雙曲線的定義精選(九篇)
前言：一篇好文章的誕生，需要你不斷地搜集資料、整理思路，本站小編為你收集了豐富的雙曲線的定義主題范文，僅供參考，歡迎閱讀并收藏。
第1篇：雙曲線的定義范文
重點:雙曲線的第一、第二定義, 雙曲線的標準方程,雙曲線的幾何性質,軌跡問題等.
難點:a,b,c,e等參數值的求法及其取值范圍問題的探討,直線與雙曲線位置關系相關的綜合問題.
(1)研究雙曲線上的點到其焦點的距離問題時,首先應考慮用定義來解題. 關注定義中的“絕對值”,若定義中去掉了“絕對值”,則點的軌跡是雙曲線的一支,由此導致一個點在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的.
(2)研究雙曲線上一點與兩焦點組成的三角形(焦點三角形)問題時,在運用定義的同時還會經常用到正、余弦定理.
(3)求雙曲線的標準方程.
①定義法:分析題目條件是否滿足定義;求出a,b,c;寫出方程.
②待定系數法:確定焦點的位置;設出待求方程;確定相關系數;寫出方程.
(4)雙曲線的幾何性質常涉及一些不等關系,例如:雙曲線■-■=1中,x≥a或x≤-a,e>1等. 在求與雙曲線有關的一些量的范圍或與這些量有關的最值時會經常用到這些不等關系.解決雙曲線中有關變量的最值與取值范圍問題常見的解法有兩種:幾何法和代數法. 若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質來解決,這就是幾何法. 若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系,則可首先建立起目標函數,再求這個函數的最值,這就是代數法.
(5)直線與雙曲線. 直線與雙曲線位置關系的判斷:直線與曲線的位置關系,可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定,通常消去方程組中的變量y(或x)得到關于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式Δ,則有:Δ>0?圳直線與雙曲線相交于兩個點;Δ=0?圳直線與雙曲線相交于一個點;Δ<0?圳直線與雙曲線無交點. 若得到關于x(或y)的一元一次方程,則直線與雙曲線相交于一個點,此時直線平行于雙曲線的一條漸近線.
(6)直線與雙曲線相交時常見問題的處理方法:①涉及弦長問題,常用“根與系數的關系”,設而不求計算弦長. 直線l被雙曲線截得的弦長AB=■或AB=■,其中k是直線l的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直線與雙曲線的兩個交點A,B的坐標,且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,x1+x2,x1x2可由韋達定理整體給出. ②涉及求平行弦中點的軌跡,求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的直線方程問題時,常用“點差法”設而不求,將動點的坐標、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來,相互轉化.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線:y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點M,N,且線段MN的垂直平分線過點A(0,-1),求實數m的取值范圍.
思索 ①涉及直線與雙曲線相交弦有關的參數范圍的問題,Δ>0是必不可少的條件. ②關于直線與雙曲線的某一支的相交問題,不但要考慮Δ>0,還要考慮方程根的取值范圍.
建議同學們在復習本節內容時重視以下幾個方面:
(1)重視定義在解題中的作用,對于雙曲線的兩種定義,要在訓練的過程中加強理解和掌握.
(2)重視平面幾何知識在解題中的作用,解題過程中應借助圖形分析條件,尋求最優解法.
第2篇：雙曲線的定義范文
關鍵詞：圓錐曲線；定義解題；體會
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）06-0109
圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，也是高考的熱點內容。但是在學習中學生比較害怕這部分內容，主要原因有兩個：一是圓錐曲線中的運算量大，二是學生忽視三類圓錐曲線的定義。下面是圓錐曲線的具體定義：
1. 橢圓的定義
我們把平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的集合叫作橢圓。
2. 雙曲線的定義
我們把平面內到兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數（大于零且小于F1F2）的點的集合叫作雙曲線。
3. 拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條直線l（l不過F）的距離相等的點的集合叫作拋物線
4. 圓錐曲線的第二定義
平面內與一個定點F和一條直線l（l不過F）的距離之比為定值e（大于零）的點的集合叫圓錐曲線
當0
當e>1時，圓錐曲線是雙曲線；
當e=1時，圓錐曲線是拋物線。
陜西師范大學數學系數學高考工作負責者羅增儒說過：數學概念是數學的血和肉（根本），數學思想是數學的魂。對于圓錐曲線中的概念即定義尤為重要。我們在教學圓錐曲線時，可以把雙曲線與橢圓類比理解記憶。從第一定義出發，橢圓和雙曲線都強調的是到兩定點距離（橢圓：和；雙曲線：差的絕對值）為定值的問題，而拋物線則涉及的是一定點與一條直線的問題。與此同時，還要引導學生理解明白圓錐曲線定義的幾何條件，這樣更利于學生理解記憶圓錐曲線的定義。本文通過具體實例與大家共同交流“在圓錐曲線中回歸定義解題”的體會與感悟。
第3篇：雙曲線的定義范文
(2009全國Ⅱ第11題)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F且斜率為3的直線交C于A、B兩點,若AF=4FB,則C的離心率為()
A. 65
B. 75
C. 58
D. 95
解法一:(利用雙曲線第一定義)(如圖一)
由AF=4FB知直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點,從已知得點A在x軸的上方,設左焦點為N,可設FB=x(x>0),則有BN=2a+x,AF=4x,AN=2a+4x,又∠AFx=60°,利用余弦定理得,在ANF中有
AN2=AF2+NF2-2AF•NFcos120°
在ANF中有
BN2=BF2+NF2-2BF•NFcos60°
即有(2a+4x)2=(2c)2+(4x)2-2•2c•4xcos120°……(1)(2a+x)2=(2c)2+x2-2•2c•xcos60°……………(2)
a2+4ax=c2+2cx……(3)2a2+2ax=2c2-cx……(4),由(3)×2-(4)得6ax=5cx(x>0),e=ca=65
評注:在圓錐曲線問題中,常用余弦定理解決有關焦點三角形問題。
解法二:(利用雙曲線第二定義與幾何性質)(如圖二)
由AF=4FB,知點F在線段AB上,如圖,過A作準線l的垂線AA′,過B作準線l的垂線BB′,則AA′=AFe,BB′=BFe,過B作BHAA′,
則AH=AA′-BB′=1e(AF-BF)=3BFe,又∠FBH=30°,AH=52BF,
3BFe=52BF,e=65
解法三:(利用雙曲線第二定義與定比分點)(如圖三)
由法一知直線與雙曲線C的右支交于兩點,A在x軸的上方,設A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0)
則|AF|=ca(x1-a2c)
|BF|=ca(x2-a2c)
|AF|=4|BF|
解得x1=4x2-3a2c……(1)
AF=4FB由定比分點得c=x1+4x21+4,
x1=-4x2+5c……(2)
由(1)、(2)得x1=5c2-3a22c,點A(x1,y1)在直線y=3(x-c)上
y1=3(3c2-3a22c),又點A(x1,y1)在雙曲線x2a2-y2b2=1上。
則(5c2-3a22c)2a2-[3(3c2-3a22c)]2b2=1,解得25c4-61a2c2+36a2=0
25e4-61e2+36=0得e=65
解法四:(利用雙曲線的幾何性質)(如圖三)
過點A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為D、H,設|FB|=m(m>0),又∠AFx=60°,則A(c+2m,23m),B(c-12m,-32m),點A、B在雙曲線x2a2-y2b2=1上,則有
(c-12m)2a2-(32m)2b2=1……(1)
(c+2m)2a2-(23m)2b2=1……(2)
由(1)×16-(2)得m=3b24c代入(2)得25c4-61a2c2+36a4=0,25e4-61e2+36=0,解得e=65
評注:利用雙曲線的幾何性質,求出雙曲線上兩點的坐標,代入雙曲線得出關于a,c的方程即可。
圖一
圖二
第4篇：雙曲線的定義范文
題目 雙曲線x2a2+y2b2=1（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A. (1,3) B. (1,3］
C. (3,+∞)D. ［3,+∞)
解法1 設點P的橫坐標為x0，由|PF1|=2|PF2|,即ex0+a=2(ex0-a)，解得x0=3ae，
又 |x0|≥a 即3ae≥a，所以e≤3，
而雙曲線的離心率e＞1,故1＜e≤3，選（B）.
點評：利用雙曲線性質：若點P在雙曲線x2a2+y2b2=1上，則|x|≥a，構造不等式求解.
解法2 設點P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0）由|PF1|=2|PF2| 則
(x+c)2+y2=2(x-c)2+y2x-5c32+y2=16c29則13c≤x≤3c
又點P（x，y）在雙曲線x2a2+y2b2=1上，則x≥a或x≤-a，
c3≤a≤3即13≤e≤3而雙曲線的離心率e＞1, 故1
點評：由|PF1|=2|PF2|這一條件轉化為點P在圓上運動，構造不等式求解.
解法3 在P F1 F2中，記∠F1PF2=θ ，由余弦定理，知
cosθ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|•|PF2|=(4a)2+(2a)2-(2c)22•4a•2a=5-e24
根據余弦函數的有界性，得-1≤5-e24≤1，考慮雙曲線的離心率e＞1,得1
點評：在焦點三角形中，根據余弦函數的有界性求解.
解法4 在PF1F2中，記∠F1PF2=θ ，根據雙曲線焦點三角形的面積公式b2cotθ2，得b2cotθ2=12×4a×2asinθ，即sin2θ2=b28a2≤1,b2a2≤8,
而e2=1+b2a2≤9.考慮雙曲線的離心率e＞1,得1
點評：根據雙曲線焦點三角形的面積公式b2cotθ2，并結合正弦函數的有界性求解.
解法5 由雙曲線的定義，得|PF1|-|PF2|=2a與|PF1|=2|PF2|，聯立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
由三角形性質|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得4a+2a≥2c，所以1
點評：利用平面幾何性質：“三角形兩邊之和大于第三邊” 構造不等式求解.
解法6 由圖知，點P在雙曲線右支上，且|PF1|≥c+ a，即4a≥c+ a，
所以1
點評：以形助數，利用圖形中隱含條件構造不等式求解.
解法7 由雙曲線的定義，得|PF1|-|PF2|=2a與|PF1|=2|PF2|，
聯立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
由第二定義得|PF2|d=ed=|PF2|e，由圖可知，d≥a-a2c
2ae≥a-a2c3a≥c 故1
點評：關鍵在于挖掘圖中隱含的幾何不等關系：d≥a-a2c.
解法8 在PF1F2中，易知|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
|OP|為PF1F2中邊F1F2上的中線，則
|OP|=122(16a2+4a2)-4c2=10a2-c2
由圖知，點P在雙曲線右支上，則|OP|≥a，
10a2-c2≥a9a2≥c2故1
點評：三角形的三條中線分別為：Ma、Mb、Mc，用三角形的三邊a，b，c來表示它的三條中線長如下：Ma-122(b2+c2)-a2 Mb=122(a2+c2)-b2 Mc=122(a2+b2)-c2
以上八種不同的解法，探索了求解雙曲線離心率的取值范圍問題，往往需要借助雙曲線定義、范圍和性質、正余弦函數的有界性、圖形中隱含的幾何不等關系等，結合a，b，c的關系，構造一個關于離心率的不等式，從而達到求解的目的.
鏈接練習：
1. 已知雙曲線x2a2+y2b2=1（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,點P在雙曲線右支上，且|PF1|=4|PF2|,求雙曲線離心率的范圍？
2． 若雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0,b＞0）上橫坐標為3a2的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A. (1,2)B. (2,+∞)
C. (1,5)D. (5,+∞)
3． 已知F1，F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，過F1作垂直于x軸的直線交雙曲線于A、B兩點，若ABF2為銳角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． （1，1+2）B． （1+2，+∞）
C． （1-2，1+2）
第5篇：雙曲線的定義范文
雙曲線焦點三角形面積公式：S=b2cot(θ/2)。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫（縱）坐標滿足c2=a2+b2。一般的，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
它還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的實半軸。焦點位于貫穿軸上，它們的中間點叫做中心，中心一般位于原點處。
（來源：文章屋網 ）
第6篇：雙曲線的定義范文
一、定義法求動點軌跡方程
例1已知A-7，0，B7，0，C2，-12，橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，求橢圓另一焦點的軌跡方程.
解析：設橢圓的另一焦點Fx，y），由題意得|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|.而|BC|=13，|AC|=15，于是|FB|-|FA|=2，根據雙曲線定義可知，F在以A，B為焦點的雙曲線的左支上. 這里2a=2，所以a=1，又c=7，所以b2=c2-a2=48，故橢圓的另一焦點F的軌跡方程為x2-y2/48=1（x
點評：本題首先根據橢圓的定義A、B是橢圓上的點得出等式，|FB|-|FA|=2.
這樣根據定義先判斷出動點F軌跡的類型，再用待定系數法求出軌跡方程.
二、利用定義解決圓錐曲線的簡單幾何性質
例2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），若橢圓上存在點P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，則該橢圓的離心率的取值范圍為.
點評：橢圓和雙曲線中但凡涉及到曲線上的點到焦點的距離，通常要聯系定義解題.
變式訓練2：已知點P在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右支上，雙曲線兩焦點為F1、F2，|PF1|2|PF2|最小值是8a，求雙曲線離心率的取值范圍.
三、利用定義求最值
例3已知點P是拋物線y2=4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是4，a，則當|a|>4時，|PA|+|PM|的最小值是.
解析：拋物線焦點F1，0，設點P到準線：x=-1的距離為d，由拋物線的定義，d=|PF|.
點評：拋物線上的點到其焦點的距離和到準線距離相等，利用拋物線定義將二者互化，是解決拋物線中最值問題的重要策略.這里根據題意，將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，從而構造出兩點間線段最短，使問題迎刃而解.
變式訓練3：已知點P是拋物線y2=4x上的動點，F為其焦點，若B（3，2），|PB|+|PF|的最小值是
答案：4
第7篇：雙曲線的定義范文
1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設AC的中點為O，即.設B(x，y)關于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.
3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質的探究，體現了解析幾何的數學思想方法的巧妙應用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設點A是第一象限內雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應選D.
4.設F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.
5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.
6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質等基礎知識，意在考查考生的運算能力.
解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質以及基本量的計算等基礎知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數形結合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.
解題思路：設A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.二、填空題
11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，難度中等.
解題思路：設直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數的關系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質及等比中項的性質，難度中等.
解題思路：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過B作BE垂直于準線l于E，
=， M為AB的中點，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，
p=2.
14.
第8篇：雙曲線的定義范文
一、構造橢圓模型，巧解一類含絕對值的不等式
【例1】 解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.
分析：該不等式是含兩個絕對值符號的不等式，這類不等式可使用零點劃分區間法、構造函數法、幾何意義法等.那么根據絕對值的定義可知，該不等式的含義是數軸上的點x到兩定點（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.這也恰好符合橢圓的定義，用橢圓的知識來解釋該不等式就是代表橢圓及其橢圓外部的x的取值范圍，利用橢圓的有界性便可輕松求解.
解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含義是數軸上的點x到兩定點（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.
根據橢圓的定義可知c=2，a=52，
a2=254，b=94，
因此橢圓的方程為x2254+y294=1.
根據橢圓的有界性可得x≤-52或x≥52，
不等式的解集為{x|x≤-52或x≥52}.
二、構造雙曲線模型，巧解一類含絕對值的不等式
【例2】 解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.
分析：根據絕對值的定義可知，該不等式的含義是數軸上的點x到兩定點（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.這也恰好符合雙曲線的定義，用雙曲線的知識來解釋該不等式就是代表雙曲線右支的x的取值范圍，利用雙曲線的有界性便可求解.
解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含義是數軸上的點x到兩定點（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.
根據雙曲線的定義可知c=5，a=4，b=3.
因此雙曲線方程為x216-y29=1（x>0）.
由雙曲線的有界性可得x≥4，
不等式的解集為{x|x≥4}.
三、構造拋物線模型，巧解一類無理不等式
【例3】 已知a∈R，求證：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.
分析：該不等式含有兩個根式，并且根號內表達式的次數高達4次，因此求解起來特別的困難.根據數學化繁為簡的整體思想，將其配方降冪，其左端可變形為（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的幾何意義是拋物線y=x2上點P（a，a2）到點A（3，2）與到點B（0，1）距離之差的最大值是10.
解：根據不等式的結構，可以將其左端變形為
（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，
此不等式的幾何意義是拋物線上點P（a，a2）到點A（3，2）與到點B（0，1）距離之差的最大值是10.
A（3，2），B（0，1），
|AB|=10.
第9篇：雙曲線的定義范文
一、定義法
根據新課標課本對于離心率的定義e=■，單解c，單解a，求出e值。
例.1l：x-2y+2=0直線過橢圓■+■=1（a>b>c）的左焦點F1和一個頂點B，則該橢圓的離心率為 。
解：由直線的截距可得c=2，b=1，則a=■，即e=■。
反思：在標準方程的背景下，橢圓的四個頂點及兩個焦點均在坐標軸上，由此與直線的截距具有了對應關系，解題時注意其聯系。
二、齊次式法
根據題設條件，建立基本量a、b、c之間的關系式，利用a2=b2+c2（橢圓）c2=a2+b2或（雙曲線）轉化構造a、c的關系（特別是齊二次式），進而得到關于e的一元方程，從而解出離心率e。
例2：設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2過F3作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 。
解：在等腰直角三角形中，PF2=F1F2即2c=■，
c2+2ac-a2=0即e2+2e-1=0
故所求e=■-1。
例3：設F1，F2為橢圓■+■=1（a>b>c）的兩個焦點，P為直線x=■上的一點，若F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則橢圓的離心率是 。
解：設直線x=■與x軸的交點為M，在RtPF2M中，PF2=2C，F2M=■-c，由cos60°=■=■解得e=■。
反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若在直角三角形中，常常利用兩邊一角建立三角函數關系式求解。
例4：已知B1，B2為橢圓短軸的兩個端點，F1，F2是橢圓的兩個焦點，若四邊形B1F1B2F2為正方形，則橢圓的離心率為 。
解：如D，在RtB2OF2中得b=c=■a解得e=■。
例5：已知F1、F2是雙曲線■+■=1（a>0，b>c）的兩個焦點，過F2作x軸的垂線交雙曲線于點A、B，連接AF1和BF1，若ABF1為正三角形，則雙曲線的離心率為 。
解：在RtAF1F2中，tan30°=■=■=■
即■c2-2ac-■a2=0。
解得e=■。
反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形具有對稱性常常割其半，在直角三角形中求解。
例6：已知F1、F2是雙曲線■+■=1（a>0，b>c）的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為 。
解：如圖，設MF1的中點為P，連接PF2
在RtPF1F2中，F1F2=2c，∠PF1F2=60°
則PF1=c，PF2=■c由雙曲線的定義知■c-c=2a
解得e=■=1+■。
反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形是焦點三角形，常常利用定義建立基本量a、b、c之間的關系式。
例7：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點，恰好是橢圓■+■=1（a>b>c）的右焦點F，且兩條曲線的交點連線也過焦點F，則橢圓的離心率為 。
解：依題意得■=c，P=■即b2=2ac=a2-c2
故所求e=■-1。
反思：兩種曲線同現求離心率e，要注意利用公有量建立方程組，消元得到基本量a、b、c之間的關系式。