高三的數學問題精選(九篇)

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第1篇：高三的數學問題范文

關鍵詞： 高三文科 數學教學 解題思路

進入高三一輪復習之后，由于文科班的學生基礎較差，很多學生怕學數學，在這種背景下我們怎樣組織最為有效的復習教學就顯得尤為重要。數學的重頭戲是解題，解題教學是高三數學總復習教學的重要環節，解題教學的質量直接決定總復習教學的效果，那么如何提高解題教學的質量呢？我認為，可從下列三個方面出發來探求一條基本思路。

一、實現選題的最優化

解題教學的第一步是選擇和設計復習題，這是關鍵的一步。選題得當，可以提高效率，做到事半功倍；否則只會加重師生負擔，而收效甚微。怎樣優化問題的選擇和設計呢？

1.緊靠新考綱和教學要求

選題要依考綱和江蘇省的教學要求進行，尤其是新教材中要求發生重大變化的部分。例如，圓錐曲線這一部分中的“雙曲線，拋物線”，課程標準的能力層次是“了解”，考試大綱是A級，所以我們在選題的時候要改變老思路，降低難度。對這些差別，教師一定要了然于心，并把自己的理解體現于選題中。

2.整合課本資源

高考命題的一個基本的原則就是“以考綱為準，以教材為本”。課本中例題、習題的設置，體現著本節知識應達到的能力要求。雖然高考數學試題不會考查課本上的原題，但每次對高考試卷分析時不難發現，許多題目都能在課本上找到“根源”，不少高考題就是對課本原題的變形、改造及綜合，撇開課本進行復習，不管對教師還是學生而言都是不可取的做法。對課本例題和習題的整合，做到舊題新解、熟題重溫，可使學生獲得新的感受和樂趣。

3.重視“雙基”訓練

所謂“雙基”，是指基礎知識、基本技能和能力培養。新課程重新審視“雙基”，與時俱進地認識“雙基”，如把最基本的數據處理、統計知識、算法等作為新的數學基礎知識和基本技能；又如刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調支枝末節的內容；因而在選取復習題時應注意充實“雙基”題型，不要急于求成，好高騖遠，抓了高深的，丟了基本的。

4.注意容量適當

新課標給我們的感覺是一個“緊”字，高一、高二講授新課“緊”，高三數學總復習更“緊”。原因是新課標新增加了不少內容，如必修部分的函數與方程、三視圖、算法初步、幾何概型等；選修部分的全稱量詞與存在量詞、定積分、回歸分析、獨立性檢驗、莖葉圖等。要做到化“緊”為“松”，選取復習題時一定要容量適當。如果采取題海戰術，就會出現“低效率、重負擔、低質量”的局面。

當然，每一個小專題，每一個考點要有一定的復習題，這是毫無疑問的。熟能生巧，當處理的題目達到一定的數量后，決定復習效果的關鍵性因素就不再是題目的數量，而在于題目的質量和處理水平。

5.體現知識的交匯點

課本上每章的習題往往是為鞏固本章內容而設置的，所用知識相對比較單一。而在學生學完各個知識點后，在復習時往往忽視各章節之間的聯系。這時，教師對知識交匯點的問題應予以重視，應適當加強訓練，以提高學生的分析問題、解決問題的能力。況且在知識網絡交匯點處命題，使對數學能力的考查達到必要的深度，是高考常用的方法。

二、重視講題的實效性

講題是解題教學的核心內容，如何講解才能讓學生受到最好的啟發呢？

1.多小結

從大的方面來講，講題時要歸納總結常用的數學思想方法。比如：函數與方程思想，化歸思想，分類討論思想，數形結合思想等。主要方法有：配方法、換元法、待定系數法、公式法、綜合法、分析法、反證法等。教給學生一定的數學思想與方法，有助于他們從宏觀上把握解題思路。

從小的方面來講，講題時要歸納總結常用解題經驗，提高解題水平。比如：求解線性規劃問題的步驟如何？怎樣求函數的最大（?。┲?？如何證明直線與平面垂直？如何求數列的通項公式？求軌跡方程有哪些方法？這些都是有效解題的基本結論。此外，要讓學生進一步思考，某一種方法適宜于哪種題型？要注意什么問題？具體的做法怎樣？學生知道了某類問題的解題方法，自然就得心應手，避免了盲目性。

2.多點撥

講題精確，效率就高；不著邊際講題，聽者很吃力、很頭疼。所以在講例題、習題時，要“講到點子上”。不僅要講怎樣去分析條件與結論（所求）的聯系、式子的結構特點、數量關系等，從而探索解題的策略和思路，而且要講怎樣解才是最簡，其解法又是怎樣想到的。能講出題目的好想法、好思路，才有助于學生新穎的、富有創造性的見解的產生。

3.多變式

講解習題時，恰當變化，如變換習題的非本質特征或本質特征中的一種，便可舉一反三，觸類旁通，使學生活學活用，把書讀薄。通過變式，達到一題多用，提高效率的目的；通過變式，加深對問題的認識。

4.多聯系

新課標指出：“注重聯系，提高對數學整體的認識”，“注重數學知識與實際聯系，發展學生的應用意識和能力”，體現在解題教學上，就是講題時要多拓展、多聯系。講題時不僅是為解題而講題，還要把與題目有聯系的題串起來講，與題目有聯系的知識串起來講，與題目有聯系的技能、思想方法串起來講，時時利用課堂的講題來灌輸、再現以往知識，加深對數學技能、思想方法的認識。如此一來，通過潛移默化，學生就能牢固掌握知識。

5.多探究

新課標倡導積極主動、勇于探索的學習方式，講題要體現這一理念，引導學生主動、積極地參與解題過程。講題時，運用解題的目標意識，通過合理設問，幫助學生尋求思維的切入點，探索解題的角度。學生通過自己探究獲得問題的解決，其記憶是深刻的。

三、保證答題的規范化

每次考試，我們總發現學生因為書寫不規范、沒條理失分的現象十分普遍，表現在：只求三言兩語、無關鍵步驟、不求推理有據、考慮不周，等等。高考試卷在解答題都注明“解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟”，這就要求復習時，解答要規范有條理，要有一定的格式。因此在平時的解題訓練中，教師答題板書時要規范，要對學生提出正確的格式要求，使學生做到正確運算，步驟完整，層次清晰，推理嚴謹。

總之，追求新課標下高三數學總復習學生解題的實效性，有賴于教師在選題、講題、答題等方面下工夫。教師解題教學思路清晰了，學生解題過程規范了，師生一定能從容地迎接2012年高考。

參考文獻：

第2篇：高三的數學問題范文

應用題是考查數學應用意識的主要形式，數學應用意識，即應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決相關學科、生產、生活中簡單的數學問題。應用的主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決，能用數學語言準確地表達和說明。

數學應用題的解題關鍵是提高閱讀能力即數學審題能力，能從背景中概括出數學本質，抽象出其中的數量關系，轉化為函數、方程、不等式、等式等。求解應用題的一般步驟是：

（1）讀題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系；

（2）建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；

（3）求解：運用相關數學模型的知識，選擇合適的數學方法求解；

（4）評價：對結果進行驗證或評估，最后利用結果對現實作出解釋。

數學高考應用試題體現數學聯系實際，加強應用意識，考查考生對現實問題的數學理解的主要題型。應用題將基礎知識、方法、能力和數學素養的考查融為一體，凸顯能力考查和選拔功能。在近幾年高考中，經常涉及的數學應用題，有以下一些類型：函數、不等式應用題，數列應用題、函數應用題、三角應用題、概率統計應用題等等。常涉及到的研究是：優化問題；預測問題；最（極）值問題；測量問題等。

題型1：函數不等式應用題 函數反映了現實世界的變量之間的關系，因此與生產生活實際有緊密的聯系，函數不等式應用題的涵蓋面非常廣泛，可以與生產工程，生活實際和各學科領域相結合。解決函數應用題，首要的是理解題意，建立函數關系，再利用函數性質、導數或不等式為工具求解。

例1. 某 企 業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為80π3 立方米，且l≥2r 。假設該容器的建造費用僅與其表面積有關。已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c（c>3）。設該容器的建造費用為y千元。

（Ⅰ） 寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；

（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的r。

解：（Ⅰ） 設容器的容積為V，由題意知V=πr2l+43πr3，又V=80π3

故l=V-43πr3πr2=803r2-43r=43（20r2-r）

由于l≥2r，因此0

所以建造費用y=2πrlx3+4πr2c=2πrx43（20r2-r）x3+4πr2c

因此y=4π（c-2）r2+160πr，0

（Ⅱ）由（Ⅰ）得y'=8π（c-2）r-160πr2=8π（c-2）r2（r3-20c-2），0

由于c>3，所以c-2>0

當r3-20c-2=0時，r=320c-2

令320c-2=m，則m>0

所以y'=8π（c-2）r2（r-m）（r2+rm+m2）

（1）當0

當r=m時，y'=0

當r∈（0，m）時，y'

當r∈（m，2）時，y'>0

所以當r=m是函數y的極小值點，也是最小值點。

（2）當m≥2即3

當r∈（0，2）時，y'

所以r=2是函數y的最小值點。

綜上所述，當3

當c>92時，建造費用最小時r=320c-2

點評：函數不等式應用題解題關鍵是理解題意，分析各已知條件之間的關系，把實際問題中所涉及的幾個變量轉化成函數關系式，構建相應的函數關系，再用導數或不等式方法加以研究。

題型2：數列應用題 對于一些整數變量的函數應用題，實質上可歸結為數列問題。需要正確設定數列，分析所得數列的性質，結合數列的方法解決問題。

例2. 某車隊2010年初以98萬元購進一輛大客車，并投入營運，第一年需支出各種費用12萬元，從第二年起每年支出費用均比上一年增加4萬元，該車投入營運后每年的票款收入為50萬元，設營運n年該車的盈利額為y萬元。

（1）寫出y關于n的函數關系式；

（2）從哪一年開始，該汽車開始獲利；

（3）若盈利額達最大值時，以20萬元的價格處理掉該車，此時共共獲利多少萬元？

分析：本題問題是建立盈利額y與營運年份n的關系，由于n為整數，實際上是一個數列問題，建立函數表達式，利用函數性質求解，但要注意n為整數，并且把年份與n對應。

解：（1）y=50n-98-[12n+n（n-1）24]=-2n2+40n-98（n∈N﹡）

（2）令y>0 ，即n2-20n+49

（3）y=-2（n-10）2+102 ，即n=10時，ymax=102，此時共獲利102+20=122萬元。

點評：數列應用題適宜于解決整數變量的數學問題，關鍵是設定數列，分析數列的性質，再用數列的方法解決問題。

題型3：解析幾何應用題 解析幾何研究了曲線的方程，直線與圓錐曲線在生產生活實際中經常作為數學模型出現。解決此類問題，首先要建立直角坐標系，再根據題意，確定曲線類型，建立方程解決實際問題。

例3. 如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22m，要求通行車輛限高4.5m，隧道全長2.5km，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。若最大拱高h為6m，則隧道設計的拱寬l是多少？（精確到0.1m）

圖1 解：如圖1建立直角坐標第，設橢圓方程為x2 a2+y2 b2=1。 將b=h=6與點P（11，4.5）代入橢圓方程，得：

112 a2+4.52 62=1，解得a=447 7 ，此時l=2a=887 7≈33.3。因此隧道的拱寬約為33.3m。點評：建立適當的坐標系，通過解析法和待定系數法求出橢圓模型，然后應用數學模型解決實際問題。解決圓錐曲線的應用問題時，要善于抓住問題的實質，通過建立解析幾何模型，完成應用背景下數學問題的轉化。

抓住各數量之間的關系，緊扣圓錐曲線的概念，充分利用幾何性質，靈活運用數學方法，正確完成建模與應用的過程。

題型4：立體幾何應用題 立體幾何是研究空間位置關系的數學學科，而空間圖形在生產生活中十分常見，隨之而產生的實際問題可以借助于立體幾何的方法加以研究。例4.請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為lm的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如下圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

分析：帳篷的體積是|OO1|的函數，可以通過立體幾何的體積公式建立函數關系。解：設OO1 為xm ，則由題設可得正六棱錐底面邊長為 32-（x-1）2=8+2x-x2（單位：m ）

于是底面正六邊形的面積為（單位：m2 ）S=634（8+2x-x2）2=332（ 8+2x-x2）

帳篷的體積為（單位：m3 ）V（x）=332（ 8+2x-x2） [13（x-1）+1]=32（16+12x-x3），

求導數，得V'（x）= 32（12-3x2），令V'（x）=0 解得x=-2 （不合題意，舍去），x=2

當1

答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。

題型5：概率應用題 隨機現象在社會生活中大量存在，而概率統計是研究隨機現象的學科，因此解決生活實際中的隨機現象問題，可以歸結為概率應用題。

要點聚焦 （1）解答應用題的關鍵在于審題上，必須過好三關：

①通過閱讀、理解，明白問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題打開突破口。

②將實際問題的文字語言轉化為數學的符號語言，用數學式子表示數學關系。

③在構建數學模型的過程中，對已知數學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數學模型，完成由實際問題向數學問題的轉化。

第3篇：高三的數學問題范文

一、把握認知起點，難易要適度

問題是開啟學生思維大門的鑰匙，然而在教學中，并不是教師拋出的所有問題都能引起學生的思考. 如果教師的提問超出了學生的認知，學生就會丈二和尚摸不著頭腦，不知如何思考，如果問題過于簡單，對于學生沒有思考的價值，自然也無法引起學生思考的興趣，對于這樣的問題都是無效的. 初中數學新課程標準提到，數學活動必須建立在學生的認知水平和生活經驗的基礎上. 因此，教師在進行問題設置時，必須充分分析學生的特點，科學處理教材，使問題難易適中，讓學生跳一跳能摘到，以調動學生思考的積極性.

例如，在學習“切割線定理”的內容時，我從學生已有的知識相交弦定理入手，引導學生通過復習導出新知. 出示問題：請回顧相交弦定理，并進行證明. 抽兩名同學上臺板演，其他同學在草稿紙上證明，幫助學生鞏固舊知. 接著出示問題：如果圓內兩條弦的交點P在圓外，請證明PA·PB = PC·PD. 學生利用已有的方法進行證明，結果是成立的. 然后，教師又出示特殊的情況：當C，D兩點合二為圓上的一點T時，請求證PT2與PA·PB的關系. 學生根據前面的方法，大膽假設PT2 = PA·PB，然后連接TB，TA，思考如果能夠證明PTA與PTB相似，則可以證明這樣的假設. 通過這樣的證明，學生最后掌握了新知“切割線定理”.

在這節課中，我從學生已有的知識出發，通過有效的問題，引導學生思維，使學生在問題探究中，實現了知識的遷移，構建新知，并通過大膽的假設以及科學的推理，培養了學生的數學思維能力. 這樣的提問，由于是建立在學生認知水平的基礎之上，學生需要通過一定的思考才能解決，大大提高了學生問題探究的興趣，提高了教學的有效性.

二、關注學生發展，提問要有坡度

學生的認知規律是從易到難，不斷發展的. 對于較難的問題，學生可能一下子無法理解，不知道從何處入手進行探究，這時候就需要教師對問題進行分解，給學生的思維搭建臺階，引導學生的思維層層深入，使學生在分析問題、解決問題的過程中實現知識體系的構建. 教師要根據課堂教學的重點和難點，通過有效的教材處理，設計幾個由淺入深的問題，以啟發式引導學生思考.

例如，在教學“平行四邊形的性質2”時，我根據教學的難點，設計了以下四個問題，引導學生層層深入，突破難點：

已知平行四邊形兩條邊長的比為3 ∶ 4，周長為28.

（1）求該四邊形每條邊的長度.

（2）根據已知能不能得出AB與CD的距離？

（3）假如∠A = 60°，你能求出AB與CD的距離嗎？

（4）請問：這個平行四邊形在什么情況下面積達到最大？

對于第一個問題，難度不大，引起了學生探究新知的興趣，但是如果直接出示第三、四兩個問題，由于跳躍性過大，則不利于學生的思考，所以（1）（2）問題是為后面的問題搭建思維的階梯，引導學生的思維不斷深入.

從這節課的設計可以發現，教師在教學中，要通過設計由易到難的問題，使學生的思維沿著教師搭建的“腳手架”，拾級而上，這樣才能使學生產生思考的興趣，在不斷解決問題的過程中，提高思維的深度.

三、面向全體，問題要有梯度

課程標準提到：數學教育要面向全體，使不同的人在數學上都能得到不同的發展. 新課程理念是建立在承認學生差異性的基礎上，教學的目的是要促進不同的學生在原有基礎上的提高. 在傳統的課堂上，教師的教學面對的是少數優生，或是大多數的中等生，必然都造成一部分的學困生在課堂上遭到冷落，成為可有可無的陪客. 這樣的課堂是不公平的，也是不民主的. 那么在教學中，怎樣才能實現促進全體學生的發展呢？這就要在問題設置上，針對不同能力水平的學生，設計有層次性的問題，激發不同層次學生的思考積極性，使學生在問題分析和解決的過程中實現發展.

例如，我在教學“求二次函數的圖像與坐標軸的交點坐標”這一課時，通過例題講解，學生都積累了一定的認知，在此基礎上，為了讓學生能通過問題的思考鞏固和發展新知，我設置了下面幾個問題：

（1）給學生展示三組二次函數，由學生進行自主探究，畫出這些函數的圖像以及求出其與x軸的交點坐標.

（2）在畫出這些函數的圖像及求出坐標后，分析這些函數圖像的差異.

（3）思考：為何不是所有的函數都與x軸有交點呢？要使二次函數與x軸有交點，必須滿足什么條件呢？

這樣的三個問題，具有了一定的層次性，學生能夠根據自己已有的知識參與問題的思考，對于問題（2）、（3），是對問題（1）這樣的歸納和抽象，具有一定的思考價值和思維培養意義，而對于問題（1）能使每名學生都能通過努力解決，這樣照顧了不同學生的發展需要.

第4篇：高三的數學問題范文

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）07B-0014-03

數形結合法是學習中學數學的一種非常重要的解題思想方法，它可以把方程、函數、不等式、圖形的位置關系、圖形的數量關系巧妙地連接在一起，堪稱珠聯璧合的高手。正如著名數學家華羅庚所言：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形無數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離?！?/p>

一、問題的提出

數形結合法由于其解法的巧妙性，在考試中往往能節約不少做題時間，并且每年高考都有不少用數形結合法可以快速求解的題型。從2005年、2006年和2008年的高考改卷情況看，這些題的得分率卻不高。為此，筆者特意在使用數形結合法最多的《三角函數》中在所帶過的四屆學生中進行了調查，調查對象為高一年級下學期的學生，每期參與調查的學生人數平均為117人，調查結果如下（見下頁表1、表2）：

從上述的調查可以看出：①在解三角函數問題時，想到使用數形結合法解題的學生非常少；②對不同的考題，使用數形結合法的學生人數也有顯著差異；③本校學生的數形結合能力總體較低，主要體現在基礎知識的缺漏及數形結合的橋梁無法搭建或錯誤構建；④使用數形結合法有時并不是最優的解題思想方法，有可能會增加解題的負擔；⑤某些題目中恰當使用數形結合法解題正確率遠遠高于非數形結合法。

二、經驗提升及反思教學

縱觀傳統教學過程中數形結合法的有效教學策略，筆者根據多年的教學經驗總結出以下幾個方面：

1.歸納整理出能使用數形結合法的考題特征。如黑龍江省大慶實驗中學的黃萍列舉了數形結合法在判斷方程根的個數問題、在解不等式、在線性規劃、在圓和圓錐曲線中的應用。又如鹽亭縣職業高級中學的何大涌也歸納出運用數形結合法巧解高考三角函數問題的求函數的最值、確定角的范圍、判斷函數的單調性、函數零點或方程的根、確定參數的范圍等五種考題特征。另外，廣西師范大學教授袁桂珍也整理出了驗證類、圖形重組類、探索規律類等類。

2.注意數與形的聯系，構建常見的數與形的關系表格。

3.舉一反三，變式教學。

4.從“數”想“形”，可由“形”到“數”，也可由“數”到“形”，甚至實現數與數、形與形的直接對接。筆者對這四屆學生采用傳統教學模式，對上面四種有效的數形結合教學策略進行嘗試，但學生對用數形結合法解決三角函數問題卻很不敏感。

三、形成探究課題

縱觀各種提高高中生解題能力的研究，筆者發現有兩點共性很高。其一是“教法”上想辦法：如改變教學理念，改進教學方法和教學模式；思維誘導強化，培養學生學習數學的興趣；注重能力訓練，發展學生數學應用意識。其二是“學法”上下工夫：如增強主動性，養成好習慣；增強獨立性，突破“師言堂”；增強探求性，樹立自信心。

其中，針對教學模式的改革，筆者在高2011級學生班級實施新課堂教學模式，經過上半學期的嘗試，筆者發現新課堂教學模式與傳統模式有很大的不同。因此，筆者饒有興趣地開展了在新課堂模式下，提高學生應用數形結合法解三角函數問題的研究，并根據傳統教學的有效策略，制訂了以下幾種策略。

（一）策略一：精心設計導學案，潤物細無聲，數形結合巧然現

由于在新課堂模式下，教師對學生引導最多、最集中、最有效的就是導學案，它不僅可以把教師想點到的內容進行呈現，也是學生順利構建知識框架的基礎。

途徑1：概念的教學是中學數學的一個重要板塊，據統計，高中階段理科概念有396個，文科概念有359個，而可以構建數形關系的概念占95%左右。因此，精心設計導學案，從數與形對概念進行螺旋式轉換，是夯實“數形結合”的根基，是開啟學生對數形結合法解三角函數問題敏感度大門的一個有效途徑。

途徑2：在傳統教法中，歸納整理出能使用數形結合法的考題特征是提升學生數形結合法解題敏感度非常有效的教學策略。所以在新課堂模式下，精心設計導學案，可以將傳統法中這一策略發揮到極致。

筆者對這十年來廣西高考題中涉及三角函數內容的考題進行研究，歸納出可以使用數形結合法的考題類型：求特殊角的三角函數值、知角求值、知值求值、知值求角、函數的值域（含最大值和最小值）、確定角的范圍、判斷函數的單調性、函數零點或方程的根、確定參數的范圍、解斜三角形等等。因此，我們應該精心設計導學案，提升學生用數形結合法解決三角函數問題的敏感度。

途徑3：精心設計導學案，對新課內容、專題內容、復習課內容、習題課內容、講評課內容都可以進行必要且精彩的呈現。在不同的課型中，只要保持將數形結合法貫穿始終，教學完成三角函數后，學生至少有5次以上的重復感知、提升數形結合法的機會，基本可以達到熟記水平。因此，精心設計導學案，可以讓學生在學習三角函數的過程中，充分感知“隨風潛入夜，潤物細無聲”的學習效果。

（二）策略二：充分發揮小組合作優勢，集中火力，數形結合展魅力

小組合作模式是新課堂模式與傳統課堂模式在形式上的最大差異。新課堂模式下，課堂的所有環節都圍繞小組合作形式展開，小組的形成是極有講究的，一般是按AABBCC分組，每個組內均有數形結合思維強和思維弱的同學，也就是組間同質、組內異質，所以如果能充分發揮小組合作形式的優勢，對學科知識的傳授就可以做到有的放矢、游刃有余，對提升學生運用數形結合法解三角函數問題的敏感度同樣具有較強的作用。如何讓這個策略有效實施，筆者認為可以通過以下幾個途徑達成。

途徑1：充分利用小組展示機制。新課堂模式下每個小組都要進行展示，各小組為了能在全班同學面前展示新知識，他們必將對需要展示的知識進行課前研究，做到自己會，小組的同學也要會，更重要的是能清晰地告訴全班同學，說清思路、理順關系、獲得相應結論等等。所以充分利用好小組的展示，對提升學生使用數形結合法解題的敏感度是非常有意義的。就三角函數有關的值域（含最大值、最小值）專題來說，我們可以分為以下幾個小專題進行討論：

1.函數y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的圖象和性質，如何求該函數的最大值和最小值；如果限制定義域，如何求最大值和最小值。

2.函數f（x）=sinx+2cosx可以化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式嗎？函數f（x）=sin2x+cos2x可以化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式嗎？若可以，請求出它們的值域。

3.函數y=cos2x+2sinx-1可以化為y=Asin（ωx+φ）+k形式嗎？如果不行，該怎么解決該函數的值域問題？

4.函數y=sinx+（x≠kπ，k∈Z）；函數f（x）=；函數f（x）=log2（sinx+cosx）可以化為y=Asin（ωx+φ）+k形式嗎？如果不行，該怎么解決該函數的值域問題？

5.從上面這些專題中，你可以就與三角函數有關的函數值域問題說說你的心得及在數形結合法應用上的感受嗎？

教學反思：為什么單一的函數學生利用起來得心應手，數形結合感挺好的，但復合起來之后，學生就陷入思維死胡同呢？筆者認為除了代數中“形”的變化跟不上，還有一種叫后攝抑制的思維在影響著學生數形結合能力的提升，即學生學了后面的知識，或學了當前的知識，他們就習慣用最近所學的知識去解決問題，而缺乏全局思想。一旦通過小組展示，小組必須在課前或課中進行對學和群學，在互相學習的過程中，前后的知識得以互相融合，基礎函數的圖象和性質就有機地整合了，從而對數形結合的敏感度就不是單一的了，而形成了一種復合型思維。

途徑2：小組點評機制。在新課堂模式下，優秀的點評猶如優秀的展示，到位的點評，可以一語道破天機，是打開認知大門的一把鑰匙，是洞穿紛繁復雜的解題思維的一雙利眼！學生要給出漂亮的點評，他必須首先對該展示內容能聽懂、悟透，并且通過同學的展示也能得到一定程度的啟發。這樣，不但培養了學生的洞察力、表達能力，更能間接地反映出其他學生的課堂學習接受程度以及對所展示的知識的傳授程度，這對提高學生數形結合的敏感度而言是一條重要途徑。

途徑3：小組質疑機制。在新課堂模式下，每個小組都可以就別組展示的內容提出質疑，從而推動對研究內容進一步深化。有質疑，必有新意，必有收獲，必有提升；每一次質疑，都會引發師生的思考、激辯，引發思維火花的相互碰撞。

（三）策略三：組織、激發小組學習，數形結合自覺使

小組課堂上應用數形結合法解三角函數值域的各種漂亮展示，從而讓課堂流暢，讓學生對數形結合法應用的敏感度有不同程度的提升，這些要取決于小組學習的組織與激發，筆者認為可以通過以下途徑達到效果。

途徑1：小組作業機制。在新課堂模式下，筆者對作業采用了如下機制：對每天布置的作業，一般都是導學案（靈活組織、選擇課本內容及所使用的教輔書內容構成），老師每個小組抽改一本，然后當天得到老師批改的同學就是當天的數學組長，這個數學組長拿到老師批改的作業后，根據老師給的正確、規范的解題步驟或提示，批改本小組其他同學的作業，一般每天花8分鐘左右。另外，一周內，每組的數學組長不能相同。在學期開始，每個小組每位成員均有100分的基礎分，每個小組也有100分的基礎分，老師每天批改作業時都檢查當天數學組長的作業是否得到其他小組的數學組長的批改，對盡到當天數學組長工作的給予加分，沒盡責的則減分，同組里若一周內有重復當數學組長的全組減分，學期結束后按分數多少進行獎勵。在這個作業機制下，每位同學都可以得到老師批改作業，都可以得到其他組員的幫助和分析，并且每位同學對他們所批改的當次作業一般有6次重復的審視和閱讀及理解，特別是他們在糾錯的過程中必然對正確的解題步驟的掌握達到最佳階段，每天所學的知識自然而然得到強化，對數形結合法敏感性的提升當然也不在話下。

途徑2：小組活動機制。小組活動機制含有小組成員的獨學、對學與群學。筆者認為小組活動機制特別適合提高學生使用數形結合法解三角函數問題的敏感度，因為在一個小組內，有些成員對數的“形變”特別敏感，有些成員對圖的“形變”特別敏感，有些對“數”特別敏感，就是所謂的數感。而共同都不敏感及都敏感的地方更方便在課堂上小組活動時老師對他們進行共同點撥。

（四）策略四：實戰之中，重視選擇題及填空題的思維暴露，數形結合顯神威

課本的例題有很強的示范性及指導性，而課本的習題也有很強的指向性；測驗試題是老師精心備課、上課的前提下出的有針對性的考題；高考真題，更是檢測學生學習情況的最典型的代表。在新課堂模式下，這些習題教師應很好地融合起來，注意做好歸類、比較和拓展，注意把它們編進平時的測驗題中。特別是三角函數部分的考題，在高考中使用數形結合法解題大多出現在選擇題及填空題，學生做這些題時，老師是看不出他們的思維過程的，筆者認為，要提升學生使用數形結合法解三角函數問題敏感度，還應該設立小組講評機制：布置好每個小組的講評任務，讓每個小組把本小組內所有成員的解題過程都展示出來，不論是對、是錯，從而大面積的暴露學生的思維過程，從中，我們會發現他們數形結合的不敏感部分。案例：已知sinα=，且α∈（-，-π），求tanα= 。這是一道非常典型的知值求值題，通過代數變形計算就可以求出，很多老師估計不會在數形結合方面注重這樣的一道題，筆者之前也是如此。而在新課堂模式下，筆者采用小組講評機制后，有一個小組的同學呈現他們的做法有。

第5篇：高三的數學問題范文

關鍵字：高三數學；反思性教學；定義；作用；策略

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2013）-10-0226-01

一、反思性教學的定義及作用

1.反思性教學的定義概述

在高三數學復習中采用反思性教學這一教學方法時，必須首先要對反思性教學的相關定義有一定程度上的了解和認識，反思性教學才能沿著正確的軌道向成功的方向邁進。所謂反思性教學，主要就是指教師和學生在教與學的過程中對自身的授教行為和學習行為中所存在的各種問題進行必要的反思和分析，不斷的進行自我檢討，對自己從嚴要求，對教與學中的不足采取措施加以改進和解決，追求最終的合理性教學。在高三數學復習中進行反思性教學后，師生都可以從反思中發現自己的問題，從而想辦法去改變存在于高三數學復習中的不合理的教學方式，在提高高三數學的整體教學效果的同時，也達到了提高教師與學生的個人能力的教學目的。

2.反思性教學的現實作用

在高三數學復習中實施反思性教學是有其現實作用的，反思性教學的現實作用主要又可以分為兩個方面，即對教師的現實作用和對學生的現實作用。對于教師而言，反思性教學是從教師的專業教學生活中發現問題并進行反思的，可以有效的促進教師的專業性發展；反思性教學主要是一種自省行為，需要依靠人的自覺性，長時間的自覺反思會讓教師把數學教學當成是自己的責任，對高三數學教學充滿責任感；反思性教學推動教師去對自己以往的教學行為進行分析和研究，有利于教師發展成為高三數學復習的研究者。對于學生而言，反思性教學主要是從學習目標、學習態度、學習方法和學習結果等方面對學生的學習行為進行反思的，有效的促進學生對自身的學習行為進行回顧與分析，反思存在于學習過程中的問題和不足，從而發揮自身的主觀能動性，激發自身的學習主動性和積極性，最終有效的提高復習效果。

二、在高三數學復習中進行反思性教學的具體策略

1.教師要善于記錄反思筆記，記錄整個教學反思過程

葉瀾教授曾經說過這樣一句話：“一個教師寫一輩子教案難以成為名師，但如果寫三年反思則有可能成為名師。”記錄教學筆記是教師進行反思性教學的一個簡單而有效的方法，有助于推動教師的專業發展。記錄反思筆記外在性的反映了一個教師的教學責任心，是教師任職生涯的珍貴寶典。教師在高三數學復習中進行反思性教學時，應該用發現的心去反思自己的教學行為，發現并解決問題，把自己的教學過程全程記錄，既記錄教學的成功之處，也記錄教學的失敗之處。記錄成功的教學之處和課堂發光點，便于在以后的教學過程中繼續發揚；而記錄失敗的教學之處和教學問題，是為了便于教師記住自己的教學錯誤，吸取經驗教訓，避免在以后的教學過程中再次出現類似情況。通過記錄反思筆記，有利于教師改進課堂教學的方法，從而提高高三數學復習的教學效果。

2.加強教師間的交流和探討，互相學習

高三數學復習在采用反思性教學的時候，教師與教師之間應該經常性的進行交流和學習，交流自己的教學心得，探討自己的教學策略，在交流和探討的過程中彼此影響，相互學習，汲取其他教師的成功教學經驗，改進自己的教學不足，提高教學方法的有效性，提高教學效果。例如，在進行“函數與方程”這一章的教學時，由于學生的數學水平有高有低，在具體的課堂教學中會出現各種各樣的教學問題和難題，這時，教師間就應該利用課余時間，在必要的時候，甚至可以安排專門的實踐進行探討和研究，列出“二次函數與一元二次方程”和“用二分法求方程的近似解”中的教學重點和難點，共同研究出可以進行有效教學的方式方法，從而在實際教學中遇到類似問題的時候可以迎刃而解。

3.學生在反思的過程中要善于發問和整理錯誤

學生在對自己的學習目標、態度、方法、結果等進行反思的時候，要善于發現存在于其中的一些問題，包括學習方法問題和不能理解的數學問題等，在發現問題之后，要及時的向同學或者教師提出問題，這樣問題才能得到有效解決。此外，在反思時學生要善于整理學習過程中出現的所有錯誤，無論大小，都要一一記錄，這樣才能避免錯誤再次發生。例如：在《立體幾何初步》復習過程當中，學生往往會出現兩種思想，一是認為知識點過于簡單，二是容易混淆幾何事物之間的空間關系，因此，常產生不能理解透徹卻又不愿意提問的毛病。教師應當鼓勵學生反思并發問，并且為學生列舉更多的實際例子，確保學生將辨認能力化為一種概念性知識深藏于腦海中。

總而言之，在高三數學復習中進行反思性教學對提高高三數學的教學效果是非常有效的，也是新課程改革以后對教師提出來的一個基本教學要求。反思性教學不僅對教師的教學有很好的促進作用，而且對學生的學習也會有很大的幫助。因此，在進行高三數學教學時，教師與學生都應該學會并且善于進行反思，以提高高三數學的復習效果。

參考文獻

第6篇：高三的數學問題范文

解題策略是一種較高層次的學習和思維活動，它對于問題的解決具有重要影響.因此，作為高中階段的解題策略的教學便顯得日趨重要，高中階段主要應該滲透的解題策略有一般性解題策略和模式識別策略.為什么針對高三來談解題策略的滲透呢？因為高三的學生基本完成了高中全部課程的學習，而且在這個過程中已經較好地掌握了基本知識和基本方法，更重要的是高三學生的思維能力相對比較成熟了，這樣就為學生在解題策略的層面上來思考、分析和解決問題提供了保障，在高三的數學課堂中對學生進行有意識的解題策略訓練和指導，更加有利于學生數學能力的提高和數學素養的形成,使高三學生在高三備考復習中的數學解題能力得到一個較大的飛躍.

解題策略的滲透可以通過典型題型個案分析或者專題講座來進行，進行典型題型個案分析，暴露解題思維過程，有利于學生習得這種思維方式并且使思維方式得到不斷的鞏固和強化；進行專題講座可以對學生進行集中訓練，有利于強化這種思維方式和提高解題能力.我們可以選取典型的可以被學生接受的題目進行個案分析和集中訓練，使學生學會應用策略解決一些較難的問題.下面我們選擇高考考綱范圍內的一些典型題型進行策略分析.

題型一 轉化為函數最值問題的含一個參數的恒成立問題

例1 若a≥x2-2x對x∈［2,4］恒成立，求a的取值范圍？

例2 若x2-ax-2>0對x∈［2,+∞)恒成立，求a的取值范圍？

過程分析 對于例1，我們只需令f(x)=x2-2x，x∈［2,4］,求得f(x)max=8,a≥8，即是例1的解.對于例2，我們需要將x2-ax-2>0，x∈［2,+∞)等價變形為a

策略分析 對于這種含一個參數的恒成立問題題型，我們具有指向性的策略是孤立參數的同時構造函數從而把問題轉化為函數最值問題.即轉化為a>f(x),x∈D或a

題型二 轉化為函數問題的不等式問題

例3 函數f(x)=ln(x+1)-x，證明：1-1[]x+1≤ln(x+1)≤x.

過程分析 先證ln(x+1)≤x，由f(x)=ln(x+1)-x，得f′(x)=1[]x+1-1.

當x∈(-1,0)時，f′(x)>0，函數f(x)=ln(x+1)-x為單調增函數；

當x∈(0，+∞)時，f′(x)

f(x)max=f(0)=0,

f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0，即：ln(x+1)≤x.

再證1-1[]x+1≤ln(x+1)，令g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1.

同理：當x∈(-1,0)時，函數g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1為單調減函數;

當x∈(0,+∞)時，函數g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1為單調增函數.

g(x)min=g(0)=0,g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1≥0，

即：1-1[]x+1≤ln(x+1).

第7篇：高三的數學問題范文

一、例題務求精挑細選

選擇例題是高三數學復習課備課的重要環節，高三復習時間有限，任務繁重，知識綜合性強，對學生的要求比較高，因此，例題的選擇顯得尤為重要.筆者認為應該基于教材，從學生的具體學情出發，注重基礎性和全面性，同時也要能夠突出重、難點，滲透數學思想方法.具體原則有如下幾個：

1.新穎性

復習課與新授課有很大的區別，訓練強度大，容易產生學習疲勞.因此一定要從學生的最近發展區出發，注意選題的新穎性，適當地改編例題.切忌重復，切忌搬抄教材例題，切忌同一問題以同一形式多次重復，以免學生覺得單調乏味，沒有新意.

2.梯度性

高三的復習要面對全體學生，而學生間數學認知水平存在差異，即使是同一個學生其認知發展也需要一個過程.因此，我們在選擇例題組織復習時，必須具有一定的梯度，讓學生都能進入問題情境，然后隨著問題難度的深化，由表及里向縱深發展，實現對數學規律的再認識.實踐經驗表明，難度再大的問題，都可以化解為一個個小問題來解決.我們在例題的設置上具有梯度性，能夠培養學生形成正確的數學思維，樹立學生解決問題的自信心.

3.過程性

新課程背景下的高中數學教學，重結果，更重過程.所以我們的高三數學復習課所選的例題也要能夠讓學生有過程的體驗，有厚重感和一定的深度.學生能夠探究，也許會出錯，但是學生在解決問題后不僅僅知道結果，而是知其所以然.例題中的抽象數學問題在學生思考的過程中不斷地被具體化和形象化，進而實現提升學生思維能力的效果.

4.關聯性

數學知識具有較強的系統性，問題中涉及到的知識思想方法上具有連通性.因此我們選擇的例題應具有拓展性和典型性.學生通過一個問題的解決實現舉一反三，融會貫通的效果.

例1直線y=2x+m與拋物線y=x2交于A、B兩點，請你嘗試著添設一個條件，能求直線的方程.

評析這一開放題可以用于復習“直線和圓錐曲線的位置關系”，思維空間較大，同時由于不需要學生進行復雜的計算，具有一定的新穎性，而且適合不同層次的學生.不同的層次的學生想到的解決方案存在著差異，最后將學生的多種方案進行收集，進而完成知識的復習，學生提出問題、發現問題的能力也得到發展.從學生補充的條件來看，涉及到的有韋達定理、中點坐標公式、弦長公式、兩直線相互垂直的充要條件、拋物線的焦點坐標知識等等.例如有如下幾個答案：①AB=5；②AB過拋物線的焦點F；③AB中點的縱坐標為6；④若O是原點，∠AOB=90°等等.在學生提出的問題后，再選出一兩個作為例題，和學生一起解決問題，學生興趣度比較高，復習效果佳.

二、要善于總結，深度挖掘例題的內涵

例題的解答只是復習的第一個步驟，講解后學生明白了解決問題的方法是第二個步驟，但是例題的功能性還沒有挖掘完.我們還應該引導學生進行解題后的總結和提煉，實現思想方法和思維過程的顯性化，找出例題中所包含的共有規律，切實提升數學解題能力和數學素養.

例2設f（x）為定義在R上的偶函數，函數圖象關于直線x=2對稱，已知當x∈[-2，2]時，f（x）=-x2+1，求x∈[-6，-2]時，函數f（x）的解析式.

解析1由條件f（x）為定義在R上的偶函數可以推斷出函數圖象關于y軸對稱，題意中其又關于直線x=2對稱，再結合題設中的函數在區間[-2，2]上的解析式，可做出函數圖象如下圖

所示：

從圖象上，可以看出x∈[-6，-2]時，f（x）的圖象為拋物線，頂點為（-4，1）且過點（-2，-3），進而得到x∈[-6，-2]時，f（x）=-（x+4）2+1.

解析2f（x）為定義在R上的偶函數f（-x）=f（x）.①

圖象關于直線x=2對稱

f（2+x）=f（2-x）. ②

由x∈[-6，-2]x+4∈[-2，2]，得到f（x+4）=-（x+4）2+1，將問題轉化為f（x）與f（x+4）的關系探究上，由①和②可以得到f（x）=f（x+4），進而得到答案f（x）=-（x+4）2+1.

解題后反思：

（1）回顧解析1的探索過程可以提煉數學方法，即當面臨的數學問題用推算的方法一時難以求解時，可以轉換思維模式，將題設的數學符號用圖形語言表示出來，借助于圖形的直觀性和具體性，直接從圖象中顯現出來的特點找出解決問題的具體方法，這是我們在解決數學問題過程中常用的思維策略之一.

（2）觀察解析1中的函數圖象可以發現，函數f（x）的圖象呈現出周期性的變化，周期為4，在解析2中從數的角度也恰好說明了這一點.從解析2出發，引導學生進行推理，學生不難得到這樣的一個結論：若函數f（x）是定義在R上的偶函數，且圖象關于直線x=a （a≠0）對稱，則f（x）是周期為2a的周期函數.

第8篇：高三的數學問題范文

在系統的一輪復習基礎上，如何提高高三數學二輪復習的有效性？以期能在有限的時間內提高學生的數學成績，是每個高三數學老師迫切關心的問題，筆者在此談談自己的一些看法。

一、研究考綱

課本是知識的主要來源，而“考試大綱”則反映了命題的方向，只有認真鉆研“考試大綱”，才能做到復習不超綱，不做無用功，提高復習效率，考試內容的知識要求，能力要求和個性品質要求，要了如指掌，分清哪些內容只用一般理解，哪些內容要重點掌握，哪些知識又要求靈活運用和綜合運用，根據“考試大綱”，知識的交叉點和結合點將是高考的熱點，如函數與不等式，函數與導數，函數與方程，函數與數列，平面向量與三角函數，平面向量與解析幾何等，了解這些特點，有利于提高高三數學二輪復習的針對性，從而提高復習的有效性。

二、研究學生

在系統的一輪復習以及一模后，教師應對學生的知識掌握水平，存在問題認真做統計分析：要分清哪些學生在哪個方面，哪個關節薄弱，哪些學生學習方法不當，哪些學生有發展潛力等，只有弄明白學生的學習動機，學習情趣，現有知識水平等，才能確定二輪復習計劃、復習策略和重點要突破的方面。

三、制訂計劃

通過研究考綱，研究學生，制定各階段復習目標，找準著眼點，特別要制定學生發展水平計劃，如：題目精選精練，練習面批糾錯，講解通解通法，加強應試指導等方面，并將這些落實到每個階段、每節課中。每節課的教學還要根據學生的水平控制好教學重點，每節課重點1～2個為宜，題目不能過多、過新，要以學生能否理解掌握為前提，只有制定有效、切實可行、科學合理的復習計劃，復習才能緊張、有序、高效地進行。

四、集體備課

個人一味地苦干和蠻干更多的是帶來學生學習上的被動和乏味，為使學生學得輕松，成績又好，教師必須進行教學研究，并且必須加強集體研究，集體備課。高三數學備課組在教學過程中要團結協作，始終做好為集體備好每節課，每節課都安排好主備人，然后集體研究，共同討論，確定授課內容和教學方式，形成具有本校特色的教案，確保高三備課組的教師每節課都是精品課，高三教師還要集體進行高考命題研究，歸納和總結近幾年全國及各地高考試題，努力探索高考命題的一般性規律，加強高考信息和考綱學習研究，形成共識，摸清高考考點，有針對地加以復習和指導，才能確保復習的高效性。

五、立足課堂

學生是教學的主體，學生接受知識的主要途徑來自課堂，而高三數學二輪復習課不能像一輪那樣面面俱到，更主要的是通過知識的縱橫聯系，深化基本概念和基本技能，使解題思想更清晰。

要提高課堂教學效率，首先，必須改變傳統的教學思想和教學方法：教學活動以教師為中心，學生已有的知識儲備、現有能力發展水平、學習方法、學習習慣都置之度外，學生圍著教師轉；教學程序以教師講解為中心，教師按自己事先準備好的內容和設計的教學程序進行講解，課堂上一講到底，根本不考慮學生的基礎、接受能力，學生沒有思考的余地，沒有自己學習，自己消化的時間，學生的主動性、積極性被壓抑了，學習興趣喪失了。其次，在教學中要突出“啟發式”按照引導學生主動積極學習的要求來選用和設計教學方法；注重研究學法，教會學生學習。

高三數學二輪的復習，采用每周精講，一練，一評：“精講”就是進行必要的專題講座，如知識專題，方法專題，針對性專題的復習；其中知識專題可以進一步鞏固一輪成果，加強各數學板塊知識的綜合，是為進一步夯實基礎而設置的，選的例題要考慮本班學生的接受能力；方法專題是指高中數學涉及的重要思想方法，主要有函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想等進行指導；針對性專題如最值問題，開放性與探索性問題，應用性問題，新信息問題；“練”要重視選擇題，填空題培養學生簡縮性思維能力，對于解答題必須重視推理過程和解題的規范性，平時加強新題型的訓練，加強命題的“變題”訓練，培養學生的創新意識，養成獨立思考，逐步學會用已有的數學知識去探索新的數學問題；“評”是針對每周一練，進行試卷評講，主要講解試卷中具有班級失誤共性的內容及典型問題，可以引發學生思考數學思想方法較為突出的，具有創新的若干問題，要重視數學問題的通解通法，淡化解題技巧。

六、加強指導

1.解題指導：學生總會碰到自己解錯了的或者做不下去的題目，我們要引導學生回頭檢查自己的解題過程有無出錯，檢查自己有沒有審清、審準題意，有沒有注意題目中的隱含條件，自己的解題方法是否合理等；題目做對了，考察是否有別的解法，哪些方法靈活巧妙，哪些方法呆板冗繁，哪些方法具有普遍意義等，從而有助于學生從本質上了解數學的內部聯系，找到最優解題方法，提高解題能力。

2.學法指導：平時不要去鉆一些太難太偏的題目，要理順知識結構，認真解讀考試說明，抓住重點，做典型題例；如果平時做題出錯較多，就在試卷上把錯題記錄下來或標上標記，在旁邊寫上解題過程或點評，以便回頭看時有針對性，消除錯誤隱患。

3.應試指導：高考要想考好，不僅取決于扎實的基礎知識，熟練的基本技能和過硬的解題能力，還取決于臨場發揮；教師要指導學生把平時的考試當作高考，從心理調節，時間分配，節奏的控制達到逐步適應，要調整好心態，不能讓試題的難度，分量，熟練程度影響自己的情緒，力爭會的不扣分，不會的盡量得分，認真讀題審題，細心算題，規范答題，應在規定的時間內完成，講究快速準確，注重選擇題和填空題的準確性以及大題的前三題的解答準確率。

第9篇：高三的數學問題范文

關鍵詞：問題變式；反思；育能力

變式教學模式就是在教師的指導下，以問題為載體，以學生自主學習和合作討論為前提，以變式為主要學習手段，為學生提供充分自由表述、質疑、探討問題的機會。這種教學模式不僅僅要求進行數學問題的變式，解題方法也要變式，這樣才能持久保持學生的探究熱情。筆者認為：解決數學例題教學中存在的“懂而不會”現象，構建例題教學高效課堂，首先要選擇能“牽一發而動全身”的題；其次是教學中要讓學生自己從中找到解題方法與規律，教師既要關注“預設”也要關注“生成”，要主導但不要主宰，學生要主動但不要盲動，少教多學，要讓學生自己對問題進行反思，掌握探究變式拓展的方法。本文結合筆者所帶高三文科班一堂一輪的復習課，談談自己的一些教學體會。

一、教學過程實錄

請同學們動手幫我解決一個題目。

師：函數f（x）=x2-6x+8，x∈R的值域是______。

學1：值域是[-1，+∞）。

師：正確，若將函數的定義域改為：（1）{1，2，3，4}；（2）[-2，1]；（3）[1，4]；（4）（-1，+∞）；（5）y=2x（-∞，0]∪（4，+∞）；（6）[1，a]（a>1）時所得新函數的值域又是什么呢？（請學生上黑板寫出）如（2）：

學2：因為對稱軸x=3位于區間[-2，1]的右邊，函數在區間上單調遞減，所以最小值為f（1），最大值為f（-2），從而值域為[3，24]。

其中（6）的難點在于分類討論及其分界點，用幾何畫板動態演示二次函數的圖象，直觀地獲得解題途徑（函數單調性），在巡視中選一位解答結合數形的學生的草稿投影展示一下。由于時間的問題把準備的（7）[m，m+2]，m∈R留給學生課后完成。

用問題變式進行數學教學是很重要的方式之一，我們要將數學教學自然本質化，教學內容、方法直觀化，形式簡單化。

師：上述問題的解決，對于下列函數值域的得出有何啟發？（投影）

師：大家討論能發現這些函數有什么共同特點嗎？

學3：老師利用同一個式子x2-6x+8變式構造分式、根式、指數、對數函數。

師：歸納得不錯，那么依據前面的例子你能直接說出答案嗎？

這一問題由于前面做出了鋪墊，且方法簡單，所以比較容易解決，學生能夠根據復合函數單調性得出答案。

要精心編擬一系列問題串，要原創的、質量高的練習，讓學生感覺“看看容易，解解費勁，想想有趣”。

師：我們再看看下列函數的值域呢？（逐一投影）

巡視之后發現很多學生把式子乘開，然后不知道怎么辦。

師：注意考題一般不會以我剛剛給你們練習的簡單形式出現，通常會以一種隱含的形式露面，我們能不能識破它呢？

學4：通過觀察仍然使用換元法，構造新的二次函數求最值（全體鼓掌）。

師：誰能概括一下上述函數解析式本質問題的特點？

學：上面的函數都可以看成是由二次函數y=ax2+bx+c將x分別用三角函數、分式函數、無理函數、指數函數、對數函數等代換之后變形出來的。

師：很好！其本質仍為“二次函數”的值域問題，還要注意什么？

學5：（點名出錯的）新函數的新的定義域。

師：我們再看一題，求函數y=sin2x+acosx+1，a∈R的最大值。請同學分步走，說清楚。

師：延續剛才解決問題的類型，能不能轉變為求函數的最值問題呢？研究哪個函數的最大、小值呢？下課之后同學們之間討論討論，或者用其他辦法解決。

師：簡單小結一下，由一個二次函數值域問題通過變式，我們解決了一類組合復雜的函數值域，以達到解一題，通一類，帶一串的目的，進而提高復習效率。

二、教學反思