），然后找出函數對中間變量的關系，從而取表達式。我們看如下例子：

已知 ，求f（x）的表達式。

本題很難用定義法解決，即通過配方、湊項等使之變形為關于“自變量x”的表達式。因此，可用一個新的變量代替函數中原來的自變量表達式，在此過程中要注意自變量的范圍。其過程用框圖表示如圖6所示。

圖6

解題過程：令u=（u≠1），

則x=，

于是f（u）=，

以x代u得：f（x）=x2-x+1。

我在講授時利用PPT制作了課件，把整個化簡的過程加以展示，上課時只須用鼠標作“一指禪”，每次輕輕一點，相關的步驟就自動展現出來。課件還有一個優點就是具有可重復性，老師可根據學生的接受情況，隨時返回需要重復的內容，這樣提高了課堂的效率，增大了課堂的容量。

以上內容闡述了筆者在中職數學教學中把RMI原理的應用與信息技術整合的幾個教學實例，使RMI原理這棵“老樹”在信息化教學手段下發出了“新芽”，達到了預期的整合目的。當然，RMI原理的思想方法作為數學思維的重要特點之一，體現了數學的抽象性，是數學思想、數學方法的重要體現。它也不是萬能的，因為它并不能獨立解題，而是基于應有的數學知識之上，尋求一種將“未知、復雜、困難”的問題轉化為“簡單、容易”的映射。在新的領域中，使問題得到解決，再“反演”回原來的領域中去。 筆者同時也認為，信息化教學手段更不是萬能的，首先，不是每個數學知識點都能用上多媒體，用得不好還有可能分散學生的注意力，干擾學生的解題思維，削弱課堂教學效果，數學課件的設計始終應將解決數學教學中的問題放在第一位；其次，應用多媒體課件上課，教學密度加大了，留給學生思考的時間卻少了，有可能產生學生對一些內容感到“一知半解”的結果。因此，我們要不斷地探索和實踐，這是我們廣大教師的責任和追求。

參考文獻

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