數值方法精選(九篇)

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第1篇：數值方法范文

關鍵詞： Matlab 數值方法； 指紋； 曲線擬合； 插值

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）24?0027?04

Comparison and optimization of numerical fitting methods for fingerprint curves

LI Qing， ZHANG Wenjie， CHEN Jing

（School of Science， Beijing Forestry University， Beijing， 100083， China）

Abstract： Fingerprint identification， as a popular identification method， has been widely used in data encryption. The different curve fitting methods such as the least?squares fitting， polynomial curve fitting， monomial interpolation， Lagrange interpolation， Newton interpolation， polynomial interpolation in subsection， spline interpolation and so on are utilized in this paper to make the fingerprint curve fitting by means of Matlab software and on the basis of numerical methods. And then the fitting results and algorithm are compared to select an optimal method. The generalized extension approximation method is used in fingerprint curve fitting to deal with the bad fingerprint curves to further improve the fingerprint curve fitting. The summary， comparison and expansion of various fingerprint curve fitting methods were achieved.

Keywords： Matlab numerical method； fingerprint； curve fitting； interpolation

0 引 言

指紋識別作為近年來比較流行的識別方法，在數據加密、交通、門禁、司法等各個領域得到了越來越廣泛的應用。在進行指紋曲線擬合時，可能會遇到指紋曲線類型多，擬合難度大，擬合效果不好的情況[1]。當前市面上的指紋識別，在斷裂指紋的拼接這一方面，基本上是采用Gabor算子濾波的方式，雖然使用Gabor算子濾波效果不錯，但是這種濾波要牽涉到一系列的卷積運算，通常是對整個指紋圖像濾波，程序開銷比較大，濾波時間也較長。然而，另一方面，如果用數值方法進行斷裂曲線的拼接，它只是提取那些斷裂的指紋曲線，用數值方法進行擬合，其他沒有斷裂的曲線，則保持原樣。這樣做的好處是，由于指紋中斷裂的曲線一般不多，所以擬合比較快捷，程序開銷較小。指紋斷裂曲線的拼接屬于指紋圖像預處理環(huán)節(jié)，當把斷裂指紋拼接上，之后的指紋識別就方便了。

曲線擬合是用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系的一種數據處理方法，其應用性非常強。本文基于數值方法，借助Matlab軟件，利用最小二乘擬合、多項式曲線擬合、單項式基本插值、拉格朗日基本插值、牛頓基本插值、分段多項式插值和樣條插值等不同曲線擬合方法對指紋曲線分別進行擬合，并對擬合效果和算法進行比較。在此基礎上，針對劣性情況的指紋曲線，將廣義延拓逼近法應用于指紋曲線擬合中，進一步完善指紋曲線擬合，實現了各種擬合方法的總結和比較以及擴展。

1 指紋數據的最小二乘擬合[2]

1.1 正規(guī)方程解指紋曲線的最小二乘擬合問題[3]

圖1表明，殘差為0.992 0時擬合質量良好，圖2顯示的是一種劣性情況，擬合質量比較差。

1.2 用QR分解法求最小二乘擬合

除了正規(guī)方程，最小二乘問題也可以由QR分解來解決。通過一些實現最小二乘法的Matlab內置命令，使用QR分解法來解超定方程組。正規(guī)方程法和QR分解法在解決最小二乘問題的差別不大，主要不同點在于計算所花費的浮點操作次數和數值的穩(wěn)定性[4]。

圖1 最小二乘擬合良性情況

圖2 最小二乘擬合劣性情況

由圖3，圖4可知，對于良性問題，解正規(guī)方程和用QR分解法結果幾乎一樣，但對于劣性情況，QR分解法在使得殘差最小這方面要優(yōu)于解正規(guī)方程法[5]。

圖3 QR分解擬合良性情況

2 指紋曲線的多項式擬合

由圖5，圖6可知，對于指紋曲線的劣性情況，二次多項式和三次多項式的擬合效果均不好，高次多項式擬合效果比低次擬合效果稍好，但并不等于次數越高效果越好。而簡單的多項式擬合可以反映出曲線的大致彎曲程度，但對于劣性情況擬合的效果并不好。

圖4 QR分解擬合劣性情況

圖5 多項式擬合良性情況

圖6 多項式擬合劣性情況

3 基本插值公式

3.1 用單項式基本插值公式進行插值擬合[6]

圖7結果可見，警告信息指出了程序運行結果A=1×1016，A是病態(tài)的，RCOND = 3.170 723×1032是估計條件數的倒數，它的值很小，說明矩陣的條件數非常大。如圖7所示，此時的插值函數出現嚴重的問題[7]。插值函數的曲線不是預料中的平滑曲線，而是不規(guī)則曲線。矩陣A的條件數非常大，因為其中的元素值的大小差異很大，它們中的最小元素是0，最大的元素是1×1016×4.045 4。在求解過程中的消去階段，很小的舍入誤差會導致很大的不確定性。在后面的代入過程中，會有更多的舍入誤差，并對Ci的真值產生擾動，引起圖中所示的振蕩。舍入誤差的問題是使用單項式基本插值公式進行多項式插值時固有的，這時因為Vandermonde矩陣通常是病態(tài)的。由于多項式求解中的舍入誤差，插值函數對輸入數據的逼近會變得不精確。

圖7 單項式插值擬合

3.2 用拉格朗日基本插值公式對指紋離散坐標進行

插值擬合

如圖8所示，沒有類似于圖7的警告信息，插值函數中也不會出現類似于圖7的亂真振蕩，這是因為拉格朗日多項式不需要線性方程組的解，也就不會有破壞Vandermonde方程組解的精度的病態(tài)性和舍入誤差問題。

圖8 拉格朗日插值擬合

3.3 離散點的牛頓插值公式對指紋離散坐標進行

插值擬合

如圖9所示，牛頓形式插值采用均差形式比較方便，n階插值多項式可通過向n-1階牛頓多項式添加一個更高次項獲得。它計算比較高效，并且隨著多項式階數的增加，它仍然能夠保持比較可行的操作次數。牛頓形式插值的結果取決于支點的選取和插值多項式的階數。

3.4 分段多項式插值對指紋離散坐標進行插值擬合

如圖10所示，斜率不連續(xù)性表現得比較明顯。在進行分段線性插值的實現中，比較重要的是在構造插值式時選用合適的支點對。在一個對任意數據集進行分段線性插值的Matlab函數中，支點的查找和插值函數計算都可以用Matlab程序自動完成。

3.5 折半搜索法進行分段線性插值對指紋離散坐標進行插值擬合

如圖11，圖12所示，此算法顯示出一個弊端就是在節(jié)點處雖然是連續(xù)的，但曲線并不光滑。節(jié)點處導數的連續(xù)性沒有受到約束，所以還有待于進一步改進。

圖9 牛頓插值擬合

圖10 分段式插值擬合

圖11 折半搜索法分段線性插值（一）

圖12 折半搜索法分段線性插值（二）

3.6 三階樣條插值

三階倦條插值結果如圖13所示，離散指紋數據對整個固定端點斜率進行三階樣條插值，插值的效果并不好。在中間空白區(qū)域，插值后得到的曲線受力斷裂部分最近的兩個端點的影響較大。這兩個端點的斜率的大小會影響到斷裂部分插值的效果。但整個數據對集的邊界端點的斜率大小，對于斷裂部分插值的效果影響不大。當整個數據對集的邊界端點為不同值時，整個曲線的變化并不明顯，需要進一步改進。

圖13 三個階樣條插值擬合

4 廣義延拓逼近法Matlab實現

首先將指紋曲線兩個端點處的片段擬合起來，因為端點處的片段不方便進行單元域的延拓。程序中采用了Matlab內置的interp1來實現，用三階樣條同樣可以實現，效果差別不大。除兩端點外的其他片段都采用廣義延拓逼近法實現。將每個片段的擬合函數的系數矩陣求出來，即可求得每個片段的逼近函數，再拼接起來，即可構造相應的指紋曲線[8]。由圖14和圖15可見，擬合的結果比較理想?？梢酝ㄟ^延拓域的節(jié)點來約束當前段的擬合，可操作性較好，效率較高[9]。

5 對比分析和結論

最小二乘擬合能很好的跟蹤離散數據點趨勢。求單項式基本插值公式的系數需要解Vandermonde矩陣，而矩陣可能是病態(tài)的，這樣會導致單項式系數不確定。另外單項式中的各項可能在大小上有很大差異，會導致多項式計算中的舍入誤差。這些數值上的復雜性可在構造Vandermonde方程組之前通過對數據x進行轉換和縮放來改進。拉格朗日基本插值公式插值在理論分析中很有用，由拉格朗日基本插值公式形成的多項式插值式的舍入誤差比較小，但是計算比較繁瑣。牛頓多項式基本插值法不但舍入誤差比較小，而且計算公式也很高效.換句話說，對數值計算來講，使用牛頓基本插值公式進行插值比使用單項式或拉格朗日基本插值公式更好。牛頓插值多項式的系數是輸入數據集的均差，均差在推導三階樣條時很有用。需要注意的是，對均勻分布的支點數據進行任意階的多項式插值時，必須防止由多項式擺動帶來的誤差。多項式擺動會影響任何基本插值公式上定義的多項式。分段多項式插值使用相對低階的多項式，它們定義在輸入數據的子集上。對一維數據來說，插值式是由很多插值式在某些點上連接而成，所以需要選擇好合適的局部插值式。若采用三階樣條插值，插值式的總體平滑比較好，樣條插值式的精確度要受端點條件的影響很大，但通過本文的實驗，三階樣條在指紋曲線的擬合方面，效果并不好[5]。

圖14 廣義延拓逼近法（一）

圖15 廣義延拓逼近法（二）

對于劣性情況，本文將廣義延拓逼近算法引進到指紋曲線的擬合。所謂廣義延拓逼近算法是通過在延拓域上進行擬合逼近，在邊界上進行插值約束處理，將插值法和擬合法有機地結合，從而形成了廣義延拓算法自己的特點。廣義延拓外推模型基本上繼承了最小二乘擬合的長處，可以充分地運用較多的實驗數據點，同時可以把最新的數據點鎖住，充分發(fā)揮最新數據的作用與影響，也就是用最新的數據進行插值約束處理。通過本文的實驗，廣義延拓逼近算法在指紋曲線擬合方面的效果比較好。

6 結 語

本文利用Matlab工具，通過數值方法，對指紋曲線使用多種方法分別進行擬合，選擇將廣義延拓逼近法應用其中，進一步完善了指紋曲線擬合，實現了各種擬合方法的總結和比較以及擴展。通過數值方法對指紋曲線進行擬合，擬合效果較好，但其缺點在于需要對指紋曲線一根一根擬合，所需工作時間可能要較長。但是，這也是它的優(yōu)點所在，正是由于它是一根一根的擬合，對于沒有斷裂的曲線，則保持原樣，不需要所有曲線（包含未斷裂的）都進行擬合，減少了工作量。本文所提到的這些擬合插值方法，不僅可使用在指紋曲線的擬合中，在其他需要曲線擬合的研究領域也有廣泛的應用。

參考文獻

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[6] 陳玉潔.多元多項式插值[D].長沙：國防科學技術大學，2003.

[7] 韓艷麗，李鳳萍.插值與曲線擬合[J].中國西部科技，2009（11）：91?92.

第2篇：數值方法范文

關鍵詞： 函數 定義域 值域 值域的求解方法

設 是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系 ，使對于集合 中的任意一個數 ，在集合 中都有唯一確定的數 和它對應，那么就稱 為從集合 到集合 的一個函數，記作 ，其中 叫做自變量。 的取值范圍 叫做函數的定義域；與 的值相對應的 的值叫做函數值，函數值的集合 叫做函數的值域

由函數的定義可知，一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域。其中函數的值域是一個較復雜的問題，又是高中數學中的一個難點。總體來講，求函數的至于要注意以下幾點：（1）值域的概念，即與 的值相對應的函數值的集合 ；（2）函數的定義域。當題目中未明確給出函數的定義域時，應先求出函數的定義域，在定義域的范圍內求函數的值域；（3）函數的單調性。求函數的值域時，常常借助函數的最值來求解，而求函數的最值時，對函數的單調性的討論往往是必不可少的；（4）函數的解析式。在求函數的值域時，往往要根據所給函數的解析式的形式，使用相應的方法。具體常用的求函數值域的方法如下：

（1）觀察法

對于一些簡單的常見的函數，通過觀察就可以求出其值域。例如我們熟悉的一次函數的定義域是 ，值域也是 ；反比例函數 的定義域為 ，值域為 。

（2）配方法（或公式法）

（3）換元法

（4）分離常數法

（5）利用函數的單調性求值域

例5. 求函數 的值域

解：由題可知函數的定義域為 ，因為 和 在 上均為增函數，故原函數為 上的增函數.所以 ，故原函數的值域為

（6）利用函數的最值求值域

對于區(qū)間上的連續(xù)函數，利用求函數最大值和最小值來求函數的值域。

總之，同學們在學習的過程中應多注意積累，善于總結，從而在求解函數值域的問題中，才能迅速找到求解此類問題的比較簡單且合適的方法。

第3篇：數值方法范文

【關鍵詞】離心泵性能曲線；數據處理；正交擬合

離心泵特性曲線一方面用于設計制造中檢測離心泵性能是否達到設計要求，同時也作為正確選擇、使用離心泵的主要依據。離心泵的特性測試是為了獲取離心泵的性能曲線。了解并掌握水泵性能對我院輪機、熱動、建筑環(huán)境專業(yè)的學生來說是非常重要的，性能參數對于水泵設計、實驗和使用都是十分重要的基本參數，又是學生不易理解的參數。我院動力實驗室考慮實驗經費問題，在原有基礎之上，建立閉式系統水泵綜合性能實驗臺，并且主要從實驗手段上拓展學生的知識面和增強了動手能力，激發(fā)學生的學習積極性。

1、實驗測試系統及原理

試驗臺裝置示意如圖1所示。

① 流量Q（m3/h）由流量計直接測量。

② 揚程H（mH2O）進口斷面和出水斷面之間的總水壓頭，即這兩個過水斷面之間的靜壓差和動壓差。

③ 水泵軸功率N（kW）泵和電機采用聯軸器傳動，故電機輸出功率為泵的軸功率（1）

其中N電―電機輸入功率，由功率表測出kW；η電―電機效率；η傳―聯軸器傳動效率，可取0.98。

④ 泵的效率η泵的有效功率與軸功率之比：

2、正交多項式數據處理方法

在繪制性能曲線時，以往學生只是將測試的數據在坐標紙上進行描點連線，單調枯燥，往往實驗做完，不知道自己做了什么；而且手工方式無法達到精度要求，計算機編程處理雖然能滿足精度要求，但需繁雜的編程過程，對選型設計人員要求較高。為了適應選型的要求，需要找到一個既快速又簡便的方法，求出離心泵性能曲線的函數表達式，從而將離心泵性能曲線轉換為計算機圖形。

以H―Q曲線為例，提出利用正交多項式法對離心泵的性能曲線進行快速擬合。通過直觀觀察離心泵實際H―Q曲線的特點以及對大量數據的擬合和比較，認為采用多項式擬合法來擬合離心泵 H―Q曲線為較好。設擬合曲線為m次多項式，可將數學模型形式表示為：

式中Hi、Qi分別為揚程（m）、流量（m3/s）；bj為擬合系數（j=0，1，2，…，m）

3、實驗計算實例及分析

通過實驗，并經過公式測算，得到表1所示數據。對H―Q曲線進行擬合如圖2，并得到其相關系數R2，同樣的方法對其它曲線進行擬合，得到方程及相關系數如下：

為檢驗其可靠性，本人對三條曲線分別進行了正交多項式擬合得到如表2結果，可見擬合可以保證精度要求。

4、結論

在數值處理的方法上，還有最小二乘法，插值法等，其精度和實用性各有差別，但正交多項式法測試表明：1）由正交多項式法得到的擬合曲線在工作區(qū)內與實測性能曲線基本重合，誤差較小，因此，可以代替手工對離心泵性能數據進行處理并作性能曲線圖。拓展學生的知識面和動手能力，激發(fā)學生學習興趣。2）從返回的R2來看，置信度在0.99以上，說明該方法可信、可靠。3）該方法處理過程快速直觀，無須進行煩瑣的編程。4）本方法便于應用計算機進行離心泵的選型和計算，可大大提高工作效率其擬合精度均較高，因此，本方法具有廣泛的實用價值。

參考文獻

[1]孫杰.自動回歸離心泵性能曲線的正交多項式法[J].水泵技術，1991（3），60～64

[2]郁飛.試驗設計與數據處理[M].北京：中國標準出版社，1998：38～49.

[3]李麗.水泵綜合性能實驗臺及其應用[J].實驗技術與管理，2005（4），44～47

第4篇：數值方法范文

關鍵詞：數值計算方法；創(chuàng)新意識；計算平臺

作者簡介：張俊麗（1980-），女，山東菏澤人，內蒙古民族大學數學學院，講師。（內蒙古?通遼?028000）

中圖分類號：G642.0?????文獻標識碼：A?????文章編號：1007-0079（2012）28-0087-01

隨著科技的飛速發(fā)展和計算機技術的廣泛應用，數值計算方法已成為重要的橋梁和工具深入到航天航空、地質勘探、汽車制造、橋梁設計、天氣預報等各個領域，成為每一位科研人員和工程技術人員所必備的知識。為了滿足社會需求，數值計算方法現已成為高等院校理工類學生的一門專業(yè)必修課程，其目的是讓學生掌握設計數值算法的基本方法，培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力，為以后用計算機解決科學計算問題打下堅實的基礎。

一、“數值計算方法”課程的特點與教學現狀

數值計算方法，簡稱計算方法，又叫數值分析，是一門研究數學問題的近似解并利用計算機進行數值實現的學科，是數學分析、高等數學、高等代數、概率統計等數學基礎課的后續(xù)課程，它既有數學理論上的抽象性與嚴謹性，又有實驗性與應用性的數值特征。計算方法課程的內容包括插值和擬合、數值微分和數值積分、求解線性方程組的數值方法（直接法和迭代法）、非線性方程數值解、矩陣特征值計算及常微分方程初值問題數值解法等；[2]它的計算對象是數學中的微積分、線性代數、常微分方程，只是它不像別的數學課程那樣只是研究純粹的數學理論，而是把數學理論與計算相結合，重點探討數學問題的數值解法及應用；它的課程要求是在掌握算法原理的前提下設計算法編程實現。

“數值計算方法”是一門介紹科學計算的核心理論和基本方法的數學課程，它對培養(yǎng)學生的科學計算能力和解決實際問題的能力具有不可替代的作用。從20世紀80年代起，“數值計算方法”相繼成為各高等院校數學及其他理工科（如物理、計算機等）專業(yè)本科生的一門專業(yè)基礎課。但內蒙古民族大學（以下簡稱“我?！保┑臄抵涤嬎惴椒ㄕn程只在應用數學、信息與計算科學兩個專業(yè)開設必修課，一般開設在第三或第四學期，理論課48學時，上機實驗16學時，在別的學院（如物理、計算機等）沒有開設該課程。該課程普遍存在的教學現狀是：理論課內容多，學時少，各部分內容不連貫，公式繁多，枯燥乏味，使得學生產生厭學情緒；上機課時間緊，且一般集中上機，與理論課內容脫節(jié)，失去了上機實驗操作的意義；很多時候這門課程的學習都結束了，學生還不清楚這門課程與原來的課程有什么聯系，學習這門課有什么用，更無從談起培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力；而且“數值計算方法”課程教學過程中還存在著教學內容陳舊、教學方式落后及考試形式單一等問題。針對該課程目前的教學現狀，如何對該課程教學進行教學改革，是值得深入思考的問題。

二、關于“數值計算方法”課程改革的若干建議

根據前文分析可知，目前“數值計算方法”課程教學中存在著一些不容忽視的問題。那么如何進行教學改革，培養(yǎng)學生的實際應用能力，體現該課程在工程科學中的價值和意義，是值得數學界思考的問題。根據近年來我校師生在該課程教學中出現的問題，本文對“數值計算方法”課程教學改革提出以下幾點建議：

1.優(yōu)化教學內容，選擇合適教材

“數值計算方法”課程講授時既要強調它的理論結構與使用價值，又要注重提升它與計算機使用密切結合的實用性特點，所以該門課程對教材的要求很高。然而現行教材有的理論偏深，不適合普通本科生使用；有的內容陳舊，與實際聯系缺乏；有的實用性強，但與實踐結合的算例較少；[3]再加上該課程內容抽象，知識連貫性不強，定理和公式較多，推導過程煩瑣，從而導致學生對該課程的學習沒有興趣，只是為了應付考試機械性地記憶公式。按照教育部關于“數值計算方法”課程在教學過程中應把握“重概念、重方法、重應用、重能力”的培養(yǎng)要求，對該課程的教學內容應靈活把握，知識點講解應詳略得當，不同專業(yè)的學生對該課程的要求不同，講解的側重點也應有所不同，最好選用的教材也不同。對數學類的學生來說，理論與實踐應并重，而對于別的理工科的學生來說，不在于理論的論證與推導，而應側重算法原理與實際應用。當選定教材后，在實際教學過程中還需要對教學內容靈活整合，對于一些復雜且后繼課程將會深入學習的內容（例如微分方程的數值解法等），[4]可以略講甚至不講。不同地區(qū)的高校對該課程的教學要求也略有不同，例如我校處少數民族地區(qū)，學生的基礎知識相對較差，在該課程授課時更應減少煩瑣公式的推導，重在加強學生對知識點的掌握與實際應用能力的培養(yǎng)。鑒于該課程對以后學習和工作的重要性，我校建議除了數學與信息類的學生以外，別的理工科（如物理，計算機、信息工程等）的學生也應開設數值計算方法課程的選修課。我院本專業(yè)教師在包玉蘭教授的帶領下，根據我校學生的狀況及多年積累的教學經驗，編寫了比較適合少數民族地區(qū)學生特點的數值計算方法教材，現已經出版在我校試用。該教材內容較淺，并配備一定量的習題和上機實驗題，要求理論學時50～60學時（包含習題課），上機實驗16～20學時，并且標注了一些選講的內容，不同專業(yè)的學生可以針對性地學習，[5]基本上滿足了我校學生對該課程教材的要求。

第5篇：數值方法范文

數學是科學之母。一門學科之是否成為科學，決定于該學科的問題描述是否能化歸為數學。工程技術屬于應用科學范疇，工程技術問題通過建立數學模型與數學產生直接聯系。數學問題的分析解通常是極難得到的，因此必須歸結為數值計算問題。例如：人造飛船的軌道研究、汽車耐撞性問題研究、大型橋梁設計、天氣預報等都必須數值求解。數值計算方法作為研究數學問題的近似求解方法的課程，既有一般類數學課程理論上的抽象性和嚴謹性，又有工科類課程的實用性和實驗性特征，是一門理論性和實踐性都很強的學科。該課程理論涉及面廣、方法應用性強、內容豐富，再加上隨著計算機技術的飛速發(fā)展，優(yōu)秀數學軟件層出不窮，數值計算方法更能與計算機相結合，適應科學發(fā)展的需要，現已成為各高校大部分理工科專業(yè)的必修課程。在數值計算方法的教學過程中，筆者發(fā)現了很多問題。本文對其中的部分問題進行了分析，并提出了幾點教學改革建議。

二、教學過程中存在的問題

以筆者所在的機械工程專業(yè)為例，起初該課程為學科選修課，選課學生少，且其中大部分是為了湊學分而來的，學習興趣不高在所難免。后來學科培養(yǎng)計劃改變，該課程歸入專業(yè)必修課，選課學生數量增加了，但是學習熱情還是不高。究其原因，主要有以下幾點：

1.課程對數學基礎要求較高。本課程主要解決以下幾大類問題：非線性方程求根、線性代數方程組求解、矩陣特征值與特征向量的數值解法、插值與擬合、函數最佳逼近、數值微分與積分、常微分方程初值問題的求解等。需要先修的數學課程包括高等數學、線性代數等。學生只有掌握這些課程中的基本內容，才能學好數值計算方法課程。而這幾門課程均是難度較大的數學課程，學生的掌握程度本來就不好，甚至學過后已經忘記。由于同時要學習其他機械專業(yè)課程，學生不愿再花大量的時間和精力去學習或復習相關的數學知識，特別是本來就對數學不感興趣的學生。所以在課程學習中，學生就會陷入“聽不懂，聽不懂就沒興趣，沒興趣就不想聽課，不聽課就不懂”這樣一個死循環(huán)。

2.教學課時的限制。該課程的內容覆蓋很廣，如“插值方法”這一章，就算法而言就有Lagrange插值、Aitken插值、Nevile插值、差分與差商形式Newton插值、Hermite插值、分段低次插值、三次樣條插值、B-樣條插值等。然而，總學時設置僅為32學時。即使不面面俱到，挑選幾種典型的插值方法講解，也需要花費不少時間。因此，教師的課堂時間主要用來講解各問題相關算法的理論推導和算法設計，幾乎沒有幫學生回顧相關數學知識的時間，且在課堂內也沒有時間及時將理論運用于具體問題。學生覺得這是一門純數學課，枯燥無味又難懂，沒有學習興趣。

3.沒有與計算機很好結合。數值計算方法的一大特點是面向計算機。一個好的數值算法要通過程序設計在計算機上實現，要求用最簡練的語言、最快的速度、最少的存儲空間來實現某種計算結果。要達到上述要求，要求教師和學生既要掌握數值計算算法，又要能熟悉并熟練使用計算機語言。而現在的課堂教學重點大都側重在理論講解上，沒有很好地結合計算機編程，學生把這門課當成了數學課來上；且學生在課外也沒有將課堂上學到的算法付諸于計算機上實現。導致該門課程理論與實踐嚴重脫節(jié)，達不到預期的教學效果和教學目的。

三、如何提高課程的趣味性

綜合上述教學中出現的問題，要想教好這門課、使學生學到知識，最重要的是要提高課程本身的趣味性?！芭d趣是最好的老師”，學生有了興趣，才會有學習的熱情，才會把精力付諸于課程學習上。那么關鍵問題是如何提高該課程的趣味性，主要從下面幾點出發(fā)。

1.結合專業(yè)特點，從實際出發(fā)，合理安排課時和教學內容。由于課時有限，而且授課對象主要是機械這樣的工科類專業(yè)的本科生，課程的主要目的是培養(yǎng)學生具有機械工程工作所需的數學能力，培養(yǎng)學生用數學的思想方法分析問題、解決問題的意識和能力，并為后續(xù)的工作和學習打下良好基礎。那么教師在安排課時要懂得取舍，選擇與機械專業(yè)緊密相關的內容講解，課程主要濃縮為如下幾個主要內容：非線性方程的求解、線性方程組的求解、插值與擬合、數值微分與積分、常微分方程數值求解。而每個內容應該針對其中的經典算法進行講解。如非線性方程的求解，只需就二分法、簡單迭代法、Newton迭代法進行詳細講解，其他算法如弦割法、簡單Newton法等只需簡單提及即可；常微分方程的數值解法，只需對Euler法和Runge-Kutta方法詳細講解，其他內容略講即可。例如非線性方程求解中，判斷迭代法收斂的充分條件，復雜的證明過程可以略去不講。這樣一來，教學課時和內容安排合理，整堂課就不會全在枯燥無味的數學定理推導中度過，即使數學基礎不是很好的學生也能掌握并運用。而且學生能運用定理判斷一種迭代法是否收斂，本身也會獲得一定程度的滿足感和自信心，而學習興趣也可以在這之上建立起來。

2.對學生的計算機編程能力要求。該課程研究的是幾大類數學問題的數值算法，懂得算法之后，一定要結合計算機進行編程實現。但本門課程又不是專門的計算機編程課程，且由于學時限制，課堂上不可能有多余的時間教授學生編程知識，因此該課程的先修課程還需要掌握一門計算機編程語言?，F今的主流商用數學軟件主要有如下幾種：Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD、C/C++、Fortran等，應選用一種熟悉或較易掌握的軟件將各種算法進行計算機實現。另外，也可選用如Mathematica這類商用軟件進行編程，該類軟件界面簡潔，語言簡單，且功能也比較強大，自學便能很容易上手。

3.將數學理論與計算機相結合。在課堂上利用數學軟件，繪制出直觀的可視化圖片，這樣可以把課程中涉及的抽象原理、方法以及復雜的計算過程直觀地呈現出來，使學生對相關算法有更直觀和清楚的認識，更容易理解，同時也可加強學生運用數學軟件進行編程計算的能力。如對非線性方程求根之前，先要找出有根區(qū)間，這時可以運用數學軟件先畫出函數曲線圖，找出有根區(qū)間的大概位置，然后選擇某一算法編程，觀察根在迭代過程中的收斂性特征；又例如講解最小二乘法擬合曲線時，可以運用數學軟件將擬合出來的函數圖與原函數表對比，可更加直觀地理解插值和擬合函數中存在的誤差。

4.課程中穿插實踐環(huán)節(jié)，讓學生參與到課堂中來。某一算法或某類問題講解完后，應舉出一些算例，讓學生在課堂上分組討論解決的辦法，選擇怎樣的算法合適，怎么編程實現等。對于一些相對較簡單的問題，可以請學生直接在課堂上編程求解并運行結果，然后一起討論該結果的可靠性，或者對編程和運算過程中出現的問題怎么改正等。讓所有的學生都參與到課堂中來，以提高學生學習的興趣，而且同時能提高學生當場解決問題的能力、語言表達能力、計算機編程能力等。

5.課堂教學生動多樣化。教學時應充分利用多媒體提高教學效果。如在PPT中增加聲音、圖像、動畫等多種形式，在教學過程中形成多種感觀刺激，使原來學生誤解的枯燥、抽象的數學課直觀化、形象化、生動化，充分激發(fā)學生的學習熱情，從而大大地提高學生汲取知識的效率。另外，還可以將教學方式多樣化，避免教師“滿堂灌”、“唱獨角戲”的尷尬局面出現。除教師講解外，還可讓學生一起參與到課堂中來，如分成小組討論某個算法的優(yōu)缺點，某個具體問題的解法，或采用小組競賽模式，針對某一問題看誰的算法簡潔、效率高、結果可靠等。

6.選擇學生感興趣的算例。算例的選擇應有特點，或與學生專業(yè)相關，或與學生感興趣的事物相關，而不應該是單純的數學習題，應聯系相關的背景或出處。如對于車輛專業(yè)的學生，講述曲線擬合這部分內容時，可以計算汽車車身外形曲線輪廓線為例講述曲線擬合的過程，那么可先給出一些典型車型的外形輪廓圖，然后針對某款車型，給出其輪廓線上某些型值點的數據表。學生在看到豐富多彩的汽車圖時，首先會感到眼前一亮，興趣馬上會提高，課堂氣氛也會得到活躍，而曲線擬合的知識也能很容易領會。

四、總結

第6篇：數值方法范文

關鍵詞：ABAQUS；位移約束；海底管道

中圖分類號：P752 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9599 （2012） 17-0000-02

1 工程概述

海底管道鋪設是海洋油氣工程建設的一項重要內容。海底管道鋪設的方法基本可以分為兩類：鋪管船法[1，2]和拖管法[3]，其中鋪管船法包括S型鋪管船法、J 型鋪管船法、卷管式鋪管船法；根據管道所處位置不同，拖管法分為水面拖、水下拖、近底拖和底拖。對于登陸段海底管道采用底拖法施工更具有可行性。對于底拖法施工可以在陸地焊接后，由陸至海利用絞車、絞盤、拖輪等設備牽引鋪設；也可以在鋪管船上焊接，由海至陸鋪設，其牽引方法有：岸上設置絞車牽引，利用鋪管船上的絞車反向牽引。

某登陸段管道采用底拖法鋪設，在鋪管船上焊接管道，岸上設置定滑輪，由鋪管船上的絞車帶動管道鋪向岸邊，見圖1。

該方案中，鋪管船到海床段的海底管道形成S型，管道受到拖管力、張緊器張力、自重、自身浮力、浮筒浮力、海床支撐力、海床摩擦力等載荷作用，為了底拖施工的安全進行，進行管道強度校核是十分必要的。以下給出了管道強度分析的關鍵參數：

管材為X65鋼，鋼管外徑為813mm，壁厚22.2mm，鋼管外敷防腐涂層，厚度2.8mm，防腐涂層外為混凝土層，厚度為80mm，管道長度總長575m，海床上管道長度為375m；海床摩擦系數為1.0；水深14m；張緊器張力為100kN；拖管力為350kN；由于綁縛浮筒，管道水下重量為540.7N/m。

鋪管船各輥軸相對位置：為了考慮邊界影響，張緊器前取2個輥軸。根據工程作業(yè)的鋪管船情況，在張緊器后共8個輥軸，從船艏至托管架方向各個輥抽名稱分別為：R1，R2，張緊器，R3，R4，R5，S1，S2，S3，S4，S5。在水平方向和豎直方向上每個輥軸距離輥軸R1的長度見表1，其中R1距離水面的高度為3.9m。

注：托管架上各個輥軸水平向至R1的距離考慮了拖管架角度。

2 ABAQUS數值模擬

以上工程施工中，鋪管船到海底段管道形成S型，為大變形問題。ABAQUS[4]軟件具有強大的非線性分析功能，在工程中有著廣泛的應用。根據以上參數，采用軟件ABAQUS模擬管道的底拖過程。鋪管船和托管架上面的輥軸和管道的作用，以及管道和海床的相互作用都可以通過接觸的方式處理。眾所周知，接觸為非線性問題，對管道、海床和輥軸的建模有一定的要求，如果處理不當則計算難以收斂。因此，本文通過位移約束的方式模擬了管道和輥軸的接觸，通過位移約束和加載的方式模擬了管道和海床的相互作用。以下給出模擬過程及計算結果。

2.1 模擬過程

第一步：建立模型，考慮管道半徑，管道豎直向坐標為4.3893m，管道單元B32，見圖2。

第二步：根據各輥軸位置給出管道上相應的約束點。通過移動坐標系平面的方式建立新平面，新平面和管道的交點為約束點，見圖3。雖然當管道大變形后約束點和相應輥軸位置不一致，但在本文的模擬中，這種不一致對結果的影響可以忽略。著泥點的位置可以根據經驗確定，或者通過調試的方法得到：首先給出著泥點初始值，計算出著泥點的支反力，然后調整著泥點的位置，當支反力為零時，對應著泥點位置。

第三步：施加約束。根據各個輥軸相對R1在豎直向的長度得到管道約束點和海床段管道豎直向位移，施加位移約束。在海管鋪設中，某些輥軸并不能起到支撐的作用，計算出各約束點的支反力，當其為拉力時，則放松該約束。張緊器的拉力通過簡支約束管道端部體現，其他段管道在水平向可以自由移動。見圖4。

第四步：施加重力載荷。水面以上和以下管道重力不同，水面與管道交點可以通過經驗得到，也可通過迭代的方式求得。

第五步：施加海床摩擦力和拖管力。以均布載荷的形式施加摩擦力，根據管道水下重力和摩擦系數，可知摩擦力為540.7N/m。拖管力取350kN。

2.2 計算結果

按照以上步驟建立模型，計算得到管道應力場，見圖5。其中上彎段最大應力為297MPa，下彎段最大應力為290MPa。

3 總結

某登陸段管道采用由海至陸的底拖法鋪設，本文采用ABAQUS軟件建立數值模型，計算了管道應力。上彎段最大Mises應力為297MPa，下彎段最大Mises應力為290MPa，為管道底拖強度分析奠定了基礎。

參考文獻：

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[4]ABAQUS Version 6. 7 Documentation，ABAQUA，Inc.

第7篇：數值方法范文

關鍵詞：波浪力；SPH；開孔沉箱；水動力；線性關系；規(guī)則波；光滑函數

中圖分類號：TV139.26 文獻標志碼：A 文章編號：1672-1683（2014）06-0078-06

開孔沉箱式防波堤利用自身消浪室內外波動的相位差和消浪室內水體的紊動，能夠有效消耗波能，減少波浪與港口結構物間的反射，降低反射系數（可從實體沉箱的1.0降低到0.3～0.8左右），也可以減少作用在沉箱結構上的波浪力（一般可減小至不開孔時的70%～90%左右），加上其施工簡單，造價相對較低，因而成為低反射防波堤的典型型式。

自從Jarlan[1]提出開孔式沉箱防波堤的概念以后，陸續(xù)出現大量的相關研究成果：Goda等[2]提出了最實用的研究直墻壓力分布規(guī)律的公式；Takahashi[3]對該公式進行修正，并應用到開口直墻結構中，提出了開孔板前后兩面及消浪室后墻壓力的分布都是基于三種峰值形式組合的理論；Hendrik Bergmann等人[4]分別對單層和雙層前墻開孔板進行了實驗分析，得出當相對寬度比為0.25時單層開孔板的總水平力比降低最顯著的結論；Kyung等人[5]提出了基于微波幅理論研究不規(guī)則波與開孔沉箱相互作用的新型數學模型，并實驗分析了波浪反射與消浪室寬度、波高和周期的關系；陳雪峰等人[6]通過大量實驗，得出了反射系數和總水平力與相對寬度、相對波高等因素的近似經驗關系；EI-Hafid等人[7]將影響系數χ項引入到Takahashi公式中，分別用2D物理模型實驗和Dieppe 實測數據等方式對新公式進行了驗證；陳雪峰等人[8]采用VOF方法研究了反射系數和總水平力；劉勇等人[9]基于線性勢能理論，提出了以匹配特征函數和有限元法為基礎的半解析方法，研究了不規(guī)則波作用在開口式沉箱上的總水平力和垂直力；姜俊杰等人[10]通過2D規(guī)則波波壓力試驗，提出了有頂板開孔沉箱所受波浪力的計算方法。

但是，由于波浪與開口式沉箱結構相互作用過程中涉及到波浪破碎、湍流等多種復雜的水動力現象，特別是消浪室內流體運動的復雜特性對開孔沉箱水平力的影響，因此要準確描述該過程，僅有實驗分析和理論研究是不夠的，還必需建立一個考慮多尺度結構和多物理效應的流固耦合數值模型。而光滑粒子流體動力學（SPH）[11]方法為這一工作提供了新的途徑。

與傳統的VOF數值方法相比，SPH是一種純拉格朗日性質的無網格粒子自適應的方法，主要用于處理大變形、跟蹤運動界面或自由表面，以及獲取變量的時間歷程等問題，非常適合處理波浪運動的非線性問題。

本文建立了基于光滑粒子流體動力學方法（SPH）的二維流固耦合數學模型，通過黎曼解和CSPM修正后，模擬開孔式沉箱的水動力條件?；舅悸窞椋菏紫?，將實體沉箱波壓力計算結果與線性規(guī)則波理論進行對比，驗證SPH方法的解決波浪與沉箱水動力問題的準確性；其次，分析不同消浪室寬度下消浪室內外水粒子的運動特性，得出消浪室內外波壓力的分布規(guī)律，探討總水平力與消浪室相對寬度、相對波高和相對水深的關系。

1 數值計算模型

1.1 水動力控制方程

本文采用Navier-Stokes方程組來描述流體運動的質量守恒和動量守恒方程，質量守恒方程為

式中：ρ為水的密度；u為速度矢量。

通過SPH方法的基本方程可將質量守恒方程離散為SPH粒子形式，即

式中：mj為粒子j的質量；uij為粒子i和j之間的相對速度矢量；Wij為粒子j對粒子i產生影響的光滑函數，與光滑長度h緊密相關Wij=W（Rij，h），Rij=|xi-xj|h。

由SPH原理得到粒子密度的求和法計算公式

描述無黏性流體運動的動量守恒方程可以表示為

式中：p為壓力；F為體積力，通常為重力加速度。

可以得到SPH形式的描述流體運動的動量方程如下式：

式中：ij=hijuijxij|xij|2+2；Cij=12（Ci+Cj）；ρij=12（ρi+ρj）；hij=12（hi+hj）；uij=ui-uj；xij=xi-xj；u和x為粒子的速度和位置坐標；αΠ和βΠ為常數。對于自由表面流動問題，通常取αΠ=0.01，βΠ=0；ij=0.1hij；C為聲速。最終SPH形式的動量方程為

式中：P*ij=piρjcj+pjρici+ρiciρjcj（uRj-uRi）ρjcj+ρici，；URij=uRjρjcj+uRiρici+（pj-pi）ρjcj+ρici；ρi、pi、ci、ρj、pj、cj分別為相互作用的兩粒子的密度、壓力、聲速；uRi、uRj為兩粒子速度ui、uj在其連線方向的投影值。

本文中的沉箱的邊界采用虛粒子法，根據牛頓第三定律原理，可得出水粒子與沉箱粒子相互作用時，進行力和能量的傳遞，進而可以得出沉箱粒子受力。

數值波浪水槽造波板及如何消除波浪的二次反射相關理論內容參見高睿等人[16]所述。

2 數值計算域和水動力驗證

本文采用圖1所示2D數值計算域和開孔沉箱模型，坐標原點設置在靜水面與開孔板相交處。波浪水槽尺寸為6 m×1.5 m，水槽右邊界設置開口式沉箱，沉箱高h=1.0 m，沉箱寬度B1=0.45 m，開孔率ε=0.4（ε=S開孔沉箱開孔面積/S消浪室迎水面面積）。數值計算參數見表1，取值點分布見圖2。流體計算域采用SPH方法模擬，粒子初始間距為0.01 m，約32 245個。

為了消除反射影響，在右端設置人工黏性消波層，用來吸收入射波。數值水槽周期T=1.4 s，波高H=0.12 s，共計算10 s。以距離造波板1 m的靜水位位置作為觀察點，觀察其波壓強歷時規(guī)律，見圖3。

從圖3可知，粒子間距為0.02 m時，波周期發(fā)生明顯不穩(wěn)定的現象，且波谷位置出現毛刺；粒子間距為0.01 m時，初始波壓強較粒子間距0.005 m偏大，但0.5 s后，兩者基本一致。考慮到計算效率和成本，本文計算時采用粒子間距為0.01 m進行數值模擬。

為了檢驗SPH方法模擬波浪與沉箱相互作用時，沉箱結構壓強計算的正確性，取開口率ε=0時極限情況的實體沉箱，將水槽粒子靜水壓強沿水深分布與水力學理論進行對比。計算中，實體沉箱寬度B1=0.45 m，波高H=0.10 m，波浪周期T分別為1 s和1.2 s。靜水壓強沿水深的分布見圖4，同時，圖5中給出了T為1.0 s、H為0.08 m，10 s時水粒子運動的形態(tài)，水粒子分布較均勻，初始情況下粒子壓強值大小也比較準確。

同時，本文提取了實體沉箱動水壓強沿水深分布的計算值，并與李玉成等人[17]所述基于線性波理論直墻上的波動壓強沿水深分布的解析解進行對比；水粒子作用下實體沉箱波動壓強沿水深的分布見圖6，縱坐標自下至上為水底至靜水位無量綱化后的z值，橫坐標為無量綱化后的波動壓強P。

由圖6可知，在長波作用下，實體沉箱的波動壓強分布較為均勻，而在短波的作用下，實體沉箱的波動壓強分布隨著水深的增加減小的趨勢更為明顯。SPH方法的波壓強的計算值與線性波理論值是一致的，因此采用SPH方法數值模擬波浪與防波堤的相互作用是可行的。

SPH方法最大的優(yōu)勢是能夠解決大變形問題，以及模擬波浪的非線性特性。圖7給出了周期T為1.0 s，波高H為0.12 m，消浪室寬度B分別為0.3 m時，水粒子運動10 s時，實體和開孔沉箱消浪室內外水粒子壓力分布和速度矢量。圖7（a）中，水粒子在實體沉箱半水深位置形成漩渦流動；圖7（b）中，消浪室內水粒子向下運動劇烈，反射波與入射波的疊加比較明顯，在開孔沉箱前形成駐波?？梢?，SPH方法可以比較形象直觀地模擬波浪與開孔沉箱相互作用這一復雜的水動力過程。

3 消浪室寬度對波壓力分布的影響

作用在開孔沉箱上的波壓力，沿著波浪傳播的方向可分成三個部分：開孔板外側；開孔板內側；消浪室后墻。為了方便與現有理論進行對比，在此所討論的波壓力是特定位置的點，開孔板外側取1、2、6點，開孔板內側取7、8點，消浪室后墻取10、11點。通過取值計算，分別得出消浪室寬度B分別為0.15 m、0.2 m和0.3 m時，波浪周期T為1 s、波高H為0.08 m時波壓力分布（圖8）。為了便于比較，圖8中還給出了實體沉箱波壓力分布，以及開孔沉箱外側壓力分布規(guī)范解。

從圖8可以看出：實體沉箱波壓力分布是呈梯形分布的，在靜水位位置的波壓力最大；消浪室寬度為0.15 m時，開孔板外側波壓力值與實體沉箱波壓力值基本相等；消浪室寬度為0.2 m時，波壓力值有明顯的減??；消浪室寬度增加到0.3 m時，開孔板外側波壓力值最小。由規(guī)范可知，零壓力點應位于靜水位上1.275倍波高位置，即0.102 m處。本文計算得到波壓力零點為0.04 m。

上述分析依據的是有限的取值點，下面對能夠與水粒子接觸所有沉箱邊界進行分析。從實體沉箱及開孔沉箱波壓力分布圖（圖9）可以看出以下現象。

（1）實體沉箱波壓力最大值較靜水位偏下，并且分布形式大致呈梯形，但不完全是線性的。

（2）消浪室后墻波壓力分布規(guī)律大致與實體沉箱一致，且消浪室寬度越大，波壓力值越小。

（3）1號板外側波壓力值隨水深減小而逐漸變大，基本呈線性分布，且消浪室寬度越大，非線性越明顯。

（4）與板外側相比，1號板內側波壓力分布，波壓力隨水深減小增加的更為明顯。

（5）與板內側相比，開孔沉箱2號板內外側波壓力分布的非線性更強。

4 總水平力影響因素的研究

4.1 開孔沉箱總水平力與影響因素關系的實驗對比

根據劉勇等人[9]研究，開孔率對開口式沉箱垂直力影響較大，對水平力影響較?。s為4%）。因此，本文忽略開孔率對水平力的影響，僅采用開口率ε=0.4時進行分析。開孔沉箱模型設計為前墻開孔，開孔幅度為水下0.3 m至頂。規(guī)則波周期T分別取1.0 s、1.2 s、1.4 s；波高H分別取0.08 m、0.1 m、0.12 m；消浪室寬度B取0.15 m、0.2 m、0.3 m。為了便于比較，還模擬了前墻為實體的沉箱受力情況，其波要素與前墻開孔時相同。每種工況組合數值模擬計算三次，取其平均值進行分析。為了便于與已有試驗進行對比，沉箱固定點水平壓力取值點為圖2中的第2點，波長的近似計算采用Katsardi[18]提出的經驗結論，分別用Fk和Fs表示開孔沉箱和實體沉箱所受到的單位長度總水平力，以Fk/Fs為縱坐標作為分析開孔沉箱總水平力指標，反映開孔沉箱對總水平力的影響。對Fk和Fs進行無量綱化處理，無量綱因子為容重γ、波高H、水深d和沉箱Y方向寬度b。分析結果見圖10。

圖10（a）是H和B不變，而改變波長L的情況，圖10（b）是B變化，而L和H不變的情況。很明顯，兩種情況下，相對寬度（B/L）與單個點總水平力Fk/Fs之間的關系近似呈線性關系。圖10（c）顯示，只改變H而B和L保持不變時，相對波高（H/L）與總水平力之間也是近似呈線性關系；圖10（d）顯示，B和H不變而改變L時，相對水深（d/L）與總水平力比之間同樣仍近似呈線性關系。

陳雪峰等人[6]針對開孔沉箱進行了大量實驗，研究認為B/L對水平力比的影響最大，H/L的影響次之，d/L的影響最小。陳雪峰等人[8]提出的開孔式沉箱總水平力比的實驗公式為

圖11給出基于SPH方法得到的數值解析解與上述實驗公式解的對比結果，可以看出，SPH方法對開孔沉箱水平力的計算與實驗公式的結果基本吻合，大多數點在y=x（1±10%）的包絡線內。可見，在類似本文數值域和波浪要素的條件下，SPH數學方法的計算結果可以作為分析開孔沉箱所受總水平力大小的參考依據。

4.2 開孔沉箱總水平力相位差和非線性研究

在實驗中，僅根據有限點取值用來分析開孔沉箱總水平力的研究是不精確的，因此本文考慮了能與水粒子接觸所有的沉箱邊界，來研究的波浪力與相應影響因素的關系。一般情況下，沉箱總水平力F總由F前、F內、F后三個部分組成，圖12給出了作用力方向和前述工況下總水平力的歷時曲線，

由圖12可知，F總的峰值總是出現在F前和F后最大值之間，即F總總是出現在波峰進入消浪室后，接觸到消浪室后墻之前；F前和F后的相位差隨著消浪室寬度的減小而減小。很明顯，隨著消浪室寬度的減小，四個力是趨于同相位的。此結論與劉勇[9]的實驗結論一致。

通過進一步分析相對寬度B/L、相對波高H/L和相對水深d/L對總水平力的影響，以Fk/Fs作為分析指標，計算工況與5.1節(jié)相同，分別得出對應的四種結果（圖13）。

由圖13（a）可知，當B/L較小時，總水平力有小幅的增加；而B/L達到0.11左右時，總水平力有減小的趨勢，即B/L對總水平力比的影響非線性，這一點在物理模型實驗尚未發(fā)現。圖13（b）反映同樣規(guī)律。圖13（c）中波高H變化時，相對波高H/L對開孔沉箱總水平的影響也是非線性的，但是當波高比較大、波高H為0.12 m時，H/L對總水平力比的影響卻是呈現線性變化。圖13（d）顯示，相對水深d/L對總水平力是非線性的。

由于開孔消浪結構的消浪機制比較復雜，其尺度的選擇與波浪力的計算只能依賴于理論分析、數值計算和實驗研究相結合的辦法來確定。從已發(fā)表的文獻來看，理論分析和數值計算可以得出反射系數，而波浪力的分析至今較多是試驗結果。對于開孔沉箱波浪力的計算，日本港灣研究所高橋（1996）推薦采用修正后的擴展合田公式，其中給出了靜水位和墻底的壓力值，認為靜水面上壓力零點位置為0.7H，三點間波壓力呈線性分布，并且認為波壓力與相對水深d/L呈二次關系。

本文假定總水平力與相對水深d/L呈二次關系，與相對波高H/L呈一次關系，采用最小二乘法擬合，將數值結果進行逼近，來描述各因素與總水平力比Fk/Fs的關系。擬合簡化關系式為

擬合的相關系數R=0.921，符合擬合方程的相關性要求。與試驗研究相比，式（13）給出了不同于式（12）形式的結果，說明總水平比與其相關影響因素之間的關系可能是非線性的。因此，以波壓力特征點進行總水平力研究是不精確的，同時此結論也為類似條件下計算開孔沉箱總水平力的給出了一個新的參考。

5 結論

（1）SPH方法能夠較真實地模擬復雜的流固耦合作用過程，特別是消浪室內部粒子的相互碰撞以及波浪的回流過程。經過對比，數值計算得出的波壓力的結果與現有的理論結果比較吻合，因此，基于SPH方程的數學模型可以被用來進行波浪與開孔沉箱研究工作。

（2）在相同波浪要素條件下，消浪室后墻的波壓力隨消浪室相對寬度的增加而減小。在靜水位以上，波壓力分布基本是線性分布的，而在靜水位以下，波壓力的分布出現非線性現象。隨著消浪室寬度的增加，總水平力與其組分之間存在著同相位到明顯相位差的轉變，總水平力峰值介于消浪室前墻和后墻峰值之間，并且消浪室前墻和后墻的總水平力增大的趨勢相比消浪室內側明顯。說明總水平力并不是隨著消浪室寬度的增加一直會減小。當消浪室相對寬度B/L為0.11時，開孔沉箱總水平力出現減小趨勢。

（3）假定總水平力與相對水深d/L呈二次關系，與相對波高H/L呈一次關系，可以得出總水平力與其相關影響因素的非線性關系式，為開孔沉箱受力分析和工程設計提供了一個新的參考依據。

參考文獻（References）：

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第8篇：數值方法范文

關鍵詞：流變特性；錨噴支護；懸吊理論

1 工程概況

1.1 工程概況

高家梁井田位于鄂爾多斯萬利礦區(qū)南部，鄂爾多斯市東南約8km處，設計年產量600萬噸，是一個新開發(fā)的礦區(qū)。正在建設中的高家梁煤礦主井口底板標高1398.506m，坡度-14度，凈斷面積17.3m2、毛斷面積19.2m2；副井筒井口底板標高1398.702m，坡度-5.5度，凈斷面積 17.8m2、毛斷面積20.5m2；風井井口底板標高1398.318m，坡度-20度，凈斷面積 17.3m2、毛斷面積18.9m2。頂設計成圓拱形，凈斷面半徑為2500mm。

1.2 軟巖斜井錨噴網支護數值模擬對比分析

高家梁煤礦斜井分主、副、風井，文章以副井為研究對象進行數值模擬的對比。高家梁副井的際支護為兩幫及拱頂為錨噴網支護，底板每施工10m將泥化的砂巖清除，清除泥化砂巖的厚度為300mm，換為300mm厚片石砂漿基層，其上再澆300mm 厚C30混凝土面層。本節(jié)先擬用全斷面錨噴網支護（底板擬噴射300mm混凝土，并設置4根錨桿）進行數值模擬，與實際采用的支護方式進行對比，分析兩者的優(yōu)缺點。

1.3 全斷面錨噴網支護數值模擬

采用ADINA中的Native建模方式，計算區(qū)域左右兩側和上下兩側分別向外延伸斜井高度和跨度5倍，取50m×50m。支護結構包括噴射混凝土及錨桿。巖石以及噴射混凝土采用平面四節(jié)點等參單元，錨桿采用rebar單元。

在有限元計算中，邊界條件分為應力邊界條件和位移邊界條件，應力邊界條件在ADINA中由設置外載荷來實現，位移邊界條件由設置模型邊界約束來實現。本模型只有位移邊界條件。在水平方向上，Y向的邊界上關閉Y-Translation自由度（圖中字母C表示），以模擬遠離斜井左右的土體邊界沒有位移，垂直方向上，模型下表面邊界關閉Z-Translation自由度（圖中字母B表示），以模擬遠離斜井的深層土體沒有豎直方向的位移。

開挖分兩次開挖，第一次挖去上半部分，然后加載支護。第二次挖去下半部分，然后加載支護；噴射混凝土厚度：0.2m，底板噴射混凝土厚度為0.3m。圍巖、混凝土以及錨桿計算參數根據前文試驗測定結果，整理如表1.1所示。

將制作好的試樣放在10KN拉力材料試驗機上進行加載，并繪制拉力―變形曲線；然后根據試驗結果設計正交試驗，確定最佳配比；得出結果后，重新制作試件；然后再將試樣放在拉力材料試驗機上進行加載并分析結果。

1.4 試驗結果全斷面錨噴網支護模擬后處理分析

利用ADINA里的云圖，可以清楚的看到斜井位移及應力的變化情況，進而對支護前后斜井的變化情況進行分析。

開挖完成后會出現一定的應力集中現象，在錨桿支護完成后應力集中現象更加明顯，通過ADINA后處理導出各點的應力數值，可知支護完成后最大有效應力為6.4×106Pa左右，最大剪應力為3.5×106Pa左右，兩者均在合理變化范圍之內。

通過支護前后對比分析可知，支護結構對圍巖應變有顯著的控制作用，尤其是底板4根錨桿對豎向應變的控制非常明顯，斜井橫向應變以井口為中心，左右對稱，應變值相近，支護后橫向最大應變?yōu)?.5×10-4，豎向最大應變5.4×10-4。

錨噴網支護對斜井圍巖變形有顯著的控制作用，尤其是豎向位移，開挖完成為打錨桿前，底鼓現象比較明顯，底板進行錨噴網支護后有效的控制了底鼓，但頂板下沉控制不是很明顯，橫向位移兩幫收斂值相近，以井口為中心左右對稱。

2 數值模擬對比結果分析

軟巖斜井采用錨噴網聯合支護結構，改變了圍巖內部應力，變被動支護為主動承載，原來需要一定強度支架支撐的巖體變成了支護結構的主體，充分利用了巖體的自身強度。錨噴網是一種主動支護形式，可以有效地保證斜井的使用斷面。錨噴網支護形式具有機械化程度高、施工速度快、綜合效益好、工人勞動強度低、能充分發(fā)揮圍巖自承能力等優(yōu)點。

通過全斷面錨噴網支護與實際采用的錨噴網+混凝土支護的數值模擬對比分析可知，全斷面錨噴網支護能有效控制圍巖變形，且底板底鼓明顯減小，斜井最大位移也明顯減小，但通過現場實際檢測，錨噴網+混凝土支護能夠有效控制圍巖變形，且此支護方式要比全斷面錨噴網支護施工簡單，且節(jié)約成本。綜合考慮，采用錨噴網+混凝土的支護方法是比較理想的選擇。

3 結語

文章通過數值模擬分析對比，可知擬采用的支護措施與實際采用的支護措施各有優(yōu)缺點，擬采用的支護措施在控制圍巖的變形上比較理想，這也是實施支護的目的所在；實際采用的支護措施會造成一定的底鼓現象，但經濟效益和可推廣性較強，在能夠保證圍巖變形在控制范圍之內的基礎上，實際采用的支護方法有較大的優(yōu)勢。

參考文獻

第9篇：數值方法范文

關鍵詞：水下航行體；變水域；數值模擬計算

0 引言

本文擬通過潛艇以相同的速度由無限水域進入不同阻塞比的有限水域和以不同的速度進入同一阻塞比的有限水域兩種方法來分析在不同參數影響下潛艇進入變水域的阻力性能的規(guī)律（阻塞比β=潛艇面積/隧道面積）。通過幾組參數計算結果的對比，揭示水下航行體進入變水域阻力性能與速度和阻塞比的關系，并通過此關系驗證動網格技術對變域情況數值模擬的有效性，可作為后續(xù)導彈出筒等相似計算的方法依據。

1 基本理論與數值方法

1.1雷諾時均納維葉-斯托克斯方程

雷諾時均納維葉-斯托克斯方程和雷諾時均連續(xù)性方程：

―湍流動能生成項。其中的一些常數值如表1。

2 計算結果與分析

2.1 動網格模型

動網格區(qū)域與主體部分建模是分離的兩個部分，而它們之間的數據交換是通過在動網格的外表面區(qū)域與主體部分與動網格交界內部區(qū)域之間完成的。

2.2 計算結果分析

經過數值模擬計算，可得到如圖1數據。

從圖1計算數據分析可以得出，潛艇表面壓力在前體與后體變化比較劇烈，潛艇頭部尖點處壓力達到最大值，在前體與平行中體和后體與平行中體交接處變化最大，平行中體上壓力值基本保持不變。在潛艇進入受限域的過程中，壓力差值逐漸變大，在潛艇完全進入受限域也就是20s后壓力差達到最大值并保持穩(wěn)定。因此，后續(xù)計算數據主要以潛艇完全進入受限域后氣動性能數據為主。

2.3 阻塞比的影響

阻塞比為潛艇橫截面積與受限域橫截面積的比值。當潛艇橫截面積一定的時候，受限域橫截面積越大，阻塞比越小。阻塞比對潛艇通過受限域時的水動力效應有很大的影響。為研究阻塞比影響，分別對阻塞比為0.08、0.12和0.2的數值模型進行了模擬計算，計算結果如圖2。

在受限域內，隨著阻塞比的增大，受限域內的壓力值也增大。潛艇表面所受的壓力也隨之減小，在前體與后體不是很明顯，在平行中體上受到阻塞比的影響相對較明顯。在潛艇頭部到達受限域至潛艇完全進入受限域的時候，隨著阻塞比的增大，壓力也增大。但是在潛艇完全進入受限域后情況卻正好相反，阻塞比大的受限域潛艇表面最大壓力值反而更小。隨著阻塞比的增大，在進入受限域時潛艇阻力變化值也增大，完全進入受限域后，阻塞比對潛艇阻力的影響很小。

2.4 速度的影響

速度增大也會增大潛艇表面壓力差值，壓差值的增大會在潛艇表面產生比較大的扭矩，這對潛艇的結構安全性有很大的威脅。為研究速度對潛艇壓力的影響，分別對速度為10m/s、15m/s和20m/s的潛艇進入受限域進行了數值模擬，得到結果如3所示。

潛艇速度對潛艇所受的壓力最大值的影響特別大。隨著潛艇的速度的增大，潛艇所受壓力最大值的值也隨之明顯增大，并且潛艇受到的壓力最大值的改變幅度也隨之增大。也就是說，隨著潛艇速度的增大，潛艇在受力最大值點的壓力差值也隨之增大。潛艇的速度值越大，潛艇在無限域中受到的阻力越大，在進入受限域過程中阻力差的值也越大。

3 結論

本文基于無粘、不可壓縮流紊態(tài)流場的雷諾時均方程和k-？兩方程紊流模型模擬了潛艇通過變水域時的水動力性能，建立了潛艇-變水域水動問題數值計算模型，應用有限體積法進行求解。對水下航行體在動網格計算法下得出的水動力性能進行了分析，得出了以下結論。

（1）利用CFD軟件FLUENT建立了潛艇通過變水域的水動力學模型，并通過計算分析得出了潛艇由無限域進入受限域的水動力性能。

（2）隨著阻塞比的增大，受限域內壓力值也隨之增大，但是潛艇表面壓力值卻是隨之減小，在平行中體最明顯；潛艇表面最大壓力值的壓力差值也增大，潛艇在進入受限域過程中總阻力值的最大值與阻力差值也隨之增大，但是在無限域中和完全進入受限域后的總阻力值變化很小。