數學建模的三種基本方法精選(九篇)

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第1篇：數學建模的三種基本方法范文

關鍵詞: 高中數學； 數學建模； 建模教學

中圖分類號： G623.5 文獻標識碼： A 文章編號： 1009-8631（2011）02-0149-01

一、高中數學建模的教學現狀

美國、德國、日本等發達國家都普遍重視數學建模教學，把數學建模活動從大學生向中學生轉移已成為國際數學教育發展的一種趨勢。2003年，國家教育部頒布了《普通高中數學課程標準(實驗)》，該《標準》把“數學探究、數學建模、數學文化”作為三大教學板塊單獨列出，規定高中階段至少各應安排一次較為完整的數學探究、數學建模活動，并提出了具體的教學要求，從而實現了數學模型與數學建模由隱性課程向顯性課程的跨越。

數學建模既是數學教學的一項重要內容和一種重要的數學學習方式，同時也是培養學生應用數學意識和數學素養的一種形式。在高中數學教學中，積極有效地、科學地開展數學建模活動，對高中學生掌握數學知識，形成應用數學的意識，提高應用數學能力有很好的作用。然而傳統的數學課程標準還缺乏對數學建模的課時和內容進行科學的安排，也缺乏有效的教材和規定，這讓許多一線教師在具體教學的實施過程中缺乏有效的標準和依據，從而影響規范化的教學過程。因此如何進行建模教學就成為了高中數學教學研究引以關注的熱點問題之一。

二、數學建模的基本含義和步驟

數學建模是從實際情境中抽象出數學問題，求解數學模型，再回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際的過程。數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，強調與社會、自然和實際生活的聯系，推動學生關心現實、了解社會、解讀自然、體驗人生。數學建模能培養學生進行應用數學的分析、推理、證明和計算的能力；用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數學結果的能力；應用計算機及相應數學軟件的能力；獨立查找文獻及自學的能力，組織、協調、管理的能力；創造、想象、聯想和洞察的能力。

1.模型準備：考慮問題的實際背景，明確建模的目的，掌握必要的數據資料，分析問題所涉及的量的關系，弄清其對象的本質特征。

2.模型假設：根據實際問題的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言進行假設，選擇有關鍵作用的變量和主要因素。

3.模型建立：根據模型假設，著手建立數學模型，利用適當的數學工具，建立各個量間的定量或定性關系，初步形成數學模型，盡量采用簡單的數學工具。

4.模型求解：運用數學知識和方法求解數學模型，得到數學結論。

5.模型分析：對模型求解的結果進行數學上的分析，有時需要根據問題的性質分析各變量之間的依賴關系或性態，有時需要根據所得結果給出數學式的預測和最優決策、控制等。

6.模型檢驗：把求得的數學結論回歸到實際問題中去檢驗，判斷其真偽，是否可靠，必要時給予修正。一個符合現實的、真正適用的數學模型其實是需要不斷檢驗和改進的，直至相對完善。

7.模型應用：如果檢驗結果與實際不符或部分不符，而且求解過程沒有錯誤，那么問題一般出現模型假設上，此時應該修改或補充假沒。如果檢驗結果與實際相符，并滿足問題所要求的精度，則認為模型可用，便可進行模型應用。

三、關于高中數學建模教學的幾點建議

數學建模作為新課程標準規定的一種數學教學和學習方式，它的有效實施和應用，有賴于學校、數學教師和其他有識之士的共同努力。筆者結合自己在高中數學建模教學中的實踐，從建模教學的形式、內容、層次和學生的合作能力培養四個方面提出如下建議：

1.數學建模的教學形式要多樣化。目前比較常見的形式主要有三種：一是結合正常的課堂教學，在部分環節上切入數學模型的內容。例如在高中數學教學中講解關于橢圓的內容時，教師就可以在這個部分切入數學建模的內容，在太陽系中有的行星圍繞太陽的運行軌道就是一個橢圓，并且太陽恰好在其中的一個焦點的位置上，引導學生查閱相關資料，并建立行星軌道的橢圓方程。二是開展以數學建模為主題的單獨的教學環節，可以引導學生從生活中發現問題，并通過建立數學模型，解決問題。三是在有條件的情況下開設數學建模的選修課。這三種形式在實際數學教學中都可結合實際有效使用。

2.數學建模的教學要選擇合適的建模問題。進行建模教學活動的內容和方法要符合學生的年齡特征、智力發展水平和心理特征，適合學生的認知水平，既要讓學生理解內容、接受方法，又要使學生通過參加活動后，認知水平達到一定程度的新的飛躍。不切實際的問題，不適合學生的認知水平的建模活動，不但達不到目的，而且也會導致學生的興趣和愛好受到很大挫傷。

3.數學建模的教學要有層次性。數學建模對教師，對學生都有一個逐步的學習和適應的過程，教師在設計數學建模活動時，特別要考慮學生的實際能力和水平，起點要低，形式要有利于更多的學生參與，因而要分階段循序漸進地培養學生的建模能力。建模訓練一般可分為三個階段：第一階段簡單建模，結合正常教學的內容，提高學生學習數學的興趣和增強應用意識。第二階段典型案例建模，鞏固并適當增加數學知識，嘗試讓學生獨立解決一些應用數學問題。第三階段綜合建模，在這一階段，讓學生或每個小組的成員承擔一項具體任務，他們進行自己的建模設計，最后進行討論，教師只做簡單的指導，這樣可以充分檢測出學生運用已有知識分析和解決問題的能力。這三個階段循序漸進，不斷提高學生的數學建模的能力，從而提高學生的數學應用能力。

4.數學建模的教學要注重學生合作能力的培養。數學建模的內容通常信息量大，難度相對也比較大，解決問題的方法也不唯一，而且活動中要涉及到對觀點或方法的評價，靠單個人的努力難以很好的解決問題。分組學習與合作學習是一種很重要的數學建模學習方式。這種方式可以體現資源共享的優越性，可以加強學生之間的溝通、合作，從而加強團隊的合作意識，體現團隊精神。通過合作學習的方式，學生共同收集資料，分析問題，對模型進行檢驗，可以彌補個人能力的不足。合作學習要求教師要努力創造學生進行合作的情境及自由的心理氣氛，鼓勵學生在建模活動中勇于發表自己的意見，引導他們學會主動驗證自己想法的正確性，提倡合作，但同時也要求他們進行獨立思考，在民主的合作學習中提高集體思維的效益，讓每個學生都能在建模活動中得到進步和發展。

“授人以魚不如授人以漁”，對數學建模能力的把握將給予學生終生的財富，而非某個特殊的案例和習題。這就要求教師在課程設計的過程中必須提煉出一些具有廣泛應用基礎的一般性模型和理性分析思路。只有在這樣的數學訓練中，學生才能有效掌握數學思想、方法，深入領會數學的精神，充分認識數學的價值。研究和學習建立數學模型，能幫助學生探索數學的應用，產生對數學學習的興趣，培養學生的創新意識和實踐能力，加強數學建模教學與學習對學生應用能力的開發、國家人才的培養意義深遠。

參考文獻：

[1] 陳永兵.高中數學有效教學的新思路[J].考試周刊，2010（20）：83.

[2] 褚小婧.高中新課程數學建模教學的設計[D].杭州：浙江師范大學，2009.

第2篇：數學建模的三種基本方法范文

關鍵詞：數學建模 培養 創新思維能力

傳統的注入式大學數學教學已無法適應現代社會的發展，培養學生創造性思維的能力，建立全新的大學數學教學模式已成為大學數學教學的首要任務。知識經濟時代的到來不僅對現行教育提出了更加嚴峻的挑戰，同時也預示著未來教育將發生深刻的變革。如何擺脫傳統的教學模式的束縛，提倡開放的創造性思維模式教學，激發學生的發散性思維、培養創造能力已經成為現行教育的必然趨勢。數學建模課程不僅要使學生獲得新的知識，而且要提高學生的思維能力，培養學生自覺地運用數學知識去考慮和處理日常生活中遇到的問題，從而形成良好的數學思維品質[1]。

1、數學建模與創新思維

數學建模，就是對現象和過程進行合理的抽象以及量化，然后利用數學公式進行模擬和驗證的一種數學方法。在建模的過程中也包括應用計算機進行數值模擬。這也是人類探索自然和社會的運行機理中所運用的有效方法，同時是數學應用于科學和社會最基本的途徑之一。

創造性，即具有不斷追求新知識以及研究新問題的精神。同時創造性思維是人類文明的催化劑，是開創新局面的推動機，也是未來人才應必備的重要品質。大學生的數學素質主要通過數學知識和數學學習能力來體現。數學的三項基本能力主要包括運算能力、思維能力以及空間學習想象能力。這三種能力的培養是數學科學所特有的功能。這三種能力的培養和訓練不僅可以使學生嚴謹地進行數學邏輯思維，而且也能夠更深刻地激發學生直覺思維，使學生對實際問題的領悟更加細致和敏銳，從而進一步增強學生的創新能力。創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力！數學建模的創新能力就是運用數學知識、數學思想、數學方法及計算機等當代高科技手段去解決各種實際問題的能力。培養學生應用數學的意識，增強學生的創新能力是一項長期的任務。在數學建模的教學過程中，需要把數學建模的意識貫穿在教學的始終，要不斷的引導學生應用數學的思維去觀察、分析建模的對象的各種信息，從復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，使大學生的建模意識和數學創新思維意識成為學生的好習慣[2]。

2、構建數學建模意識的基本途徑

2.1為了培養學生的建模意識，數學教師應首先需要提高自己的建模意識。這不僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新。數學教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把數學知識應用于現實生活。

2.2數學建模教學還應與現行教材結合起來研究。教師應研究在各個教學章節中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關問題放入到這些模型中來解決；又如在解幾中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題，而儲蓄問題、信用貸款問題則可結合在數列教學中。要經常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發學生去研究數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力。

2.3注意與其它相關學科的關系。由于數學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且其它學科與數學的聯系是相當密切的。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。

3、數學建模教學中如何構建數學建模意識

3.1為了培養學生的建模意識，教師應首先需要提高自己的建模意識。這不僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新。教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新鮮的數學建模理論，并且努力鉆研，首先弄清楚如何把中學數學知識應用于現實生活。北京大學附中張思明老師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印。”什么是A1型號？在弄清了各種型號的比例關系后，他便把這一材料引入到初中“相似形”部分的教學中。這是一般人所忽略的事，卻是數學教師運用數學建模進行教學的良好機會。

3.2數學建模教學還應該與現行教材結合起來研究。教師應研究在各個教學章節中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關問題放入到這些模型中來解決；又如在解析幾何中在講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題；而儲蓄問題、信用貸款問題則可結合在數列、函數在教學中的學習。在日常的教學中要經常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發學生去研究數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力，進而對學習數學產生濃厚的興趣，認為數學不是枯燥無用的一門學科，而是在我們的日常生活中無處不在的一門相當有用的學科。

3.3要注意與其它相關學科的關系。由于數學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且其它學科與數學的聯系是相當密切的。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其他學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。

4、結論

總之，要真正培養學生的創新能力，光憑傳授知識是遠遠不夠的，重要的是在教學中必須堅持以學生為主體，不能脫離學生搞一些不切實際的建模教學，我們的一切教學活動必須以調動學生的主觀能動性、培養學生的創新思維為出發點，引導學生自主活動，自覺地在學習過程中構建數學建模意識，只有這樣才能使學生分析和解決問題的能力得到長足的進步，也只有這樣才能真正提高學生的創新能力，使學生學到有用的數學。

參考文獻：

第3篇：數學建模的三種基本方法范文

關鍵詞：數學建模 數學應用能力

多年的教學實踐表明，數學無用論思想在士官學員中廣泛流行，究其根本原因，在于數學課程的設置方式和授課方法不利于培養士官學員應用數學方法解決實際問題的能力。傳統的數學課程，重視邏輯推理和計算能力的培養，習慣于套公式、套方法，而沒有注意訓練如何從實際問題中提煉出數學問題，以及如何用數學來解決實際問題，其后果是學生們學了不少數學，但不會應用所學的數學知識去解決實際問題，久而久之，則形成了數學無用論思想，這反過來又影響了學生學習數學的積極性，使數學學習進入一種不良循環。因此，在士官數學的教學中，提高學員對數學的應用能力是非常重要的。

一、結合教學內容，融入數學建模思想，提高教學質量。

傳統的士官數學課堂教學中，教員一般偏重概念的講解、理論的推導和運算的技巧，往往忽視數學建模思想的滲透，使得士官學員在學完數學課程后，難以運用數學思想和方法解決實際問題。對此，筆者結合自己多年的教學經驗認為，結合教學內容逐步滲透數學建模思想是一種比較理想的做法。

所謂數學建模就是將某一領域或部門的某一實際問題，通過做一些必要的簡化和假設，明確變量和參數，并依據某種“規律”，運用適當的數學理論，建立變量和參數間的一個明確的數學關系式，這個數學關系式即為數學模型，建立這個數學模型的過程即為數學建模。簡言之，數學建模就是應用數學的語言和方法對一個實際問題所做的設計。該數學模型或者能解釋特定現象的現實性態，或者能預測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優決策或控制。數學建模沒有固定模式，沒有統一的標準答案，它只求合理，鼓勵創新，從而在數學建模的活動中，人們的創新潛能就會得到開發。

（一）結合數學模型滲透數學建模思想

數學模型是從現實世界的實際問題中抽象出來的，在士官數學教學中，結合實際問題，再現數學模型的抽象過程是滲透數學建模思想的好方法。例如，在講重要極限 時，可以從復息問題引入，首先根據銀行的實際存款類型設置了一個問題：假設將1萬元人民幣存入銀行，存期為一年，年利率是100%，但是銀行推出三種不同的計息方式，一種方式是一年記一次息，第二種方式是每半年計息一次，按復利計算，第三種方式是每季度計息一次，也按復利計算，我應該選擇哪一種計息方式最劃算？在解決這個問題之后，追加兩個問題：若一年計息n次，則一年末賬戶里的錢數為多少？如果計息的次數無限增多，銀行賬戶里的錢會不會無限的增長呢？通過這幾個問題的探索，學員總結出數學模型 ，然后通過計算機計算，學員可以自己總結出這種極限的值。從而使學員對這種比較抽閑的數學模型有了一個認識的實際背景，極大的調動了學習的主動性，提高了趣味性，使得數學模型教學不再是空中樓閣霧里看花。

（二）結合有關教學內容滲透數學建模思想。

盡管士官數學教學內容比較少，要求也比較低，但仍有許多內容與實際問題密切相關，只要教師善于結合具體的教學內容滲透數學建模的方法，就能激發學員利用數學思想和原理解決實際問題的潛力。例如，函數的最大值與最小值這一部分內容與最優化問題密切相關。教學時，我們將選擇一部分有代表性的題目，都歸納成為一道數學建模題，并注重滲透數學建模思想，使學生認識到函數的最大、最小值問題在實踐中有著廣泛的應用。在此基礎上，我們還聯系在生產實際、科學實驗、工程技術、經濟管理等許多領域中，類似于“如何使成本最小，而效益最大”的問題。特別是企業部門，“優質、高產、低消耗”等問題，常常可歸結為數學上在一定條件下求一個函數的最大（小）值問題。

（三）抓住典型內容滲透計算機算法。

建立實際問題的數學模型只是解決該問題的第一步，針對這個數學模型，設計一種算法，并利用計算機實現模型的數值求解。為此，以教學中的一些典型教學內容為案例滲透計算機算法。例如，在講授引出定積分概念的傳統例題求曲邊梯形面積時，首先讓學員直觀地理解“分割、近似、求和、取極限”四個步驟在解決問題過程中所起的作用和意義。然后課后再組織學員利用計算機實現“分割、近似、求和”，并進一步討論在不同“分割”下，近似求和的結果，得出結論，并將其結果在多媒體教室演示出來。通過結合具體教學案例，滲透計算機算法，使學員不但加深理解了所學到的數學原理和思想，而且對計算機軟件的編程和算法有了初步的理解，從而激發了學員學習數學的積極性，收到了良好的效果。

一、結合概念教學，滲透數學思想。

數學中的概念來源于對現實世界中實際問題的高度抽象和概括。例如，函數是現實世界中滿足某種條件的對應關系，導數是函數變化率的表示，定積分是對在區間上具有可加性的量求法等等。在士官學習過程中，理解概念的數學意義相對容易，但是概念是對現實世界中哪一類問題的抽象和概括學員很難透徹理解，學習結果就是會做題，但不會應用。所以，在教學過程中，教員應該結合實際問題講解數學概念，展示由實際問題抽象出數學概念的過程。例如，在導數概念教學中，不僅要結合實例（變速直線運動的瞬時速度和平面曲線的斜率）抽象出導數的概念，更要結合實例使學員弄清楚分析問題的思想和方法。總之，通過教學，不僅要使學員理解的數學概念，還要會用概念的思想方法分析問題，并了解某一個概念是解決哪一類問題的。

二、關于培養學員數學實踐應用能力的幾點建議。

（一）建議將數學實驗引入士官教學中，使學員在數學實驗環境下完成數學作業。

近幾年來，數學實驗逐漸引入高校課堂，但對士官數學教學來說，一方面由于士官學員數學基礎比較落后，另一方面數學教員教學觀念落后，數學實驗一直沒有引起足夠的重視。借鑒地方高職院校的做法，可以組織數學基礎比較好的學員開展數學實驗課。例如針對一元函數的求根的近似計算問題，定積分的數值計算可以相應地設計一系列數學實驗題目，組織一些學有余力的學員在課余時間，利用一些數學軟件如Mathematica、Mathlab及Maple進行求解。同時可以把相關的軍內外數學建模競賽的題目，經過整理和簡化，適時地引入數學實驗教學中，在教師的輔導下，以團隊的形式研究完成。通過這些形式，使得學員不但對所學的數學知識和基本原理有更加深刻的理解，計算機應用能力得到了一定的提高，而且對數學建模的建立和計算有了基本的認識和了解

（二）建議積極參加數學建模大賽。

第4篇：數學建模的三種基本方法范文

關鍵詞： 數學課程 數學實驗 數學建模

近年來，職業學校的教師普遍感到學生對數學的興趣日益減退，教師教學的難度逐漸增大。為此，數學課程應引入數學實驗、數學建模，探討如何激發學生學習數學的興趣，培養學生探求問題、解決問題的能力和創新精神，使中職數學教育從只重視雙基（基本知識，基本技能）轉變為重視三基，即增加了“基本能力”，基本能力的核心就是創造力。這也是中等職業學校在培養“應用型”人才過程中不可缺少的環節。

一、數學實驗、數學建模與課程整合的整體思路

數學實驗是從問題出發，讓學生親自動手操作，通過探究、發現、思考、分析、歸納等活動，體驗解決問題的過程，從實驗中去學習、探索和發現數學規律，領會數學的本質，從而達到解決實際問題的目的，是一種思維實驗和操作實驗相結合的實驗。數學建模則強調能動地用所學的數學知識解決問題，它更強烈地表現為對所學知識的創造性構造、想用、能用、會用這樣一種用數學的意識。

數學對于不少職高學生來說是一門最頭痛、最枯燥、最抽象、最想逃避的課。數學實驗、數學建模與課程整合，打破了傳統“一粉筆、一黑板、動嘴巴”的教學模式和“一支筆、一張紙、動腦筋”的學習模式。整合的整體思路有：學生學習興趣和學習積極性的培養；學生邏輯思維能力和理論聯系實際能力的培養；團隊合作精神和人際交往能力的培養。根據數學實驗、數學建模的特點，調整課程結構模式、課程評價模式、課程教學設計等，能使學生體驗到知識的奧妙。

二、數學實驗、數學建模與課程整合的意義

1.數學實驗有助于學生消除認知障礙

學生在初中所學的都是一些較為簡單明了的數學知識，主要是處理一些比較直觀的問題，涉及的抽象知識也只是皮毛。而職高數學更具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性，學生的思維形式處于一種機械呆板的狀態，他們在分析和解決數學問題時，習慣了用“由因至果”的模式對公式、定理的理解，只會正用，不會逆用，更不善于變用，不會變換角度和思維方式去多角度、多方面探求解決問題的途徑和方法。教學中結合數學實驗，可以使數學概念、公式、法則等用一種讓學生更易接受的方式表達出來。根據認知規律，學生更容易接受“聽數學、玩數學、悟數學”的學習方式。數學實驗與課程教學整合，能實現數學學習的趣味化，更好地激發學生的學習興趣，從而形成較好的學習動力。

2.數學建模有助于教師提高業務水平

數學建模與課程教學整合，這對教師是一種促進，又是一種挑戰。教師首先必須正確把握數學知識的基本概念，利用數學建模創設問題情境，對實際問題進行分層分析、反復探索，逐步完善，并能引導學生的數學化思維，培養學生自覺應用數學知識的意識和能力，這對教師的綜合知識素養、分析整合能力、課堂調控藝術等都提出了更高的要求。為此，如何實現數學建模優化課程內容教學，是值得深入研究的。

三、數學實驗、數學建模與課程整合的改革實施

1.課程結構模式的改革

課程結構模式的改革，首要以彈性教學計劃為支撐。為滿足學生的數學實際應用需求，職高數學課程應引入數學實驗、數學建模，同時開展必修加選修的課程結構模式。根據職高數學大綱的要求，學生在了解基礎知識的同時，能簡單應用并解決實際問題。不同專業的學生對數學課程內容的應用能力側重方向略有不同，選修課可以使數學課程目標培養具體化，也可以滿足學生個體培養多樣化。

2.課程評價模式的改革

數學實驗、數學建模融入課程教學，使中職數學從雙基教學逐步轉變為三基教學，為此，課程評價模式不能單單局限于基礎知識和基本技能的考核，更應該注重學生實際應用能力的考核，真正建立“重能力、重實踐、重創新”的課程評價模式。單一的課程評價模式容易挫傷學生學習數學的積極性，因此教師在評價過程中可以采用多樣化的考核方法，可以讓學生收集課程教學相關的內容，也可以指導學生做數學模型和數學課件，更可以開展一些社會活動引導調研，幫助學生寫小論文等，盡可能地激發學生“做數學”的興趣，玩中悟數學以培養學生的創造性思維。

3.課程內容的教學設計

問題一：某公司生產A，B產品，兩種產品都需要相同的兩道工序。生產100件A產品，第一道工序需要3小時，第二道工序需要4小時；生產100件B產品，第一道工序需要5小時，第二道工序需要2小時。第一道工序啟用總時間不超過24小時，第二道工序啟用總時間不超過16小時。生產100件A產品可獲利7萬元，生產100件B產品可獲利14萬元。問如何安排產品生產計劃可使公司獲利最大？

建模：決策變量：生產A的產品數（以百件計）x

生產B的產品數（以百件計）y

約束條件：第一道工序啟用時間不超過24小時：3x+5y≤24

第二道工序啟用時間不超過16小時：4x+2y≤16

所有決策變量顯然非負：x≥0，y≥0

目標函數：利潤最大：P (x，y)=7x+14y

問題的線性規劃模型：

3x+5y≤244x+2y≤16x≥0y≥0

利潤函數P (x，y)=7x+14y

實驗：采用圖解法，可以在滿足約束條件的x，y中求出x ，y ，使x=x ，y=y 時，利潤函數達到最大值。本題的最優解在凸四邊形的四個頂點(0，0)，(4，0)，(0， )，（ ， ）上。求出四個頂點上函數P（x，y）的值，可求出P （ ， ）=64。

問題二：在每月交費200元，至60歲開始領取養老金的約定下，某男子若25歲投保，屆時月領養老金2282元；若35歲起投保，屆時月領養老金1056元；若45歲起投保，屆時月領養老金420元。以下考察這三種情況所交保險費獲得的利率。

建模：投保后第i個月所交保險費及利息的累計總額（單位：元）F

60歲前所交月保險費（單位：元）p

60歲起所領月養老金（單位：元）q

所交保險金獲得的月利率j

投保起至停保時間(單位：月) m

停領月養老金時間(單位：月) n

問題的模型：

F =F (1+j)+p，i=0，1，...，mF =F (1+j)-q，i=m+1，...，n

實驗：若該公司養老金計劃所在男性壽命的統計平均值75歲，以25歲起投保為例，p=200，q=2282，m=420，n=600，選擇合理的初始值F ，就可以求出j=0.00485。

參考文獻：

［1］周義倉，赫孝良.數學建模實驗［M］.西安：西安交通大學出版社，1999.

［2］趙靜，但琦.數學建模與數學實驗［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［3］傅鸝等.數學實驗［M］.北京：科學出版社，2000.

第5篇：數學建模的三種基本方法范文

關鍵詞：數學實驗；課程；素質培養

南京郵電大學自1996年以來，一直堅持開設數學實驗課，已經進行了許多的嘗試和探索，積累了一些經驗，取得了一些教學成果。

多年來，我校堅持面向全體理工、經管類大學生開設數學實驗必修課程。開設這門課的目的，一是讓學生學會獨立使用各種先進的計算工具和信息傳播技術探索解決一些典型數學問題的方法; 二是培養學生的創新能力。傳統的大學數學教學在教學內容、教學模式、教學方法、教學手段上都難以適應新形勢，尤其是在課程體系和教學內容上，先進的數學學科前沿與陳舊的基礎課教學體系和內容的矛盾；各學科應用數學技術的急需性與教學內容對應用的不直接性矛盾更加突出。在充分調研的基礎上，為加強數學應用，我們把開設數學實驗作為教學改革的重點。突出基礎、加強應用、注重實驗、優化整合、分類處理，將大學數學中的高等數學、線性代數、概率統計與數學軟件有機結合，補充現代數學中與信息有關的數學方法和應用實例，使教學內容具有針對性、交叉性和實用性。開設數學實驗必修課，數學建模公選課，突出基本理論和應用兩個方面。自我校開設“數學實驗”和“數學建模”課程以來，一直受到學生普遍歡迎。本文就數學實驗在大學數學教學中的地位、作用以及數學實驗教學內容和方法等方面，結合我們的具體教學實踐談個人的一些認識。

一、數學實驗在大學數學教學中的重要作用

大學數學教育的重點在于培養大學生掌握必要的數學知識，應用數學理論與方法解決實際問題的能力。傳統的教學方式注重理論性的數學指導，缺乏實踐的動手操作能力的訓練。教學方法往往是以課堂為中心，采取灌輸式教學方法，教學手段單一，重理論輕應用，不注重學生創造性思維的培養，缺乏激勵學生創造性思維培養的有效機制和教學環境，使數學應用于實踐難以實施。數學實驗與數學建模課程的開設大大地改變了這種狀況。數學實驗對于培養學生的能力與素質有以下作用。

（1）數學實驗可以提高學生學習數學的積極性。數學實驗通過數學軟件的使用，對一些現象進行演示，可以使學生對其有直觀的認識。數學軟件的可視化功能可使學生的思維形象化，可操作化，從而改變數學抽象的內容，使晦澀的數學理論變得生動而有趣。通過實驗驗證某些數學定理，可以使學生深入認識數學規律，激發學生學數學的興趣。特別通過對實際問題的分析，建立數學模型，并使用計算機解決問題，使學生感受到數學在實際中的應用，體會使用數學理論方法解決實際問題的快樂，大大提升學生學習的成就感和學習動力，使學生由被動地學數學變成主動地用數學。數學實驗實際上是由學生自己動手，用“玩”計算機的方式去解決幾個實際問題，親身體驗用所學的數學知識去解決實際問題的過程。實踐證明數學實驗可以促成數學教學的良性循環，即參加數學實驗愈多，則愈感到自己數學知識的不足，那么就愈要學習更多的數學知識充實自己。如此，就激發起了學生學習數學的積極性。

（2）數學實驗可以提高學生的理論水平和實踐能力。數學實驗的客觀性便于驗證數學理論的正確性，其直觀性使學生更好地接受數學理論，掌握數學規律。學生通過自己動手分析問題，建立數學模型，利用數學軟件和計算機編程，最終得到結果，學生的實踐能力得到很大程度的提高，增強了學生學好數學、用好數學的信心。在數學實驗的思考、完成以及對實驗結果分析的全過程中，學生能更好地理解和正確應用數學理論和方法，學生的理論水平和實踐能力得以大大提高。

（3）數學實驗提高了學生的綜合素質和創新能力。在通過數學實驗解決實際問題的過程中，學生不僅學到知識，提高了動手能力，有利于培養獨立思考的習慣，增強探索精神和創新意識，同時也培養了他們堅忍不拔、積極向上的精神。許多實際問題的引入，開闊了學生的視野，分組實驗中解決問題的過程也培養了學生的團結、協作的團隊精神，有利于學生綜合素質的提高。

二、數學實驗教學內容與教學方法改革

1．數學實驗的概念

以問題為載體，以計算機和數學軟件為工具，以學生為主體進行的學習數學知識，應用數學方法解決問題的實踐探索活動，統稱為數學實驗。數學實驗把數學知識、數學建模和計算機應用有機地融為一體。它通過使用計算機以及數學軟件解決實際問題的過程，進一步學習數學或應用數學，激發學生的學習興趣，培養學生的探索能力、動手能力和應用能力，有效地提高數學教學的質量。

數學實驗開設存在的問題

（1）師生對數學實驗課開設的重要性和實際意義認識不足，因此導致一些學生學習興趣不高、學習自主性不強、學習目的不明確，而一些教師也是為了完成教學任務而處于一種被動應付的狀態。

（2）由于數學實驗課是一種實驗性課程，因此必然要采用合適的數學軟件作為實現該課程實驗內容的工具。而目前數學軟件有好幾種，且都有各自的優點和使用范圍。因此，選取合適的數學軟件將有利于數學實驗課的開設和學生動手能力的增強。

（3）由于數學實驗涉及的是一種新型的教學模式，與普通的教學課程和實驗課程在內容安排和課程設置上都不盡相同。目前開設數學實驗課的教師很多仍采用普通的授課方式及教學方法，這顯然不適合課程的要求和目的。因此，怎樣合理設置課程也成為任課教師深思的問題。數學實驗課程的開設是大學數學教學課程體系與教學內容改革的重要內容之一。基于大學數學教學課程體系與教學內容改革的實際，我們的目標是: 將數學實驗課程融入大學數學主干課程體系中。在大學數學的教學過程中，通過數學實驗，使學生進一步加深對數學理論和方法的理解，培養學生運用計算機解決實際問題的能力。

2. 體系改革，內容優化

數學實驗課是我校多年來堅持面向全體理工、經管類大學生的一門必修課程。開設這門課的目的，一是讓學生學會獨立使用各種先進的計算工具和信息傳播技術來探索解決一些典型數學問題的方法。二是培養學生的創新能力。原大學數學教學在課程設置( 高等數學、線性代數、概率論) ，教學內容、教學模式、教學方法、教學手段上都難以適應新形勢，尤其是在課程體系和教學內容上，以下矛盾更為突出。(1) 先進的數學學科前沿與陳舊的基礎課教學體系、教學內容的矛盾。(2) 各學科應用的數學方法與教學內容的不直接性的矛盾。經過大量的調查研究、綜合論證，我們把開設數學實驗作為改革的突破口，以突出基礎、加強應用、注重實驗、優化整合、分類處理為指導思想，將大學數學原來所開設的高等數學、線性代數、概率論進行結構重組。精選教學內容，補充現代數學中與信息學科有關的數學方法和應用實例，使教學內容具有針對性、交叉性和實用性。在教務處的支持下，在大二全年開設全校性的大學數學實驗（B），而數學類專業學生開設數學實驗(A)，并在全校開設數學建模公共選修課。突出基本理論和應用兩方面，打好連續量、離散量、隨機量、數學應用等四大基礎，實現數學與計算機、數學與信息科學、數學基礎與數學前沿技術三種結合。

3. 突出基礎加強應用注重實驗

大學數學課程體系和教學內容，突出對連續型變量、離散型變量、隨機型變量中最基本最常用的數學知識、方法以及邏輯推理能力的培養，提高學生的理性思維素質，加強與計算機的結合，突出應用能力的培養。一方面繼續突出基本計算的訓練，使學生系統地獲得微積分、線性代數、概率統計的基本知識、基本理論和基本方法，另一方面通過數學實驗把數學軟件引入數學教學，實現數學與計算機、數學與實際應用的結合，注重學生分析問題、解決問題的能力培養。 突出基礎、注重實驗、加強應用，既有利于高等教育大眾化形勢下大學生的數學素質、能力的培養，又兼顧到部分學生進一步提高數學理論基礎與應用能力的需要。突出基礎，首先體現在實現以下的培養目標：知識層面: 掌握必備的數學基本知識，即微積分、線性代數、概率統計等課程內容。基本思維訓練層: 培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力等基本思想方法。創造性思維層: 通過數學實驗與數學建模訓練，培養學生的創造性思維能力。具體要求是掌握處理連續型變量、離散型變量、隨機型變量的基本方法等數學基本知識； 抽象思維能力、演繹推理能力、歸納綜合能力等數學的基本思維能力；具有把實際問題抽象成數學問題，并提煉出數學模型從而解決實際問題的能力。數學建模能力：利用計算機及數學軟件進行科學計算數值計算能力；具有一定的自學能力，能根據發展要求，及時更新知識，以適應社會、經濟、科技的不斷發展和需求，培養學生應用數學的意識和數學知識更新的能力，提高學生使用數學的興趣和能力。

數學實驗從問題出發，強調以學生自己動手、動腦為主，在教師的指導下用學到的數學知識和計算機技術，利用相關的數學的軟件如: Mathematical、Matlab、Maple、Lingdo 等，解決一些應用問題。其意義不僅僅在于使學生掌握必要的數學知識，更重要的在于學生的獨立參與，從而提高學生學習數學的積極性，提高學生對數學的應用意識，培養學生的動手能力、獨立思考問題的能力和應用數學的能力。

為適應學生的個性發展，建立了開放數學建模實驗室，讓學生有機會選做一些自己感興趣的實驗，以滿足學生的求知欲。給學生一個自我發揮，展示才能的機會。從1997年起，組織了學生參加校內數學建模競賽及省內的大學生數學建模競賽。

4. 數學實驗課程體系的構建

建立基于網絡平臺的數學課程實驗系統數學實驗網絡教學信息系統平臺由教師教學系統、學生學習系統和教學管理系統三大模塊組成。這些模塊之間相互聯系，相互配合，構成一個完整的基于網絡平臺的數學實驗與數學建模實踐系統。通過數學實驗網絡平臺，教師在系統上實驗題目，與學生進行在線討論，或對學生留言進行網上答疑等。學生在網絡上自由下載題目，學生可以在任何計算機上完成實驗，或進行在線討論，或通過留言方式在網上提交問題，完成實驗后直接在網絡上提交程序，實驗結果及實驗報告，實驗題目可以限時完成，也可以不限時完成。教師可以對學生的實驗報告進行瀏覽、批閱。系統可以擴展成網絡教學平臺。相對于封閉的傳統教學模式而言，網絡化教學突破了時間、空間的限制，做到了信息渠道的暢通無阻，它體現了以學生為本，因材施教的思想，促進了學生創新意識和創新能力的培養。

三、幾點體會

（1）開展“認識―訓練―創新”遞進式實踐教學體系的創建與實踐，逐步形成了新的實踐教育教學理念：一是堅持全面、協調、可持續發展，樹立科學的發展觀。二是堅持以人為本，樹立科學的人本觀。三是堅持“育人為根本，質量是生命”，樹立科學的質量觀。四是堅持創新能力培養和全面素質教育，樹立科學的成才觀。

（2）要科學合理地安排教學，按照基礎型、提高型、研究創新型三個層次，形成“理論與實踐相融合，以實踐教學為主；基本技能培養與創新能力培養遞進結合，以創新能力培養為主；課內教學、課外開放與學生自我訓練貫通組合，以學生自我訓練為主”的實踐教學模式。老師要精心設計，扎實推進，逐步深入，使學生能夠在不知不覺中學習到數學知識與技能，學會分析問題與解決問題的能力。

（3）要高度重視實踐教學團隊建設，制定相應措施，鼓勵高水平教師投入實踐教學。建設實踐教學與理論教學隊伍互通，教學、科研、技術兼容，核心骨干相對穩定，結構合理的實踐教學團隊。逐步形成一支熱愛實踐教學，理念先進，學術水平高，教學科研能力強，熟悉實踐技術、勇于創新的實踐教學隊伍是保障教學水平的重要力量。

（4）構建高水平、現代化多功能實踐教學平臺。深入開展數學課程的實踐教學活動。抓好現代信息技術平臺和實驗室平臺建設，為學生實踐創新能力培養，提供了重要保障。

（5）要善于引導學生思考問題。老師要不斷啟發引導學生積極思考，充分發揮大學生的積極性、創造性，讓學生的主要精力投入到數學實踐中，不斷挑戰自我，就能取得意想不到的佳績。

經過多年的努力，我們有理由相信，隨著數學課程教學改革的不斷深入和數學實驗課程體系進一步完善，會使更多的學生受益于數學實驗課程，并為全面提高學生整體素質發揮重要作用。

參考文獻：

[1] 姜啟源，張立平，何青等.大學數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2006.

第6篇：數學建模的三種基本方法范文

[關鍵詞] 模型； 科學學習環境； 環境設計； 策略

[中圖分類號] G434 [文獻標識碼] A

[作者簡介] 孫丹兒（1981—），女，浙江寧波人。學科教育博士，新加坡南洋理工大學國立教育學院學習科學研究所博士后，主要從事科學課程研制、學習科學研究。E-mail：daner.sun@nie.edu.sg。

隨著技術的進步，計算機支持的學習環境也得到了不斷更新和發展，越來越多此類產品用于支持學生的認知及其相關能力的培養和發展，尤其是各種基于模型的科學學習環境的開發和應用，為研究者所關注和重視。大量研究顯示，基于模型的科學學習環境在教學中的應用，不但有助于促進學生科學概念的學習，且能夠培養學生的批判性思維、推理能力、自我監控能力以及合作學習能力等。[1][2]所以，基于這些優點，國外研究者開發了大量基于模型的科學學習環境（Model-based Science Learning Environment，以下簡稱MbSLE），有學科專用型和學科通用型兩種。[3]學科專用型學習環境，如生物學科適用的BioLogica 和PlantMod， 化學學科適用的Connected Chemistry和ChemNet；學科通用型學習環境， 如ModelingSpace、Model-It 和 Belvedere。除了適用學科的范圍有所不同外，由于設計要素的不同，學習對象也會有所不同，如STELLA對于高年級學生科學概念的學習有幫助；[4]與只含模型的學習環境相比，含有建模工具的學習環境對于培養學生的反思和調控能力更有幫助。因此，依據學科范圍、知識以及使用對象等的不同，不同的MbSLE在設計和使用效果方面會呈現不同的特點。作為教師，應如何根據教學環境和影響因素，選擇適合教學的科學學習環境；作為開發者或研究者，如何從已有學習環境中提取開發要素，設計出對科學學習更有價值的學習環境。

一、相關概念的界定

計算機支持的科學模型是指借助計算機技術通過一定的表達方式對科學現象，尤其是抽象或復雜科學現象、過程、概念以及理論的一種模擬或概括。其特點是能夠最大程度地通過對科學現象機制、因果關系、功能等的體現，對科學現象及其相關概念進行描述、解釋和預測。科學模型能夠體現科學現象最為基本的屬性和特質，體現要素之間的基本聯系。[5][6]在已有研究中，對計算機支持的科學模型進行了不同的分類。本文將分類依據和相應的類型進行了歸納，見表1。

在MbSLE中，建模是一個重要的概念。建模是指建構和產生模型的過程。研究表明，以形成、測試和修改模型為基本步驟的科學建模過程是科學學習的一個重要方法，不同類型的模型的形成與建模工具密切相關，學生對于建模工具的使用和相應模型的形成，可以表現學生對于概念理解的水平。因此，建模成為教師評價學生心智模型及其水平的重要依據。研究表明，建模不但可以促進學生對科學知識的深度理解，還能促成其有意義學習

二、分析框架的形成

在文獻研究基礎上，本文將MbSLE的分析要素歸納為學科內容、教學理論、設計特點以及預期學習效果等四個方面。[13][14][15]通過對四個方面中不同內容的分析，得出不同類型的MbSLE設計及其應用特點。分析要素及其內容見表2。

三、 基于模型的科學學習

環境的比較和分析

本文將國外MbSLE主要分為三種類型：主界面只含一種模型的學習環境、主界面含多種模型的學習環境、主界面含共享建模區（shared modeling workspace）的學習環境。依據分析框架，以下對這些學習環境的設計要素進行分析和比較，得出有關結論。

（一）主界面含一種模型的MbSLE特點分析

類型1中主界面一般只提供一個模型或一種模型，界面設計相對比較簡單。類型1中的模型有直接模擬實物現象，也有模擬抽象事物，如數據等。本文選取PhET、WOW、APoME、Belvedere、Simquest和PlantMod，對這些屬于類型1的MbSLE進行要素的分析。其主界面分別如圖1a~f所示。

由表3可知，類型1大多為單機型軟件，便于在無網絡環境下使用。在模型類型來看，類型1中以相對抽象的數據模型居多，因此，適用對象大多為高中生甚至高中以上年級學生。在模型的支持性工具設計方面，為增強模型的調控功能，大多設置可控制因素及其數值大小的操作工具，有些則結合數據輸出和輸入功能，為觀察實時數據提供支持。與其他由開發人員設計模型的方式不同，Simquest為教師提供了自行設計模型的后臺工具，借助該工具，教師可以使用簡單的設計語言，設計模型及編輯配套的教學內容，如問題、前測等；另外，作為唯一一種含有建模工具的學習環境，Belvedere為學生提供了三種表征方式從簡單到復雜的建模工具，為不同學習水平學生的模型建構提供了支持。研究者還為不同的學習環境提出了不同教學模式及策略，如應用5E教學模式APoME，采用發現式學習理論設計的Simquest。從預期學習效果來看，類型1的設計特點向設計者和研究者傳達了一種信息，即抽象數據模型面向的群體為相對認知水平較高的學生，已有研究表明，對于這些學生的科學學習，側重概念的深度認知、培養其推理能力、批判性思維、數據管理能力、探究能力以及用系統觀點認識復雜概念的能力。[16][17][18]

（二）主界面含多種模型的MbSLE特點分析

從上述分析也可知，類型1在使用上存在一定局限性，如適用對象、適用的學科范圍不廣；雖提供了一些支持性工具，但模型的可操作性不強，支持學生自主建模的設計不多。因此，此類MbSLE對學生自我調控、推理能力以及反思能力等方面的培養支持不夠，也不利于教師分析學生科學概念的形成和修正過程。從類型2的設計特點來看，此類學習環境的開發在一定程度上彌足了類型1的不足，也體現了其特點。本文選擇該類學習環境的典型設計Co-Lab、 ModelingSpace、Model-It、NetLogo進行分析。其主界面分別如圖2a~d所示，具體分析內容見表4。

從類型2的性質看，均為軟件，可以在無網絡的環境下使用，且大多數可支持聯網后學生的合作學習。這些學習環境的共同點是主界面含多種類型的模型，且面向的適用對象和學科范圍較廣，絕大多數可以滿足不同年級水平學生的學習，尤其是中學階段學生的學習。此類MbSLE強調建模工具在科學學習中的應用，因此，在模型工具設計中，均設計了建模工具，使得學生能夠依據自身對概念系統的理解，建構不同水平的模型，并運行模型后再修改模型，在一定程度上有助于促進學生對學習過程的分析、反思和自我調控，也為教師評價提供了依據。部分設計則融入了漸進式建模的觀點，支持學生模型建構水平的逐級遞增，如Co-Lab和ModelingSpace，使得建模工具能夠面向不同認知能力和建模水平的學習者。

如在ModelingSpace中，學習者可以建構兩種形式的模型，一種為概念圖，屬定性模型，一種為結構圖，結構圖又分為定性結構和定量結構模型兩種；在Co-lab中，存量—流量圖變量之間的關系的描述也可以由定性和定量兩種來表征。類型2中支持性工具的設計也更為多樣化，融入了模型要素庫及共享建模區和聊天工具的設計，使得學生的學習方式更為多元。如ModelingSpace中， 建模者對自己建構的模型具有所有權，可以決定是否與其他學習者共享模型，如同意，其他人可以在此基礎上，對該模型提出修改意見；[20]在Co-lab中，其構成要素中增加了合作白板和建模白板區，聊天框及其聊天記錄查詢等工具，這些設計均為學生合作學習提供了有力支持。

所以，類型2的MbSLE設計特點，決定了其在科學教學的應用中，除了有助于學生概念的深度學習外，在思維能力訓練以及合作學習能力培養方面更有優勢。

（三）主界面為共享建模區的MbSLE特點分析

共享工作平臺是一種能夠使不同地點的人在用一時間一起工作或學習的設計方式，通過共享工作平臺的設計來促進實時在線合作是計算機支持的合作學習的一種重要途徑。[21]從上述分析可知，在MbSLE中，也融入了這種重要的設計理念，如Belvedere、Co-Lab 以及ModellingSpace。以下本文選取更為典型的含共享建模區的平臺進行MbSLE分析：Cool Modes、Cacoo和 CmapTools。其主界面如圖3a~c所示。分析結果見表5。

由表中分析可知，含有共享建模區的MbSLE 設計有簡單也有復雜。該類環境均強調不同類型的建模工具的使用，高年級學生側重定量建模工具的應用，低年級學生則側重定性模型工具的使用。建模工具的設計大多比較簡單，易于大多數學生學習并使用。在共享程度的設計方面，共享水平有高有底，有些能夠共享已有模型，有些則是共享建模的過程，且提供了多種合作學習的支持性工具，如共享聊天框以及共享文件夾等。如Cacoo，該軟件不但提供了共享建模區，使得不同的學習者通過同一個建模區達到實時合作的效果，并且可以輔以聊天框，以便在建模過程中進行交流、討論并對模型結果作出評價，有利于學生在學習過程中的互評和反思。這種基于共享建模區的合作建模方式不但有助于促進學生完成復雜任務形成專家導向的概念模型，更有助于提高學生的反思和評價能力。

四、結論和啟示

（一）模型和建模工具的設計

1. 提供簡單的建模方式

通過以上分析，本文總結國外MbSLE的建模方式主要分為三種，一種是以PhET和WOW等為代表的需編程人員針對特定學科、特定主題而設計的模型，是基于編程語言的建模方式。使用者較難依據自己需求修改并設計新的模型，因此，該類方法設計的模型種類也相對比較單一，更新慢，適用范圍較窄。第二種是以NetLogo和 Simquest 為代表的通過為教師提供模型編輯區，提供相對編程語言簡單的建模語言供教師建構所需模型，并可編輯一定的教學內容，是基于模型編輯區的建模方式。這種環境中往往還提供共享平臺或模型庫來幫助用戶上傳、存儲以及共享所建的模型，模型種類豐富，更新率高，但不適合建模水平較低的學生使用。第三種是以Co-Lab、Cacoo、ModelingSpace和 Model-It為代表的通過提供面向學生的簡單建模工具，并輔以所需的圖庫或符號庫等，以結構圖的方式通過一定的關系來形成模型的設計，是基于建模工具的建模方式。這種建模方式更為簡便、直觀，適合不同認知水平的學生使用。這三種方式的建模難度層層遞減，從面向編程人員到面向學生，適用群體也進一擴大。第三種方式中除了提供簡單的建模方法外，還為建模提供符號、圖片、視頻、動畫等，使學生從更為直觀的角度來理解概念系統的組成。因此，相對于前兩種，第三種建模方式更適合中學的科學學習，建議教師在日常教學中多選擇含有此類建模方式的科學學習環境。而對于教師自身，也應適當關注并使用第二種建模方式的學習環境，不但有助于增強自身的建模水平，更能為學生提供多樣化的學習模型。

2. 使用結構圖來表征模型

結構圖對科學原理或概念的高度概括能力，使得其普適性較其他形式的模型表達方式更強。用結構圖表征科學模型能夠加強學生推理、概念的深度認知以及系統觀點的形成，[22][23]研究也表明，學生更容易通過這種方式表達對概念的認知。[24]在這些結構圖示的組成要素中，主要包括主體、變量以及變量與變量之間的關系。本文對上述學習環境涉及的結構圖中模型的要素、要素的表達方式進行了總結，見表6。

可見，大多數結構圖用特定的圖形或符號來表征概念系統中的主體、變量及其關系。

面向不同的使用者，設計策略不同。當面向低水平學習者時，資源庫中包含更多能夠表征一定主體和變量的圖片、視頻以及動畫等。在面向高水平的學習者時，資源庫則提供了不同種類的符號以及圖形等。在結構圖變量關系的表征中，也使用了不同的符號，如直接用直線、直接加文字描述、直線加方程、直線加符號等。便于學習者依據自身能力，建立不同水平的模型關系。這樣的設計，也為相關研究者提供了啟示，即面向不同水平的學習者，認知符號和表達方式的設計需要有一定的層次性，從具體到抽象、從簡單到復雜、從顯性到隱性描述的設計原理，為用戶提供一個更為靈活的學習環境。

（二）支持性工具的設計

支持性工具主要分為三種：支持控制和執行模型的工具、支持學生學習過程的內容設計、促進學生合作交流的工具。[25][26]

1. 提供不同控制程度的模型支持性工具

在模型的建構中，學習者主要通過改變模型要素，參數以及變量關系等來形成模型。在模型的形成中，通過模型建構來生成模型的方式，變化性最強，由學習者全新建構而成，對學生認知水平和建模技能要求較高；附有因素控制的支持性工具的模型可控制性次之，如在類型1中，大多通過設計可控制按鈕使因素種類和大小改變來觀察模型的變化。這些均屬于可調控模型的范疇，模型的要素大多已經確定，變量關系也由計算機生成而非學習者定義，因此，這樣的模型對于學生的認知水平和建模水平的要求相應降低。而無調控工具的模型則適合教師演示和學生觀察，對于學生自主探究能力的要求降低。所以，在實際教學中，教師應針對學習者的學習水平，選擇不同層次控制程度的建模支持性工具，便于學生觀察和控制各種模型。適當對認知水平較高的學生，提供相應的建模工具，為鍛煉學生思維、促進系統觀點的形成提供更為有力的支持。

2. 設計不同程度的共享工具

除其他支持性工具外，當前國外MbSLE的最大特點是共享建模區的設計。該設計使建模過程融合學生的討論、互評、自我反思等方法，[27]進一步體現了基于計算機的合作學習的價值。在共享建模區中依據共享程度的不同，分為實時建模和非實時建模，實時建模往往表現為共享建模過程，非實時建模則表現為共享建模結果。實時建模是一種更為嚴格的共享方式，允許少量的合作者共同建模，技術難度較大。在ModelingSpace 和CmapTools中，建模主體為一人，其他學習者若想共享模型，則需提出請求。這種一個共享界面在固定的時間只能允許一人建模，是非實時建模的一種。而在Cacoo 和Cool Modes的設計中，建模過程和結果均可以和其他人實時共享，多個合作者可以在同一時間同一界面合作建構一個模型為實時建模方式。與非實時建模方式相比，實時建模方式對于學習者的交流、合作能力提出了更高的要求，適合具有較高水平合作能力的學習者使用，教師在教學過程中需要介入更多的干預，以加強學生的配合。

第7篇：數學建模的三種基本方法范文

關鍵詞 數學廣角 數學思想

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

基本數學思想方法是提高學生數學能力和思維能力的重要手段，是實現從傳授知識到培養學生分析問題、解決問題能力轉變的重要途徑。但它們都是隱性的，抽象的。數學廣角的內容都是把這些抽象的數學思想方法以學生可以理解的直觀的、生動有趣的形式呈現。讓學生在直觀的解決問題過程中感悟抽象的數學思想。在教學過程中教師的作用就不可小覷，應該作為組織引導者和促進參與者，要運用多種手段激發學生的思考意識和問題意識。引導學生充分發揮主體作用，自主實踐，運用已有知識經驗，探索新方法手段，利用多樣的思想方法來解決問題。在“植樹問題”教學中筆者充分滲透了如下的一些思想方法。

1 對應思想

所謂“對應”是指一個系統中某一項性質、作用、位置或數量上跟另一系統中某一項相當。對應思想有助于加深對知識的理解，培養學生清晰有條理的思考方法，提高學生比較問題、分析問題、解決問題的能力。在植樹問題教學中，對于研究段數和間隔數的關系，筆者充分引導了這一思想方法。

【片斷一】

探究關系：（1）為什么都是在24米長的小路，都是每隔6米種一棵，會出現3種不同的結果呢？（2）有沒有共同的地方？（3）段數相同，棵樹相同嗎？

打開信封，結合里面的兩個材料想一想。

材料一：

材料二：

男生女生排隊，人數一樣多，最后一位（ ）

（1）先獨立思考。（2）可以同桌之間，小組之間相互討論。（3）請小朋友說出自己的想法，并把關鍵字板書。（4） 總結。

學生很容易發現，籬笆數和木樁數之間的關系：籬笆數=木樁數+1。

男學生數和女學生數之間的關系：男生數=女生數。

再回到3種種樹情況中有沒有對應思想的存在。

一棵樹跟著一個間隔，間隔和樹一一對應，最后那棵樹沒有間隔與其對應，所以棵樹比間隔數多1。

一棵樹跟著一個間隔，間隔和樹一一對應，棵樹和間隔數一樣。

一棵樹跟著一個間隔，間隔和樹一一對應，最后多了一個間隔出來。

至此學生已經感受植樹問題中一一對應思想方法的存在，理解了多1的原因，建立起深刻、整體的表象，體會到不同植樹問題情形中棵樹和間隔之間的關系。在后續的練習中，學生能夠充分利用這一思想方法來解題，正確率大大提高了。

2 數形結合思想

所謂數形結合是指借助簡單的圖形、符號和文字所做的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。在學生掌握基礎知識和基本技能的基礎上，通過教師的引導，建立數形結合有利于學生的思考，降低學習的難度。加大學生的思考空間和創造空間，激活學生的思維。

在植樹問題教學中，要進一步研究不同情形的植樹問題棵樹和間隔數之間的關系，并且抽象出公式，如果只是單純地把數量關系告訴學生，讓學生強硬記住，并且反復練習，所得的結果只有兩個：易混淆和易出錯，時間一長容易忘記。所以筆者不提倡讓學生單純記憶任何一種植樹問題的數量關系和公式，而是注重讓學生與他人合作交流，利用較小的數做實驗，通過探究活動，畫線段圖或示意圖的方式很好地把數量關系抽象出來，并嘗試用自己的語言表述這個結果，利用“多數推廣”的方法找規律，以小見大，推廣應用。

【片斷二】

（1）獨立嘗試把上述不同的種樹情況和自己的想法通過畫圖表示出來，收集不同圖示進行展示，如下：

（2）就上述不同情況進行比較和辨析。

為什么在同樣長24米的小路一邊植樹，都是每隔6米種一棵，會出現三種不同的結果？（關鍵是看兩個端點是否植樹）。初步感知棵樹和段數之間的關系。

（3）再次嘗試合作探究，不同條件下棵樹和段數直接的關系。

①在這條24米長的路上植樹，除了可以每隔6米種一棵，還可以每隔幾米種一棵？學生紛紛說出各自的想法，每隔2米、3米、4米、8米等等。

②請學生選擇自己喜歡的相隔米數，再次通過畫圖來完成三種不同的植樹情況。（提供獨立探究的操作紙）

③數據填入表格

④展示學生研究結果

觀察表格結果，你對不同植樹情況下，棵樹和段數之間的關系有什么新的發現？（很多學生都說有規律）。

總結學生的發現：兩端都種：棵樹=段數+1。

一端種，一端不種：棵樹=段數

兩端都不種：棵樹=段數1

這樣的操作和探索不單單做到了數形結合，同時又把三種植樹情況聯系在一起，為學生的個性化思維提供了寬敞的舞臺，力求讓每個層次的學生都能展現出自己的理解，并在適當的時候進行交流，讓學生由表及里地把外在的感性操作提升為內在的理性經驗，真正培養和發展了學生的抽象思維能力和問題解決能力。

3 數學建模思想

數學建模是把錯綜復雜的數學問題抽象、簡化為簡單的合理的易于理解的數學結構的過程。它是一種數學的思考方法和數學學習方式，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。“植樹問題”的模型是典型的數學模型，它源于現實，又高于生活。在現實中有著廣泛的應用。

【片斷三】

發現生活中的植樹問題

（1）先讓學生說說生活中有沒有類似植樹問題的例子。

第8篇：數學建模的三種基本方法范文

[關鍵詞] 復雜金融產品 設計方法 仿真技術

一、復雜非實體產品的定義

根據現代營銷學之父——菲利普·科特勒(Philip Kotler)的觀點，產品是市場上任何可以讓人注意、獲取、使用、或能夠滿足某種消費需求和欲望的東西。它既包括具有物質形態的產品實體，又包括非物質形態的利益。現代市場營銷理論認為，產品可分成有形產品(實體產品)和無形產品(非實體產品)兩類。

現代產品具有客戶需求復雜、產品組成復雜、產品技術復雜、制造過程復雜、項目管理復雜的特性，可稱為復雜產品。

現代金融服務業如保險、證券和銀行等相關企業提供的產品一般也具有組成復雜、功能復雜和行為復雜的特性，但以服務契約形式而非實體形式，可以定義為復雜非實體產品。

產品設計的最終目標是面對客戶的選擇性市場需求，將基于市場細分的需求概念轉化為高質量或低風險的產品，最大限度地滿足客戶持續變化的需求。復雜實體產品的設計要求產品是在滿足功能需求的基礎上，要求以最快的上市時間、最好的質量、最低的成本、最好的服務、產品創新和最佳的環境保護。

金融服務產品是非實體產品，其最重要的問題是產品的風險性。與實體產品的質量類似，控制產品的風險也就控制了產品的質量。復雜金融產品的特性主要表現在其風險的復雜性，所以其設計和仿真方法也就具有復雜性。

二、金融產品設計涉及的技術和設計過程

1.金融產品設計涉及的技術。在實體產品的設計中，提出了生命周期的概念，其目的是研究產品的市場戰略和設計，涉及的內容涵蓋市場分析和設計開發。包含從產品的需求分析、概要設計、詳細設計、制造、銷售、售后服務、直到產品報廢回收的全過程。軟件產品也不例外，軟件生存周期涉及的內容也包括從問題定義、可行性研究、需求分析、軟件設計(概要設計和詳細設計)、編碼、調試和維護。

與復雜實體產品類似，復雜非實體產品的生命周期涵蓋產品的需求分析、概要設計、詳細設計、售前服務、銷售、售后服務和產品終止等階段和相應指標。其管理技術也是為滿足產品上述指標發展起來的。

2.設計過程。金融業是百業之首，金融領域的產品涉及到銀行、證券和保險等方面。需求分析是復雜金融產品設計的第一步。

(1)需求分析階段。需求分析階段要解決的問題，是讓用戶和金融機構共同明確將要開發的是一個什么樣的系統，其過程包括:

①詳細聽取客戶的反映，確定產品需求，是需求獲取的第一步;

②市場研究，包括市場規模調研，確定市場需求并聽取分銷渠道的反映;

③相關產品跟蹤調查，確定產品的競爭力因素，是需求提煉的過程。

(2)概要設計階段。需求分析階段以后，進行產品的概要設計。這一階段有兩項關鍵活動，即預測產品的風險和全面可行性分析。

風險來自兩個方面。首先是金融產品和服務本身所包含的風險，其次為控制和轉移風險的方法。前者是從金融產品(服務)的風險需要出發，從產品交易雙方進行分析。后者是分析如何控制、轉移風險。

(3)詳細設計階段。詳細設計是制定完整詳細項目計劃、細化產品原型、定義產品詳細特征、產品對系統和管理的影響以及培訓方案。

詳細設計的主要內容是產品定價。產品定價是概要設計的繼續，包括定價原則;定價前提的假設條件和經營管理成本對產品成本的定價三個方面。

(4)銷售和售后服務階段。這一階段的主要工作是業務的風險評估和控制。相當于軟件生命周期中的維護階段，其目的是使金融產品在整個生存周期內保證滿足用戶的需求和延長產品使用壽命。

這一階段中的業務監管過程是基于事后的經驗。將既成事件作為歷史或經驗數據，建立監管模型，或對原有的模型做出調整，從而達到監管的目的。

3.復雜金融產品設計的仿真技術。目前，仿真科學與技術在經歷了上個世紀后50年的飛速發展后，已成功地應用于航空航天、信息、生物、材料、能源、先進制造等高新技術和工業、農業、商業、教育、軍事、交通、經濟、社會、醫學、生命、娛樂、生活服務等眾多領域。由于計算機技術的高速發展，科學計算和計算機仿真已經成為科學研究中除理論研究和科學實驗以外的第三種方法。現在，建模與仿真技術和高性能計算技術相結合，正成為繼理論研究和實驗研究之后的第三種認識和改造客觀世界的重要方法。仿真技術毫無例外地可用于復雜金融產品設計中。

(1)建模:仿真的意義在于模型的有效性，因此用仿真的方法來研究復雜系統，首要問題是對研究的目標對象建立合理的仿真模型，即建模，它是仿真中最基本的工作，數學模型的建立必須有數學知識的支持。將研究對象符號化、公式化，形成理想化的數學方程式或具體的計算公式，然后在數學語言的規范內進行邏輯推導、運算、演算和量的分析，形成數學模型，從而對研究對象形成數學解釋和預測。其次，各類仿真算法也需要數學方法作為基礎。

因此，仿真科學與技術的進一步發展離不開數學模型和數學工具，特別是復雜產品的仿真，更依賴于PETRI網絡，神經網絡，混沌理論，模糊理論等新的數學理論。隨著數學的發展，能夠更好地為仿真所用，強有力支持仿真科學與技術。

模型的建立還依賴于豐富的數據資源，數據倉庫(Data Warehouse，DW)的方法就為建模和仿真提供了一個有效的環境。我國金融企業經過10多年的信息化建設，建立并積累了大量的數據資源，基于數據倉庫的建模和仿真是一個個值得注意的研究領域。

(2)選擇合理的仿真算法:猶如算法是計算機程序設計的核心一樣，仿真算法同樣是仿真過程的關鍵。以金融領域為例，現代金融工程的技術內容主要是基于信息系統的分析和綜合對象的建模和仿真分析，其方法在股票、期權、外匯和期貨等領域得到了廣泛的應用。例如，對非實體產品具有風險的復雜不確定性的特點，用確定性方法給出近似解十分困難。擅長對隨機問題進行仿真的MonteCarlo方法，就是解決這類問題的一種特殊數值方法

(3)仿真優化:分析金融產品的數學模型的性質可知，在同一個問題中經常會出現非線性、不確定性和最優化問題。因此，優化的核心問題也是最大限度地降低產品的風險，優化風險結構，達到控制風險的目的。近年來，隨著計算機技術的發展，涌現了各類仿真優化理論和算法。例如，模擬自然界進化過程的進化算法、遺傳算法和蟻群優化算法都已成為解決復雜優化問題的重要方法。

參考文獻

第9篇：數學建模的三種基本方法范文

大眾化教育下高職教育應“以人為本”針對生源的特殊性，構建基于人的發展的職業教育課程體系，從而提高教育教學的水平與質量。從受教育者和施教者雙視角下對高職數學課程建設進行多元分析，在貫徹國家教育方針指導下，以人為本進行高職數學課程改革。 

一、高職教育現狀多元化分析——以水利電力職業技術學為例 

從被施教者和施教者視角下對高職數學課程建設進行多元分析被施教者（高職學生）普遍存在人格的缺失、習慣的無形、知識的匱乏。對于普遍問題究其原因來自：（1）家庭背景造成的一種缺失。“家庭的愛”的缺失，留守兒童；父母離異兒童；所占的比例15%。（2）成長背景造成的一種缺失。成長過程中或讀小學、初中、高中，來自學校、老師方面的愛的缺失所占的比例40%。（3）社會背景造成的一種缺失。社會對高職的一種歧視。施教者普遍存在老中青的知識結構差異，中老年教師教學經驗豐富，教書及育人有一定的方法。但對新知識的接受及傳受有一定的障礙，教學方法也較保守。而青年教師由于接受新知識的學習，接受和傳受新知識有一定的優勢，教學方法不拘一格。施教者與被施教者應取長補短，揚長避短。 

二、基于教育現狀的高職高等數學課程建設多元化分析 

高職高等數學課程建設需面向師生，以學生為中心，以能力為本位，以專業為導向，強調學生整體素質的培養和身心素質的全面發展。可以做到以下五個方面：（1）五個銜接。即數學和所學專業對接；三類學情與三類課型對接；三種教材與三類課型對接；三類學情與三種實施方式對接；三類教師與三種實施方式對接。（2）三類學情。首先大一新生入學，第一學期有64學時將應用數學基礎知識傳授給學生，統一考核，通過各位任課教師一學期的觀察與考核結果將學情分類，兼之學生的選擇，在選取數學后期學習，將學情分為以下三類：學情Ⅰ：學生的知識與技能、思維、解決問題能力、學習的目的性很強；個性發展、興趣、愛好全面。學情Ⅱ：知識與技能、思維、解決問題能力較弱；個性發展、興趣、愛好局限。學情Ⅲ：知識與技能、思維、解決問題能力弱；個性發展、興趣、愛好缺失。（3）三類課型。課型Ⅰ數學實驗與數學建模課（緊密與專業學習對接）；課型Ⅱ高等數學基礎課（盡可能與所學專業對接，主要目地為終身教育打基礎）；課型Ⅲ數學素質課（人文數學或數學文化。促進學生個性發展，興趣、愛好）。（4）三種施教方式。一種以專業學習、數學實驗及建模競賽為載體實施數學實驗及建模課教學；一種是以專業需求、終身教育為載體實施實用數學課教學；一種是以數學素質教育為載體實施人文數學課教學。（5）三類教師。即實驗教師（數學實驗及建模）、理論教師（實用數學基礎）、素質教育教師（數學素質課）。其中實驗教師是青年教師；理論教師是中青年教師；素質教育教師是老年教師。 

三、“專學結合”視角下高職高等數學教材開發的多元分析 

教材作為知識和技能的載體在高職院校教學過程中起著重要作用，對促進人才培養質量起著重要作用。針對教材的特殊性對教材的開發具有重要意義。 

（一）對大一新生第一學期64學時開發《高等數學基礎》教程主要體現以下內容。高等數學基礎知識講解，以項目教學實施，項目是按數學知識體系劃分。同時配套項目任務考核冊，考核冊具有以下三個特點：一是，基本概念理解與簡單應用，即填空、選擇、判斷、測評題與書本例題類型難易度一樣的；二是，難易度遞進，填空、選擇、判斷、測評題比書本例題相對難一些；三是，拓展加深，題的難度要大一些，題量要大一些，實際生活實例要多一些，專業實例相應配備一部分。 

（二）對應三類課型的施教，高職高等數學開發三種配套教材。課型Ⅰ配套教材《數學建模》、《數學實驗》，具有兩個特點：一是，教材抓住“專學結合”為切入點，以專業實例作為高等數學配套課新內容的引入，構建項目教學，有利于創設問題情境，有利于使學生體會到數學在自身專業學習中的地位與作用的；二是，教材以數學建模競賽題為載體，構建“項目教學、情境模擬、課專融合、過程式考核”。課型Ⅱ配套教材《實用高等數學》，具有三個特點：一是，以應用高職高等數學為主線，每節教學內容大體圍繞兩個應用性問題展開，教材中有關數學應用的例子和習題緊緊圍繞學校特色進行。內容涉及建筑、文化、商業、家庭理財、全球性問題（如糧食問題、人口問題、環境保護問題）給社會帶來的影響和作用。二是，教材抓住日常生活中的問題作為新內容的切入點，常常圍繞具體問題的應用展開，有利于創設問題情境，而且有利于使學生體會到數學就在身邊；三是，教材開設應用欄目，如聚焦職業，介紹各行各業應用數學的事例。課型Ⅲ配套教材《人文數學》。具有兩個特點：一是以數學知識為載體，努力去展示數學豐富的人文內涵，以數學思想、數學精神為主線，以數學人物、數學故事、數學問題、數學史、數學之謎為題材，以生動而不失深度的敘述，把學生帶入數學與人文交相輝映的學習之中。二是具有教育性、科學性、趣味性、藝術性等。內容上：通俗易懂，形式上：喜聞樂見，易于傳播，易于接受。 

四、結語 

通過多元化《高等數學》教學教材的開發以及對教學內容和設計的改進，使得高等數學課程教學中出現的一些對學生說難以理解的、深奧的抽象理論知識，通過具體的實用性、可操作性來體現，使學生易于接受。多元化教學方法比較切合大多數理論性強的課程教學內容和設計的改進依據，有望進一步推動高職院校人才的培養質量。促進學生能夠更積極主動地、自覺地學習，有興趣與老師交流，也有能力和水平與老師溝通，使絕大部分學生都能真正地掌握本門課程的主要知識點，為以后的專業課的學習打下夯實的基礎。從教學課程到課時的安排都作了較大的調整，從而也興起了新一輪高職數學教學改革的浪潮，在對高職數學課程教學模式進行探討和研究過程中，對課程建設進行多元化分析.在教學方法上、考核方法上等，采用分層式，多元化，使教學達到最有效的作用。成功做好高等數學與專業的緊密結合，高等數學教師要不斷提高自身素質，對專業與數學的聯系有較多的了解。并與教學過程相互滲透才能喚起學生的學習熱情，從而使學生感受到數學知識的豐富與有趣。 

參考文獻 

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