勾股定理證明方法精選(九篇)

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第1篇：勾股定理證明方法范文

關鍵詞：數學教學；《探索勾股定理》；拓展性課程

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0087

眾所周知，勾股定理的內容非常豐富，但現行的教材（以浙教版為例）只安排兩個課時，教學受課時的限制，不能充分利用勾股定理發展學生的問題解決、人文積淀、理性思維等核心素養。本文以開發《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學校教研組為團隊如何依托數學課本開發拓展性課程，以期拋磚引玉。中國學生發展六大核心素養中有十八個基本要點，其中三個是問題解決、人文積淀、理性思維，《數學課程標準》的前言中也有類似的表述。對應三個基本要點確定三個課時的拓展性課程，在上完基礎性課程的兩個課時后進行。因篇幅所限，只展示每個課時的教學目標、學習內容及要求、課外作業。

第一課時：勾股定理在生活中的應用

設置緣由：數學課最缺的是實踐課，學生非常喜歡實踐課，開發團隊成員一致同意每學期開發一節實踐課。

教學目標：引導學生觀察生活，體驗生活中的數學，體驗用數學模型刻畫現實世界。

活動內容及要求：（1）帶學生參觀有人字梁結構的農村老宅，請當地手藝比較好的手藝人，一個木匠，一個泥水匠當講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時要先奠基，在一百多平方米的地上要設置很多個直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個木樁，兩個木樁之間的距離為三尺，調整第三個木樁的位置，使它與前兩個木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調。泥水匠師傅說，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個例子。一個例子是如何預算建造斜屋頂結構的房子用到的木料，特別是人字梁結構中斜線部分的木料長度的計算方法。第二個例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學生的互動，讓學生嘗試用數學模型解釋實際應用問題。

課外作業：找一個生活中實際用到勾股定理的例子，寫心得體會交流。

第二課時：勾股定理的歷史文化

收集方法：這部分內容多而雜。動員團隊所有成員參與，從網上和書本中搜集并整理。

教學目標：在對勾股定理歷史了解的過程中，感受數學文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數學知識源遠流長和數學價值的偉大。

學習內容及要求：

（1）勾股定理的發現：公元前1100多年的《周髀算經》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發現的。三國時的趙爽給出了證明，2002年北京國際數學大會的徽標就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達哥拉斯定理，是古希臘數學家畢達哥拉斯于公元前550年發現的。相傳畢達哥拉斯花了很多的精力才證明了這個定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。這個定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國、埃及等文明古國對此定理都有所研究。要求學生課前和課后整理出趙爽和畢達哥拉斯的相關成果，了解《周髀算經》等中國古代經典數學著作。

（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數與形結合的典范，啟發后人對函數的研究；②畢達哥拉斯學派的希帕索斯利用勾股定理導發現了根號2，引發了第一次數學危機，數從有理數擴展到實數；③勾股定理使數學在追求邏輯體系和數學美的過程中發展了現代數學；④勾股定理中的公式是一個最早的不定方程，引發了包括著名的費馬大定理。⑤勾股樹的拓展，勾股樹中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學生例舉數形結合的例子；能描述三次數學危機；能舉例一些現代數學；了解費馬大定理的內容及費馬的成就。

（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點很低，所以千百年來下至業余數學愛好者、普通的老百姓，上至著名的數學家、國家總統都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個定理的證明方法之多能超過勾股定理。

“總統”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國的議員伽菲爾德由于受到了兩個小孩的追問，開始對勾股定理證明進行思考……后來他在繼承的基礎上反復思考終于找到了獨特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國第二十任總統，人們就把這一證法稱為“總統”證法。要求學生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。

第三課時：勾股定理的證明方法

證明方法選擇的標準：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學生的證法。

教學目標：在勾股定理的探索過程中培養學生的理性思維和創新能力，體會深層次的數形結合；發展形象思維，體驗解決問題方法的多樣性，培養探索精神。

學習內容及要求：

（1）趙爽證法。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期的數學家趙爽。如圖1，就是趙爽創造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個全等的直角三角形拼成所示形狀，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細講。應讓學生認識到本題的證法并非嚴密的演繹推理，如圖形中的內外兩個正方形就沒有證明。

（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。

（3）總統證法。如圖 3， 這個證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。

（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊RtABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結BF、CD，過C作CLDE，交AB于點M，交DE于點L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應讓學生認識到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。

（5）相似三角形性質證法。如圖5，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過點C作CD AB，垂足為D.可證得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割定理證法。如圖6，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因為∠BCA=90°，點C在B上，所以AC是B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）證法評析。中國證法的獨到之處是善用面積法，巧妙地避開了角的性質及平行線性質的繁瑣理論，簡潔明了，吳文俊、張景中等發展的數學機械化方法深受中國古代數學思想的影響。后三個證法追求嚴謹的邏輯體系，對提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學精神具有不可替代的地位。

第2篇：勾股定理證明方法范文

摘要：勾股定理及其逆定理的證法很多. 筆者運用平面幾何中著名的托勒密定理，構造出托勒密定理滿足的基本條件，再借助初中幾何的圓及四邊形等綜合知識，對兩個定理加以證明. 利用構造的方法，對培養學生的創新思維具有拋磚引玉的功效.

關鍵詞：勾股定理；逆定理；另證；方法

勾股定理的證明方法多達四百余種，而它的逆定理的證法卻沒有那么多，筆者曾用同一法證過其逆定理. 大多數方法都是運用中學數學中常規的數學思想方法加以證明的. 筆者結合多年的教學實踐研究，運用高中數學競賽綱要中所要求的一個重要的著名定理――托勒密定理，對勾股定理及其逆定理加以了證明，讓人耳目一新，既拓寬了學生的視野，啟迪了學生的思維，又引導了學生如何去拓展書本中的知識，豐富了學生的課外生活，激發了學生課外探究數學的熱情，增強了解決數學問題的能力. 下面，筆者將托勒密定理的證明及如何運用它來證明勾股定理及其逆定理提供給同行們.

[⇩]托勒密定理：圓的內接四邊形中，四邊形的兩組對邊的乘積之和等于對角線的積

已知：如圖1，四邊形ABCD內接于O.

[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]

圖1

求證：AB?CD+BC?AD=AC?BD.

證明作∠BAG=∠CAD. 因為=，所以∠3=∠4. 因為∠BAG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.

所以AB?CD=AC?BG.①

因為∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因為=，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.

所以BC?AD=AC?DG. ②

①+②得AB?CD+BC?AD=AC?（BG+DG）=AC?BD.

[⇩]運用托勒密定理證明勾股定理及其逆定理

1. 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

已知：如圖2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.

求證：a2+b2=c2.

[B][C][O][A][D]

圖2

分析直角三角形ABC有且僅有一個以AB中點O為圓心，為半徑的外接圓. 如果再在圓O上找一點D，就可以構造一個圓內接四邊形，便可以運用托勒密定理得線段間的關系，從而得到勾股定理.

證明作出直角三角形ABC的外接圓O，連結OC并延長CO交圓O于點D，再連結BD，AD. 因為CD為直徑，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因為∠C=90°，所以四邊形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.

由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，所以a2+b2=c2.

2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

已知：如圖3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.

求證：∠C=90°.

[B][C][O][A][D]

圖3

分析三角形ABC有且僅有一個外接圓O，可將∠C放在圓中，得到一個圓周角. 要證明它為直角，只需要證明它所對的弦AB為直徑即可. 要證AB為直徑僅由a2+b2=c2得出談何容易？此路不通另尋他途，不妨在圓O上再找一點D，構造出一個圓內接四邊形看能否利用托勒密定理得出線段間的關系再結合已知條件a2+b2=c2來進行證明. 那么D點如何找呢？過B點作BD∥AC交圓O于點D，連結AD，CD，運用托勒密定理即可達到目的.

證明作出三角形ABC的外接圓O，過B作BD∥AC交圓O于點D，連結AD，CD. 因為BD∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.

所以BC=AD=a . 因為=，所以∠BCD=∠BAD. 因為BD=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因為四邊形ACBD是圓O的內接四邊形，

由托勒密定理可得BC?AD+AC?BD=AB?CD，

所以a2+b?BD=c2. 因為a2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四邊形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，從而命題得證.

第3篇：勾股定理證明方法范文

關鍵詞:勾股定理 故事 自學 引導 鞏固

時鐘隨著指針的移動嘀嗒在響:“秒”是雄赳赳氣昂昂列隊行進的兵士，“分”是士官，“小時”是帶隊沖鋒陷陣的驍勇的軍官。所以當你百無聊賴、胡思亂想的時候，請記住你掌上有千軍萬馬;你是他們的統帥。檢閱他們時，你不妨問問自己——他們是否在戰斗中發揮了最大的作用?

——菲·蔡·約翰遜

數學教學實質上是數學思維活動的教學，在數學教學中要充分調動學生的主體作用，注重教學過程，改變被動接受知識的局面，實現課堂教學素質化，才能真正提高課堂教學質量和效率。下面說說我在教學中的做法，通過這個例子來具體地說明數學課上如何提高課堂效率。

課例:《勾股定理的證明》

教學目標:勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的。它是直角三角形的一條非常重要的性質，是幾何中最重要的定理之一;它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系;它可以解決直角三角形中關于邊的計算問題，是解直角三角形的主要根據之一，在實際生活中用途很大。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實際分析、拼圖等活動，使學生獲得較為直觀的印象;通過聯系和比較，理解勾股定理，以便正確地進行運用。

例如，勾股定理證明教學過程中，教師可這樣實施:

一、故事引入，激發興趣

為了激發學生學習勾股定理的興趣，可以由下列故事引入:三千多年前有個叫商高的人對周公說:把一根直尺折成直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。

這樣引起學生的學習興趣，激發學生的求知欲。

教師緊接著問:是不是所有的直角三角形都有這個性質呢?

教師要善于激疑，使學生進入樂學狀態。這樣做將學生的注意力吸引到課堂上來，學生全神貫注地聽課，課堂效率得到提高。

二、自學教材，主動探究

教師將教材知識整合，制作成幻燈片，以此指導學生自學教材。通過自學感悟、理解新知，體現了學生的自主學習意識，鍛煉了學生主動探究知識的能力，養成了學生良好的自學習慣。

1.通過自主學習，教師設疑或學生提疑。如:怎樣證明勾股定理?通過自學，中等以上的學生基本都能掌握，這時能激發學生的表現欲。

2.通過合作探究，引導學生擺脫網格的限制，研究任意直角三角形三邊的數量關系。滲透由特殊到一般的思想方法。

3.教師引導學生按照要求進行拼圖，觀察并分析;(學生每人準備四個大小一樣的直角三角形)(1)這兩個圖形有什么特點?(2)你能寫出這兩個圖形桔黃色部分的面積嗎?(3)你得到什么結論?

這時教師組織學生分組討論，調動全體學生的積極性，達到人人參與的效果，接著全班交流。先由某一組代表發言，說明本組對問題的理解程度，其他各組作評價和補充。教師及時進行富有啟發性的點撥，最后，師生共同歸納，形成一致意見，最終解決疑難。

三、鞏固練習，強化提高

1.出示練習，學生分組解答，并由學生總結解題規律。課堂教學中動靜結合，以免引起學生思維疲勞。

例1.某樓房三樓失火，消防員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防員取來6.5米長的梯子，梯子的底部離墻基2.5米，請問消防員能否進入三樓滅火?

2.出示例1:學生試解，師生共同評價，以加深對例題的理解與運用。針對例題再次進行鞏固練習，進一步提高學生運用知識的能力，對練習中出現的情況可采取互評、互議的形式，在互評互議中出現的具有代表性的問題，教師可以采取全班討論的形式予以解決，以此突出教學重點。

四、歸納總結，練習反饋

引導學生對知識要點進行總結，梳理學習思路。分發自我反饋練習，學生獨立完成。

五、課后作業

1.課本第81頁1、2、3題。

2.通過報刊、資料或上網查閱中外名人對勾股定理的證明方法以及勾股定理的發展史。

教學反思:本節課教學目標明確，重點突出，注重對知識形成過程的教學。但是在準備這節課時還是不夠充分，比如引例比較簡單，可以適當增加。在本節課后，我又搜集了一些關于勾股定理的典故，充實本節課的內容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人，也知道這一定理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用它來測定直角，之后才漸漸推廣。

2.金字塔的底部，四正四方，正對準東西南北，可見方向測得很準，四角又是嚴格的直角。而要量得直角，當然可以采用作垂直線的方法，但是如果將勾股定理反過來用，也就是說:只要三角形的三邊是3、4、5，或者符合的公式，那么弦邊對面的角一定是直角。

3.到了公元前540年，希臘數學家畢達哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5，或者是5、12、13，他想:是不是所有直角三角形的三邊都符合這個規律?反過來，三邊符合這個規律的，是不是都是直角三角形?他搜集了許多例子，結果都對這兩個問題作了肯定的回答。他非常高興，殺了一百頭牛來祝賀。以后，西方人就將這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”。

另外，合作探究和拼圖部分給學生留的時間太少，應該給學生足夠的時間進行思考，讓學生發現問題并解決問題。

第4篇：勾股定理證明方法范文

關鍵詞：初中數學；勾股定理；創新

為了豐富課堂教學，教師需要通過多媒體技術來營造輕松活潑的課堂氛圍，學生在多媒體教學中，對學習內容的掌握更加有序，循序漸進地學習，不斷思考知識點的運用，并提升實際運用的靈活度。在實踐教學中，多媒體技術已經被大多數的學校和老師所認可，要想有效創新初中數學勾股定理教學方法，就需要分析傳統的勾股定理教學內容，這樣有利于更加靈活有效地使用多媒體技術。

一、利用多媒體切入勾股定理

初中數學教師要想提高課堂教學質量，首先就要找好教學的切入點，尤其是課堂教學活動開始的時候，如何設計教學方式才能吸引學生的注意力，讓學生對教學內容產生更加清晰的認識是教師所要考慮的主要問題。初中生正處于身體和心理快速發展的階段，因此，對多媒體的好奇心較強，教師需要利用多媒體來調動學生的好奇心，而后引入知識點，這樣學生就能自然而然地進入角色中進行學習。例如，教師可以播放兩組視頻，第一組視頻是：小剛持著一根兩米二的竹竿上火車，按照中國鐵路乘坐法規定，乘客在乘坐火車的時候，所攜帶的物品不能夠超過兩米，而乘警在發現小剛手持超過標準長度的竹竿上火車后卻“視而不見”

這是怎么回事呢？第二組視頻講述的是：小紅一家子準備搬家，但是在搬運過程中遇到了一個難題，由于櫥柜非常高，所以，在搬運的時候無法垂直地抬進去，那么斜著是不是就可以抬進去了呢？小紅在經過測量之后，準確地得出了結論，可以搬運，在實踐中順利地把櫥柜搬入家中。教師在播放完視頻后首先問學生：“同學們，在視頻中的兩位主人公都是與我們同齡的同學，他們都非常聰明，你們知道他們運用的是什么知識原理呢？我們接下來學習的內容就是視頻中出現的知識原理，只要大家積極學習，也能像視頻中的同學一樣厲害。”通過視頻的觀看和教師的引導，學生就會對接下來的學習產生極大的熱情，更加認真地學習接下來的

內容。

二、利用多媒體將抽象的勾股定理具體化

現如今大多數人評定一名學生的優劣都是依據考試成績來判斷的，但是在初中實踐教學中不難發現，學生的學習過程更加重要，教師不能只重視學生的學習結果，只有調動學生在學習中對學習內容的熱情，才能促進學生積極地學習相關知識，并且努力掌握學習方法，最終有效提高成績，因此，教師需要重視培養學生的學習過程。勾股定理知識是初中數學中較為抽象的理論知識，具有較強的靈活性特征，因此，該知識點能夠與其他知識點有機結合起來，綜合地解決數學問題，因此，學生要想充分地掌握具有一定的難度。要想幫助學生突破知識點束縛，就可以將勾股定理具體化和形象化。教師在實際教學中，可以利用多媒體技術有機地將數學計算公式與聲音、圖像等融合起來，更為形象地表現教學內容，有利于幫助學生更加深入地理解勾股定理的相關知識，應用得更加靈活，在原有的基礎上進一步地進行積累，豐富自身的知識結構。例如，利用勾股定理證明垂直問題的時候，教師就先提出問題：已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB垂直于AD，證明：BC垂直于BD。

在傳統的教學中教師在黑板上板書，將計算過程演算出來，學生只需要跟著教師的腳步走就行，該教學方法十分枯燥，時常遇到學生聽不懂，但是也不敢打斷教師提問，所以教師在課堂上利用多媒體教學時，就可以具體地將驗算過程顯示出來，通過播放Flash引導學生一步步地理解勾股定理怎么計算，有利于調動學生對勾股定理的學習積極性。

隨著現代社會的發展，電子信息技術逐漸深入到生活的方方面面，互聯網時代的到來促使多媒體技術快速發展，要想有效創新初中數學勾股定理教學方法，就需要應用多媒體技術，不僅能夠將抽象的數學知識具體化，還能充分調動學生的學習興趣，并且有效利用多媒體技術還能夠擴展學生的知識范圍，讓學生學習到除課本知識以外的知識內容，鍛煉自身的自學能力，有利于培養學生的自我學習能力。在初中數學教學中勾股定理是教學的重難點，教師利用多媒體技術展開教學方法的創新，更有利于學生掌握該知識，并靈活地運用到實際中，為學生初中數學知識的掌握打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]曾喜萍.淺談多媒體在高校數學教學中的運用[J].廣西工學院學報，2005（1）.

第5篇：勾股定理證明方法范文

【摘要】文章以“簡單是真理的標志”為準則，用明白易懂的語言對費爾馬大定理進行證明。提出了“勾股性質定理”，并且用“一分為二”的觀點審視乘方數，用“綱舉目張”的成語解釋直角三角形。拳拳匠心圓，足足創意方。

【關鍵詞】勾股性質定理 一分為二 乘方數 綱舉目張 直角三角形

Prove Fermat’s Theorem and make it transpicuous

Ma Jianzhong Ma Zhengxing

【Abstract】The writers have proved Fermat’s Theorem using transpicuous words with the sentence that simpleness is the symbol of the truth as the guide line. They have brought forward the “Pythagorean quality proposition”, surveyed the number of the power with the view that one divides into two and explained the right-angled triangle using the idiom that when the headrope of a fishing net is pulled up, all its meshes open. In the article, the writers have great originality sincerely.

【Keywords】Pythagorean quality proposition One dividing into two Number of power When the headrope of a fishing net is pulled up All its meshes open Right-angled triangle

勾股性質定理：任何直角三角形，設勾為x，股為y，弦為z，正整數為n，長度方面，當n=1時，xn+yn>zn（兩邊之和大于第三邊）；面積方面，當n=2時，xn+yn=zn（勾股定理）；體積方面，當n>2時，xn+yn

已知：x2+y2=z2（勾股定理），其中z>x，z>y（斜邊大于直角邊）。

求證：當正整數n>2時，xn+yn=zn沒有正整數解。

證明：當n>2時，假設xn+yn=zn （1）

根據指數法則，對指數“稀釋”來提高透明度和增強可比性，（1）式可寫成

x2xn-2+y2yn-2=z2zn-2 （2）

已知x2+y2=z2，代入（2）式可寫成

x2xn-2+y2yn-2=（x2+y2）×zn-2 （3）

（3）式去括號可寫成

x2xn-2+y2yn-2=x2zn-2+y2zn-2 （4）

已知z>x,z>y，因為同樣指數的兩個乘方數其底數較大者較大，所以zn-2> xn-2，zn-2>yn-2。

又因為因數較大者較大，所以

x2zn-2>x2xn-2（只有z=x，才能x2 zn-2=x2xn-2）

y2zn-2>y2yn-2（只有z=y，才能y2zn-2=y2yn-2）

如上所證，（4）式其實等號兩邊不相等，即該方程不成立，應當寫成x2xn-2+y2yn-2

（5）式的理由是“兩個較小的數相加之和小于兩個較大的數相加之和”。

如上所證進行正本清源，由于（5）式的小于號兩邊是從（1）式的等號兩邊轉化而來的，所以（5）式可寫成

xn+yn

如（6）所示，假設的（1）其實等號兩邊不相等，即該方程不成立而理所當然沒有正整數解。

費爾馬大定理證畢。

如上所證可說：費爾馬大定理的命題正是勾股性質定理的推論。

直角三角形的普遍意義：取值范圍的廣泛性：直角三角形的斜邊，其長度可以是任何正整數。也就是說，以任何正整數作為底數的乘方數（如1n、2n、3n、4n…無窮無盡，當然，n為取值2、3、4之類的正整數），都可以根據這個底數的長度作為三角形的斜邊從而作出一個直角三角形（即在該斜邊的兩端端點向不同方向作互相垂直的兩條直線從而相交成三角形便構成直角三角形）。如此這般，便由斜邊引出了兩條直角邊，就可以把一個乘方數分解為指數相同的兩個乘方數（當然，這兩個乘方數的底數就是兩條直角邊的長度）。當指數n=2時，x2+y2=z2；當指數n>2時，x2+y22時，不可能將一個正整數的乘方數分解為指數相同的兩個正整數的乘方數。

第6篇：勾股定理證明方法范文

為使學生學好當代社會中每一位公民適應日常生活、參加社會生產和進一步學習所必需的代數、幾何的基礎知識與基本技能，進一步培養學生運算能力、發展思維能力和空間觀念，使學生能夠運用所學知識解決實際問題，逐步形成數學創新意識。

二、教材內容分析

本學期數學內容包括第一章《勾股定理》、第二章《實數》，第三章《圖形的平移與旋轉》，第四章《四邊形性質探索》，第五章《位置的確定》，第六章《一次函數》，第七章《二元一次方程組》，第八章《數據的代表》。

第一章《勾股定理》的主要內容是勾股定理的探索和應用。其中勾股定理的應用是本章教學的重點。

第二章《實數》主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數的概念和運算。本章的內容雖然不多，但在初中數學中占有十分重要的地位。本章的教學重點是平方根和算術平方根的概念和求法，教學難點是算術平方根和實數兩個概念的理解。

第三章《圖形的平移與旋轉》主要內容是生活中一些簡單幾何圖形的平移和旋轉。簡單幾何圖形的平移是本章教學的重點，簡單圖案的設計是本章的難點。

第四章《四邊形性質探索》的主要內容是四邊形的有關概念、幾種特殊的四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性質和判定以及三角形、梯形的中位線，其中幾種特殊四邊形的性質和判定是本章教學的重點，推理證明是本章的難點。

第五章《位置的確定》主要講述平面直角坐標系中點的確定，會找出一些點的坐標。

第六章《一次函數》的主要內容是介紹函數的概念，以及一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。其中一次函數的圖像的表達式是本章的重點和難點。

第七章《二元一次方程組》要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實際的問題。

第八章《數據的代表》主要講述平均數和中位數、眾數的概念，會求平均數和能找出中位數及眾數。

三學生情況分析：

初二（1）班共有學生44人，從上學期期未統計成績分析，及格人數分別為5人，優秀人數分別為0人，與其他幾個平行班比較，優秀生及格生都少，另外這兩個班的學生中成績特別差的比較多，成績提高的難度較大。在這樣一個以少數民族為主的學生群體中，學生的數學基礎和空間思維能力普遍較差，大部分學生的解題能力十分弱，特別是幾何題目，很大一部分學生做起來都很吃力。從上學期期末統測成績來看，成績最好是78分，差的只有幾分，這些同學在同一個班里，好的同學要求老師講得精深一點，差的要求講淺顯一點，一個班沒有相對較集中的分數段，從幾分到70多分每個分數段的人數都差不多，這就給教學帶來不利因素。

四、教學目標

1、正確理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本運算，并能熟練地進行二次根式的化簡。

2、掌握二次根式加、減、乘、除的運算法則，能夠進行二次根式的運算。掌握二次根式的化簡，進一步提高學生的運算能力。

3、理解四邊形及有關概念，掌握幾種特殊四邊形的性質定理及判定。

4、理解相似一次函數的概念，掌握一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。

五、教學措施及方法

1、成立學習小組，實行組內幫輔和小組間競爭，增強學生學習的信心及自學能力。

2、注重雙基和學法指導。

3、積極應用嘗試教學法及其他新的教學方法和先進的教學手段。

4、多聽聽課，向其它老師借簽學習一些優秀的教學方法和教學技巧。

六、本學期教學進度計劃

第一周：第一章《勾股定理》

第二周：第二章《實數》

第三周：第二章《實數》的復習和第三章《圖形的平移與旋轉》

第四、五周：第四章《四邊形性質探索》。

第六周：第五章《位置的確定》。

第七周：第六章《一次函數》，介紹函數的概念，以及一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。

第八周：第七章《二元一次方程組》，要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實際的問題。

第九周：第八章《數據的代表》和總復習。

第十周：綜合復習和訓練。

七、本學年教學成績目標：

第7篇：勾股定理證明方法范文

一、數學模式轉換的常見類型

1。數學模式的語言類別轉換

語言類別轉換是從一種語言轉換為另一種語言表征形式的模式轉換方式。它既可以是不同數學語言之間的轉換，也可以是不同數學分支之間的語言轉換，甚至還可以是數學語言與其他語言之間進行的轉換。比如用自然語言敘述的完全平方和公式“兩個數的和的平方等于這兩個數的平方和加上這兩個數的積的二倍”，可以轉換為代數符號語言，即為（a+b）2=a2+2ab+b2。再比如數學命題“橢圓上的任意一點與兩焦點所張開的角被過這一點的法線所平分”，用物理學語言可以描述為“從橢圓的一個焦點發出的光線經過橢圓的反射必過橢圓的另一焦點”。

2。數學模式的語言句法轉換

語言句法轉換是在保持意義不變的前提下改變句子的句法結構的一種模式轉換方式。在數學中，人們常常出于嚴密性的考慮而在句子中增添上很多限定詞、修飾語，這樣所造成的結果是出現很多長句、復合句，這就必然在無形之中增加了學生理解的困難。為了促進學生對數學模式的理解，可以在保持句子意義不變的前提下對句子的結構作適當的轉換，比如將復合句轉換為簡單句、將被動句轉換為主動句，或刪掉一些多余的限定詞、修飾語等，甚至在不影響理解的情況下可以用簡化的語句來表達復雜的句子。比如平面幾何中的一個數學命題“如果一個三角形中有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等”，就可以簡化為“等邊對等角”這樣高度概括的語句。

3。數學模式的語言邏輯轉換

邏輯轉換是利用邏輯等價性來進行模式轉換的一種方式。我們平時常見函數式、等式或不等式的恒等變形、問題等價轉化、求一個命題的逆否命題等都屬于模式的邏輯轉換。通過邏輯轉換往往有助于簡化問題，促進問題的迅速解決。如有這樣一個問題：“已知關于x的三個方程x2+4mx－4m+3=0，x2+（m－1）x+m2=0，x2+2mx－2m=0中至少有一個存在實數根，求實數m的取值范圍。”許多學生往往對其中“至少有一個方程存在實根”這句話感到難以理解，因為它包括七種情況，對它們分別進行討論，顯然很麻煩。但如果把這個問題進行轉換，從問題的反面或對立面來進行思考，那么只需要考察“三個方程都沒有實根”這一情況，從而就可以將問題的求解轉換為求由三個不等式Δ1=16m2－4（－4m+3）＜0，Δ2＝（m－1）2－4m2＜0，Δ3＝4m2+8m＜0組成的關于m的不等式組的解集的補集。

4。數學模式的辯證對立轉換數學中到處都充滿辯證法，在數學模式的理解過程中通過辯證轉換可以促進學生更好地理解數學模式的本質。比如將切線看成是割線無限變化的極限，本質上就是“有限”與“無限”的辯證對立轉化。再比如微積分中求曲線的長度和曲邊梯形的面積時常常要用到“以直代曲”的思想，這實質上就是“直與曲”的辯證對立轉化。另外諸如“相等與不等”、“靜”與“動”、“升”與“降”、“分”與“合”的轉化等都體現了辯證對立轉化的思想，通過這種辯證對立轉化不僅可以改變對數學模式單一的、片面的理解方式，而更重要的意義則在于它可以從不同角度、不同方面對數學模式進行更加全面、更加深刻的理解，進而促進學生更好地理解數學模式的本質。

5。數學模式的不同視角轉換

在數學模式的理解過程中，我們常常有這樣的感覺，僅僅局限于某個特定的視角往往很難理解模式，而如能適當轉換視角則可能會產生“柳暗花明”的感覺。這方面最常見的視角轉換有“整體與局部”的轉換、“特殊與一般”的轉換以及“常量”與“變量”的轉換等。比如，求集合{1，2，3，…，n}所有子集的所有元素和這一問題，雖然看上去是局部的問題，但如果僅僅著眼于先求所有集合元素的和，然后再求和的和就非常煩瑣，而如果立足于整體分別求含元素1，2，3，…，n集合的個數，采用整體化方法就易如反掌。又比如對命題2011！＜10062011的理解，如果僅僅只是局限于1006和2011這兩個具體的數值就很難真正理解這一命題，而如果能將1006看成是2011+12，并將所理解的命題看成命題（1+2+…+nn）n＞n！即一般性命題的特殊形式，那么就能對命題產生較好的理解。甚至還可以創造性地利用高斯方法來解決這一問題，即將不等式2011！＜10062011看做是一系列同向不等式1×2011＜10062，2×2010＜10062，…，1005×1007＜10062與等式1006=1006之積。

二、培養學生數學模式轉換能力的主要教學策略

1。通過數學模式語言間的等價互換化“數”為“形”策略

任何數學模式的表述都離不開數學語言（自然語言），數學模式的轉換往往需要在不同的數學語言之間進行靈活地互換。如在解方程組x+y+z=1，①x2+y2+z2=13，②x3+y3+z3=13，③時若用常規的消元法求解，將相當煩瑣，而采用數形結合法將會有意想不到的效果。如圖1。可見方程①、②有實數解的幾何意義是：

直線x+y=1－z與圓x2+y2=13－z2有公共點，其充要條件是圓心O（0，0）到該直線的距離不大于半徑，即|1－z|姨2≤13－z2姨。化簡得（3z－1）2≤0，即z=13。從而，解得x=y=z=13。因此，要能成功地實現數學語言的轉換，首先掌握如幾何語言、代數語言、符號語言等幾種常用數學語言，很難想象一個不懂幾何語言的人能夠將代數語言轉化為幾何語言。另外，要能成功地進行數學語言的轉換，還需要熟悉不同數學語言之間的關系，并能熟練地在不同數學語言之間進行等價轉換，這需要依靠平時的語言互譯訓練，并大力進行數學模式的多元表征訓練。

第8篇：勾股定理證明方法范文

為了使習題能更好地為教學服務，習題教學應注重培養學生思維創新能力，不僅要啟發學生多角度思考，教給多種解題方法和技巧，還要以習題為出發點，要求學生對同類問題舉一反三，觸類旁通，并在此基礎上進行抽象概括、分析綜合、求異創新，從而達到提高學生思維能力的目的。

一、由典型到一般

一個典型習題，能反映同類問題的思維方法和解題技巧，以此拓展開去，發揮其舉一反三、觸類旁通的潛在功能，由一棵樹木，而看見整片森林。

例1 已知：如圖1，在ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，求AF、BD、CE的長。

此題就是一個特例，它的結論反映出一個較為一般的規律，但教師不宜將這個規律直接告訴學生，而應讓學生自己去發現，并抽象、概括出來。

分析：由題意結合圖形聯想到“切線長定理”，即“從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等”，感知這一問題可轉化為方程組來解決。于是，設AF=x，BD=y，CE=z，得方程組

x+y=13 （1）

x+z=9 （2）

y+z=14 （3）

由（1）+（2）+（3）得2x+2y+2z=

36，則x+y+z=18 （4），再由（4）式分別減去（1）（2）（3）得z=5（cm），y=9（cm），x=4（cm）。至此，老師要提出以下幾個問題讓學生解答。

問題1：觀察2x+2y+2z=36中的數據，想一想36相當于ABC的什么？（周長）

問題2：那么，18是36的多少？（1/2）意味著周長的多少？（一半）

問題3：x+y相當于哪一條邊？是哪一個角的對邊？z是哪一個頂點引出的切線長？z是怎樣求出的？（（4）-（1），周長的一半減對邊）

問題4：y和x的求出是不是也符合以上結論？是不是所有這類問題的結論都有這種規律？（指導學生把題中的數據改為BC=a，AC=b，AB=c，將問題由特殊推向一般）

學生通過對各題結論的觀察、比較，不難概括出已知三角形的內切圓，求某一頂點引出的切線長問題的基本規律：某一頂點引出的切線長等于三角形周長的一半減對邊。

得出以上基本規律后，再引導學生應用、推廣，可讓學生解答如下問題：

問題1：解方程組：

x+y=13

x+z=9

y+z=14

問題2：已知一個直角三角形的兩直角邊為3、4，求該直角三角形由直角頂點引出的切線長。

通過上述抽象概括、總結規律、推廣應用等活動，不但可以使學生弄清以上基本規律的來龍去脈，而且能使學生的思維創新能力得到發展。

二、結合階梯性綜合習題，啟發學生深化習題，培養學生的分析綜合能力

一切事物和周圍事物都有著有機的聯系，我們要啟發學生從事物的聯系上去分析問題，由表及里，深層次挖掘知識點，達到使學生既掌握知識，又訓練思維，并形成技能的目的。

例2已知：如圖2，點C為線段AB上一點，ACM、CBN是等邊三角形，AN交CM于E，CN交BM于F，求證：①AN=BM，②CE=CF，③EF∥AB。

分析：此題可以與全等變換中的旋轉模型類比，找出證明途徑，即通過證ACN≌MCB，得①AN=BM；思考②時，可考慮證ACE≌MCF，因為有了AC=MC，∠ACM=∠MCN，而∠CAN=∠CMB能由①中的ACN≌MCB得出，從而可由CE=CF及∠MCN=60°得CEF為等邊三角形，第③問也就迎刃而解。

再比如，例1中的學生解答之問題2：RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，它的內切圓O分別與AC、BC、AB切于點E、F、D，①求證：四邊形ECFO為正方形，②求O的半徑。（如圖3）

所以，對習題作適當的引申，提出漸進式的多個問題，環環相扣，是培養學生應變能力的途徑之一。

三、結合可變性發散習題，鼓勵學生一題多解，培養學生的發散思維能力

數學各部分之間相互聯系，相互滲透。若能充分利用一題多解開展習題教學，不但可以加強新舊知識之間的聯系，鞏固已學知識，而且能培養發散思維能力，擦燃思維火花，找到最佳解題技巧，收到事半功倍的效果。

例3 如圖4，已知在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，求證：AB=AC。

通過作業交流，課堂討論等活動分析小結得出：證法一，用勾股定理的逆定理證得∠ADB=90°之后，可又用勾股定理求出AC的長度，與AB的長度相比較，得出AB=AC；證法二，用勾股定理的逆定理證明∠ADB=90°之后，又可以通過證ADB≌ADC，得出AB=AC。

一題多解存在于很多的習題解答之中，如果我們的習題教學注重教育學生破除“為解題而解題”的思想，對持有創造性解法的學生給予表揚，加以鼓勵，他們就能逐步養成從多角度觀察、思考問題、解決問題的習慣，從而發展立體思維和發散思維的能力。數學知識的學習，思維能力的提高，創新能力的發展，在課堂教學中大多是以習題為載體的。這就要求教師要善于引申和拓展課外習題，使學生通過獨立思考，發現、提出、分析并創造性地解決問題，使數學學習成為再發現、再創造的過程。

第9篇：勾股定理證明方法范文

類型一： 圖形折疊型動手操作題

圖形折疊型動手操作題，就是通過圖形的折疊來研究它的相關結論．

例1 （2012浙江省·衢州）課本中，把長與寬之比為的矩形紙片稱為標準紙.請思考解決下列問題：

（1） 將一張標準紙ABCD（AB＜BC）對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標準紙.請給予證明.

（2） 在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB＜BC）進行如下操作：

第一步： 沿過A點的直線折疊，使B點落在AD邊上點F處，折痕為AE（如圖2甲）；

第二步： 沿過D點的直線折疊，使C點落在AD邊上點N處，折痕為DG（如圖2乙） .此時E點恰好落在AE邊上的點M處；

第三步： 沿直線DM折疊（如圖2丙），此時點G恰好與N點重合.

請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標準紙？請說明理由.

（3） 不難發現，將一張標準紙如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙.現有一張標準紙ABCD，AB＝1，BC＝■，問第5次對開后所得標準紙的周長是多少？探索并直接寫出第2012次對開后所得標準紙的周長.

【解析】

（1） 證明矩形ABEF長與寬之比為；

（2） 利用ABE≌AFE和勾股定理證明矩形ABCD長與寬之比為；

（3） 利用第（1）的結論進行規律探索.

解 （1） 是標準紙.理由如下：

矩形ABCD是標準紙，■=■

由對開的含義知：AF＝■BC

■=■=2g■=■=■

矩形紙片ABEF也是標準紙.

（2） 是標準紙.理由如下：設AB＝CD＝a

由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a，DGEM

由圖形折疊可知：ABE≌AFE

∠DAE＝∠BAD＝45°

ADG是等腰直角三角形

在RtADG中，AD＝■=■

■=■=■

矩形紙片ABCD是一張標準紙

（3） 對開次數第一次第二次第三次第四次第五次第六次…周長2（1+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+…

第5次對開后所得的標準紙的周長為：■

第2012次對開后所得的標準紙的周長為：■

【點評】 本題著重考查了線段的比，圖形的折疊，三角形全等的判定和勾股定理以及規律探索問題，主要培養學生的閱讀能力、觀察能力和歸納總結能力．找規律的題目，應以第一個圖形為基準，細心觀察，得到第n個圖形與第一個圖形之間的關系．解題的關鍵是認真閱讀題目，從中找出相關的知識點運用定義和定理進行解答.

同步測試

（2012四川·內江）如圖4，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D■處，則陰影部分圖形的周長為

A． 15 B． 20

C． 25 D． 30

【解析】 由折疊，知陰影部分圖形的周長＝EA■＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF＝（EA＋EB）＋AD＋BC＋（FC＋DF）＝AB＋AD＋BC＋CD＝2（AB＋BC）＝2（10＋5）＝30．

類型二： 圖形拼接型動手操作題

圖形拼接問題，就是將已知的若干個圖形重新拼合成符合條件的新圖形．

例2 （2012四川·成都）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進行裁剪和拼圖：

第一步： 如圖①，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；

第二步： 如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；

第三步： 如圖③，將MN左側紙片繞G點按順時針方向旋轉180°，使線段GB與GE重合，將MN右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉180°，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．

？搖？搖（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）

？搖？搖則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為 cm，最大值為 cm．

【解析】 通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是一個平行四邊形，其上下兩條邊的長度等于原來矩形的邊AD=6，左右兩邊的長等于線段MN的長，當MN垂直于BC時，其長度最短，等于原來矩形的邊AB的一半，等于4，于是這個平行四邊形的周長的最小值為2（6+4）=20；當點E與點A重合，點M與點G重合，點N與點C重合時，線段MN最長，等于■=2■，此時，這個四邊形的周長最大，其值為2（6+）=12+2■）=12+4■.

答案： 20；12+4■.

【點評】 本題需要較好的空間想象能力和探究能力，解題時可以邊操作邊探究.將最終的四邊形的一周的線段分成長度不變的和可以變化的，然后研究變化的邊相關的邊的變化范圍，這是一種轉化思想.

類型三： 圖形分割型動手操作題

圖形分割型動手操作題就是按照要求把一個圖形先分割成若干塊，然后再把它們拼合一個符合條件的圖形．

例3 （2012廣安·中考試題）現有一塊等腰三角形紙板，量得周長為32cm，底比一腰多2cm.若把這個三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個四邊形，請畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖，并計算拼成的各個四邊形的兩條對角線長的和.

思路導引： 動手操作，注意分類討論，進行長度計算問題，聯系平行四邊形的性質：對角線互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分別對每一種情況進行解答

【解析】 設AB=AC=x cm，則BC=（x+2）cm，根據題意得出x＋2＋2x=32，解得x=10.因此AB=AC=10cm，BC=12cm，過點A做ADBC于點D，

AB=AC，ADBC，BD=CD=6cm，AD=■=8cm，

可以拼成4種四邊形，如圖所示：圖（1）中兩條對角線之和是10＋10=20（cm），

圖（2）中兩條對角線之和是（2■+6）（cm），

圖（3）中，BO=■=■=2■

兩條對角線之和是（4■+8）（cm），

圖（4）中，SABC=■AC×BC=■AB×OC，所以OC■=■，

兩條對角線之和是■×2＋10=19.6（cm）；

【點評】：幾何圖形的有關剪切、拼接的動手操作問題，往往多解，因此應當分類討論，分類個數根據得出的幾何圖形的判定方法以及性質進行，圖形的有關計算，往往聯系直角三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數進行.

類型四： 作圖型動手操作題

作圖型動手操作題，就是通過平移、對稱、旋轉或位似等變換作出已知圖形的變換圖形．

例4 （2012·山西）實踐與操作：如圖1是以正方形兩頂點為圓心，邊長為半徑，畫兩段相等的圓弧而成的軸對稱圖形，圖2是以圖1為基本圖案經過圖形變換拼成的一個中心對稱圖形．

（1） 請你仿照圖1，用兩段相等圓弧（小于或等于半圓），在圖3中重新設計一個不同的軸對稱圖形．

（2） 以你在圖3中所畫的圖形為基本圖案，經過圖形變換在圖4中拼成一個中心對稱圖形．

【解析】 解：（1）在圖3中設計出符合題目要求的圖形．？搖

（2） 在圖4中畫出符合題目要求的圖形．