函數(shù)最值的應(yīng)用精選(九篇)

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第1篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

關(guān)鍵詞：均值不等式 函數(shù) 最值 應(yīng)用

均值不等式是高中數(shù)學(xué)不等式中的重要內(nèi)容，均值不等式在求函數(shù)最值、解決一些取值范圍問(wèn)題時(shí)運(yùn)用非常廣泛，是歷年高考考查的重要知識(shí)點(diǎn)之一。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們應(yīng)因題而宜地進(jìn)行變換，并注意等號(hào)成立的條件，達(dá)到解題的目的，變換題目所給函數(shù)的形式，利用熟悉知識(shí)求解是常用的解題技巧，熟練運(yùn)用該技巧，對(duì)于提高思維的靈活性和嚴(yán)密性大有益處。

一、運(yùn)用均值不等式時(shí)應(yīng)注意事項(xiàng)

在解決這一類型的題時(shí)需要特別注意的是等號(hào)成立的條件，特別是遇到一些函數(shù)本身就有取值限制范圍時(shí)，需要根據(jù)函數(shù)合理存在的限制取值范圍再求函數(shù)的最值。

二、把所給函數(shù)巧妙轉(zhuǎn)化成均值不等式后求最值

這是一種比較難掌握的方法，因此運(yùn)用此法需要具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，敏銳的觀察力。下面舉兩個(gè)例子對(duì)此法加以介紹。

欲靈活應(yīng)用此法，需要多練習(xí)，并在解題的過(guò)程中體會(huì)總結(jié)規(guī)律，達(dá)到孰能生巧，總之，遇到此類型的題，最重要的是需配出相應(yīng)的形式。

三、結(jié)語(yǔ)

以上通過(guò)幾個(gè)實(shí)例簡(jiǎn)單介紹了利用均值不等式求最值問(wèn)題需要注意的一些事項(xiàng)，但對(duì)于具體題目，有時(shí)可能有多種解題方法，究竟如何求出函數(shù)合理的最值，還需要我們?cè)诮毯蛯W(xué)的實(shí)踐中不斷探索和總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王影.求函數(shù)值域的幾種常用方法.解題技巧與方法，2010.

[2]蔓，孫錳.妙用均值不等式求多元函數(shù)的最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010，（4）.

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[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實(shí)篇――學(xué)習(xí)方法總結(jié)，2009，（9）.

[5]劉新良，李慶社.十二種求函數(shù)值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

[6]高飛，朱傳橋.巧用均值不等式球最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2007，（5）.

第2篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

關(guān)鍵詞 三角函數(shù) 最值 思維方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)是函數(shù)的一種重要的函數(shù)，三角函數(shù)的最值問(wèn)題包括了對(duì)三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，一直是高考命題的熱點(diǎn)。我們從以下六個(gè)方面舉例介紹求三角函數(shù)的最值。

1 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數(shù)的最值

求三角函數(shù)的最值問(wèn)題的主要依據(jù)就是正弦、余弦函數(shù)的值域。求三角函數(shù)的最值時(shí)，常常通過(guò)恒等變換，使它轉(zhuǎn)化為反含同名函數(shù)的各項(xiàng)。而恒等變換，一般要綜合運(yùn)用同角三角函數(shù)間的關(guān)系、和角、半角、半角的三角函數(shù)及和差化積、積化和差公式等轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉(zhuǎn)化，問(wèn)題就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

當(dāng) = （）時(shí) = 1，當(dāng) = + （）時(shí) = 。

2 應(yīng)用平均值定理求最值

求函數(shù) = （為銳角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

當(dāng) = ，即 = 時(shí)， = 。

應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過(guò)分析將 （）放大或縮小成一個(gè)常數(shù)，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。

3 應(yīng)用二次函數(shù)判別式求最（極）值

求 = （，，其中為三角形內(nèi)角）的最大值。

解：原函數(shù)化為 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

當(dāng) = 時(shí)， = = ，

所以當(dāng) = = 時(shí)， = 。

此題也可用放縮法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放縮法時(shí)，等號(hào)必須成立。

4 應(yīng)用函數(shù)的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化為 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域?yàn)椋ǎ? ]∪[1，）。

5 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，則（0，）。 = + 。

6 利用數(shù)形結(jié)合

求函數(shù) = 的最值。

圖1

解：原函數(shù)變形為 = 這可看作點(diǎn)（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動(dòng)點(diǎn)，由圖1可知，過(guò)（-2，0）作圓的切線時(shí)，斜率有最值，由幾何性質(zhì)得 = ， = - 。

前面介紹了六種常見(jiàn)的求三角函數(shù)最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如

求 = 的極值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，

原式化為 = + · = 0時(shí)， = 8。

當(dāng) = 1時(shí)， = 4。

第3篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值和最小值問(wèn)題，本質(zhì)上是一個(gè)最優(yōu)化的問(wèn)題。求解函數(shù)最大值與最小值的實(shí)際問(wèn)題，包括三方面的工作：一是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立目標(biāo)函數(shù)，通?？偸沁x取待求的最優(yōu)量為因變量：二是按上述的求解方法求出目標(biāo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最大值或最小值；三是對(duì)所求得的解進(jìn)行相應(yīng)實(shí)際背景的幾何意義的解釋。同時(shí)一方面要深刻理解題意，提高閱讀能力，要加強(qiáng)對(duì)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實(shí)際背景，把數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化；另一方面要不斷拓寬知識(shí)面，提高間接的生活閱歷，如了解一些諸如物價(jià)、行程、產(chǎn)值、利潤(rùn)、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題，也涉及角度、面積、體積、造價(jià)等最優(yōu)化問(wèn)題，培養(yǎng)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的意識(shí)和能力。

最值問(wèn)題綜合性強(qiáng)，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)各個(gè)分支，要學(xué)好各個(gè)數(shù)學(xué)分支知識(shí)，透徹地理解題意，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。

（1）代數(shù)法。代數(shù)法包括判別式法（主要是應(yīng)用方程的思想來(lái)解決函數(shù)最值問(wèn)題）配方法（解決二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題）不等式法（基本不等式是求最值問(wèn)題的重要工具，靈活運(yùn)用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問(wèn)題）④換元法（利用題設(shè)條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問(wèn)題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問(wèn)題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。

①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過(guò)程中巧妙地運(yùn)用，就能給人一種簡(jiǎn)單明快、耳目一新的感覺(jué)。而應(yīng)用判別式的核心在于能否合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號(hào)。若函數(shù)可化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時(shí)，由于x，y為實(shí)數(shù)，必須有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數(shù)最值。

②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過(guò)變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值（此類題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，同時(shí)要考慮頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值是否落在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)則需考慮函數(shù)的單調(diào)性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個(gè)必要條件，因此當(dāng)其中一些條件不滿足時(shí)應(yīng)考慮通過(guò)恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃危惯@些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號(hào)成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計(jì)算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當(dāng)然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達(dá)到目的，具有一定技巧）

④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個(gè)部分看成一個(gè)式子，并用一個(gè)字母代替，于是使原式變得簡(jiǎn)化，使解題過(guò)程更簡(jiǎn)捷（在利用三角換元法求解問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關(guān)系式的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。

（2）數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結(jié)合幾何背景，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，解法往往顯得直觀、簡(jiǎn)捷。通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。有時(shí)函數(shù)最值也借助數(shù)形結(jié)合方法來(lái)求解。

①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，求解函數(shù)最值的方法。

②函數(shù)性質(zhì)法：函數(shù)性質(zhì)法主要是討論利用已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值等。

③構(gòu)造復(fù)數(shù)法：構(gòu)造復(fù)數(shù)法是在已經(jīng)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)章節(jié)的基礎(chǔ)上，把所求結(jié)論與復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，充分利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解。

④求導(dǎo)法（微分法）：導(dǎo)數(shù)是高中現(xiàn)行教材新增加的內(nèi)容，求導(dǎo)法求函數(shù)最值是應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)解決初等問(wèn)題，可以解決一類高次函數(shù)的最值問(wèn)題。找閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）的最大（或最?。┲禃r(shí)，將不可導(dǎo)點(diǎn)、穩(wěn)定點(diǎn)及a，b處的函數(shù)值作比較，最大（或最?。┱呒礊樽畲螅ɑ蜃钚。┲?。

第4篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

關(guān)鍵詞：最值問(wèn)題；三角函數(shù)；解法總結(jié)；系統(tǒng)分析

一、三角函數(shù)最值問(wèn)題的題型歸納及解法策略

在現(xiàn)階段中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)最值問(wèn)題中，題目給出的三角關(guān)系式往往比較復(fù)雜，進(jìn)行化簡(jiǎn)后，再進(jìn)行歸納，主要有以下6種類型。掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數(shù)最值問(wèn)題都可以解決。

1.y=asinx+bcosx型的函數(shù)

這樣的函數(shù)是我們經(jīng)常遇到的，對(duì)于這樣的題型處理思想應(yīng)該引入輔助角，化為y=sin（x+），利用函數(shù)即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化為此類，下面介紹一道實(shí)例來(lái)體會(huì)感受其中的方法。

例1 已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；

（3）若當(dāng)x∈[，]時(shí)，f（x）的反函數(shù)為f-1（x），求f--1（1）的值.

從上面這道例題可以清晰地看出，這一類的三角函數(shù)的最值求解中運(yùn)用的基本的方

法是“利用輔助角法”，將較復(fù)雜的三角式轉(zhuǎn)化成“Asin（）” 的形式，將異名三角比化歸成同名三角比。同時(shí)，也應(yīng)對(duì)自變量的取值范圍要仔細(xì)地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數(shù)

這樣的函數(shù)題型看上去很長(zhǎng)，也很復(fù)雜，但是其中有一定的規(guī)律，通過(guò)下面這樣一個(gè)實(shí)例，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它其中的玄機(jī)。處理方式是降冪，再化為“Asin（）”的形式來(lái)解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時(shí)的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)

在三角函數(shù)的題型中，這題型是比較常見(jiàn)的，經(jīng)常和其它函數(shù)一起應(yīng)用，特別是出現(xiàn)在“存在”問(wèn)題中，對(duì)于這類題型的處理方式是應(yīng)用sin2x+cos2x=1，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來(lái)求解。下面通過(guò)一道例題來(lái)體會(huì)這方法。

例3 是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a?cosx+a-在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說(shuō)明理由.

分析：

這道題就是利用在閉區(qū)間上求二次函數(shù)最值的方法，只是其自變量變?yōu)閏osx。值得注意的是在運(yùn)用這個(gè)方法前，首先要將引用三角比之間的轉(zhuǎn)換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數(shù)的自變量。在題目條件沒(méi)有給你限制條件時(shí)，任何一種那個(gè)情況都應(yīng)該作分類討論，當(dāng)然要結(jié)合已有的法則和三角函數(shù)相關(guān)的公式，及三角函數(shù)隱藏的條件，這樣才能做到解題全面。

綜合上述知，存在符合題設(shè)。

4. y=型的函數(shù)

這是一個(gè)分?jǐn)?shù)形式的求三角函數(shù)最值的題型，往往出現(xiàn)在需要轉(zhuǎn)化思想的綜合題目中，下面介紹這個(gè)例題，讓同學(xué)有直觀感覺(jué)。

例4求函數(shù)y=的最大值和最小值。

對(duì)于這一類題型，分子、分母只有常數(shù)項(xiàng)不同的三角函數(shù)式，便可以在分子中添置輔助項(xiàng)后，通過(guò)恒等變形把它化成只有分母含有自變量的三角函數(shù)式，只需研究分母的最值，就能求出原函數(shù)的最值。在這樣的變形中若遇到要把分子“翻下去”作為繁分式分母一部分時(shí)，這個(gè)“翻下去”的式子不能為零，如果這個(gè)式子可能為零，則應(yīng)將為零的情況另作處理?！霸O(shè)其不為零的”情況下繼續(xù)解下去，最后把各種情況下求得的值綜合起來(lái)考慮最值。

5.y=sinxcos2x型的函數(shù)

這樣的三角函數(shù)題型有一定的難度，并且有的題目角和函數(shù)很難統(tǒng)一，還會(huì)出現(xiàn)次數(shù)太高的問(wèn)題，這是關(guān)于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中數(shù)學(xué)中涉及三次函數(shù)的最值問(wèn)題，幾乎都用均值不等式來(lái)求解。但需要注意是否符合應(yīng)用的條件及等號(hào)是否能取得。下面介紹一個(gè)實(shí)例來(lái)體會(huì)均值不等式的方法。

例5 在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即I=k?，其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？

6.含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式

在這樣混合的函數(shù)式中，也是經(jīng)常會(huì)遇到的，對(duì)于含有sinx±cosx，sinxcosx的函數(shù)的最值問(wèn)題，常用的方法是令sinx±cosx=t，，將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題。通過(guò)下面這個(gè)例題了解這樣的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函數(shù)y=cos（sinx）的值域

結(jié)合如圖1 所示：y=cos（sinx）的圖像，知cos1=cos（-1）

例8 如圖2：ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點(diǎn)，其余部分都是平地，現(xiàn)一開(kāi)發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR，求長(zhǎng)方形停車場(chǎng)的最大值與最小值。

解：如圖2，連結(jié)AP，設(shè)，延長(zhǎng)RP交AB于M，

則，，故矩形PQCR的面積

設(shè)，

，故當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

例9 如圖3所示，一個(gè)摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪每20秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過(guò)點(diǎn)P處（點(diǎn)P與摩天輪中心O高度相同）時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，

（1） 求此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不超過(guò)10米。

解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)摩天輪上某人在Q處，則在t秒內(nèi)OQ轉(zhuǎn)過(guò)的角為，所以t秒時(shí)，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故在t秒時(shí)此人相對(duì)于地面的高度為（米）

（2）令，則

Fig 2-4 Example 9 here

二、對(duì)三角函數(shù)最值問(wèn)題的小結(jié)

1.求三角函數(shù)最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性）；

（2）化同角函數(shù)法（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性）；

（3）數(shù)形結(jié)合法（常用到直線的斜率關(guān)系）；

（4）換元法（如萬(wàn)能公式，將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之類的情如運(yùn)用均值不等式等）；

（6）降冪法（主要利用三角函數(shù)的基本公式和定義）。

2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)所給出的區(qū)間：

（1）求三角函數(shù)最值時(shí)，一般要進(jìn)行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性。

（2）含參數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題，要注意參數(shù)的作用和影響。

（3）在涉及到綜合實(shí)際生產(chǎn)并運(yùn)用基本不等式法解最值問(wèn)題時(shí)，需要注意所得結(jié)果是否符合實(shí)際情況及等號(hào)是否取得到。

3.如“表1求解三角函數(shù)最值的常用方法”是個(gè)人對(duì)以上題型及解法的總結(jié)。

表1 求解三角函數(shù)最值的常用方法

參考文獻(xiàn)：

[1]趙鈺林.素質(zhì)教育新教案數(shù)學(xué)[M].北京：西苑出版社，2004.

[2]曹曉春.三角函數(shù)的最值問(wèn)題[N].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2007（10）.

第5篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；最值問(wèn)題

三角函數(shù)的最值問(wèn)題在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位，在考試中一直是重點(diǎn)和難點(diǎn)。研究三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生掌握恒等變形以及運(yùn)用三角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行變形的能力。三角函數(shù)的最值問(wèn)題指的是三角函數(shù)及其基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，三角函數(shù)的最值問(wèn)題，在求解方式上靈活多變，在實(shí)際生活中運(yùn)用廣泛。

1.中職學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

與高校的學(xué)生素質(zhì)相比較，中職學(xué)校的蹙額生基礎(chǔ)知識(shí)文化的水平較低，學(xué)生的學(xué)習(xí)底子較為薄弱；學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，態(tài)度、自信、動(dòng)機(jī)和興趣的不足使學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上普遍缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感；中職教育課程設(shè)置不合理，對(duì)專業(yè)工具課的重視力度不足，數(shù)學(xué)課的課程量被不斷的刪減，數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性斷裂。

另外，作為中職數(shù)學(xué)教學(xué)課程中重要組成部分的三角函數(shù)學(xué)習(xí)，由于以上的三點(diǎn)原因，勢(shì)必會(huì)造成影響。學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)于正弦、余弦、正割、反割等基本概念混淆不清，在實(shí)際運(yùn)用的過(guò)程中導(dǎo)致解題思路不清晰的問(wèn)題[1]。

2.中職數(shù)學(xué)教學(xué)三角函數(shù)最值問(wèn)題探討

2.1 三角函數(shù)性質(zhì)概念

對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)概念進(jìn)行精準(zhǔn)的講解是實(shí)現(xiàn)講解三角函數(shù)最值化問(wèn)題的關(guān)鍵，首先，對(duì)三角函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、奇偶性、定義域值域進(jìn)行精準(zhǔn)的講解與定位，使學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的掌握和圖像的掌握能力相結(jié)合。通過(guò)熟練掌握三角函數(shù)變形的技巧，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)由復(fù)雜轉(zhuǎn)向簡(jiǎn)單的變形能力[2]。

2.2 求解三角函數(shù)最值問(wèn)題的一般方法

2.2.1 配方法

配方是將一個(gè)解析式利用恒等變形的方式，將其中的某些配量項(xiàng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)或者多個(gè)多項(xiàng)式的形式，使用較多的是完全平方式的配方，應(yīng)用相當(dāng)廣泛.

例如：三角函數(shù)為y=5sinx+cos2x，求出它的最值。

解： y=5sinx+（1-sin2x）

=-2sin2x+5sinx+1

=-2（sinx-5/4）2+33/8.

通過(guò)sinx的值域判定，計(jì)算其值域?yàn)閇-6，4]

使用配方法進(jìn)行值域的求解時(shí)，不應(yīng)當(dāng)將三角函數(shù)和二次函數(shù)的最值求解進(jìn)行混淆，在三角函數(shù)值域的求解，配方法的使用是較為常見(jiàn)的。

2.2.2 換元法

換元法是將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的函數(shù)，不僅僅局限于三角函數(shù)內(nèi)部的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也可將非三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)。比如說(shuō)利用函數(shù)的有界性，特別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行最值的劃歸。當(dāng)然，通過(guò)二次函數(shù)的劃歸也可實(shí)現(xiàn)最值的求解。在實(shí)際的講解中，數(shù)形結(jié)合求解的方式也較為常見(jiàn)。

2.2.3 單調(diào)性法

顧名思義，則是利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行值域和定義域的求值。例如：

例：求y=sinx+2/sinx，（0

2.3 求解三角函數(shù)最值問(wèn)題的其他方法

2.3.1 y=asinx+bcosx型最值的求解

在此類型中，這一類三角函數(shù)最值的求解主要是將復(fù)雜的三角模式進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，通過(guò)對(duì)自變量的考察，實(shí)現(xiàn)值域的求解。

例：f（x）=sin（ωx+6）+sin（ωx-6）-2cos22x，x∈R（其中ω>0）.

（1）求函數(shù)f（x）的值域；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為π/2，，求函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間。

2.3.2 y=asin2x+bsinx+c型最值的求解

例：求函數(shù)y=cos2x-cosx+1（π

解：y=cos2x-cosx+1

=2cox2x-cosx

=2（cosx-?） 2 -1/8

因?yàn)棣?/p>

3.提升三角函數(shù)最值問(wèn)題教學(xué)效果的反思

在實(shí)際的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)從提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性、采用多向度的教學(xué)方式、優(yōu)化知識(shí)的識(shí)記方法三種方式入手，提高中職數(shù)學(xué)課堂中三角函數(shù)最值問(wèn)題的學(xué)習(xí)效果。學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)在學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性中占據(jù)重要的地位，結(jié)合三角函數(shù)教學(xué)的自身特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，主動(dòng)提前掌握三角函數(shù)最值的學(xué)習(xí)，可以使其更好地深入學(xué)習(xí)三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，切實(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性。中職學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)薄弱，教學(xué)過(guò)程中，采用特色的教學(xué)模式，將反繁復(fù)的三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)化，進(jìn)而呈現(xiàn)在課堂上，總可多種方式進(jìn)行講解，，提高學(xué)生的理解與領(lǐng)悟能力。三角函數(shù)基本知識(shí)繁復(fù)公式繁多，在教學(xué)中，用簡(jiǎn)易的繞口令，如：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”來(lái)誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。

4.結(jié)語(yǔ)

中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的三角函數(shù)最值問(wèn)題面臨著眾多的困難。通過(guò)一系列的課堂教學(xué)理念、策略與方式的創(chuàng)新，學(xué)生可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)型學(xué)習(xí)向能力型學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變。中職教師在其教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)以自身為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，在教學(xué)的過(guò)程中耐心細(xì)致地解決學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題，從而提高種豬數(shù)學(xué)三角函數(shù)最值問(wèn)題教學(xué)的質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張衛(wèi)斌. 三角函數(shù)不同題型最值問(wèn)題求解的常用方法解析[J] . 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010，4（15）：56-58 .

第6篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 最值問(wèn)題 解法

最值型數(shù)學(xué)問(wèn)題不論是在近幾年的競(jìng)賽還是中考當(dāng)中都經(jīng)常出現(xiàn)，這類問(wèn)題貼近生活、貼近社會(huì)，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等方面的能力.下面就數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的最值問(wèn)題和解法介紹如下.

一、平面幾何的最值問(wèn)題

平面幾何的最值問(wèn)題是一類常見(jiàn)的題型，它涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解答有一定的難度，下面介紹一種利用“軸對(duì)稱”巧解最值問(wèn)題的方法，舉例說(shuō)明.

例1：A、B兩點(diǎn)在直線L的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P，使PA+PB最小.

分析：在直線L上任取一點(diǎn)P′，連接AP′，BP′，在ABP中，AP′+BP′＞AB，如果AP′+BP′＝AB，則P′必在線段AB上，而線段AB與直線L無(wú)交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤.取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′，則AP′＝AP，在A′BP中，A′P′+B′P′＞A′B，當(dāng)P′移到A′B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)PA′+B′P′＝A′B，所以這時(shí)PA+PB最小.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)求最值問(wèn)題

1.一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一次函數(shù)和反比例函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都沒(méi)有最值，但在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題當(dāng)中，自變量在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，由函數(shù)的增減性知函數(shù)有最值.

例2：學(xué)校需刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費(fèi)）；若學(xué)校自刻，除租用一臺(tái)刻錄機(jī)需120元外，每張還需成本4元（包括空白光盤費(fèi)）.刻錄這批電腦光盤，到電腦公司刻錄費(fèi)用省還是自刻費(fèi)用??？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：這里刻錄光盤的張數(shù)不知道，所需費(fèi)用隨光盤張數(shù)的增大而增大，需建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系.

解：設(shè)需刻錄x張電腦光盤，則到電腦公司刻錄需y=8x元，自錄刻需y=（120+4x）元，所以有：y-y=8x-（120+4x）=4（x-30）;當(dāng)x＞30時(shí)，y-y＞0，y＞y;當(dāng)x=30時(shí)，y-y=0，y=y;當(dāng)x

答：當(dāng)刻錄光盤數(shù)多于30張時(shí)，自刻費(fèi)用省；當(dāng)刻錄光盤數(shù)等于30張時(shí)，兩者一樣；當(dāng)刻錄光盤數(shù)少于30張時(shí)，到電腦公司刻比較省.

2.二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一般情況下，二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的最值由頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)確定，這是大多數(shù)同學(xué)容易掌握的.但有時(shí)受自變量取值范圍的影響，函數(shù)的最值不是由頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)確定，這種情況很容易被學(xué)生所疏忽.下面列舉幾例說(shuō)明.

例3：某商場(chǎng)將每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3000元的彩電以3900元的銷售價(jià)售出，每天可銷售出6臺(tái)，假設(shè)這種品牌的彩電每臺(tái)降價(jià)100x（x為正整數(shù)）元，每天可以多銷售出3x臺(tái).（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)－進(jìn)價(jià)）

（1）設(shè)商場(chǎng)每天銷售這種彩電獲得的利潤(rùn)為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售該品牌彩電每天獲得的最大利潤(rùn)是多少？此時(shí)，每臺(tái)彩電的銷售價(jià)是多少時(shí)，彩電的銷售量和營(yíng)業(yè)額均較高？

分析：（1）銷售每臺(tái)彩電獲利3900-3000-100x=（-100x+900）元，每天銷售量為（6+3x）臺(tái)，所以y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400.

（2）y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400=-300（x-）+9075.

頂點(diǎn)為（，9075），又因?yàn)閤為正整數(shù)，所以當(dāng)x=3或4時(shí)，y取最大值，且為9000元.當(dāng)x=3時(shí)，銷售價(jià)為每臺(tái)3600元，銷售量為15臺(tái)，營(yíng)業(yè)額為3600×15=54000元；當(dāng)x=4時(shí)，銷售價(jià)為每臺(tái)3500元，銷售量為18臺(tái)，營(yíng)業(yè)額為3500×18=63000元.通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價(jià)為每臺(tái)3500元時(shí)，能保證銷售量和營(yíng)業(yè)額均較高.

小結(jié)：本題頂點(diǎn)（，9075），不能作為二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)的原因是x不能取小數(shù)，所以做題時(shí)要注意審題（題中括號(hào)內(nèi)已說(shuō)明x為正整數(shù)），不能放過(guò)每一個(gè)細(xì)節(jié).

因此，做二次函數(shù)最值這一類題目時(shí)，要充分挖掘題目中的隱含條件，正確求出自變量的取值范圍。有兩種方法可求出最值：①幾何方法：畫出函數(shù)圖像，找出圖像中的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)），從而求出當(dāng)自變量為何值時(shí)，函數(shù)的最大值（或最小值）是多少？②代數(shù)方法：首先判斷頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在，它就是最值點(diǎn)；若不在，它就不是最值點(diǎn)，然后另尋它點(diǎn).

三、利用不等式求最值問(wèn)題

例4：某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)，決定購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞.現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示.經(jīng)過(guò)預(yù)算，本次購(gòu)買機(jī)器所耗資金不能超過(guò)34萬(wàn)元.

（1）按該公司要求可以有幾種購(gòu)買方案？

（2）若該公司購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種方案？

分析：本題是消費(fèi)購(gòu)物設(shè)計(jì)型問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的基本思路是從實(shí)際問(wèn)題中尋找等量（或不等量）關(guān)系，通過(guò)購(gòu)建方程（或函數(shù)、不等式）模型，從中尋找解決問(wèn)題的最佳方案.

解：（1）設(shè)購(gòu)買甲種機(jī)器x臺(tái)，則購(gòu)買乙種機(jī)器（6-x）臺(tái).

由題意，得7x+5(6-x)≤34;解這個(gè)不等式，得x≤2，即x可以取0、1、2三個(gè)值，所以，該公司按要求可以有以下三種購(gòu)買方案：方案一：不購(gòu)買甲種機(jī)器，購(gòu)買乙種機(jī)器6臺(tái)；方案二：購(gòu)買甲種機(jī)器1臺(tái)，購(gòu)買乙種機(jī)器5臺(tái)；方案三：購(gòu)買甲種機(jī)器2臺(tái)，購(gòu)買乙種機(jī)器4臺(tái).

（2）按方案一購(gòu)買機(jī)器，所耗資金為30萬(wàn)元，新購(gòu)買機(jī)器日生產(chǎn)量為360個(gè)；按方案二購(gòu)買機(jī)器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬(wàn)元；新購(gòu)買機(jī)器日生產(chǎn)量為1×100＋5×60＝400個(gè)；按方案三購(gòu)買機(jī)器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬(wàn)元；新購(gòu)買機(jī)器日生產(chǎn)量為2×100＋4×60＝440個(gè).

第7篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

關(guān)鍵詞：物理學(xué)中最值問(wèn)題 數(shù)學(xué)思維 解題方法

物理學(xué)家楊振寧指出：“可以用兩片生長(zhǎng)在同一根管莖上的葉子，來(lái)形象化說(shuō)明數(shù)學(xué)與物理之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)與物理是同命相連的，它們的生命線交接在一起?！币虼?，我們從物理現(xiàn)象出發(fā)，經(jīng)過(guò)分析，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)解決物理問(wèn)題起到十分關(guān)鍵的作用。

以下，通過(guò)例舉闡述應(yīng)用數(shù)學(xué)思維求解物理過(guò)程中最值問(wèn)題的方法。

一、利用幾何知識(shí)解物理中最值問(wèn)題

此方法主要通過(guò)作圖，利用平面幾何知識(shí)將物理最值問(wèn)題求解

例1、如圖1：傾角θ=30斜面上放一重量為G的光滑小球，斜面上立一塊擋板，使小球靜止。問(wèn)擋板如何放置，擋板所受壓力最小，最小值為多少？

解：根據(jù)重力G的實(shí)際效果分解為：F1垂直于斜面的壓力，F(xiàn)2垂直于擋板。

重力G大小、方向一定；F1方向一定。

合力G構(gòu)成一個(gè)三角形，重力G的末端到直線OA的最短距離表示F2

最小值，即過(guò)G末端作OA的垂線（如圖2）

由幾何關(guān)系得：

此時(shí)擋板位置垂直于斜面。

例2、如圖4，要使圓柱繞A點(diǎn)滾上臺(tái)階，試作圖說(shuō)明作用于圓上的力F作

用在哪點(diǎn)沿什么方向最省力？

解：設(shè)圓柱重力為G，臺(tái)階上A點(diǎn)到重力G作用線的

距離為L(zhǎng)（G、L不變）， 作用力為F，臺(tái)階上A點(diǎn)到作用力F作用線的

距離為X，由力矩平衡，GL=FX，要使F最小則X必須最大，由幾何知識(shí)，過(guò)A點(diǎn)，作直徑交圓于B點(diǎn)，若F作用于B點(diǎn)，沿切線方向

（如圖4）此時(shí)X最大，F(xiàn)最小。

二、 運(yùn)用二次函數(shù)的極值解物理中最值問(wèn)題

此方法主要根據(jù)二次函數(shù) ，進(jìn)行求解

例3、用直流電動(dòng)機(jī)提升重物，重物質(zhì)量m為50kg，電源電壓為120V。當(dāng)

電動(dòng)機(jī)以速度V=0.9m/s勻速向上提升重物時(shí)，電流I=5A（g取10m/s2），求（1）電機(jī)線圈電阻R，（2）電動(dòng)機(jī)對(duì)重物最大提升速度是多少？

解：（1）電動(dòng)機(jī)工作時(shí)的機(jī)械功率

電動(dòng)機(jī)消耗的電功率

由能量轉(zhuǎn)化守恒

（2）當(dāng)電機(jī)提升速度變化電動(dòng)機(jī)輸出的機(jī)械功率

三、 運(yùn)用三角函數(shù)極值求解物理中最值問(wèn)題

根據(jù)三角函數(shù)Sin（x+α）=±1時(shí)，aSinx+bCosx有最值且tanα= 的性質(zhì)解題是

一種重要方法。

例4如圖5質(zhì)量為m的物體受拉力F作用在水平地面勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體與地面動(dòng)摩擦因數(shù)為?，當(dāng)F與水平方向夾角θ為多少時(shí)F最小？

解：物體受力分析如圖6 ，由牛頓定律

Fcosθ-?FN=0

F Sinθ+ FN= mg

Fcosθ=?（mg- F Sinθ）

四、 應(yīng)用不等式性質(zhì)求解物理中最值問(wèn)題

根據(jù)不等式性質(zhì)，當(dāng)a>0，b>0，c>0時(shí)不等式 ，當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)，不等式取等號(hào)；在解題中常發(fā)揮奇效。

例5、質(zhì)量為m的小球與長(zhǎng)度L的繩一端相連，繩的另一端固定在O點(diǎn)。將球拉至與O點(diǎn)在同一水平面上由靜止釋放，球沿圓弧下擺過(guò)程中，在何處其豎直方向分速度最大？

解：從動(dòng)力學(xué)上看，球在A點(diǎn)豎直分速度為0，

而最低點(diǎn)B只有水平速度，豎直分速度為0，

所以其下擺過(guò)豎直分速度經(jīng)歷了一個(gè)

加速和減速過(guò)程，中間會(huì)有最大值。

設(shè)此位置在C點(diǎn)，此時(shí)擺繩與OA夾角為α，

與OB夾角為β（如圖7）

根據(jù)不等式 僅當(dāng) 時(shí)，不等式取等值

五、 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解物理中最值問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用價(jià)值極高，在解決函數(shù)極值，及最值問(wèn)題要自覺(jué)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)。

例5也可應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行解答

第8篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；求最值；均值定理

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0265-01

最值問(wèn)題始終是高考數(shù)學(xué)的命題熱點(diǎn)，而利用均值不等式求函數(shù)的最值是最為常見(jiàn)、應(yīng)用較為廣泛的方法之一，這類問(wèn)題難度雖不大但技巧性，考生常因方法選擇不當(dāng)，造成應(yīng)用定理錯(cuò)誤而失分。因此，快速找到切入點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而順利解答高考題，這是高三學(xué)生的最大期望。筆者現(xiàn)就此類問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)不同類型技巧的解法進(jìn)行分析。希望本文能對(duì)讀者有所啟示和幫助。

一、配湊項(xiàng)湊“積”為定值法

例1 已知x

解：因4x-5

（4x-2）g不是常數(shù)，所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，Qx0，

y=4x-2+=-

5-4x++3≤-2+3=1

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1。

點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，保證各項(xiàng)正，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。其實(shí)湊積為定值無(wú)非是湊“倒數(shù)”形式，消去未知數(shù)，得到定值而已。

二、分離拆項(xiàng)或換元構(gòu)造“積”為定值

例2 求y=（x>-1）的值域。

解法一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離。

y===（x+1）++5當(dāng)x>-1，即x+1>0時(shí)，y≥2+5=9（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào)）。

解法二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

y===t++5，當(dāng)x>-1，即t=x+1>0時(shí)，y≥2+5=9（當(dāng)t=2即x=1時(shí)取“=”號(hào)）。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于分子分母“一、二次“形式的分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)，構(gòu)造“倒數(shù)”，創(chuàng)造均值定理使用環(huán)境，再利用不等式求最值，即化為y=mg（x）++B（A>0，B>0），g（x）恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值。但仍注意“一正、二定、三相等”的限制。

三、乘“一”不變?cè)順?gòu)造“積”為定值

例3 已知正數(shù)x、y滿足+=1，求x+2y的最小值 。

解法一：（利用均值不等式）x+2y=（+）（x+2y）=10++≥10+2=18，當(dāng)且僅當(dāng)

+

=1

=

即x=2，y=3時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。

解法二：（消元法）由+=1得y=，由y>0⇒>0⇒x>8則x+2y=x+=x+=x+2+=（x-8）++10≥2+10=18。

當(dāng)且僅當(dāng)x-8=即x=12，此時(shí)y=3時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是18。

點(diǎn)評(píng)：利用乘一不變值的道理構(gòu)造“倒數(shù)”構(gòu)造“積為定值”，從而創(chuàng)造使用均值定理的環(huán)境。此類問(wèn)題是學(xué)生求解易錯(cuò)得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯(cuò)誤的求解方法：。原因就是等號(hào)成立的條件不一致。

四、平方法配湊“和”為定值

例4 已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10，求函數(shù)W=+的最值。

解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡(jiǎn)單，

+≤==2。

解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W>0，W2=3x+2y+2x?y=10+2?≤10+（）2+（）2=10+（3x+2y）=20W≤=2。

第9篇：函數(shù)最值的應(yīng)用范文

重難點(diǎn)歸納

解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、拋物線）的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的

（1）對(duì)于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過(guò)求不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域。

（2）對(duì)于圓錐曲線的最值問(wèn)題，解法常有兩種 當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值。

典型題例示范講解

如圖，已知橢■+■=1（2≤m≤5），過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D，設(shè)f（m）=||AB|-|CD||

（1）求f（m）的解析式；

（2）求f（m）的最值.

解 （1）設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m，b2=m-1，c2=a2-b2=1

橢圓的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）

故直線的方程為y=x+1，又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±■，即x=±m(xù)。

A（-m，-m+1），D（m，m+1）

考慮方程組y=x+1■+■=1，消去y得：（m-1）x2+m（x+1）2=m（m-1）

整理得：（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0

Δ=4m2-4（2m-1）（2m-m2）=8m（m-1）2

2≤m≤5，Δ>0恒成立，xB+xC=■.

又A、B、C、D都在直線y=x+1上

|AB|=|xB-xA|=■=（xB-xA）·■，|CD|=（xD-xC）

||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=■|（xB+xC）-（xA+xD）|

又xA=-m，xD=m，xA+xD=0

||AB|-|CD||=|xB+xC|·■=|■|·■=（2≤m≤5）

故f（m）=■，m∈[2，5]

（2）由f（m）=■，可知f（m）=■

又2-■≤2-■≤2-■，f（m）∈■，■

故f（m）的最大值為■，此時(shí)m=2；f（m）的最小值為■，此時(shí)m=5