四則運(yùn)算法則精選(九篇)

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第1篇：四則運(yùn)算法則范文

極限是微積分的一個(gè)重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限的計(jì)算又是學(xué)好微積分的重要前提條件。正因?yàn)閿?shù)學(xué)之美妙不可言，數(shù)學(xué)中解題方法的多樣性更是引人入勝，許多人都在探索著高等代數(shù)中求極限的方法并有所成效。在前人的基礎(chǔ)之上我對(duì)求極限的方法作了進(jìn)一步的歸納總結(jié)，希望能讓讀者從中受益，能讓初學(xué)者懂得將靜態(tài)的、內(nèi)隱的教學(xué)規(guī)律轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的、外顯的探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知發(fā)生一個(gè)“質(zhì)”的飛躍。

一、由定義求極限

極限的本質(zhì)――既是無(wú)限的過(guò)程，又有確定的結(jié)果。一方面可從函數(shù)的變化過(guò)程的趨勢(shì)抽象得出結(jié)論，另一方面又可從數(shù)學(xué)本身的邏輯體系下驗(yàn)證其結(jié)果。

然而并不是每一道求極限的題我們都能通過(guò)直觀觀察總結(jié)出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復(fù)雜的題。

二、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

此方法簡(jiǎn)單易行但不適合于f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)是不連續(xù)的函數(shù)，及f（x）在x0處無(wú)定義的情況。

三、利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限

極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿(mǎn)足極限四則運(yùn)算法則條件。滿(mǎn)足條件者，方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之，不滿(mǎn)足條件者，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，并非不滿(mǎn)足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧如拆項(xiàng)，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。

四、利用兩邊夾定理求極限

定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A

兩邊夾定理應(yīng)用的關(guān)鍵：適當(dāng)選取兩邊的函數(shù)（或數(shù)列），并且使其極限為同一值。

注意：在運(yùn)用兩邊夾定理求極限時(shí)要保證所求函數(shù)（或數(shù)列）通過(guò)放縮后所得的兩邊的函數(shù)（或數(shù)列）的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。

五、利用兩個(gè)重要極限求極限

六、利用單調(diào)有界原理求極限

單調(diào)有界準(zhǔn)則即單調(diào)有界數(shù)列必定存在極限。使用單調(diào)有界準(zhǔn)則時(shí)需證明兩個(gè)問(wèn)題：一是數(shù)列的單調(diào)性，二是數(shù)列的有界性；求極限時(shí)，在等式的兩邊同時(shí)取極限，通過(guò)解方程求出合理的極限值。

利用單調(diào)有界原理求極限有兩個(gè)難點(diǎn)：一是證明數(shù)列的單調(diào)性，二是證明數(shù)列的有界性，在證明數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的有界性時(shí)，我們通常都采用數(shù)學(xué)歸納法。

七、利用洛必達(dá)法則求極限

八、利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中利用等價(jià)無(wú)窮小代換法或與其它方法相結(jié)合，不失為一種行之有效的方法，但并非計(jì)算過(guò)程中所有的無(wú)窮小量都能用其等價(jià)的無(wú)窮小量來(lái)進(jìn)行計(jì)算。用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價(jià)無(wú)窮小代換的問(wèn)題便集中到對(duì)于分子、分母中的加減法因子如何進(jìn)行x的等價(jià)無(wú)窮小代換這一點(diǎn)上，在利用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法求極限時(shí)必須把分子（或分母）看作一個(gè)整體，用整個(gè)分子（或分母）的等價(jià)無(wú)窮小去代換。

九、利用泰勒展式求極限

運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計(jì)算量，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。但一般說(shuō)來(lái)，這種方法僅限于求兩個(gè)無(wú)窮小量是乘或除的極限，而對(duì)兩個(gè)無(wú)窮小量非乘或非除的極限，對(duì)于一些未能確定函數(shù)極限形態(tài)的關(guān)系式，不能用洛必達(dá)法則及等價(jià)無(wú)窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。

第2篇：四則運(yùn)算法則范文

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 求極限 常用方法

極限這一概念是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念之一。在給定函數(shù)（或數(shù)列）的極限存在的前提下求極限的方法又作為學(xué)習(xí)極限問(wèn)題的基礎(chǔ)。筆者在此總結(jié)出高等數(shù)學(xué)中求極限的幾種常用方法。

一、利用極限四則運(yùn)算法則求極限

函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)有函數(shù)，若在自變量f（x），g（x）的同一變化過(guò)程中，有l(wèi)imf（x）=A，limg（x）=B，則

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）?g（x）］=limf（x）?limg（x）=A?B

lim==（B≠0）

（類(lèi)似的有數(shù)列極限四則運(yùn)算法則）現(xiàn)以討論函數(shù)為例。

對(duì)于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會(huì)想到極限四則運(yùn)算法則，但使用這些法則，往往要根據(jù)具體的函數(shù)特點(diǎn)，先對(duì)函數(shù)做某些恒等變形或化簡(jiǎn)，再使用極限的四則運(yùn)算法則。方法有：

1.直接代入法

對(duì)于初等函數(shù)f（x）的極限f（x），若f（x）在x點(diǎn)處的函數(shù)值f（x）存在，則f（x）=f（x）。

直接代入法的本質(zhì)就是只要將x=x代入函數(shù)表達(dá)式，若有意義，其極限就是該函數(shù)值。

例1：求極限（x+3）。

解：（x+3）=2+3=7。

2.無(wú)窮大與無(wú)窮小的轉(zhuǎn)換法

在相同的變化過(guò)程中，若變量不取零值，則變量為無(wú)窮大量?圳它的倒數(shù)為無(wú)窮小量。對(duì)于某些特殊極限可運(yùn)用無(wú)窮大與無(wú)窮小的互為倒數(shù)關(guān)系解決。

（1）當(dāng)分母的極限是“0”，而分子的極限不是“0”時(shí)，不能直接用極限的商的運(yùn)算法則，而應(yīng)利用無(wú)窮大與無(wú)窮小的互為倒數(shù)的關(guān)系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。

例2：求。

解：==0

=∞。

（2）當(dāng)分母的極限為∞，分子是常量時(shí)，則f（x）極限為0。

例3：求。

解：=0。

3.除以適當(dāng)無(wú)窮大法

對(duì)于極限是“”型，不能直接用極限的商的運(yùn)算法則，必須先將分母和分子同時(shí)除以一個(gè)適當(dāng)?shù)臒o(wú)窮大量x。

例4：計(jì)算。

解：===3。

一般情形有如下結(jié)論：

設(shè)a≠0，b≠0，m，n是正整數(shù)，則

=0，當(dāng)n＞m時(shí)，當(dāng)n=m時(shí)∞，當(dāng)n＜m時(shí)。

4.有理化法

適用于帶根式的極限。

例5：計(jì)算（-）。

解：（-）=

==0。

二、利用夾逼準(zhǔn)則求極限

函數(shù)極限的夾逼定理：設(shè)函數(shù)f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內(nèi)（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類(lèi)似的可以得數(shù)列極限的夾逼定理）

利用夾逼準(zhǔn)則關(guān)鍵在于選用合適的不等式。

例6：計(jì)算x［］。

解：當(dāng)x＞0時(shí)，有1-x＜x［］≤1，利用夾逼準(zhǔn)則，有（1-x）=1，所以有x［］=1。

三、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限

單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。

首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程，可求出極限。

例7：證明數(shù)列，，，…有極限，并求其極限。

證明：（1）先證數(shù)列有界，易知{x}遞增，且x≥，

用數(shù)學(xué)歸納法證明x≤2，顯然x=＜2，

若x≤2，則x=≤=2。

（2）再證數(shù)列單調(diào)增加x-x=-x==。

利用（1） 0＜x＜2?圯x-x＞0。

（3）利用單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則，x=a。

（4）由x=，x=2+x。

在等式兩端取極限，得a=2+a，求得a=2或a=-1（明顯不合要求，舍去）

所以x=2。

四、利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小量的例子有：當(dāng)x0時(shí)，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等價(jià)無(wú)窮小的代換定理：設(shè)α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變量x在同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。

例8：計(jì)算。

解：利用等價(jià)無(wú)窮小代換，

有===。

注：當(dāng)分母或分子是兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小相減時(shí)，不可簡(jiǎn)單地用各自的等價(jià)無(wú)窮小代換，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，從另一個(gè)角度，等價(jià)無(wú)窮小代換適宜在乘積和商中進(jìn)行，不宜在加減運(yùn)算中簡(jiǎn)單代換。

例如：因?yàn)閤0時(shí)，tanx～x，sinx～x，有==0。

上式出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是當(dāng)x0時(shí)，盡管tanx～x，sinx～x，但tanx與sinx（x0）趨于零的速度只能近似相等，但不完全相等。

五、利用無(wú)窮小量性質(zhì)求極限

在無(wú)窮小量性質(zhì)中，特別是利用無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限。

例9：計(jì)算xsin。

解：當(dāng)x0時(shí)，x是無(wú)窮小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是無(wú)窮小量，于是xsin=0。

六、利用兩個(gè)重要極限求極限

使用兩個(gè)重要極限=1和（1+)=e求極限時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)所給的函數(shù)或數(shù)列作適當(dāng)?shù)淖冃危怪哂邢鄳?yīng)的形式，有時(shí)也可通過(guò)變量替換使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

例10：計(jì)算。

解：===2。

例11：計(jì)算（）。

解：（）=［（1+）］=e。

七、利用洛必達(dá)法則求極限

如果當(dāng)xa（或x∞）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）都趨于零或趨于無(wú)窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類(lèi)極限分別稱(chēng)為“”型或“”型未定式，對(duì)于該類(lèi)極限一般不能運(yùn)用極限運(yùn)算法則，但可以利用洛必達(dá)法則求極限。

洛必達(dá)法則：

設(shè)（1）極限為型或型未定式；

（2）f（x），g（x）在某去心鄰域（x）或|x|＞X時(shí)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；

（3）存在或?yàn)闊o(wú)窮小，則=。

其他未定式，如“0?∞”型、“∞-∞”型、“1”型、“0”型、“∞”型，不能直接用洛必達(dá)法則，需轉(zhuǎn)為“”型或“”型后再用洛必達(dá)法則。

例12：計(jì)算。（型）

解：==2。

例18：計(jì)算（sinx）。（0型）

解：（sinx）=e=e=e=e=e=e=1。

八、利用泰勒公式求極限

如果函數(shù)f（x）在含有x的某個(gè)開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x在（a，b）內(nèi)時(shí)恒有f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x）+o［（x-x）］（xx），

其中o［（x-x）］稱(chēng)為皮亞諾余項(xiàng)，當(dāng)x=0時(shí)，上述等式稱(chēng)為麥克勞林公式。

對(duì)某些較復(fù)雜的求極限問(wèn)題，可利用麥克勞林公式加以解決。

例19：計(jì)算。

解：=

==。

在用泰勒公式求極限時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)靈活應(yīng)用分清哪些項(xiàng)需要展開(kāi)，哪些項(xiàng)可以保留。對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的極限，泰勒公式是一個(gè)有力且有效的工具。

九、利用定積分定義求極限

若遇到某些求和式極限問(wèn)題，能夠?qū)⑵浔硎緸槟硞€(gè)可積函數(shù)的積分和，就能用定積分來(lái)求極限，關(guān)鍵在于根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)，以及積分區(qū)間。

例15：計(jì)算sin+sin+…+sinπ。

解：原式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=?蘩sinπxdx=［cosπx］=。

從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格，我們應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，不能機(jī)械地用某種方法，對(duì)具體題目要注意觀察，有時(shí)解題可多種方法混合使用，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）（上）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

第3篇：四則運(yùn)算法則范文

周清松 普洱學(xué)院理工學(xué)院 云南普洱 665000

基金：云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目（2013Y107）

【文章摘要】

用模擬人工手算的方法，很好的解決了大整數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)大整數(shù)運(yùn)算時(shí)不受長(zhǎng)度的限制。通過(guò)分析比較，發(fā)現(xiàn)用整型數(shù)組作為存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)雖簡(jiǎn)單易行，但這種存儲(chǔ)方式浪費(fèi)空間，而采用字符串來(lái)處理，對(duì)算法設(shè)計(jì)及空間利用率都是很好的選擇。

【關(guān)鍵詞】

大整數(shù)；算法模擬

0 引言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)和高端科學(xué)的發(fā)展， 超大數(shù)理級(jí)的處理也越來(lái)越多的應(yīng)用的社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域。比如在國(guó)家經(jīng)濟(jì)生活中，決策者們需要通過(guò)收集，處理，統(tǒng)計(jì)和分析工農(nóng)業(yè)中有關(guān)的數(shù)據(jù)。從而得到精確的結(jié)果。借以指導(dǎo)下一步的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展。在航空領(lǐng)域，科技工作者們更要處理大量的數(shù)據(jù)，其中不乏一些超大的數(shù)據(jù)或超高精度的數(shù)據(jù)，整個(gè)處理過(guò)程不能有絲毫的馬虎。在密碼領(lǐng)域，如果能采用超大的數(shù)據(jù)進(jìn)行算法設(shè)計(jì)，對(duì)社會(huì)保密工作將會(huì)有一個(gè)極大的提升。因此，大整數(shù)的處理是研究計(jì)算機(jī)數(shù)字處理的重要問(wèn)題之一，所謂的大整數(shù)，是指超過(guò)目前各編譯器所定義的最高精度的整型數(shù)。目前計(jì)算機(jī)所標(biāo)稱(chēng)的有效數(shù)值范圍仍是依據(jù)計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)規(guī)定的，像現(xiàn)在的pentium64 位超過(guò)了20 位的有效數(shù)字就不能完整表示了。

1 問(wèn)題分析

如果要完成大整數(shù)的四則運(yùn)算，首先要解決的問(wèn)題是如何存儲(chǔ)運(yùn)算數(shù)的問(wèn)題， 其次是設(shè)計(jì)算法實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的過(guò)程。

1.1 超大數(shù)存儲(chǔ)技術(shù)

1.1.1 整型數(shù)組存儲(chǔ)

采用數(shù)組這種常用存儲(chǔ)方式進(jìn)行如下處理，將輸入的數(shù)據(jù)拆成單個(gè)的字符， 并將該字符存放在整型數(shù)組的一個(gè)單元中，然后進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算，如圖1 所示：

采用這種方式存儲(chǔ)，對(duì)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的任何一位的數(shù)據(jù)的訪問(wèn)、修改都非常方便， 但是，空間利用率非常低，存儲(chǔ)0~9 之間的一個(gè)數(shù)最多占用4 個(gè)位，而在vc++ 中任一個(gè)整型占四個(gè)字節(jié)，即是32 個(gè)位，可見(jiàn)空間的利用率最多才到1/8。這樣一來(lái)， 雖然算法設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)單而可行，但是空間付出了大量的代價(jià)，況且數(shù)組的大小是一個(gè)靜態(tài)值，對(duì)空間的支配沒(méi)有自由。

1.1.2 鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)

鏈表是可以動(dòng)態(tài)使用存儲(chǔ)空間的一種存儲(chǔ)方式，為了有效利用空間，我們定義數(shù)據(jù)類(lèi)型是char 型的鏈表結(jié)點(diǎn)，以字符單鏈表的形式存放要處理的大整數(shù)的各位上數(shù)值。但是我們都知道，單鏈表的操作中對(duì)于隨機(jī)訪問(wèn)鏈表中的數(shù)據(jù)和尋找鏈表的前驅(qū)結(jié)點(diǎn)要花費(fèi)大量的時(shí)間，而且鏈表中每個(gè)結(jié)點(diǎn)存放’0’~’9’之間的一個(gè)字符， 則至少浪費(fèi)了半個(gè)字節(jié)加上一個(gè)指針的空間，利用率小于25%。所以空間上雖然有節(jié)省，但是總體效率還是很不好。

1.1.3 字符串存儲(chǔ)

將每個(gè)大整數(shù)看成一個(gè)字符串，采用字符數(shù)組的方式存儲(chǔ)這些字符串，每個(gè)數(shù)組元素仍然存放一個(gè)數(shù)據(jù)字符，空間利用率比整型數(shù)組大得多，可以發(fā)現(xiàn)利用率在12.5%~50% 之間，而且由于是順序存儲(chǔ)， 對(duì)于數(shù)據(jù)的訪問(wèn)、找前驅(qū)、后繼等操作能夠在短時(shí)間完成

綜上所分析：字符串存儲(chǔ)無(wú)論在算法設(shè)計(jì)還是在空間利用上都比較好，所以我們采用了第三種方式，即字符串方式實(shí)現(xiàn)存儲(chǔ)。

1.2 運(yùn)算方法設(shè)計(jì)

1.2.1 符號(hào)處理

(1) 本算法用字符串的長(zhǎng)度帶符號(hào)標(biāo)識(shí)數(shù)據(jù)的正負(fù)性，比如－ 99999 ， 在0 ～ 9 之間

的字符個(gè)數(shù)是5，則用Len ＝－ 5 同時(shí)標(biāo)識(shí)數(shù)據(jù)－ 99999 的長(zhǎng)度與正負(fù)性。

(2) 算法中先將符號(hào)處理，后調(diào)用函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，下面是對(duì)符號(hào)進(jìn)行處理的情況：

A、如果加法中兩個(gè)數(shù)異號(hào)，則調(diào)用減法；如果兩個(gè)數(shù)同號(hào)，調(diào)用加法函數(shù)，結(jié)果為負(fù)數(shù)則在結(jié)果前添上“－”。

B、如果減法中兩個(gè)數(shù)異號(hào)，則調(diào)用加法，結(jié)果與被減數(shù)同號(hào)；如果兩個(gè)數(shù)同號(hào)， 則調(diào)用減法。當(dāng)同為正時(shí)，如果被減數(shù)大， 則用被減數(shù)減去減數(shù)，否則用減數(shù)減去被減數(shù)，結(jié)果前添上“－”；當(dāng)同為負(fù)數(shù)時(shí)，當(dāng)被減數(shù)絕對(duì)值比減數(shù)的大時(shí)，則則用被減數(shù)減去減數(shù)，結(jié)果前添上“－”，否則用減數(shù)減去被減數(shù)。

C、如果乘除法中兩數(shù)異號(hào)，則結(jié)果為負(fù)；如果兩數(shù)同號(hào)，則結(jié)果為正。除法中， 余數(shù)符號(hào)和被除數(shù)保持一致。

1.2.2 數(shù)據(jù)處理

本算法主要涉及四則運(yùn)算的加、減、乘、除。

加法：從個(gè)位開(kāi)始（從右至左），將加數(shù)和被加數(shù)長(zhǎng)度相同的部分，帶進(jìn)位（有進(jìn)位為1，無(wú)進(jìn)位為0）按位相加，并將結(jié)果按從左至右的順序存放；如果被加數(shù)（加數(shù)）較長(zhǎng)，則先用比加數(shù)（被加數(shù)）長(zhǎng)的部分加上最后一次的進(jìn)位，然后從右至左的順序依次復(fù)制到開(kāi)始時(shí)所得結(jié)果的后面。最后，調(diào)用翻轉(zhuǎn)函數(shù)，使結(jié)果按從高位到低位的順序輸出。

減法：先將被減數(shù)和減數(shù)長(zhǎng)度相同的部分進(jìn)行帶借位相減（有借位為1，無(wú)借位為0），并將結(jié)果按從左至右存放；然后， 將被減數(shù)比減數(shù)長(zhǎng)的部分減去借位，并將其從右至左的順序依次復(fù)制到開(kāi)始時(shí)所得結(jié)果的后面。最后，調(diào)用翻轉(zhuǎn)函數(shù)和去零函數(shù)（去掉高位的0），使結(jié)果按從高位到低位的順序輸出。

乘法：A、將乘數(shù)進(jìn)行按位分解；

B、調(diào)用一個(gè)多位數(shù)乘以一位數(shù)的函數(shù)。如果是乘的個(gè)位的話，就不用在乘積后面加0 ；否則，如果乘的是十位上的數(shù)， 則在結(jié)果后添一個(gè)0 ；如果是百位上的數(shù)， 則在結(jié)果后添兩個(gè)0．．．．．．

C、將結(jié)果累加；

D、重復(fù)B 和C 的操作，直到乘數(shù)長(zhǎng)度為0。

除法：如果除數(shù)為0，給出提示”除數(shù)不能為0 ！”并跳出程序，讓用戶(hù)再次輸入；

如果被除數(shù)比除數(shù)小，則商為0，并將被除數(shù)作為余數(shù)；否則：

A、取數(shù)：即從被除數(shù)中取出長(zhǎng)度與除數(shù)長(zhǎng)度相同的數(shù)。

B、分析：如果被取出的數(shù)比除數(shù)大或等，則用除數(shù)與j （1<j<11）相乘，若被除數(shù)小于除數(shù)與j 的乘積且大于除數(shù)與j-1 的乘積，則商j-1。

如果被取出的數(shù)比除數(shù)小，則商0 且從被除數(shù)中再取一位，然后重復(fù)A 的操作。

C、重復(fù)A 和B 的操作，直到被除數(shù)長(zhǎng)度為0。

圖 1 2 算法分析

加法：在平時(shí)的計(jì)算機(jī)運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)據(jù)超過(guò)一定長(zhǎng)度，機(jī)器會(huì)自動(dòng)進(jìn)行取余，從而得不到想要的數(shù)，比如說(shuō)，c 語(yǔ)言中的unsigned int 型，他的取值范圍是0~65535，如果用65535+1，你將得不到65536，而是得到（65535+1）%65536=0。所以在此要另找新的途徑。在加法中最難解決的是進(jìn)位處理問(wèn)題及如果進(jìn)行加法運(yùn)算，我們參照了歸并排序的思想，先把長(zhǎng)度為L(zhǎng)1（加數(shù)與被加數(shù)中較短長(zhǎng)度）對(duì)應(yīng)位相加，然后對(duì)剩余位n-L1 位進(jìn)行進(jìn)位處理，在此過(guò)程中我們用到了2 個(gè)字符串， 所以時(shí)間與空間復(fù)雜度均為O（n）級(jí)，可見(jiàn)此方法是可行的。

減法： 減法與加法類(lèi)似，時(shí)間與空間復(fù)雜度均為O（n）級(jí)。

乘法： 假設(shè)被乘數(shù)的長(zhǎng)度為n，乘數(shù)的長(zhǎng)度為m。在算法中，我們將乘數(shù)分解為單個(gè)字符并與被乘數(shù)相乘，并進(jìn)行m 和的累加，所以實(shí)現(xiàn)過(guò)程中用了兩重循環(huán)， 其時(shí)間復(fù)雜度為O（m*n）級(jí)，空間復(fù)雜度為O（m+n）級(jí)。

除法： 每次取出與除數(shù)長(zhǎng)度相等或比除數(shù)長(zhǎng)度大1 的位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，其中調(diào)用了減法，在減法中又調(diào)用了乘法的子函數(shù)，所以時(shí)間復(fù)雜度為O（m*n2）

3 算法實(shí)現(xiàn)

由于實(shí)現(xiàn)大整數(shù)的四則運(yùn)算是借助VC++ 軟件設(shè)計(jì)平臺(tái)，因此下面對(duì)四則運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)過(guò)程采用C++ 進(jìn)行描述

3.1 加法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

功能：將str1 和str2 相加，返回結(jié)果存在str 中。其中，for 循環(huán)用來(lái)對(duì)兩個(gè)數(shù)長(zhǎng)度相等的部分進(jìn)行按位相加，表達(dá)式： str+=(str1[i]+str2[j]+c-96)%10+'0' 表示把str1[i] 與str2[i] 相加后所得的字符存放于str 中；c=(str1[i]+str2[j]+c-96)/10 表示取得這次的進(jìn)位。while 循環(huán)用來(lái)帶進(jìn)位（沒(méi)有進(jìn)位則為0）處理較長(zhǎng)數(shù)的剩余部分。最后，如果仍有進(jìn)位，則用表達(dá)式str+= c + '0' 存放到str 中。因?yàn)橐陨纤玫慕Y(jié)果是逆序的，所以調(diào)用翻轉(zhuǎn)函數(shù)reverseStr( ) 即可得正確的結(jié)果。

核心代碼如下：

for(i=str1.size()-1,j=str2.size()- 1;i>=0&&j>=0;i--,j--)

{

s t r + = ( s t r 1 [ i ] + s t r 2 [ j ] +c-96)%10+'0';

c=(str1[i]+str2[j]+c-96)/10;

}

while(i>=0&&j<0)

{

str+=(str1[i]+c-48)%10+'0';

c=(str1[i]+c-48)/10;

i--;

}

while(j>=0&&i<0)

{

str+=(str2[j]+c-48)%10+'0';

c=(str2[j]+c-48)/10;

j--;

}

if ( c > 0 )

str+= c + '0';

reverseStr(str);

3.2 減法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

功能：將較大數(shù)str1 與較小數(shù)str2 進(jìn)行相減，結(jié)果存放在str 中。其中，F(xiàn)or 循環(huán)用來(lái)對(duì)str1 與str2 長(zhǎng)度相等的部分按低位到高位相減。若str1[i] 的相應(yīng)位減去借位位以后仍然比str2[i] 大，則不需要進(jìn)行借位。此時(shí)用表達(dá)式str+=(str1[i]- str2[j]-c)%10+'0' 把求得相減后的第i 位上的字符放在str 中，置c=0 表示沒(méi)有借位；若str1[i] 減去借位位后比str2[i] 小，則需要借位，表達(dá)式str+=(str1[i]- str2[j]+10-c)%10+'0' 表示把借位后求得第i 位的字符存于str 中，置c=1 表示有借位，如此反復(fù)循環(huán)進(jìn)行。while 循環(huán)的作用是減完str2 后，對(duì)str1 剩余部分進(jìn)行帶借位處理，其原理與for 循環(huán)相似。按照上面的算法我們得到的字符有兩處需要處理：a、我們得到的字符串是逆序的，需要用翻轉(zhuǎn)函數(shù)reverseStr( ) 進(jìn)行處理。b、相減后可能高位存在0，這種情況需要調(diào)用deletezore（）進(jìn)行處理。

核心代碼如下：

f o r ( i = s t r 1 . s i z e ( ) - 1 , j = s t r 2 . s i z e ( ) - 1;j>=0;i--,j--)

{

if(str1[i]-c>=str2[j])

{

str+=(str1[i]-str2[j]-c)%10+'0';

c=0;

}

else

{

str+=(str1[i]-str2[j]+10-c)%10+'0';

c=1;

}

}

while(i>=0)

{

if(str1[i]-c>='0')

{

str+=str1[i]-c;

c=0;

}

else

{

str+=str1[i]+10-c;

c=1;

}

i--;

}

reverseStr(str);

str = deleteZero(str);

3.3 乘法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

在乘法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中用到了v o i d c t o d ( s t r i n g &s t r , i n t a [ ] ) 、s t r i n g multiply1(string& str, int n) 函數(shù)，先介紹這兩個(gè)函數(shù)。ctod(string &str,int a[]) ：其功能是將字符串轉(zhuǎn)換成整型數(shù)組。str 存放被轉(zhuǎn)換的字符串Int a[] 存放轉(zhuǎn)換后的整型數(shù)組。string multiply1(string& str, int n) ：其功能是用str 種的字符轉(zhuǎn)換成整型數(shù)，然后乘以n。rst 存放結(jié)果。

核心代碼：

for (int i = str.size()-1; i >= 0; --i)// 從str 的右邊第一位開(kāi)始乘n

{

rst+=((str[i]-'0')*n +c)%10 + '0';// 取得乘積的個(gè)位數(shù)

c =((str[i]-'0')*n+c)/ 10;// 取得乘積的進(jìn)位位

}

if ( c > 0 )// 如果最后有進(jìn)位位，將其轉(zhuǎn)換成字符型

rst += c + '0';

reverseStr(rst);// 將結(jié)果從高到低換位

功能：用str1 存放被乘數(shù)，str2 存放乘數(shù)，rst1 保存被乘數(shù)與乘數(shù)每一位的乘積，rst2 用于累加rst1 的累加和， 調(diào)用ctod 函數(shù)將str2 字符串轉(zhuǎn)換成整型數(shù)組放在int b[6000] 中，b[0] 用于存放數(shù)組b[6000] 的長(zhǎng)度。在處理的時(shí)候是從b[6000] 的最后一個(gè)元素b[b[0]] 開(kāi)始逆序處理。由于個(gè)位數(shù)與被乘數(shù)相乘不需要在后面補(bǔ)0，故單獨(dú)處理， rst2=multiply1(str1,b[b[0]])。其他位上的數(shù)則調(diào)用rst1=multiply1(string& str, int n)， 并做若干次rst1+=‘0’操作（如果n 是十位上的數(shù)則rst1 后加一個(gè)0，若是百位上的數(shù)則加兩0….）。累加每次所得的乘積， rst2= add(rst1,rst2)。由于乘積最后結(jié)果的高位可能為0，所以調(diào)用deletezero（）函數(shù)去除高位的0。

核心代碼：

 

ctod(str2,b);// 將字符串轉(zhuǎn)換成整型數(shù)據(jù)

 

rst2=multiply1(str1,b[b[0]]);// 由于個(gè)位與str1 相乘不需乘10，所以就單獨(dú)處理

 

for(i=b[0]-1;i>=1;i--)//str1 依次與b 中的每個(gè)數(shù)相乘

第4篇：四則運(yùn)算法則范文

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用題教學(xué)；注意問(wèn)題

提高學(xué)生解答應(yīng)用題的能力，是事關(guān)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的大問(wèn)題，對(duì)開(kāi)發(fā)智力、活躍思維、挖掘潛能有著重要的意義。如何提高小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，是數(shù)學(xué)教師不斷探索的課題。

一、掌握四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

四則運(yùn)算是解答各種各類(lèi)應(yīng)用題的重要基礎(chǔ)，不管應(yīng)用題如何千變?nèi)f化，其實(shí)都是四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用。學(xué)生對(duì)四則運(yùn)算的意義不了解，解答時(shí)就有可能胡猜算法。學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則、運(yùn)算順序和步驟，如果是清楚的，計(jì)算題通過(guò)訓(xùn)練就容易掌握，計(jì)算的每一步在式子里就都能反映出來(lái)，看得見(jiàn)，摸得著，對(duì)與錯(cuò)一目了然。在解答多步計(jì)算的應(yīng)用題時(shí)，如果能夠正確運(yùn)用遞等式演算多步計(jì)算式題，懂得四則混合運(yùn)算式題中的乘除運(yùn)算，按乘在先先算乘，除在先先算除，乘除運(yùn)算被加、減運(yùn)算隔開(kāi)，乘、除可以同時(shí)運(yùn)算的順序演算，也能提高解題效率。

二、完善數(shù)量關(guān)系的分析確定

小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題用語(yǔ)言或文字?jǐn)⑹龀鰜?lái)，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。它由兩部分構(gòu)成：已知條件和所求問(wèn)題。教師要從簡(jiǎn)單應(yīng)用題入手，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣，從讀題開(kāi)始，到讀題完畢，邊讀題邊思考，弄明白題意，要能說(shuō)出這道題講了什么事，告訴了我們哪些條件，提出的是什么問(wèn)題，并能根據(jù)解題要求，找出題中的直接條件與間接條件、已知量與未知量，用不同的符號(hào)或線段圖標(biāo)示出來(lái)，構(gòu)建起條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系，確定數(shù)量關(guān)系，這樣才好確定解決問(wèn)題的方法，這是準(zhǔn)確解答應(yīng)用題的先決條件。

第5篇：四則運(yùn)算法則范文

【關(guān)鍵詞】極限；洛必達(dá)法則；夾逼準(zhǔn)則；連續(xù)性質(zhì)；泰勒公式；無(wú)窮小

極限是在實(shí)踐中產(chǎn)生的，例如我國(guó)古代在求圓的面積時(shí)，應(yīng)用割圓術(shù)來(lái)求圓的面積，從而產(chǎn)生了極限的思想。而極限是微積分中的一個(gè)重要概念，微積分的思想就是極限的思想。因此極限對(duì)于微積分來(lái)說(shuō)就顯得尤為重要。下面我就從五個(gè)方面來(lái)研究求極限的方法。

一、按定義證明

利用極限的定義來(lái)論證某個(gè)數(shù)A是函數(shù)的極限時(shí)，重要的是對(duì)于任意的正數(shù)ε，要能夠指出定義中所說(shuō)的這種δ確實(shí)存在。

例如證明

證明由于

為了使 ，只要

所以， ，可取 ，則當(dāng) 適合不等式 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 就滿(mǎn)足不等式

從而

二、按運(yùn)算法則計(jì)算

1.利用無(wú)窮小法則

兩個(gè)無(wú)窮小的和的極限是無(wú)窮小，有界函數(shù)與無(wú)窮小的和是無(wú)窮小，常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小，有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。

例如 =0 這是有界函數(shù)與無(wú)窮小的和是無(wú)窮小的例題

，而 是有界函數(shù)

2.利用四則運(yùn)算法則

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）?g（x）]=A?B

例如

3.利用復(fù)合運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)y=f[g（x）]是由函數(shù) 與函數(shù) 復(fù)合而成，f[g（x）]在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有定義，若 ， ，且存在 ，當(dāng) 時(shí)，有 ，則

例如 ， 是由 與 復(fù)合而成

三、按洛必達(dá)法則計(jì)算

當(dāng)極限是未定式時(shí)，就可以用洛必達(dá)法則計(jì)算。

例如

四、按夾逼準(zhǔn)則計(jì)算

如果（1） 時(shí)，

（2）

。那么

例如計(jì)算

又

五、按無(wú)窮小等價(jià)代換定理計(jì)算

設(shè) ～ ， ～ 且 存在，則

例如計(jì)算

解：當(dāng) 時(shí)， ～ ， ～ ，所以

六、按連續(xù)性質(zhì)計(jì)算

設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，那么

例如計(jì)算

七、按泰勒公式計(jì)算

利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，可求某一些未定式的極限

例如計(jì)算

八、重要極限

例如計(jì)算

極限是變量變化的一種趨勢(shì)，求極限的方法的研究，其實(shí)就是研究變量的一種基本的方法。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，極限起著非常重要的作用。而求極限的方法變化多端、因題而異，通過(guò)對(duì)一些基本法的歸納總結(jié)，可以對(duì)我們求極限起到一定的啟發(fā)作用。

在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，極限起著非常重要的作用。而求極限的方法變化多端、因題而異，本文通過(guò)對(duì)一些基本法的歸納總結(jié)，可以對(duì)我們求極限起到一定的啟發(fā)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等數(shù)學(xué)[M].北京： 科學(xué)出版社，2009.

第6篇：四則運(yùn)算法則范文

        數(shù)與代數(shù)的第一堂課，一般不講課本知識(shí)，而是對(duì)學(xué)生初學(xué)代數(shù)給予一定的描述、指導(dǎo)。初一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較薄弱，學(xué)習(xí)能力還不夠強(qiáng)．通過(guò)小學(xué)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)，頭腦中已形成相關(guān)計(jì)算規(guī)律，知道數(shù)都是指正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和零等具體的數(shù)，因此學(xué)生可能會(huì)用小學(xué)的思維定勢(shì)去認(rèn)知、理解有理數(shù)的加法．但是在初中數(shù)已經(jīng)擴(kuò)大到有理數(shù)，出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，學(xué)生對(duì)于數(shù)的概念，在小學(xué)數(shù)學(xué)中雖已有過(guò)兩次擴(kuò)展，一次是引進(jìn)數(shù)0，一次是引進(jìn)分?jǐn)?shù)（指正分?jǐn)?shù)）。但學(xué)生對(duì)數(shù)的概念為什么需要擴(kuò)展，體會(huì)不深。而到了初一要引進(jìn)的新數(shù)———負(fù)數(shù)，與學(xué)生日常生活上的聯(lián)系表面上看不很密切。他們習(xí)慣于“升高”、“下降”的這種說(shuō)法，而現(xiàn)在要把“下降5米”說(shuō)成“升高負(fù)5米”是很不習(xí)慣的，為什么要這樣說(shuō)，一時(shí)更不易理解。所以使學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)負(fù)數(shù)的必要是初一數(shù)學(xué)中首先遇到的一個(gè)難點(diǎn)。

        我們?cè)谡揭胴?fù)數(shù)這一概念前，先把小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)的知識(shí)作一次系統(tǒng)的整理，使學(xué)生注意到數(shù)的概念是為解決實(shí)際問(wèn)題的需要而逐漸發(fā)展的，也是由原有的數(shù)集與解決實(shí)際問(wèn)題的矛盾而引發(fā)新數(shù)集的擴(kuò)展。即自然數(shù)集添進(jìn)數(shù)0→擴(kuò)大自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）添進(jìn)正分?jǐn)?shù)→算術(shù)數(shù)集（非負(fù)有理數(shù)集）添進(jìn)負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)→有理數(shù)集……。這樣就為數(shù)系的再一次擴(kuò)充作好準(zhǔn)備。

        正式引入負(fù)數(shù)概念時(shí)，可以這樣處理，例：在小學(xué)對(duì)運(yùn)進(jìn)60噸與運(yùn)出40噸，增產(chǎn)300千克與減產(chǎn)100千克的意義已很明確了，怎樣用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)把它們的意義全面表示出來(lái)呢？從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。再讓學(xué)生自己舉例說(shuō)明這種相反意義的量在生活中是經(jīng)常地接觸到的，而這種量除了要用小學(xué)學(xué)過(guò)的算術(shù)數(shù)表示外，還要用一個(gè)語(yǔ)句來(lái)說(shuō)明它們的相反的意義。如果取一個(gè)量為基準(zhǔn)即“0”，并規(guī)定其中一種意義的量為“正”的量，與之相反意義的量就為“負(fù)”的量。用“＋”表示正，用“－”表示負(fù)。

        這樣，逐步引進(jìn)正、負(fù)數(shù)的概念，將會(huì)有助于學(xué)生體會(huì)引進(jìn)新數(shù)的必要性。從而在心理產(chǎn)生認(rèn)同，進(jìn)而順利地把數(shù)的范疇從小學(xué)的算術(shù)數(shù)擴(kuò)展到初一的有理數(shù)，使學(xué)生不至產(chǎn)生巨大的跳躍感。

        初一的四則運(yùn)算是源于小學(xué)數(shù)學(xué)的非負(fù)有理數(shù)運(yùn)算而發(fā)展到有理數(shù)的運(yùn)算，不僅要計(jì)算絕對(duì)值，還要首先確定運(yùn)算符號(hào)，這一點(diǎn)學(xué)生開(kāi)始很不適應(yīng)。在負(fù)數(shù)的“參算”下往往出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤，有理數(shù)的混合運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確率較低，所以，特別需要加強(qiáng)練習(xí)。

        另外，對(duì)于運(yùn)算結(jié)果來(lái)說(shuō)，計(jì)算的結(jié)果也不再像小學(xué)那樣唯一了。如｜a｜，其結(jié)果就應(yīng)分三種情況討論。這一變化，對(duì)于初一學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較難接受的，代數(shù)式的運(yùn)算對(duì)他們而言是個(gè)全新的問(wèn)題，要正確解決這一難點(diǎn)，必須非常注重，要使學(xué)生在正確理解有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則。對(duì)運(yùn)算法則理解越深，運(yùn)算才能掌握得越好。但是，初一學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)尚。

        不能透徹理解這些運(yùn)算法則，所以在處理上要注意設(shè)置適當(dāng)?shù)奶荻龋鸩郊由?。有理?shù)的四則運(yùn)算最終要?dú)w結(jié)為非負(fù)數(shù)的運(yùn)算，因此“絕對(duì)值”概念應(yīng)該是我們教學(xué)中必須抓住的關(guān)鍵點(diǎn)。而定義絕對(duì)值又要用到“互為相反數(shù)”的概念，“數(shù)軸”又是講授這兩個(gè)概念的基礎(chǔ)，一定要注意數(shù)形結(jié)合，加強(qiáng)直觀性，不能急于求成。學(xué)生正確掌握、熟練運(yùn)用絕對(duì)值這一概念，是要有一個(gè)過(guò)程的。在結(jié)合實(shí)例利用數(shù)軸來(lái)說(shuō)明絕對(duì)值概念后，還得在練習(xí)中逐步加深認(rèn)識(shí)、進(jìn)行鞏固。

       進(jìn)入初中的學(xué)生年齡大都是11至12歲，這個(gè)年齡段學(xué)生的思維正由形象思維向抽象思維過(guò)渡。思維的不穩(wěn)定性以及思維模式的尚未形成，決定了列方程解應(yīng)用題的學(xué)習(xí)將是初一學(xué)生面臨的一個(gè)難度非常大的坎。列方程解應(yīng)用題的教學(xué)往往是費(fèi)力不小，效果不佳。因?yàn)閷W(xué)生解題時(shí)只習(xí)慣小學(xué)的思維套用公式，屬定勢(shì)思維，不善于分析、轉(zhuǎn)化和作進(jìn)一步的深入思考，思路狹窄、呆滯，題目稍有變化就束手無(wú)策。初一學(xué)生在解應(yīng)用題時(shí)，主要存在三個(gè)方面的困難：（1）抓不住相等關(guān)系；（2）找出相等關(guān)系后不會(huì)列方程；（3）習(xí)慣用算術(shù)解法，對(duì)用代數(shù)方法分析應(yīng)用題不適應(yīng)，不知道要抓相等關(guān)系。

        這頭一個(gè)方面是主要的，解決了它，另兩個(gè)方面就都好解決了。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)列方程解應(yīng)用題教學(xué)時(shí)，一要使學(xué)生掌握算術(shù)法和代數(shù)法的異同點(diǎn)，并講清列方程解應(yīng)用題的思路；二要有針對(duì)性地讓學(xué)生加強(qiáng)把實(shí)際中的數(shù)量關(guān)系改寫(xiě)成代數(shù)式的訓(xùn)練，這樣對(duì)小學(xué)生逆向思維有好處，使較復(fù)雜的應(yīng)用題化難為易。初一講授列方程解應(yīng)用題教學(xué)時(shí)，要重視知識(shí)發(fā)生過(guò)程。因?yàn)閿?shù)學(xué)本身就是一種思維活動(dòng)，教學(xué)中要使學(xué)生盡可能參與進(jìn)去，從而形成和發(fā)展具有思維特點(diǎn)的智力結(jié)構(gòu)。

第7篇：四則運(yùn)算法則范文

Gui Lihong

（云南廣播電視大學(xué)成教學(xué)院，昆明650223）

（Yunnan Radio & TV University College ofEducation, Kunming 650223, China）

摘要： 極限是微積分中至為重要的基礎(chǔ)概念，也是建立及應(yīng)用微積分學(xué)中各種計(jì)算方法、相關(guān)概念的基礎(chǔ)之一。極限的求解方法很多，應(yīng)用也比較靈活，本文就針對(duì)常用的幾種進(jìn)行討論。

Abstract: The limit is paramount basic concept in calculus, but also is one of the foundations to establish and apply all kinds of calculation methods and related concept in calculus. There are many ways of solving the limit, and the application is also more flexible, this paper discussed several methods that are commonly used.

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 函數(shù)極限 求解

Key words: higher mathematics；function limit；solving

中圖分類(lèi)號(hào)：G42文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006-4311（2011）32-0239-01

1函數(shù)極限的相關(guān)概念及性質(zhì)

函數(shù)的極限與數(shù)列的極限比較類(lèi)似，可以考慮自變量x+∞時(shí)，f（x）所呈現(xiàn)出的變化趨勢(shì)；也可以考慮當(dāng)自變量xa時(shí)，f（x）所呈現(xiàn)出的變化趨勢(shì)。不過(guò)與數(shù)列的極限相比而言，函數(shù)的極限復(fù)雜程度比較高，其根本原因就是由于自變量性質(zhì)的變化呈現(xiàn)出多樣性。不過(guò)通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，這種復(fù)雜性很多時(shí)候體現(xiàn)在對(duì)極限期定義敘述有所不同等方面，而在其它方面，例如極限的性質(zhì)、運(yùn)算以及相關(guān)的證明方法等都與數(shù)列的極限極為相似。在理解函數(shù)的極限概念時(shí)，主要有以下兩個(gè)定義：

第一，設(shè)f是定義在[a，+∞）的函數(shù)，其中A為實(shí)數(shù)，在任給的ε>0的條件下，有正數(shù)M（≥a）存在，如果x>M，則有| f（x）A| 0，δ（0，使得當(dāng)0

2求解函數(shù)極限的方法

在求極限的過(guò)程中，利用一些運(yùn)算方法與技巧，以相關(guān)的概念、定理和公式為依據(jù)進(jìn)行快速求解。下面我們來(lái)看幾種求解函數(shù)極限的方法。

2.1 利用極限的描述性定義我們可以將極限的描述性進(jìn)行如下定義：如果自變量的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大，則函數(shù)值f（x）也會(huì)相應(yīng)與常數(shù)A無(wú)限的接近，此時(shí)就可以稱(chēng)當(dāng)x趨向無(wú)窮時(shí)函數(shù)f（x）以A為極限；或者f（x）收斂至A，可以記為A或f（x）A（x∞）。通過(guò)上述描述性說(shuō)明就可以進(jìn)行函數(shù)極限的估算，而且方法非常簡(jiǎn)單。六種基本初等函數(shù)的極限都可以按照描述性定義，與圖像相結(jié)合后方便的得出。不過(guò)對(duì)于六類(lèi)基本的初等函數(shù)極限需要牢固的掌握，這也是求解復(fù)雜函數(shù)極限的基礎(chǔ)理論。但是一些極限的定義容易被混淆，在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中要特別注意。

2.2 運(yùn)用兩個(gè)重要極限求函數(shù)極限

①重要極限一。■中，sinx和x是兩個(gè)類(lèi)型完全不同的函數(shù)，但是卻可以通過(guò)該極限促使三角函數(shù)和一次函數(shù)之間建立起關(guān)系，二者之間的比值得以實(shí)現(xiàn)。而且該極限的應(yīng)用范圍非常廣泛，在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常有效。例如下題：

求：■■的極限

解：■■=■■=■■

=■■=lim2*■■■■■=■

某些三角函數(shù)相關(guān)的極限可以利用該極限方便的求出。比如：

lim■，或者lim■等等，通過(guò)該重要極限均可將這些函數(shù)的極限方便、快捷的求出。

②重要極限二。■1+■■=e

求lim1+■■，這其中a和b均為常數(shù)。

解：lim1+■■=lim1+■■=e■

在該重要極限中，x趨近無(wú)窮，而x1趨近于0，該條件與上個(gè)重要極限一樣，要同時(shí)滿(mǎn)足上述條件才能使用。不過(guò)如果使得x=■，因?yàn)閤∞，因此y0，則該重要極限可以進(jìn)行如下代換：

■（1+y）■，則可進(jìn)一步得出重要極限的另外一種形式，因此該極限能夠擴(kuò)充為兩個(gè)極限，為：■1+■■=e，以及l(fā)im（1+x）■。在運(yùn)用該極限時(shí)必須注意的是要看x所趨近的是0還是∞，如果x∞，括號(hào)內(nèi)一定要是■，其指數(shù)為x；如果x0，則括號(hào)內(nèi)為x，指數(shù)為■，這些在應(yīng)用時(shí)必須注意相對(duì)應(yīng)，不可混淆，如果有一項(xiàng)無(wú)法匹配，該重要極限就不能用。

3結(jié)語(yǔ)

此外，還有四則運(yùn)算法則等方法，不過(guò)因?yàn)樗膭t運(yùn)算方法是最基礎(chǔ)的方法之一，它與結(jié)構(gòu)良性知識(shí)比較接近，在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，只需掌握相關(guān)四則運(yùn)算法則就能夠?qū)⒎▌t直接套用進(jìn)去最終求解，因此此處不做贅述。總之，高等數(shù)學(xué)中極限的地位非常突出，而在數(shù)列極限與函數(shù)極限中，函數(shù)極限的作用尤其突出。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅偉.探討求函數(shù)極限的三種常用方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（1）.

[2]扶煒，劉松.常見(jiàn)的函數(shù)極限求法分析[J].教育時(shí)空，2010（4）.

[3]張銳.函數(shù)極限求解方法歸納[J].考試周刊，2011（5）.

第8篇：四則運(yùn)算法則范文

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；極限；不等式；聯(lián)系.

1 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題.可以比較容易地得到結(jié)果或找到解題的方向。

1.1 導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

定理1.1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)

如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；

如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.

例1-1 確定函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).

解法一：設(shè)是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則

由得

要使，則.

于是 .

即 時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù).

解法二：

令解得；因此，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).

再令，解得，因此，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).

經(jīng)過(guò)對(duì)兩種方法的對(duì)比，我發(fā)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)解決此問(wèn)題更方便快捷.當(dāng)我們?cè)倩貋?lái)看一下高中學(xué)的方法，覺(jué)得它在解決一些問(wèn)題上存在一些弊端.

2 極限的應(yīng)用

學(xué)習(xí)極限是從一個(gè)“有限”到無(wú)限的飛躍.從數(shù)列極限或函數(shù)極限的變化趨勢(shì)來(lái)理解極

限問(wèn)題是認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的需要.

2.1 數(shù)列極限

高中我們給出了數(shù)列極限的概念：

如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)（即無(wú)限地趨近于0），那么就說(shuō)數(shù)列以為極限.或者說(shuō)是數(shù)列的極限.

數(shù)學(xué)分析里也給出了數(shù)列極限的概念：

定義2.1 設(shè)為數(shù)列，為有限常數(shù)，若對(duì)總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有

則稱(chēng)數(shù)列收斂于，是數(shù)列的極限.并記作，或.若數(shù)列沒(méi)有極限，則稱(chēng)不收斂或稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列.

中學(xué)與大學(xué)的數(shù)列極限的概念雖相差不遠(yuǎn)，但大學(xué)的數(shù)列極限概念卻引出了”收斂”這一詞，也由此給出了收斂數(shù)列及其極限的準(zhǔn)確定義.有了數(shù)列極限的精確定義，我們便可以用定義（又稱(chēng)定義）來(lái)證明高中數(shù)列極限中所用的結(jié)論.

例2-1 證明 （均為常數(shù)，且）

在中學(xué)，我們直觀地知道，當(dāng)時(shí)，這僅僅局限于直觀得出結(jié)論.然而，在大學(xué)，我們可以通過(guò)極限的定義來(lái)證明這個(gè)結(jié)論的正確性.

證明 由有即

對(duì)，則當(dāng)時(shí)，有

.即

利用定義，同樣可以證明在中學(xué)常用的數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則.

例2-2 若數(shù)列與都收斂，則和數(shù)列也收斂，且

.

證明 設(shè)與.根據(jù)數(shù)列極限的定義，即

有

有

同時(shí)有

與

于是，有

即

在高中，我們就已經(jīng)開(kāi)始接觸了數(shù)列極限.總的來(lái)說(shuō)，高中階段的數(shù)列極限注重的是利用所給結(jié)論來(lái)求解所給數(shù)列的極限值，重點(diǎn)是培養(yǎng)解題能力，注重的是理性思維培養(yǎng)和備考能力提高.而大學(xué)的數(shù)列極限，更多的是利用抽象定義來(lái)證明某一命題的正確性，強(qiáng)化鍛煉的是抽象思維能力及邏輯思維能力.而且大學(xué)里對(duì)數(shù)列極限的深入介紹，不僅完善了我們對(duì)數(shù)列極限的認(rèn)識(shí)，在求解一些極限問(wèn)題上，思維也將越顯靈活.

2.2函數(shù)極限

與數(shù)列極限一樣，中學(xué)同樣給出了無(wú)限地趨于時(shí)的函數(shù)極限定義.即：

如果函數(shù)無(wú)限趨于一個(gè)常數(shù)，就說(shuō)當(dāng)趨于時(shí)，函數(shù)的極限是，記作

也可記作

當(dāng)時(shí)，

也叫做函數(shù)在點(diǎn)處的極限.

但中學(xué)課本給出的函數(shù)極限定義，只是一種定性的解釋?zhuān)](méi)有給出精確的量的刻畫(huà)和描述.因此，我們只能根據(jù)定義，證明某一個(gè)常數(shù)是不是某一個(gè)函數(shù)的極限.

當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)極限的精確定義：

定義2.2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)（無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù)，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式

那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作

或（當(dāng)）.

由于趨于時(shí)，有兩個(gè)方向，大學(xué)數(shù)學(xué)還給出了單側(cè)極限的定義，單側(cè)極限是討論函數(shù)在某一點(diǎn)事否連續(xù)的重要定理，這里不做過(guò)多的論述.

當(dāng)趨于時(shí)，函數(shù)極限精確定義：

定義2.3 設(shè)函數(shù)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)（無(wú)論它多么?。?，總存在著正數(shù)，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式

那么常數(shù)就叫做函數(shù)（當(dāng)時(shí)）的極限，記作

或（當(dāng)）.

函數(shù)極限所具有的性質(zhì)與數(shù)列極限極為相似，與數(shù)列極限一樣，可以用其精確定義證明函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則及一些常用結(jié)論：

運(yùn)用這兩個(gè)結(jié)論，可以解決高中難以解答的問(wèn)題.

例2-5 求的值.

解

令 當(dāng)時(shí)，即

故

中學(xué)的函數(shù)中有提到過(guò)無(wú)窮大量，無(wú)窮小量以及它們之間的運(yùn)算關(guān)系型，即但是在計(jì)算的時(shí)候，中學(xué)用的方法仍然只是運(yùn)用簡(jiǎn)單的函數(shù)極限四則運(yùn)算法則，其解答過(guò)程顯得繁瑣而又復(fù)雜.我們數(shù)學(xué)分析里引進(jìn)了等價(jià)無(wú)窮小量代換及洛必達(dá)法則等重要解題方法.這使某些問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)便快捷.

例2-6 求的值.

我們先用中學(xué)的方法來(lái)求解：

解 =

這是中學(xué)最基本的求解極限的方法.當(dāng)所給函數(shù)是連續(xù)函數(shù)時(shí)，先將復(fù)雜的分式通過(guò)因式分解的方法，化為最簡(jiǎn)分式后.利下轉(zhuǎn)第頁(yè)

上接第頁(yè)

用函數(shù)的連續(xù)性將數(shù)值代入得到答案.而站在大學(xué)的角度，當(dāng)時(shí)，所給分式的分子分母分別趨近于，可以運(yùn)用洛必達(dá)法則求解.

運(yùn)用洛必達(dá)法則，有：

此題似乎沒(méi)有體現(xiàn)洛必達(dá)法則的優(yōu)越性，但下面一題就可以看出，洛必達(dá)法則在解決一些復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，顯得極其方便簡(jiǎn)單.

例2-7 求的值.

在中學(xué)，我們可以這樣求解

解 原式

現(xiàn)在用洛必達(dá)法則解答，可以比較一下：

解 由于當(dāng)時(shí)，故是型

用洛必達(dá)法則有

在中學(xué)，關(guān)于數(shù)列極限與函數(shù)極限的討論，我們基本上都是分開(kāi)來(lái)討論的，并沒(méi)有特別強(qiáng)調(diào)其間的關(guān)系.但在大學(xué)，證明一些數(shù)列極限問(wèn)題，我們往往可以將數(shù)列問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，使問(wèn)題快速得到解答.

初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有機(jī)地緊密結(jié)合著，以學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)作指導(dǎo)，學(xué)習(xí)重溫初等數(shù)學(xué)知識(shí)，可以達(dá)到一個(gè)新的高度.而以高等數(shù)學(xué)知識(shí)用以指導(dǎo)解題，常?？梢跃痈吲R下地事先估測(cè)答案，確定解題思路.

通過(guò)對(duì)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在解問(wèn)題時(shí)的對(duì)比，提高了數(shù)學(xué)和科學(xué)素養(yǎng)，并促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)學(xué)科知識(shí)的進(jìn)一步理解和掌握. 盡管我的水平還很有限，但通過(guò)這次訓(xùn)練，我有很大的進(jìn)步，并且大大地激發(fā)了我的學(xué)習(xí)熱情.

參考文獻(xiàn)：[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué)（第五版 上冊(cè)）.北京：高等教育出版社，2002.

[2]數(shù)學(xué)分析講義. 上冊(cè)/劉玉璉等編. ―5版.―北京：高等教育出版社.2008.5

[3]全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué) 第一冊(cè)（上）人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 編著

第9篇：四則運(yùn)算法則范文

有關(guān)數(shù)與式的考題一般以填空題、選擇題或解答題的形式出現(xiàn)．有關(guān)這部分內(nèi)容的考題難度不大，但涉及的概念和知識(shí)點(diǎn)較多．

實(shí)數(shù)：理解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值、近似數(shù)、有效數(shù)字、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念；知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，并會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值；會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)，能按要求用四舍五入法求一個(gè)數(shù)的近似值；能正確運(yùn)用實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算；理解實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；能運(yùn)用實(shí)數(shù)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；會(huì)用各種方法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。?/p>

整式：了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；了解整式的概念和有關(guān)法則，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加、減、乘、除運(yùn)算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其幾何背景，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；會(huì)用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解．

分式：了解分式的概念；會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除、乘方及混合運(yùn)算．

二次根式：了解二次根式的概念、性質(zhì)及其加、減、乘、除運(yùn)算法則；會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算．

代數(shù)式：理解用字母表示數(shù)的意義；能分析簡(jiǎn)單問(wèn)題，并能用代數(shù)式表示；能解釋簡(jiǎn)單代數(shù)式的實(shí)際背景或幾何意義；會(huì)求代數(shù)式的值．

考點(diǎn)1：實(shí)數(shù)及有關(guān)概念（包括有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值）

中考的常見(jiàn)考點(diǎn)有：（1）對(duì)有理數(shù)的分類(lèi)和

判斷；（2）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值和倒數(shù)；（3）利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值或比較實(shí)數(shù)的大?。畬?duì)實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的考查多以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，題目中包含若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想．

例1 （1）請(qǐng)寫(xiě)出一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)：_________和_________．

解析：答案不惟一，如：1和-1．