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關鍵詞：曲線運動；圓周運動；實例分析
中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）12-0245-01
1 圓周運動
課堂上這樣定義圓周運動，它是指物體沿著圓周的運動，即物體運動的軌跡是圓的運動。日常生活中，電風扇工作時葉片上的點、時鐘指針的尖端、田徑場彎道上的運動員等，都在做圓周運動?？茖W研究中，大到地球圍繞太陽的運動，小到電子圍繞原子核的運動，均是用圓周運動的規律來研究[1]。
圓周運動是以向心力為物體提供運動動力時所需要的加速度，向心力就是把運動物體拉向圓形軌跡的中心點，即改變物體運動速度的方向，也就是說正是因為向心力的存在，才迫使物體不在遵守牛頓第一定律慣性地進行直線運動。物體作圓周運動必須滿足兩個條件，一是物體具有初始速度；二是物體受到一個大小不變、方向與物體運動速度方向始終垂直并且指向圓心，即存在向心力。圓周運動分為變速圓周運動和勻速圓周運動，這里強調一點的是勻速圓周運動中速度的方向是不斷變化的，即勻速圓周運動實際上是變速運動，勻速只是速率保持不變。
2 圓周運動實例分析
2.1 火車彎道
火車轉彎時是典型的圓周運動實例，我們知道火車的車輪上有突出的輪緣，如果鐵路彎道的內外軌一樣高，外側車輪的輪緣擠壓外軌。使外軌發生彈性形變，外軌對輪緣的彈力就是火車轉彎時作圓周運動所提供的的向心力。但是，火車質量太大緣故，若內外軌高度一致，以此辦法獲得向心力會對輪緣和外軌間的相互作用力太大，鐵軌和車輪極易受損。因此，實際修建鐵路時一般會使火車的內外軌有一定的高度差，利用重力和鐵軌對物體的支持力的合力提供部分的向心力，以避免鐵軌的損壞。
若設火車的軌道間距為L，兩軌高度差為h，轉彎時半徑為r，行駛的火車質量為m，兩軌所在平面與水平面之間的夾角為θ，則火車轉彎時所需要的向心力F完全由重力mg和支持力FN的合力提供，由此達到
這個限定速度就是火車轉彎時為了避免鐵軌磨損而規定的速度，只有轉彎時小于這個速度時重力和支持力的合力大于火車所需的向心力，內軌向外軌方向擠壓內側車輪，以抵消多余部分的力使其合力等于向心力。
2.2 公路彎道
生活中的公路上轉彎處常常把道路筑成外側高、內側地，一般呈現出單向橫坡的形狀，大家了解這其中的原因嗎？汽車在公路上轉彎時可視為圓周運動，轉彎時所需的向心力是由地面對車輪的側向靜摩擦力來提供，但是由于不能使路面的粗糙程度增大從而增大摩擦力來提供向心力的緣故，人們也利用到了汽車的重力的一個分力，提供一定程度的向心力，從而使汽車順利轉彎，并且也有效保護公路的路面。若設汽車的質量為m，車輪與地面的動摩擦因數為μ，轉彎時汽車的速度為v，轉彎半徑為R，則有
從上式公式可以看出，若汽車轉彎時速度過大，靜摩擦力不足以提供向心力時，汽車將做離心運動而發生危險。日常生活中汽車轉彎的時候一般都在減速，也限制了汽車的高速行駛。所以修筑公路時，尤其是轉彎處將路面適當向內側傾斜，使汽車所受重力和路面對汽車的摩擦力的合力提供向心力，使汽車在速度較大時仍能安全轉彎[2]。
2.3 天體運動
“坐地日行八萬里”就蘊含著地球自轉，地球自轉一天走了一周相當于行走了8萬里的路程。我國發射的嫦娥一號探月衛星，在由地面發射后進入停泊軌道，再經過調速后進入地月軌道，再次調速后進入工作軌道，完成對地球的科研探測實驗。嫦娥一號探月衛星在停泊軌道和工作軌道的運動均可視為勻速圓周運動。宇宙中不同的天體每秒每分都在不停的運動，一般我們會將天體的這種運動看成是勻速圓周運動。作圓周運動的天體時的向心力由萬有引力來提供，關系式為：
另外，在地球表面或地面附近的物體所受的重力等于地球對物體的引力，即
上式在不知地球質量的情況下可用其半徑和表面的重力加速來表示，此式在天體運動問題中經常應用，稱為黃金代換。
天體每時每刻均在做圓周運動，探究這種運動的實質就是抓住萬有引力和圓周運動的兩個知識點，從而有規律可依，有方向可循。掌握好圓周運動中諸如環繞天體的線速度、角速度、周期、加速度等運動學物理量，對于我們國家發射的衛星，如嫦娥系列的探月工程，還是北斗系列的導航工程，是極其重要的。
3 結語
圓周運動的實例還有很多，像家中的鐘表、洗衣機等身邊圓周運動例子舉不盡，而且與我們現實生活聯系緊密，用熟悉的實例去聯系知識點，會給我們學習帶來莫大的幫助。我們中學生應該在課堂上學習完相P知識后，注重與生活聯系起來，用身邊的熟悉實例去解釋和總結規律，這樣讓物理學習更容易接受，更容易去理解。
參考文獻
[關鍵詞]勻速圓周運動 簡諧運動運動的合成與分解
[中圖分類號]G633.7
[文獻標識碼]A
[文章編號]1674-6058（2016）32-0071
一、實驗觀察
在勻速轉動的水平轉臺上，靠近轉臺邊緣處，固定一個不透明小球，使小球隨轉臺一起做勻速圓周運動，用一束平行光沿水平方向照射小球，將小球的運動投影到一塊豎直懸掛的幕布上，小球在幕布上投影的運動是其勻速圓周運動的一個分運動。實驗表明：小球在幕布上影子的運動是在一中心位置兩側的往復運動。下面證明它是簡諧運動。
二、一個勻速圓周運動可以分解為兩個簡諧運動
一個質量為m的質點繞0點逆時針方向做勻速圓周運動，其圓周半徑為R，運動的角速度為ω，運動軌跡如圖1所示，以質點做勻速圓周運動的圓心0為坐標原點，過圓心0和質點的初位置B的連線為x軸，過0點垂直x軸向上的方向為y軸，建立直角坐標系。經任意一段時間t，質點沿圓周從B點運動到點P（x，y），x，y分別是t時刻質點相對于0點的水平方向坐標和豎直方向坐標，連接質點和圓心0的半徑轉過的圓心角為θ=ωt，由圖1可知，質點在，z方向的坐標為：
x=Rcosωt①
③和④兩式表明，質點所受合力的水平分力與水平位移成正比，而方向總相反；質點所受合力的豎直分力與豎直位移成正比而方向總相反。因此，兩個分運動都是簡諧運動，并且兩簡諧運動的振幅A等于勻速圓周運動的半徑R；兩簡諧運動的圓頻率等于圓周運動的角速度。
三、符合一定條件的簡諧運動可以合成為一個勻速圓周運動
我們研究相反的問題，在這里我們只討論兩簡諧運動的振幅和圓頻率相等的特殊情況。一個質量為m的質點同時參與兩個分運動，兩個分運動均為簡諧運動，振幅都是A，圓頻率都是ω。選兩簡諧運動共同的平衡位置為坐標原點0，以水平向右的方向為x軸正方向，豎直向上的方向為y軸正方向建立直角坐標系。水平方向分運動的初相位是ψ1，豎直方向分運動的初相位是ψ2。從兩簡諧運動的初位置開始計時，經過任意一段時間t，質點的水平位置坐標和豎直位置坐標分別是：
關鍵詞：水平面；豎直平面；圓周運動；臨界條件
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）11-237-01
臨界條件：顧名思義就是物體由一種狀態到另一種狀態的分界點，它常常伴隨著極值出現，并在題目中出現類似于“恰好”，“剛好”，“最大”，“最小”“不超過”，“不少于”等一些字眼出現。而試題中常常遇到不明確提出臨界值而必須通過物理知識去分析臨界條件，挖掘臨界值，這對多數學生比較困難的。學生處理這類問題往往具有“似曾相識又無從下手”的毛病，僅以下本一些簡單的分類：
一、水平面內的圓周運動臨界分類
1、汽車轉彎
2、水平轉盤
A物體隨轉盤轉動并與轉盤保持相對靜止，轉盤的角速度最大不可超過vm，物體A的質量為m，距離轉軸的距離為r
只有當B達到最大靜摩擦力，也就是即將滑動后線上才會有拉力，所以此時對B有最大靜摩擦力提供向心力， 。
二、斜面上的圓周臨界問題
1、傾斜轉盤
小物塊m隨傾斜轉盤一起做勻速圓周運動，傾角為θ，角速度為w，小物塊做圓周運動的半徑為r，若小物塊始終相對于斜面靜止而不滑動，且令最大靜摩擦力等于滑動摩擦力 ，摩擦因數為μ，角速度不能超過多少：通過受力分析發現：小物塊在最低端最容易發生滑動，因此在最低點列受力分析方程解答：
2、汽車斜面轉彎
汽車在傾角為θ的傾斜路面上做勻速圓周運動，如圖所示，若要求汽車不受路面橫向的摩擦力，那么汽車過彎時的線速度應該為：由受力有不受橫向的摩擦力，此時由重力和支持力提供向心力：
三、豎直面內的圓周運動
1、汽車過橋
■ 例1 圖1為測定子彈速度的裝置，兩個薄圓盤分別安裝在同一個勻速轉動的軸上，兩圓盤面平行. 若圓盤以轉速n=3 600 r/min旋轉，子彈以垂直盤面方向射來，先打穿第一個圓盤，再打穿第二個圓盤.測得兩圓盤間距離為1 m，兩圓盤上被子彈穿過的半徑之間的夾角是15°，求子彈穿過第一個圓盤后的速度.
■ 解析 子彈在兩圓盤間飛行的時間 t=■，這段時間內圓盤轉過的角度為2kπ+■.
圓盤的角速度?棕=2kπ+■/t=2kπ+■v.
據題意ω=2π×60=120π.
v=■ m/s. （k=0，1，2，3，…）
■ 例2 質點P以O為圓心做半徑為R的勻速圓周運動，如圖2所示，周期為T. 當P經過圖中D點時，有一質量為m的另一質點Q受到力F的作用從靜止開始做勻加速直線運動. 為使P、Q兩質點在某時刻的速度相同，則F的大小應滿足什么條件？
■ 解析 速度相同包括大小相等和方向相同. 由質點P的旋轉情況可知，只有當P運動到圓周上的C點時P、Q速度方向才相同.即質點P應轉過n+■周（n=0，1，2，3…），經歷的時間
t=n+■T（n=0，1，2，3…）（1）
質點P的速度v=■（2）
在同樣的時間內，質點Q做勻加速直線運動，速度應達到v，由牛頓第二定律及速度公式得
v=■t（3）
聯立以上三式，解得：
F=■（n=0，1，2，3…）
■ 例3 如圖3所示，一圓筒水平放置，筒壁上僅有一個小孔A，現圓筒繞其水平軸勻速轉動，當小孔A轉到最高點時，一個小球在小孔A的正上方h高度處無初速釋放，為使小球順利通過圓筒的空間，不與筒壁相碰，求：
（1） 圓筒轉動的角速度.
（2） 在滿足（1）中的最小角速度時圓筒半徑是多少？
■ 解析 （1） 小球下落h高度所經歷的時間為t1，所以h=■gt21.
小球進入小孔后，對于圓筒應滿足
ωt1=2kπ+2π（k=0，1，2……）
ω=（2kπ+2π）■（k=0，1，2……）
（2） 最小角速度為：ω=2π■.
小球下落h+2R高度所經歷的時間為t2，
所以h+2R=■gt22.
小球經歷圓筒的時間為：
Δt=t2-t1=■-■.
為使小球順利通過圓筒應有：
Δt=■+kT（k=0，1，2……）
一、選擇題(本大題共10小題,每小題7分,共70分。每小題至少一個答案正確,選不全得3分)
1.(2013·臺州模擬)質量為m的木塊從半徑為R的半球形的碗口下滑到碗的最低點的過程中,如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變,那么 ()
A.因為速率不變,所以木塊的加速度為零
B.木塊下滑過程中所受的合外力越來越大
C.木塊下滑過程中所受的摩擦力大小不變
D.木塊下滑過程中的加速度大小不變,方向始終指向球心
2.如圖所示,一質點沿螺旋線自外向內運動,已知其走過的弧長s與運動時間t成正比,關于該質點的運動,下列說法正確的是 ()
A.小球運動的線速度越來越大
B.小球運動的加速度越來越小
C.小球運動的角速度越來越大
D.小球所受的合外力越來越大
3.(2013·廊坊模擬)如圖所示,光滑水平面上,小球m在拉力F作用下做勻速圓周運動。若小球運動到P點時,拉力F發生變化,關于小球運動情況的說法正確的是()
A.若拉力突然消失,小球將沿軌跡Pa做離心運動
B.若拉力突然變小,小球將沿軌跡Pa做離心運動
C.若拉力突然變大,小球將沿軌跡Pb做離心運動
D.若拉力突然變小,小球將沿軌跡Pc運動
4.質量不計的輕質彈性桿P插在桌面上,桿端套有一個質量為m的小球,今使小球沿水平方向做半徑為R的勻速圓周運動,角速度為ω,如圖所示,則桿的上端受到的作用力大小為 ()
A.mω2R B.
C. D.不能確定
5.(2013·連云港模擬)如圖所示,質量為m的小球在豎直平面內的光滑圓環軌道上做圓周運動。圓環半徑為R,小球經過圓環點時剛好不脫離圓環,則其通過點時()
A.小球對圓環的壓力大小等于mg
B.小球受到的向心力等于0
C.小球的線速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
6.如圖是自行車傳動結構的示意圖,其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪,Ⅱ是半徑為r2的小齒輪,Ⅲ是半徑為r3的后輪,假設腳踏板的轉速為n,則自行車前進的速度為 ()
A. B. C. D.
7.如圖所示,在勻速轉動的水平盤上,沿半徑方向放著用細線相連的質量相等的兩個物體A和B,它們與盤間的動摩擦因數相同,當圓盤轉速加快到兩物體剛要發生滑動時,燒斷細線,則 ()
A.兩物體均沿切線方向滑動
B.物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,同時所受摩擦力減小
C.兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,不會發生滑動
D.物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,物體A發生滑動,離圓盤圓心越來越遠
8.(2013·咸陽模擬)2011年1月11日,我國“殲20”在成都實現首飛,歷時18分鐘,這標志著我國隱形戰斗機的研制已達到新的水平。如圖所示,“殲20”在豎直平面內做橫“8”字形飛行表演,其飛行軌跡1234561,如果飛機的軌跡可以視為兩個相切的等圓,且飛行速率恒定,在A、B、C、D四個位置時飛行座椅或保險帶對飛行員的作用力分別為FNA、FNB、FNC、FND,那么以下關于這四個力的大小關系說法正確的是 ()
A.FNA=FNBFNC=FND
C.FNC>FNA=FNB>FND D.FND>FNA=FNB>FNC
9.如圖所示,用一連接體一端與一小球相連,繞過O點的水平軸在豎直平面內做圓周運動,設軌道半徑為r,圖中P、Q兩點分別表示小球軌道的點和最低點,則以下說法正確的是()
A.若連接體是輕質細繩時,小球到達P點的速度可以為零
B.若連接體是輕質細桿時,小球到達P點的速度可以為零
C.若連接體是輕質細繩時,小球在P點受到細繩的拉力不可能為零
D.若連接體是輕質細桿時,小球在P點受到細桿的作用力為拉力,在Q點受到細桿的作用力為推力
10.(2013·玉林模擬)質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質木架上的A點和C點,如圖所示,當輕質木架繞軸BC以角速度ω勻速轉動時,小球在水平面內做勻速圓周運動,繩a在豎直方向,繩b在水平方向,當小球運動到圖示位置時,繩b被燒斷的同時木架停止轉動,則下列說法不正確的是 ()
A.小球仍在水平面內做勻速圓周運動
B.在繩b被燒斷瞬間,繩a中張力突然增大
C.若角速度ω較小,小球可在垂直于平面ABC的豎直平面內擺動
D.若角速度ω較大,小球可在垂直于平面ABC的豎直平面內做圓周運動
二、計算題(本大題共2小題,共30分。要有必要的文字說明和解題步驟,有數值計算的要注明單位)
11.(2013·廣州模擬)(14分)有一長為L的細線,細線的一端固定在O點,另一端拴一質量為m的小球,現使小球恰好能在豎直面內做完整的圓周運動。已知水平地面上的C點位于O點正下方,且到O點的距離為1.9L。不計空氣阻力。
(1)求小球通過點A時的速度vA;
(2)若小球通過最低點B時,細線對小球的拉力FT恰好為小球重力的6倍,且小球經過B點的瞬間讓細線斷裂,求小球落地點到C點的距離。
12.(能力挑戰題)(16分)一根長0.1m的細線,一端系著一個質量為0.18 kg的小球,拉住線的另一端,使小球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運動,使小球的轉速很緩慢地增加,當小球的轉速增加到開始時轉速的3倍時,細線斷開,線斷開前的瞬間線受到的拉力比開始時大40 N,求:
(1)線斷開前的瞬間,線受到的拉力大小;
(2)線斷開的瞬間,小球運動的線速度大小;
(3)如果小球離開桌面時,速度方向與桌邊緣的夾角為60°,桌面高出地面0.8 m,求小球飛出后的落地點距桌邊緣的水平距離。
參考答案及解析
1.【解析】選D。由于木塊沿圓弧下滑速率不變,故木塊做勻速圓周運動,存在向心加速度,選項A錯誤;由牛頓第二定律得:F合=ma=m,而v的大小不變,故合外力的大小不變,選項B錯誤;由于木塊在滑動過程中與接觸面的正壓力是變化的,故滑動摩擦力在變化,選項C錯誤;木塊在下滑過程中,速度的大小不變,所以向心加速度的大小不變,方向始終指向圓心,選項D正確。
2.【解析】選C、D。由于質點走過的弧長s與運動時間t成正比,質點運動的線速度大小不變,選項A錯誤;由于螺旋線的曲率半徑r越來越小,由向心加速度公式a=可知向心加速度越來越大,所受合外力越來越大,選項B錯誤、D正確;由角速度公式ω=可知角速度越來越大,選項C正確。
3.【解析】選A。若拉力突然消失,則小球沿著P點處的切線做勻速直線運動,選項A正確;若拉力突然變小,則小球做離心運動,但由于力與速度有一定的夾角,故小球做曲線運動,選項B、D錯誤;若拉力突然變大,則小球做近心運動,不會沿軌跡Pb做離心運動,選項C錯誤。
4.【解析】選C。小球受重力和桿的作用力如圖所示:
小球做勻速圓周運動,由牛頓第二定律得:F向=mω2R,故F==,選項C正確。
5.【解析】選C、D。小球在點時剛好不脫離圓環,則圓環剛好對小球沒有作
用力,小球只受重力,重力豎直向下提供向心力,選項A、B錯誤;根據牛頓第二定律得mg=ma,解得小球的向心加速度大小為a=g,選項D正確;由a=得v=,選項C正確。
6.【解析】選C。前進速度即為Ⅲ輪的線速度,由同一個輪上的角速度相等,同一皮帶傳動的兩輪邊緣的線速度相等可得ω1r1=ω2r2,ω3=ω2,再有ω1=2πn,v=
ω3r3,所以v=,選項C正確。
【總結提升】傳動問題的解題技巧
(1)明確皮帶傳動和輪軸的特點。
(2)清楚線速度、角速度、向心加速度與半徑的關系,從而能熟練地運用在線速度或角速度相等時,角速度、線速度、加速度與半徑的比值關系。
(3)同轉軸上各點ω相同,而線速度v=ωr與半徑成正比。
(4)不考慮皮帶打滑的情況,兩輪邊緣的各點線速度大小相等,而角速度ω=與半徑成反比。另外,由v、T、f、ω之間的關系,向心加速度的表達式an==ω2r=ωv=r=4π2f2r,在應用時,要結合已知條件靈活運用。
7.【解析】選B、D。當圓盤轉速加快到兩物體剛要發生滑動時,A物體靠細線的拉力與圓盤的靜摩擦力的合力提供向心力做勻速圓周運動,所以燒斷細線后,A所受靜摩擦力不足以提供其做圓周運動所需要的向心力,A要發生相對滑動,但是B仍保持相對圓盤靜止狀態,故A、C選項錯誤,D選項正確;而且由于沒有了細線的拉力,B受靜摩擦力減小,B選項正確。
8.【解析】選A。飛機在A點和B點時受力情況相同,即FNA=FNB,在A點對飛行員由牛頓第二定律得FNA+mg=m,解得FNA=m-mg;飛機在C點和D點時受力情況相同,即FNC=FND,在C點對飛行員由牛頓第二定律得FNC-mg=m,解得FNC=m+mg,故
FNA=FNB,細桿的作用力為拉力,如果v<,細桿的作用力為推力,小球在最低點Q時受到細桿的拉力作用,選項D錯誤。
【變式備選】小明同學在學習中勤于思考,并且善于動手,在學習了圓周運動知識后,他自制了一個玩具,如圖所示,用長為r的細桿粘住一個質量為m的小球,使之繞另一端O在豎直平面內做圓周運動,小球運動到點時的速度v=,在這點時 ()
A.小球對細桿的拉力是
B.小球對細桿的壓力是
C.小球對細桿的拉力是mg
D.小球對細桿的壓力是mg
【解析】選B。解法一:在點時,若細桿對小球沒有彈力作用,則有mg=,得v0=。由于v=Fa,選項A錯誤、B正確;當ω比較小時,小球不能擺過AB所在高度,選項C正確;當ω足夠大時,小球在豎直面內能通過AB上方點,從而做圓周運動,選項D正確。
11.【解析】(1)小球恰好能做完整的圓周運動,則小球通過A點時細線的拉力剛好為零,根據向心力公式有:
mg=m, (2分)
解得:vA=。 (2分)
(2)小球在B點時根據牛頓第二定律有:
FT-mg=m, (2分)
其中FT=6mg。
解得小球在B點的速度大小為vB=。 (2分)
細線斷裂后,小球從B點開始做平拋運動,則由平拋運動的規律得:
豎直方向上1.9L-L=gt2, (2分)
水平方向上x=vBt, (2分)
解得:x=3L?！?(2分)
即小球落地點到C點的距離為3L。
答案：(1) (2)3L
12.【解題指南】分別列出小球所需向心力的表達式,再利用題中給出的條件,可求出線的拉力及小球的線速度大小,小球離開桌面之后做平拋運動,根據平拋運
動知識及方向關系可求出結果。
【解析】(1)線的拉力提供小球做圓周運動的向心力,設開始時角速度為ω0,向心
力為F0,線斷開的瞬間,角速度為ω,線的拉力為FT。
F0=mR ①(2分)
FT=mω2R ②(2分)
由①②得== ③(1分)
又因為FT=F0+40N ④(2分)
由③④得FT=45N (1分)
(2)設線斷開時小球的線速度大小為v,
由FT=得,
v==m/s=5 m/s (3分)
(3)設桌面高度為h,小球落地經歷時間為t,落地點與飛出桌面點的距離為x。
由h=gt2得t==0.4s (2分)
x=vt=2m (2分)
則小球飛出后的落地點到桌邊緣的水平距離為
質量為4 g的橡膠球，質量為20 g的螺母，空心舊筆桿，不易伸長的細繩.將細繩穿過筆桿，一頭拴緊橡膠球，另一頭拴住螺母，如圖1所示.
2 實驗
（1）感受圓周運動的向心力
手握筆桿，橡膠球在上，螺母朝下，豎直放置.由于螺母的重力大，橡膠球會被細繩拉至筆桿上端.緩慢轉動筆桿，逐漸加速，螺母會被做圓周運動的橡膠球拉起.穩定后，橡膠球在水平面內做勻速圓周運動，螺母懸空靜止，情形如圖2所示.學生一般會驚嘆于做圓周運動的橡膠球，能拉起質量是自身質量4倍的螺母，同時更感受到了物體做圓周運動時需要向心力.
（2）體驗離心現象
待1實驗現象穩定后，增加轉速，橡膠球做圓周運動的半徑逐漸增加，出現離心現象.
（3）體驗向心現象
待1實驗現象穩定后，減小轉速，橡膠球做圓周運動的半徑逐漸減小，出現向心現象.
綜上所述，利用上述簡單的裝置，對比橡膠球處于靜止狀態、穩定的勻速圓周狀態、加速狀態、減速狀態，學生可以體驗物體做圓周運動需要向心力，并可以通過探究，歸納總結出物體做離心和向心運動的條件.
3 實驗分析
在以下的分析與討論中，均不計空氣阻力.
3.1 橡膠球為什么能拉起螺母
設橡膠球在水平面內做勻速圓周運動，對橡膠球和螺母做受力分析，如圖3所示.用T1表示細繩對橡膠球的拉力大小，T2表示細繩對螺母的拉力大小，f為筆筒與細繩間的最大靜摩擦 力大小，mg和Mg分別表示橡膠球和螺母的重力大小.由圖可知T1的豎直分力平衡橡膠球的重力mg，T1的水平分力提供橡膠球做圓周運動的向心力，且T1>mg.可以看出，橡膠球做圓周運動時，細繩對橡膠球的拉力大于橡膠球的重力.當T1>Mg+f時，質量為橡膠球4倍的螺母將被拉起.當Mg-f≤T1≤Mg+f時，整個裝置能處于穩定的狀態，螺母懸空靜止，橡膠球在水平面內做勻速圓周運動.
3.2 橡膠球做離心和向心運動的討論
當橡膠球由勻速圓周狀態開始加速時，根據向心力公式F=mv2r，小球需要的向心力增加.此時T1的水平分力不足以提供橡膠球做圓周運動所需要的向心力，細繩與水平方向的夾角會減小，橡膠球會上升，橡膠球與筆桿間距離會增加，橡膠球就會做離心運動.這樣T1會變大，當T1>Mg+f時，T2>Mg，螺母會上升，橡膠球與筆桿之間的細繩會變長.
反之，當橡膠球減速時，小球需要的向心力減小.此時T1的水平分力大于提供橡膠球做圓周運動所需要的向心力，細繩與水平方向的夾角會增加，橡膠球會下降，橡膠球與筆桿間距離會減小，橡膠球就會做向心運動.這樣T1會變小，當T1
4 教學建議
（1）本實驗設備簡單，取材方便，橡膠球和螺母可以用其他器材代替，建議做成學生實驗，用于圓周運動的相關教學和實驗探究.
解題的一般步驟為：確定研究對象，對物體進行受力分析并確定它所受的合外力（在勻速圓周運動中合外力方向指向圓心），根據合外力F提供所需的向心力（mrω2或m）列等式解題．
（一）火車拐彎
如圖所示，如果火車轉彎處內外軌無高度差，火車行駛到此處時，由于火車慣性的緣故，會造成外軌內側與火車外輪的輪緣相互擠壓現象，使火車受到外軌內側的側壓力作用．迫使火車轉彎做圓周運動．但是這個側壓力的反作用力，作用在外軌上會對外軌產生極大的破壞作用，甚至會引起外軌變形，造成翻車事故．
其實火車轉彎的向心力并不是側壓力提供的，那么是什么力作為向心力的呢？如圖所示，在轉彎處使外軌略高于內軌，火車駛過轉彎處時，鐵軌對火車的支持力FN的方向不再是豎直的，而是斜向彎道內側，它與重力G的合力指向圓心，成為使火車轉彎的向心力．
設內外軌間的距離為L，內外軌的高度差為h，火車轉彎的半徑為R，火車轉彎的規定速度為υ0．如圖所示力的三角形得向心力為F=mgtanα≈mgsinα=mg．
由牛頓第二定律得：
F=m所以mg==m
即火車轉彎的規定速度υ0=
討論（1）當火車行駛速率υ等于規定速度υ0時，F=Fn，內、外軌道對輪緣都沒有側壓力．
（2）當火車行駛速度υ大于規定速度υ0時，F
（3）當火車行駛速度υ小于規定速度υ0時，F>Fn，內軌道對輪緣有側壓力．
【例】如圖所示，公路轉彎處路面跟水平面之間的傾角α=14°，彎道半徑R=40 m．
（1）汽車轉彎時規定速度應是多大？
（2）如果汽車轉彎的時候超過或不到這個速度會怎么樣？
【解析】汽車平穩轉彎時受到三個力作用，重力mg，內外兩輪受到地面的支持力F1、F2．
（1）在豎直方向上由力的平衡條件得：（F1+F2）cosα=mg
設汽車轉彎時的規定速度為υ，在水平方向上由牛頓第二定律得：（F1+F2）sinα=
所以υ===10（m/s）
（2）當汽車超過規定速度時，由于慣性，汽車有離心傾向，這時，地面對汽車有沿斜面向下的摩擦力，使汽車需要的向心力增大．同時，內輪受到的支持力F1減小．若摩擦力可以足夠大，則當F1=0時，汽車向外傾倒．若需要的向心力超過最大靜摩擦力時，汽車向外滑動．
當汽車達不到規定的速度時，汽車有向下滑的傾向，地面對車輪有沿斜面向上的摩擦力，同時，內輪受到的壓力F1增大．
對于由重力和彈力的合力提供向心力的這一類題型的問題，首先要確定物體做圓周運動的軌跡平面，確定出向心力的方向，沿此方向進行正交分解，根據牛頓第二定律列方程求解即可．
（二）豎直平面內的圓周運動
在豎直平面內的圓周運動，通常所遇到的例子為從物體所受的約束來看有：（1）用繩子系小球；（2）用輕桿固定小球；（3）讓小球沿豎直平面內固定圓軌道內側（或外側）運動．雖然在豎直平面內的圓周運動一般不是勻速圓周運動．但物體經最高點或最低點時，所受的重力與約束力（繩或桿或軌道對物體的彈力）的合力指向圓心，提供向心力．
1．在豎直平面內圓周運動能經過最高點的臨界條件：
（1）用繩系小球或小球沿軌道內側運動，恰能經最高點時，如圖（a）和（b）所示．滿足FN=0，重力提供向心力mg=m得臨界速度υ=
當小球速度υ≥υ0時才能經過最高點．
（2）用桿固定小球使球繞桿另一端做圓周運動經最高點時，如圖所示，由于小球所受的重力可以由桿給它的向上支持力來平衡．所以由mg-FN=m=0．得臨界速度υ0=0
當小球速度υ≥υ0時，就可經過最高點．
（3）小球在圓軌道外側經最高點時如圖所示，mg-FN=m當FN=0時得臨界速度υ0=
當小球速度υ≤υ0時，才能沿軌道外側經過最高點．
【例】如圖所示，用細繩拴著質量為m的物體，在豎直平面內做圓周運動，圓周半徑為R則下列說法正確的是（ ）
A．小球過最高點時，繩子張力可以為零
B．小球過最高點時的最小速度為零
C．小球剛好過最高點時的速度是
D．小球過最高點時，繩子對小球的作用力可以與球所受的重力方向相反
【解析】小球在最高點時，受重力mg、繩子豎直向下的拉力F（注意：繩子不能產生豎直向上的支持力）．
向心力為Fn=mg+F
根據牛頓第二定律得mg+F=m
可見，υ越大時，F越大，υ越小時，F越小
當F=0時，Fn=mg=m得υ最小=
討論：（1）υ很小時，可保證小球通過最高點，但F很小．
（2）當υ很小并趨近于零時，則m很小并趨近于零，由于重力一定，重力大于小球所需向心力，小球偏向圓心方向，不能達到最高點，在到最高點之前已做斜拋運動離開圓軌道．
（3）當υ=時，F=0，即剛好通過．
所以，正確選項為A、C．
【例】如圖所示，上例中，把繩子換成細桿時，又是哪個答案正確？
【解析】小球在最高點受重力mg，桿對球作用力為F，取指向圓心方向為正向，
向心力為Fn=mg+F
根據牛頓第二定律得mg+F=m
所以m-mg
討論：（1）當υ很大時，F > 0，即桿對球產生拉力；
（2）當υ很小時，F為負值，即桿對球產生支持力，當υ為零時，F=-mg，小球剛好通過最高點；
（3）當υ=時，F=0
正確選項為A、B、D．
由桿連接的小球，由于桿既可以提供拉力又可以是供壓力，故求作用力時應先利用臨界條件判斷力的方向，或先假設力朝某一方向，然后根據所求結果決斷其有無及方向．
2．汽車過拱橋或凹橋
以汽車為研究對象，它經拱橋最高點或凹橋最低點的受力情況如圖（a）、（b）所示．
（1）經凸橋最高點時，mg-FN=mFN=mg-
當υ=時，汽車對橋面無壓力．
（2）經凹橋最低點時，FN-mg=mFN=mg+>mg由牛頓第三定律可知，汽車對橋面壓力大于汽車的重力．
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關鍵詞：圓周運動;速度方向;廢舊筆芯;實驗裝置
中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）1-0058-1
在高一年級有關曲線運動的教學中，對于圓周運動的方向，教師常常以說現象（如砂輪打磨物體產生的火星、飛出的鏈球、由轉動的雨傘邊緣飛出的雨滴等）代替演示實驗，過于抽象化的教學很難達到預期的效果，導致學生只知其然，而不知其所以然。筆者利用廢舊圓珠筆芯制作了“圓周運動的速度方向”的演示裝置，省時、省事，而且效果極佳。
1 實驗器材
廢舊圓珠筆芯兩支（帶橡膠筆芯帽），清水，暗色桌面。
2 裝置制作
1）將一支筆芯a剪去筆頭，中間穿孔。
2）將橡膠筆芯帽剪成小塊，填充到筆芯兩端。
3）將另一支筆芯b的筆頭穿過筆芯a的中間小孔（如圖1）。
圖1 用廢舊筆芯制作的實驗裝置
3 實驗方法與效果顯示
1）用手堵住筆芯中間小孔，從杯中吸入適量水。
2）裝置如圖1方式放置，用手轉動筆芯（或轉動筆芯）。
3）實驗效果如圖2所示，說明圓周運動的某點速度方向為沿該點的切線方向。
圖2 實驗過程及效果的照片
4 設計評價與反思
此實驗所用的器材簡單，制作方便，效果明顯，既可以滿足教師演示實驗，也能夠實現學生分組實驗。實驗中利用橡膠筆芯帽是為了控制水的流量和速度，防止因水流過大而影響實驗效果。
參考文獻：
[1]施朝群.用玩具小車演示曲線運動的速度方向[J].物理教師，2012，（1）：32.
一 臨界問題的分析方法：
1．"繩模型" 沒有物體支撐的小球，如圖所示，小球在豎直平面內做圓周運動過最高點情況。（注意：繩對小球只能產生拉力）
①臨界速度 ：v0小球運動在最高點時，受的重力和彈力方向都向下，當彈力等于零時，向心力最小，僅由重力提供．由牛頓運動定律知 mg=mv2R，得小球過圓周軌道最高點的臨界速度為v0=gR，它是小球能過圓周最高點的最小速度．
②當 mggR小球能過圓周的最高點，此時繩和軌道分別對小球產生拉力和壓力．
③當mg>m v2R，即v
小結：對于繩類模型（1）小球能過最高點的臨界條件：繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用mg =mv2RV臨界=Rg
（2）小球能過最高點條件：v≥Rg（當v >Rg 時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力）
（3）不能過最高點條件：v
2．"桿模型"如圖所示，小球在豎直平面內做圓周運動過最高點情況（注意：輕桿和細線不同，輕桿對小球既能產生拉力，又能產生推力。）
①臨界速度v0：由于輕桿或管狀軌道對小球有支撐作用，因此小球在最高點的速度可以為零，不存在"掉下來"的情況．小球恰能達到最高點的臨界速度v0=0．
②小球過最高點時，所受彈力情況：
A．小球到達最高點的速度v=0，此時輕桿或管狀軌道對小球的彈力N=mg．
B．當小球的實際速度v>gR時，產生離心趨勢，要維持小球的圓周運動，彈力方向應向下指向圓心，即輕桿對小球產生豎直向下的拉力，管狀軌道對小球產生豎直向下的壓力，因此 FN=mv2R-mg，所以彈力的大小隨v的增大而增大，且mv2R> FN>0．
C．當00.可以看出v=gR 是輕桿（或管狀軌道）對小球有無彈力和彈力方向向上還是向下的臨界速度．
小結：桿類模型：（1）小球能最高點的臨界條件：v = 0，F = mg（F為支持力）
（2）當0< v F > 0（F為支持力）
（3）當v = Rg時，F=0
（4）當v >Rg 時，F隨v增大而增大，且F >0（F為拉力）
例題分析：如圖所示，細桿的一端與小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉動，現給小球一初速度，使它做圓周運動，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球的作用力可能是 （ ）
A．a處為拉力，b處為拉力 B．a處為拉力，b處為推力