雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程精選(九篇)

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第1篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

隨著“微”概念的流行，以及“翻轉(zhuǎn)課堂”和可汗學(xué)院教學(xué)模式在全球的迅速傳播，“微課”成為教育界關(guān)注的熱點(diǎn)話(huà)題，并在教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用.在國(guó)內(nèi)，最早提出“微課”概念的是廣東省佛山市教育局的胡鐵生.隨著國(guó)內(nèi)外微課實(shí)踐的不斷豐富和相關(guān)研究的逐步深化，微課的概念在不斷的發(fā)展和改進(jìn)，許多學(xué)者和教育工作者都提出來(lái)自己的看法.目前國(guó)內(nèi)對(duì)“微課”概念的界定還未達(dá)成共識(shí).

一般認(rèn)為，“微課”是指按照新課程標(biāo)準(zhǔn)及教學(xué)實(shí)踐要求，以視頻為主要載體，記錄教師在課堂內(nèi)外教育教學(xué)過(guò)程中圍繞某個(gè)知識(shí)點(diǎn)（重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)）或教學(xué)環(huán)節(jié)而開(kāi)展的精彩教與學(xué)活動(dòng)全過(guò)程[1].

“微課”的核心組成內(nèi)容是課堂教學(xué)視頻（課例片段），同時(shí)還包含與該教學(xué)主題相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、素材課件、教學(xué)反思、練習(xí)測(cè)試及學(xué)生反饋、教師點(diǎn)評(píng)等輔教學(xué)資源，它們以一定的組織關(guān)系和呈現(xiàn)方式共同“營(yíng)造”了一個(gè)半結(jié)構(gòu)化、主題式的資源單元應(yīng)用“小環(huán)境”[2].

根據(jù)以上分析，筆者對(duì)微課的再認(rèn)識(shí)有以下幾點(diǎn)：

（1）“微課”不同于傳統(tǒng)的單一資源類(lèi)型的教學(xué)課例、教學(xué)設(shè)計(jì)，是在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的新型的教學(xué)資源.微課可以用在課前、課中，課后，在教學(xué)環(huán)節(jié)中使用靈活，是教學(xué)環(huán)節(jié)的一部分.

（2）微課的時(shí)間一般5～10分鐘，時(shí)間簡(jiǎn)短而內(nèi)容精要，但絕不是一節(jié)課的縮影，是針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或是某節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)展開(kāi)，內(nèi)容選擇不宜過(guò)大.

（3）微課的應(yīng)用，使教學(xué)時(shí)間與空間得到拓展，既能提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性又能促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí).

2 基于微課的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

微課在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)揮著重要的作用，下面以人教B版普通高中數(shù)學(xué)選修2-1《雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程》為例，給出以微課作為課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)重要載體的教學(xué)設(shè)計(jì).

（1）目標(biāo)分析

學(xué)生在課前通過(guò)觀看微課視頻，復(fù)習(xí)橢圓的相關(guān)知識(shí)，并在視頻的引導(dǎo)下，運(yùn)用類(lèi)比的思想自主思考得到雙曲線(xiàn)的定義，深刻理解雙曲線(xiàn)的概念.進(jìn)一步在課上小組合作、自主探究推導(dǎo)得出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.通過(guò)探索活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)問(wèn)題.

（2）教學(xué)素材的準(zhǔn)備

課前給學(xué)生關(guān)于復(fù)習(xí)橢圓的定義與方程、類(lèi)比推導(dǎo)雙曲線(xiàn)的微視頻以及自學(xué)報(bào)告單，幾何畫(huà)板，動(dòng)態(tài)演示雙曲線(xiàn)的圖像.

（3）教學(xué)理念的準(zhǔn)備

結(jié)合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論以及思維“最近發(fā)展區(qū)”理論，開(kāi)展課堂教學(xué).在類(lèi)比橢圓的過(guò)程中，讓學(xué)生去感受、理解雙曲線(xiàn)的概念，學(xué)生往往能深刻的理解雙曲線(xiàn)的本質(zhì).同時(shí)，前后知識(shí)也能很好的連貫起來(lái).本次微課雖然時(shí)間短暫，但是仍提供大量的時(shí)間給學(xué)生探索、體驗(yàn)、思考、整合，在盡可能短的時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生體會(huì)雙曲線(xiàn)的形成過(guò)程.

（4）微視頻、自學(xué)報(bào)告單設(shè)計(jì)分析

2.1 微視頻

將《雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容做成PPT，回顧橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，用實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得雙曲線(xiàn)的定義制作成微視頻.

①溫故知新

教師用PPT呈現(xiàn)如下三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：橢圓的定義是什么？

問(wèn)題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

問(wèn)題3：如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

要求學(xué)生將問(wèn)題1、2的答案寫(xiě)在自學(xué)報(bào)告單上，并思考問(wèn)題3.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)回顧，既檢測(cè)了學(xué)生對(duì)橢圓知識(shí)的掌握情況，同時(shí)又為下面雙曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，導(dǎo)入新課.

②實(shí)驗(yàn)探究

師：數(shù)學(xué)家歐拉曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)”.下面我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)研究問(wèn)題3：

實(shí)驗(yàn)用品：大頭釘 2 個(gè)，一條拉鏈，筆，剪刀

實(shí)驗(yàn)步驟：

1.取一條拉鏈，拉開(kāi)一部分，將其中一支拉鏈剪短（保證了距離之差為定值）；

2.將拉鏈的兩端固定在兩個(gè)大頭釘上；

3.筆尖P放在拉鏈的拉頭處，并隨著拉頭移動(dòng).

實(shí)驗(yàn)一：慢慢將拉鏈拉開(kāi)，筆尖在板上慢慢移動(dòng)，看形成的圖形，思考作圖過(guò)程.

在圖形的形成過(guò)程中，兩個(gè)大頭釘間的距離是變化還是不變的？

在畫(huà)圖形的過(guò)程中，筆尖與兩個(gè)大頭釘間距離大小有怎樣的關(guān)系？

實(shí)驗(yàn)二：將兩個(gè)長(zhǎng)短拉鏈的固定位置互換，再慢慢將拉鏈拉開(kāi)，筆尖在板上慢慢移動(dòng)，看形成的圖形，思考作圖過(guò)程.

教師通過(guò)幾何畫(huà)板形象展示雙曲線(xiàn)的形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納雙曲線(xiàn)的定義.

我們可以歸納出雙曲線(xiàn)定義應(yīng)包含下列要素：

由于剪掉的拉鏈長(zhǎng)度是固定的，所以點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值是個(gè)定值；

點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值要小于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離.

③類(lèi)比橢圓的定義，我??可以得到雙曲線(xiàn)的定義：

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于|F1F2|，且不等于0）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離2c叫做雙曲線(xiàn)的焦距.

為了進(jìn)一步幫助學(xué)生理解概念，把握平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡、距離差的絕對(duì)值為常數(shù) 、常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0等重要特征，教師設(shè)置兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：類(lèi)比橢圓，尋找雙曲線(xiàn)定義中的關(guān)鍵字

問(wèn)題2：若分別去掉這幾個(gè)關(guān)鍵字曲線(xiàn)會(huì)發(fā)生怎樣變化？

特殊情形：

若常數(shù)2a=0，軌跡為線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)；若常數(shù)2a>|F1F2|， 此時(shí)軌跡不存在；若常數(shù)2a=|F1F2|，此時(shí)軌跡為以F1或F2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；若去掉絕對(duì)值，則表示雙曲線(xiàn)的一支.

④自主練習(xí)

學(xué)習(xí)了橢圓的定義讓我們來(lái)解決下面的問(wèn)題：

問(wèn)題1 到點(diǎn)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差的絕對(duì)值為6的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

答：點(diǎn)P滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義，是雙曲線(xiàn).

問(wèn)題2 到點(diǎn)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差為6的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

答：點(diǎn)P的軌跡雙曲線(xiàn)的一支

問(wèn)題3 到點(diǎn)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差為8的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

答：點(diǎn)P的軌跡為以F1或F2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)

問(wèn)題4 到點(diǎn)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差為10的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

答：點(diǎn)P的軌跡不存在.

⑤小結(jié)：

2.2 自學(xué)報(bào)告單

（6）教學(xué)過(guò)程

教師批改自學(xué)報(bào)告單，及時(shí)了解學(xué)生掌握知識(shí)的情況.進(jìn)行二次備課，適當(dāng)調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì).

①開(kāi)門(mén)見(jiàn)山 直入主題

師：同學(xué)們看微課了嗎？今天我們要學(xué)習(xí)什么知識(shí)？――雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程（板書(shū)）

師：雙曲線(xiàn)的定義是什么？

生： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于|F1F2|，且不等于0）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離2c叫做雙曲線(xiàn)的焦距.

②小組交流 辨析重點(diǎn)

小組內(nèi)，互相批改自學(xué)報(bào)告單中的自主練習(xí)，互相辨析有不同答案的題目.

通過(guò)教師提問(wèn)、小組交流的方式，教師能夠了解學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)概念的掌握情況.

③小組匯報(bào) 落實(shí)重點(diǎn)

教師根據(jù)學(xué)生的小組學(xué)習(xí)情況開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，重點(diǎn)針對(duì)學(xué)生在微課學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題，及時(shí)點(diǎn)撥，進(jìn)一步深化?λ?曲線(xiàn)概念的理解.

④自主探究 合作交流

利用微課解決雙曲線(xiàn)概念理解的難點(diǎn)后，接著進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué).

教師設(shè)置問(wèn)題：

問(wèn)題1 回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法；

問(wèn)題2 類(lèi)比橢圓試著推導(dǎo)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

問(wèn)題3 換元處理與橢圓有沒(méi)有區(qū)別？

問(wèn)題4 猜證雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法：①建系；②設(shè)點(diǎn)；③列式；④化簡(jiǎn)

小組合作交流在教師的引導(dǎo)下，認(rèn)真思考教師設(shè)置的問(wèn)題，類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，嘗試完成雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究、合作推導(dǎo)出雙曲線(xiàn)的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，加深學(xué)生對(duì)類(lèi)比思想的應(yīng)用，提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

師：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)方程的兩種形式進(jìn)行比較，強(qiáng)調(diào)雙曲線(xiàn)方程的特點(diǎn)與判斷焦點(diǎn)位置的方法

生：認(rèn)真觀察雙曲線(xiàn)的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)小組討論、比較，歸納雙曲線(xiàn)方程特點(diǎn)，以及如何判斷焦點(diǎn)的位置

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組交流、合作探索，讓學(xué)生各抒已見(jiàn)，暢所欲言，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)成功的快樂(lè).

⑤雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)在x軸 標(biāo)準(zhǔn)方程：x2a2-y2b2=1

焦點(diǎn)在y軸 標(biāo)準(zhǔn)方程：y2a2-x2b2=1

注意：

雙曲線(xiàn)方程特點(diǎn)：

① 方程中x2 ，y2的系數(shù)異號(hào)；②a>0，b>0，c2=a2+b2但a，b大小不確定.

判斷焦點(diǎn)位置：

如果x2的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在y軸上.

⑥例題精講 簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1 已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn) F1（-5，0）， F2（5，0），雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例2 已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-6），經(jīng)過(guò)A（-5，6），求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例3 已知A，B兩地相距800m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.

前兩道例題由學(xué)生講解，教師指導(dǎo)補(bǔ)充.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例3進(jìn)行分析，詳細(xì)講解求解過(guò)程.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)精講例題，鞏固所學(xué)，幫助學(xué)生掌握求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法：定義法與待定系數(shù)法，以及雙曲線(xiàn)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

⑦歸納總結(jié) 思維提升

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己來(lái)歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生自我檢查、自我小結(jié)的良好習(xí)慣，將知識(shí)進(jìn)行整理并系統(tǒng)化.

⑧分層作業(yè) 鞏固落實(shí)

【設(shè)計(jì)意圖】布置作業(yè)，進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí).作業(yè)中分為必做題與選做題，實(shí)施分層教學(xué)，滿(mǎn)足不同學(xué)生的不同需要.

3 幾點(diǎn)啟示

本次微課給出的是雙曲線(xiàn)的概念，是一次概念教學(xué)課.基于本次微課的教學(xué)，為進(jìn)一步提高微課的教學(xué)質(zhì)量，筆者得到以下幾點(diǎn)啟示：

（1）微課教學(xué)要合理選題，切題迅速

微課的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在“微”，這個(gè)“微”字，一是指時(shí)間簡(jiǎn)短，二是指只是針對(duì)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某些例題.因此，并不是所有的課都適合微課教學(xué)，要合理選題；同時(shí)，內(nèi)容選擇上范圍不宜過(guò)大.此外，微課教學(xué)中要處理好“微”還需做到切題要快，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，切題迅速，選擇與所講內(nèi)容緊密相關(guān)的知識(shí)，主題突出，這樣才會(huì)有時(shí)間講解重點(diǎn)內(nèi)容.

（2）微課是一個(gè)完整的教學(xué)活動(dòng)

微課是圍繞數(shù)學(xué)課程中的某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)開(kāi)展的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，一般是教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn).俗話(huà)說(shuō)：麻雀雖小，五臟俱全.微課雖然短小精悍，但它也有完整的教學(xué)過(guò)程，是完整的教學(xué)活動(dòng).每次微課都有其教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、引入、師生互動(dòng)、相應(yīng)練習(xí)、歸納總結(jié)等[3].

（3）微課的教學(xué)對(duì)象始終都是學(xué)生

雖然錄制微視頻時(shí)，沒(méi)有學(xué)生在場(chǎng)，但是微課的教學(xué)對(duì)象還是學(xué)生，在視頻中也要有師生的互動(dòng).因此，設(shè)計(jì)微課，最關(guān)鍵的是從學(xué)生的角度去設(shè)計(jì)，而不是從教師的角度去設(shè)計(jì)，體現(xiàn)以人為本，以學(xué)生為主體的教育教學(xué)理念[4].

（4）切實(shí)重視自學(xué)報(bào)告單的應(yīng)用

第2篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

一、對(duì)教材處理的建議

（一）明確解析幾何的基本思想方法。

解析法（坐標(biāo)法）；突出用方程研究曲線(xiàn)，用代數(shù)方法研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)；強(qiáng)調(diào)解析幾何解決問(wèn)題數(shù)形結(jié)合的重要性；自始至終貫穿曲線(xiàn)與方程、方程與曲線(xiàn)的關(guān)系。

解析幾何的基本思想方法是解析法（坐標(biāo)法；突出用方程研究曲線(xiàn)，用代數(shù)方法研究曲線(xiàn)的幾何問(wèn)題。在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)•數(shù)學(xué)2》A版中首先建立直線(xiàn)、圓這兩種平面上最簡(jiǎn)單的非封閉圖形與封閉圖形的方程，然后通過(guò)它們的方程，研究它們的幾何性質(zhì)。從大的范圍看，“曲線(xiàn)與方程”“方程與曲線(xiàn)”的關(guān)系反映了空間形式與數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，它用數(shù)及其運(yùn)算為工具，在平面直角坐標(biāo)系下，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合的重要方面。

（二）抓住軌跡問(wèn)題的本質(zhì)――變化過(guò)程中的不變量，建立曲線(xiàn)的方程。

軌跡是由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的曲線(xiàn)（或幾何圖形），其特點(diǎn)是，動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，始終有保持不變的量，由此我們建立軌跡的方程。通過(guò)軌跡的方程，判斷軌跡的形狀，研究軌跡的幾何性質(zhì)。

三種圓錐曲線(xiàn)的幾何特征明顯。在橢圓的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們從圓出發(fā)，給出“探究”欄目，通過(guò)把細(xì)繩的兩端分開(kāi)，讓學(xué)生觀察軌跡的形狀，建立與已有知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別。由畫(huà)圖的過(guò)程，探究形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件，展現(xiàn)曲線(xiàn)的典型幾何特征。在此基礎(chǔ)上，給出具有這種典型幾何特征的軌跡的正式名稱(chēng)――橢圓。通過(guò)觀察橢圓的形狀，引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示距離，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。其他兩種圓錐曲線(xiàn)：雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)，雖然它們的幾何特征與橢圓不同，但其引入過(guò)程及標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，都是與橢圓相類(lèi)比展開(kāi)的。

（三）注重實(shí)際背景和應(yīng)用。

實(shí)際上，圓錐曲線(xiàn)與人類(lèi)生活、生產(chǎn)及科研有著緊密的聯(lián)系。本章引言說(shuō)明三種圓錐曲線(xiàn)都是用不垂直與圓錐的軸的平面截圓錐面得到的。改變截面與圓錐軸的夾角，可以得到橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)。這種引入，目的是使學(xué)生了解“圓錐曲線(xiàn)”名稱(chēng)的由來(lái)。另外在教材的正文中，還多次提到行星運(yùn)行軌道、發(fā)電廠(chǎng)冷卻塔的外形、拋物運(yùn)動(dòng)軌跡、探照燈的鏡面，等等。

在教材的拓展欄目中，還安排了“探究與發(fā)現(xiàn)――為什么截口曲線(xiàn)是橢圓”；“閱讀與思考――圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”。安排了大量的實(shí)例，注重實(shí)際背景和應(yīng)用的目的是讓學(xué)生感受圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用。

（四）重視信息技術(shù)工具的作用。

信息技術(shù)工具在解析幾何的學(xué)習(xí)中有較大的支持作用，發(fā)揮的空間也比較大。在教材中，安排了很多“信息技術(shù)應(yīng)用”的內(nèi)容。

（1）利用信息技術(shù)工具向?qū)W生演示平面截圓錐的過(guò)程，通過(guò)改變截面與圓錐曲線(xiàn)的夾角，得出不同的圓錐曲線(xiàn)。信息技術(shù)工具的使用可以加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)的直觀認(rèn)識(shí)。

（2）運(yùn)用信息技術(shù)工具的“運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持幾何關(guān)系不變”的特點(diǎn)，非常容易探索動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀。一方面，信息技術(shù)工具為我們創(chuàng)造了一個(gè)實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想的環(huán)境，在動(dòng)態(tài)演示中，觀察軌跡形成的原因、軌跡的形狀，發(fā)現(xiàn)結(jié)論、形成猜想。另一方面，當(dāng)我們求出軌跡的方程后，可以用信息技術(shù)工具幫助我們進(jìn)行直觀驗(yàn)證軌跡的形狀，加深對(duì)方程所表示的曲線(xiàn)形狀的理解。比如在教學(xué)中，對(duì)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的研究是難點(diǎn)。從直觀上看，雙曲線(xiàn)的兩支是向外無(wú)限延伸的，始終在漸近線(xiàn)形成的一組對(duì)頂角中，不會(huì)越過(guò)它的漸近線(xiàn)。教材通過(guò)“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目，讓學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)雙曲線(xiàn)的這一性質(zhì)。正文中并沒(méi)有給出嚴(yán)格證明，拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)――為什么y=±x是雙曲線(xiàn)+=1的漸近線(xiàn)”給出了嚴(yán)格的證明，但不作為教學(xué)要求。漸近線(xiàn)的概念比較抽象，學(xué)生對(duì)它的理解需要一個(gè)過(guò)程。

二、值得注意的問(wèn)題

（一）注意整個(gè)“解析幾何”知識(shí)的前后銜接，準(zhǔn)確把握教學(xué)要求。

必修《數(shù)學(xué)2》中的直線(xiàn)與方程、圓與方程，以及（文）選修1-1，（理）選修2-1中的圓錐曲線(xiàn)與方程，系列4中的“選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程”一起構(gòu)成了經(jīng)典的平面解析幾何內(nèi)容的主干。要注意知識(shí)內(nèi)容的銜接，把相關(guān)內(nèi)容放在平面解析幾何內(nèi)容的通盤(pán)考慮，切實(shí)把握每部分的教學(xué)要求。特別注意的是新課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的教學(xué)要求中，橢圓的內(nèi)容要求“理解”，雙曲線(xiàn)的內(nèi)容只作“了解”，拋物線(xiàn)的內(nèi)容理科要求“理解”而文科要求“了解”。

準(zhǔn)確地把握教學(xué)要求包括兩個(gè)方面，第一是把握好新課標(biāo)的精神，第二是把握好學(xué)生的實(shí)際。根據(jù)新課標(biāo)的精神，圓錐曲線(xiàn)部分是屬于控制教學(xué)要求的內(nèi)容，但目前由于考試的影響，這一部分教學(xué)的要求比較高，題目的難度很大。如何控制教學(xué)要求是個(gè)難點(diǎn)。高中的教學(xué)時(shí)間有限，全體學(xué)生都必須掌握的重點(diǎn)課程應(yīng)以最基礎(chǔ)的知識(shí)和最基本的技能為主，要使學(xué)生切實(shí)把基礎(chǔ)打好，不要過(guò)分重視技巧性很強(qiáng)的難題。從學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律來(lái)說(shuō)，訓(xùn)練不能一次完成，要循序漸進(jìn)，打好基礎(chǔ)才能有較大的發(fā)展余地，急于求成是不可取的；學(xué)生的基礎(chǔ)、興趣、志向是不同的，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際提出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)要求，這樣學(xué)生才有學(xué)習(xí)的積極性，才能使學(xué)生達(dá)到預(yù)定的教學(xué)要求。

（二）圓錐曲線(xiàn)的第二定義、圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義，以及非標(biāo)準(zhǔn)形式的圓錐曲線(xiàn)方程不作教學(xué)要求。

教學(xué)中，老師經(jīng)常說(shuō)到圓錐曲線(xiàn)的“第二定義”、圓錐曲線(xiàn)的離心率與統(tǒng)一方程，盡管是非常經(jīng)典的內(nèi)容，但不作為基本的教學(xué)要求。考慮到它們的意義，橢圓、雙曲線(xiàn)的“第二定義”在教材的相關(guān)部分的例題有所體現(xiàn)，但沒(méi)有明確給出它們的“第二定義”。在拓展性欄目“信息技術(shù)應(yīng)用――用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)的軌跡：橢圓”和“信息技術(shù)應(yīng)用――用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)的軌跡：雙曲線(xiàn)”雖然給出了上述兩種圓錐曲線(xiàn)的“第二定義”，但是不作要求。

第3篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

1．　考綱解讀：

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素（兩個(gè)點(diǎn)、一點(diǎn)和方向）．

（2）理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式；了解直線(xiàn)的傾斜角的范圍；理解直線(xiàn)的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，能根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角求出直線(xiàn)的斜率．

（3）根據(jù)斜率判定兩條直線(xiàn)平行或垂直，根據(jù)兩條直線(xiàn)平行或垂直的位置關(guān)系求直線(xiàn)方程中參數(shù)的值．

（4）根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何要素，探索并掌握直線(xiàn)方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式）的特點(diǎn)和適用范圍；根據(jù)問(wèn)題的具體條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角笾本€(xiàn)的方程；體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．

（5）了解二元一次方程組的解與兩直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；能用解方程組的方法求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．

（6）探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離．

2．　考場(chǎng)對(duì)接：

通過(guò)2012年的考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)可以看出，在高考題中，本節(jié)內(nèi)容主要以選擇題、填空題為主要題型，考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．對(duì)直線(xiàn)與方程的考查，還滲透在平面解析幾何的解答題中，與其他知識(shí)（圓與圓錐曲線(xiàn)）結(jié)合出題．

3．　經(jīng)典例題：

（2012浙江）設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線(xiàn)l1：ax＋2y－1＝0與直線(xiàn)l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要條件

B．　必要不充分條件

C．　充分必要條件

D．　既不充分也不必要條件

失分警示 本題屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意判斷充分必要條件的步驟，即先驗(yàn)證充分性，再驗(yàn)證必要性，最后綜合起來(lái)下結(jié)論．　在表述的時(shí)候要弄清順序關(guān)系，以防發(fā)生概念錯(cuò)誤．

方法突破 在研究充分和必要條件時(shí)，可先求一者的等價(jià)條件，再和另一者作比較．

完美答案 當(dāng)a＝1時(shí)，直線(xiàn)l1：x＋2y－1＝0與直線(xiàn)l2：x＋2y＋4＝0顯然平行；若直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2平行，則有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故選A．

4．　命題趨勢(shì)：

直線(xiàn)的方程、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、距離問(wèn)題一直是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，單純考查直線(xiàn)的知識(shí)一般在選擇題、填空題中出現(xiàn)；直線(xiàn)和其他知識(shí)的交匯問(wèn)題一般出現(xiàn)在解答題中，有一定的難度．

1．　考綱解讀：

（1）回顧確定圓的幾何要素（圓心、半徑，不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)等），在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；根據(jù)問(wèn)題的條件，選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行互化．

（2）根據(jù)給定直線(xiàn)和圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（相交、相切、相離）；根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系（外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含）．

（3）用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．

（4）在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想，感受“數(shù)”與“形”的對(duì)立和統(tǒng)一；初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用．

（5）通過(guò)具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式及其應(yīng)用．

2．　考場(chǎng)對(duì)接：

圓的方程，直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，在2012年高考試題中，主要在選擇題、填空題中考查直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，尤其是含參數(shù)的問(wèn)題，考題基本上屬于中低檔難度的題．

3．　經(jīng)典例題：

（2012天津）設(shè)m，n∈R，若直線(xiàn)（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，則m+n的取值范圍為（ ）

失分警示 本題屬于中檔題，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，不等式的性質(zhì).　注意不要忽略了m，n∈R這個(gè)條件，在運(yùn)用基本不等式時(shí)注意其成立的條件，求取值范圍時(shí)注意不要擴(kuò)大或縮小范圍．

方法突破 由直線(xiàn)與圓相切的條件可以得到一個(gè)關(guān)于m，n的等式，觀察等式的性質(zhì)，利用基本不等式的形式消除差異，化為關(guān)于m+n的不等式，解出其取值范圍即可．

完美答案 因?yàn)橹本€(xiàn)（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化簡(jiǎn)得mn=m+n+1.　又當(dāng)m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故選D．

■ （2012江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2－8x+15=0，若直線(xiàn)y=kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_________．

失分警示 本題屬于中檔偏難題，解答本題時(shí)不要被題中的表面意思所迷惑，要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，認(rèn)真審清題意，將題意中的關(guān)系進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化．

方法突破 數(shù)形結(jié)合理解題意，將兩圓的位置關(guān)系化為圓C的圓心到直線(xiàn)y=kx－2的距離的取值范圍問(wèn)題去處理．

完美答案 圓C的方程可化為（x－4）2+y2=1，若直線(xiàn)y=kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則圓C上的點(diǎn)到直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的最小值小于或等于1，則圓心C（4，0）到直線(xiàn)y=kx－2的距離小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命題趨勢(shì)：

預(yù)計(jì)2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查圓方程的求解，直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷，特別是含參數(shù)的位置關(guān)系問(wèn)題仍將是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．　而在解答題中，則有可能考查以圓為背景的綜合試題，特別是圓與圓錐曲線(xiàn)的整合問(wèn)題．

1．　考綱解讀：

（1）了解圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景，了解圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．

（2）掌握橢圓的定義和幾何圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

2．　考場(chǎng)對(duì)接：

縱觀2012年高考數(shù)學(xué)試題可以看出，選擇題、填空題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的理解與應(yīng)用，橢圓的離心率等相關(guān)知識(shí)，難度中等；解答題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的應(yīng)用，特別地，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題是考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，且有一定的難度．

3．　經(jīng)典例題：

失分警示 結(jié)合圖形，審清題意，注意三角形哪個(gè)角是底角，細(xì)心運(yùn)算，避免發(fā)生運(yùn)算失誤．

方法突破 求解圓錐曲線(xiàn)的離心率（或其范圍）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件尋求一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式（或不等）關(guān)系，再結(jié)合a，b，c的固有關(guān)系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）關(guān)系，從而求得離心率（或其范圍）．

4．　命題趨勢(shì)：

橢圓是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，預(yù)計(jì)2013年的高考仍將在選擇題、填空題中考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率的求解等知識(shí)，難度中等；將在解答題中重點(diǎn)考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，可能還會(huì)出現(xiàn)一些創(chuàng)新題型，如新定義題型、探索性問(wèn)題、定點(diǎn)定值問(wèn)題等，此類(lèi)問(wèn)題難度較大．同時(shí)，會(huì)加強(qiáng)橢圓與圓，橢圓與雙曲線(xiàn)，橢圓與拋物線(xiàn)等知識(shí)的交匯問(wèn)題的考查力度．

1．　考綱解讀：

了解雙曲線(xiàn)的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；會(huì)用雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；了解雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．

2．　考場(chǎng)對(duì)接：

分析2012年高考試題可以看出，雙曲線(xiàn)的考題基本上以選擇題、填空題為主，主要考查雙曲線(xiàn)的定義、方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，且出現(xiàn)了雙曲線(xiàn)和圓、橢圓、拋物線(xiàn)等的整合問(wèn)題，總體難度中等．

3．　經(jīng)典例題：

（2012浙江）如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線(xiàn)F1B與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于P，Q兩點(diǎn)，線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M．　若MF2＝F1F2，則C的離心率是（ ）

失分警示 本題的解題思路并不難得出，但運(yùn)算量較大，在認(rèn)真審題的前提下避免發(fā)生運(yùn)算錯(cuò)誤，同時(shí)注意雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍，謹(jǐn)防增根．

方法突破 本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求解，突破的關(guān)鍵是正確求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分線(xiàn)的方程，進(jìn)而用a，b，c表示出M的坐標(biāo)，由MF2＝F1F2列出等式，最終化為a，c的關(guān)系．

4．　命題趨勢(shì)：

預(yù)計(jì)2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、定義和幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中離心率的求解和漸近線(xiàn)問(wèn)題是考查的熱點(diǎn)．　此外，仍會(huì)加強(qiáng)將雙曲線(xiàn)和其他知識(shí)（如圓、橢圓、拋物線(xiàn)）進(jìn)行交匯出題，題目難度中等偏低．

1．　考綱解讀：

（1）掌握拋物線(xiàn)的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，會(huì)用拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

（2）了解方程的曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；了解求曲線(xiàn)方程的一般步驟，能求一些簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的方程；掌握求直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法；進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．

2．　考場(chǎng)對(duì)接：

透過(guò)2012年高考數(shù)學(xué)試題可以看出，拋物線(xiàn)是考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，考題既在選擇題、填空題中出現(xiàn)，也在解答題中出現(xiàn)．選擇題、填空題重點(diǎn)考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，拋物線(xiàn)的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，以及拋物線(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)還出現(xiàn)了拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交匯問(wèn)題，難度中等．　解答題重點(diǎn)考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，拋物線(xiàn)與其他知識(shí)（如圓、不等式等）的整合問(wèn)題，且出現(xiàn)了探索性問(wèn)題，難度較大．而曲線(xiàn)與方程的考查則滲透在以上各大知識(shí)板塊之中．

3．　經(jīng)典例題：

（2012安徽）過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，若AF=3，則AOB的面積為（ ）

失分警示 本題屬于中檔題，有一定的思維量，認(rèn)真審題，找準(zhǔn)關(guān)系，運(yùn)算準(zhǔn)確，避免發(fā)生思維受阻和運(yùn)算錯(cuò)誤．

方法突破 顯然AB是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦，且已知AF=3，若結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，則可以求點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而直線(xiàn)AB的方程便可以得到解決，具體見(jiàn)如下的解法一．　本題也可以設(shè)角度（見(jiàn)如下的解法二），通過(guò)三角關(guān)系來(lái)表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而求出三角形的兩邊及其夾角的正弦值，再求面積．

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為■，直線(xiàn)l：y=kx+■與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)■≤k≤2時(shí)，AB2+DE2的最小值．

失分警示 本題難度較大，綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，屬于直線(xiàn)、圓和拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題，解答時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的使用，審清題意.　解答第（1）小題難度不算大，但第（2）小題是一個(gè)探索性問(wèn)題，有較大的運(yùn)算量，需要扎實(shí)的運(yùn)算功底，第（3）小題將直線(xiàn)、圓和圓錐曲線(xiàn)綜合起來(lái)，難度較大，需要較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

方法突破 第（1）小題結(jié)合拋物線(xiàn)的定義以及圓的相關(guān)性質(zhì)可以列出一個(gè)關(guān)于p的方程，求解即可；第（2）小題可先假設(shè)存在點(diǎn)M，利用拋物線(xiàn)的切線(xiàn)斜率和直線(xiàn)MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小題的解題目標(biāo)是將AB2+DE2表示為關(guān)于k的函數(shù)，從而化為求函數(shù)的最值問(wèn)題去處理，但求兩線(xiàn)段的長(zhǎng)度需要用到直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交弦長(zhǎng)公式AB=■，以及直線(xiàn)與圓的相交弦長(zhǎng)公式DE=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．

第4篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；定義；定理；公式 問(wèn)題；條件；教學(xué)

2013年4月，在高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線(xiàn)與方程》（人教版）的教學(xué)中，當(dāng)我講橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義時(shí)，我都會(huì)遇到同樣的一個(gè)問(wèn)題，而且是學(xué)生每每質(zhì)詢(xún)的一個(gè)問(wèn)題，那就是：“老師，定義中括號(hào)里的條件該怎么解釋?zhuān)俊?/p>

數(shù)學(xué)定義、定理、公式或問(wèn)題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學(xué)知識(shí)的“條件”教學(xué)，對(duì)于學(xué)生透徹地理解數(shù)學(xué)理論、全面地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題都非常有幫助，現(xiàn)在已經(jīng)完成了高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線(xiàn)與方程》的教學(xué)，我覺(jué)得有必要把我在《圓錐曲線(xiàn)》定義教學(xué)中，關(guān)于定義中條件的教學(xué)片段梳理一下。

《圓錐曲線(xiàn)》“條件”教學(xué)片段一：橢圓定義中的條件限制

講到2.2.1節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時(shí)，橢圓的定義（課本第38頁(yè)）是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

學(xué)生問(wèn)：老師，為什么定義中括號(hào)里要加一個(gè)條件“大于”）呢？

教師答：因?yàn)槿绻サ暨@個(gè)條件，則定義所表示的圖形將不一定是橢圓。

學(xué)生問(wèn)：為什么？

教師答：這個(gè)問(wèn)題可以從三個(gè)角度理解：

①如果條件是“大于”，則定義敘述的內(nèi)容表示橢圓，這毫無(wú)疑問(wèn)，正如我們用小繩子按住兩頭所演示的一樣。

②如果條件是“等于”，則定義敘述的內(nèi)容表示線(xiàn)段。（我在黑板上劃線(xiàn)段，并取其上一點(diǎn)P，并演示，學(xué)生點(diǎn)頭表示理解）。

③如果條件是“小于”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然不能產(chǎn)生任何圖形）。

進(jìn)一步，我用三個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行鞏固：

問(wèn)題：試判斷以下情況動(dòng)點(diǎn)的軌跡：

（1）到兩定點(diǎn)的距離之和大于14的點(diǎn)的軌跡是什么？

（2）到兩定點(diǎn)的距離之和等于14的點(diǎn)的軌跡是什么？

（3）到兩定點(diǎn)的距離之和小于14的點(diǎn)的軌跡是什么？

學(xué)生很快就可以得出結(jié)論。

《圓錐曲線(xiàn)》“條件”教學(xué)片段二：雙曲線(xiàn)定義中的條件限制

很有戲劇性，講到2.3.1節(jié)《雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時(shí)，其境遇竟然和講橢圓的定義時(shí)，驚人的相似。

雙曲線(xiàn)的定義（課本第52頁(yè)）是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)。

學(xué)生問(wèn)：老師，為什么定義中括號(hào)里要加一個(gè)條件“小于”呢？

教師答：因?yàn)槿绻サ暨@個(gè)條件，則定義所表示的圖形將不一定是雙曲線(xiàn)。

學(xué)生問(wèn)：為什么？

教師答：這個(gè)問(wèn)題可以從三個(gè)角度理解：

①如果條件是“小于”，則定義敘述的內(nèi)容表示雙曲線(xiàn)，這毫無(wú)疑問(wèn)，正如我們用拉鏈按住兩頭所演示的一樣。

②如果條件是“等于”，則定義敘述的內(nèi)容表示以為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)（包含端點(diǎn)）。（我在黑板上劃出直線(xiàn)，并在點(diǎn)兩側(cè)各取兩點(diǎn)P、Q，并演示，指出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是射線(xiàn)，學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同）。

③如果條件是“大于”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然不能產(chǎn)生任何圖形）。

同樣，我給出三個(gè)小問(wèn)題加以辨別：

問(wèn)題：試判斷以下情況動(dòng)點(diǎn)的軌跡：

（1）動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值小于14的點(diǎn)的軌跡是什么？

（2）動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于14的點(diǎn)的軌跡是什么？

（3）動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值大于14的點(diǎn)的軌跡是什么？

學(xué)生也可以很快得出結(jié)論。

然后，我又給出兩個(gè)問(wèn)題：

條件改為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又會(huì)怎樣呢？

若條件改為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又會(huì)怎樣呢？

學(xué)生結(jié)合雙曲線(xiàn)的圖形，很容易判斷是：雙曲線(xiàn)的左支和右支。

《圓錐曲線(xiàn)》“條件”教學(xué)片段三：拋物線(xiàn)定義中的條件限制

講到2.4.1節(jié)《拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一課時(shí)，同樣遇到了“條件”問(wèn)題。

拋物線(xiàn)的定義（課本第65頁(yè)）是：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線(xiàn)。

在用直尺、三角板、細(xì)繩等演示了拋物線(xiàn)形成過(guò)程之后，學(xué)生又不禁要對(duì)“條件”發(fā)問(wèn)了。

學(xué)生問(wèn)：老師，為什么定義中括號(hào)里要加一個(gè)條件“（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）”呢？

教師答：如果去掉“（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）”這個(gè)條件，則定義所表示的圖形將不一定是拋物線(xiàn)。

學(xué)生問(wèn)：為什么？

教師答：這個(gè)問(wèn)題可以從兩個(gè)角度理解：

①如果條件是“（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）”，則定義敘述的內(nèi)容表示拋物線(xiàn)，這正如我們直尺、三角板、細(xì)繩等所演示的一樣。

②如果沒(méi)有“（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）”條件限制，則當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)F，且垂直于直線(xiàn)的一條直線(xiàn)，定義敘述的內(nèi)容表示的圖形是一條直線(xiàn)而非拋物線(xiàn)。（然后我在黑板上畫(huà)圖演示，學(xué)生恍然大悟，看來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí)必須要細(xì)致?。?/p>

然后，我又出了兩道題加以鞏固。

（1）平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線(xiàn)的距離的點(diǎn)的軌跡是（ ）

A.拋物線(xiàn) B.直線(xiàn)

C.拋物線(xiàn)或直線(xiàn) D.不存在

（2）求過(guò)點(diǎn)F（1，0）且與直線(xiàn)：x+y-1=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡。

第5篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

關(guān)鍵詞：圓錐曲線(xiàn)；統(tǒng)一性；定義；性質(zhì)

橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)同屬于圓錐曲線(xiàn)，它們都是可以由平面截圓錐面得到的截線(xiàn)，故而將這三種曲線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)；通過(guò)直角坐標(biāo)系，圓錐曲線(xiàn)又與二次方程對(duì)應(yīng)，所以圓錐曲線(xiàn)又叫做二次曲線(xiàn).圓錐曲線(xiàn)一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許許多多的圓錐曲線(xiàn)，它們有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用，因此有必要深入了解圓錐曲線(xiàn)各種性質(zhì).本文將追尋前輩們的探索足跡，從錐面截線(xiàn)、軌跡觀點(diǎn)、圓心運(yùn)動(dòng)、方程形式、曲線(xiàn)性質(zhì)等五個(gè)方面對(duì)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一性進(jìn)行歸納，希望有助于大家更全面地認(rèn)識(shí)圓錐曲線(xiàn).

我們來(lái)重新回顧一下圓錐曲線(xiàn)產(chǎn)生和發(fā)展的主要探索歷程：早在兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家對(duì)它們已經(jīng)很熟悉了，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究這幾種曲線(xiàn)，用垂直與錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線(xiàn)平行時(shí)，得到拋物線(xiàn)；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線(xiàn).阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線(xiàn)”，把雙曲線(xiàn)叫做“超曲線(xiàn)”，把拋物線(xiàn)叫做“齊曲線(xiàn)”.對(duì)于圓錐曲線(xiàn)，他們當(dāng)初的主要興趣在于用它來(lái)幫助解決古代的三大作圖問(wèn)題――化圓為方、倍立方和三等分角問(wèn)題.直到16世紀(jì)，有兩件事促使了人們對(duì)圓錐曲線(xiàn)作進(jìn)一步研究，一是德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒（Kepler，1571～1630）繼承了哥白尼的日心說(shuō)，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的事實(shí)，二是意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo，1564～1642）得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線(xiàn).人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線(xiàn)不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線(xiàn)，而且是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式.17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開(kāi)普勒對(duì)圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)作了新的闡述，他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)和離心率，并指出拋物線(xiàn)還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線(xiàn)是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓，這為圓錐曲線(xiàn)現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個(gè)合乎邏輯的直觀基礎(chǔ).而當(dāng)法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對(duì)圓錐曲線(xiàn)的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新階段，對(duì)圓錐曲線(xiàn)的研究方法朝著解析法的方向發(fā)展，即通過(guò)建立坐標(biāo)系，得到圓錐曲線(xiàn)的方程，進(jìn)而利用方程來(lái)研究圓錐曲線(xiàn)，以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可求得對(duì)圓錐曲線(xiàn)研究高度的概括和統(tǒng)一.到18世紀(jì)，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系，并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換.1745年，歐拉發(fā)表了《分析引論》，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線(xiàn)研究的經(jīng)典之作，在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線(xiàn)的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程出發(fā)，圓錐曲線(xiàn)的各種情形經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，總可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式.繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來(lái)，由圓錐曲線(xiàn)導(dǎo)出了許多重要的曲面諸如球面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等.

一、錐面截線(xiàn)的統(tǒng)一

現(xiàn)在我們都知道，用一個(gè)平面去截一個(gè)雙圓錐面，會(huì)得到圓、橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn).

如果用一個(gè)不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐的側(cè)面，設(shè)圓錐的半頂角為α，圓錐的軸與平面所成的角為θ；當(dāng)θ= ，交線(xiàn)是圓；當(dāng)α

如果平面與圓錐側(cè)面只交于一點(diǎn)（如下圖a），當(dāng)θ=α?xí)r，平面與圓錐側(cè)面相切于一條母線(xiàn)（如下圖b）；當(dāng)θ

二、軌跡觀點(diǎn)的統(tǒng)一

從點(diǎn)的集合或軌跡的觀點(diǎn)看，到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線(xiàn)L的距離之比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做做圓錐曲線(xiàn).這個(gè)定點(diǎn)F叫做焦點(diǎn)，這條定直線(xiàn)L叫做準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e叫做離心率.當(dāng)0

這一結(jié)論在天體物理方面是有具體應(yīng)用的：當(dāng)人造衛(wèi)星的初速度等于第二宇宙速度時(shí)，衛(wèi)星的軌道是拋物線(xiàn)；當(dāng)人造衛(wèi)星的初速度小于第二宇宙速度時(shí)，軌道變成橢圓；當(dāng)人造衛(wèi)星的初速度大于第二宇宙速度時(shí)，軌道就成了雙曲線(xiàn)的一支.

三、圓心運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一

兩條互相垂直的直線(xiàn)L與L1，垂足為K，定點(diǎn)O與動(dòng)點(diǎn)O1在直線(xiàn)L1上，以O(shè)1為圓心以O(shè)1K為半徑做圓O1（如右圖）.

（1）如果動(dòng)點(diǎn)即圓心O1在定點(diǎn)O的右邊，點(diǎn)A在圓O1上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)O與點(diǎn)A連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)與連線(xiàn)O1A交點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以點(diǎn)O、O1為焦點(diǎn)的橢圓C1.

（2）如果動(dòng)點(diǎn)即圓心O1從定點(diǎn)O右邊沿著直線(xiàn)L1向左移動(dòng)與O重合，這時(shí)橢圓就變成了圓.

（3）如果動(dòng)點(diǎn)即圓心O1沿著直線(xiàn)L1向右移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，這時(shí)圓O1就是直線(xiàn)L，當(dāng)點(diǎn)A在直線(xiàn)L上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)O與點(diǎn)A連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)與連線(xiàn)O1A交點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以點(diǎn)O為焦點(diǎn)，以L(fǎng)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)C2.

（4）如果動(dòng)點(diǎn)即圓心O1沿著直線(xiàn)L1從左邊回來(lái)，點(diǎn)A在圓O1上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)O與點(diǎn)A連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)與連線(xiàn)O1A交點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以點(diǎn)O、O1為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C3.

（5）如果動(dòng)點(diǎn)即圓心O1從左邊沿著直線(xiàn)L1向右移動(dòng)到與O重合，這時(shí)雙曲線(xiàn)退化為兩條相交的直線(xiàn).

簡(jiǎn)而言之，橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)O、O1（假定點(diǎn)O1在點(diǎn)O右邊），若O固定，考慮O1的移動(dòng)，當(dāng)O1向左移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于圓，O1與O重合時(shí)即為圓；當(dāng)O1向右移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于拋物線(xiàn)，O1到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)即為拋物線(xiàn)；當(dāng)O1從無(wú)窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線(xiàn)的軸上來(lái)，即為雙曲線(xiàn)；當(dāng)O1繼續(xù)向右移動(dòng)，O1又與O重合時(shí)即為兩相交直線(xiàn)，亦即退化的圓錐曲線(xiàn).我們看到了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)、圓以及由兩條直線(xiàn)組成的退化圓錐曲線(xiàn)，都可以從其中一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，只需考慮焦點(diǎn)的各種移動(dòng)方式.此外也可以說(shuō)拋物線(xiàn)還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線(xiàn)是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓.

四、方程形式的統(tǒng)一

1.在平面直角坐標(biāo)系中，圓錐曲線(xiàn)都可以用二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0，A2+C2≠0）來(lái)表示，①當(dāng)B2-AC0時(shí)，它表示雙曲線(xiàn).代數(shù)式B2-AC值的變化超過(guò)某一界限會(huì)引起曲線(xiàn)類(lèi)型的改變，而這些曲線(xiàn)在代數(shù)上的區(qū)別只在于方程系數(shù)B2-AC的正負(fù)號(hào).

另外，圓錐曲線(xiàn)還可以表示為：（1-e2）x2+y2-2px+p2=0.這是以定直線(xiàn)L為y軸，并且使x軸通過(guò)焦點(diǎn)F，得到的圓錐曲線(xiàn)的軌跡方程，其中p是定點(diǎn)F到定直線(xiàn)L的距離，e是離心率.

2.在極坐標(biāo)系中，圓錐曲線(xiàn)也有統(tǒng)一的方程：當(dāng)0

五、曲線(xiàn)性質(zhì)的統(tǒng)一

由于圓錐曲線(xiàn)定義上的統(tǒng)一，必然會(huì)有其性質(zhì)上的統(tǒng)一，即具有相似的性質(zhì).以下就其中的一部分作些初步的探討.

性質(zhì)一：（1）橢圓與雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M的兩條焦半徑MO、MO1與通過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)夾相等的角度.

（2）拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)M的焦半徑MO、MO1（過(guò)M平行于軸的射線(xiàn)）與拋物線(xiàn)在M點(diǎn)的切線(xiàn)夾相等的角度.

據(jù)此易知，圓錐曲線(xiàn)具有如下的光學(xué)性質(zhì).

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)或聲波在經(jīng)過(guò)橢圓周上反射后，反射都經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：如果光源或聲源放在雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)O處，光線(xiàn)或聲波射到雙曲線(xiàn)靠近O的一支上，經(jīng)過(guò)反射以后，就好像從另一個(gè)焦點(diǎn)O1處射出來(lái)一樣.

拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)或聲波在經(jīng)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

顯然，由圓心運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一定義直接可以得出性質(zhì)一的結(jié)論.下面再采用解析方法，以橢圓為例給出證明.

性質(zhì)二：已知切點(diǎn)（x0，y0），圓錐曲線(xiàn)Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的切線(xiàn)方程統(tǒng)一的形式為

參考文獻(xiàn)：

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[4]陳靖航.圓錐曲線(xiàn)一個(gè)性質(zhì)的完善及推廣.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（01）.

第6篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

一、考試要求：

1.直線(xiàn)與方程

①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線(xiàn)位置的幾何要素。

②理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式。

③能根據(jù)兩條直線(xiàn)的斜率判定這兩條直線(xiàn)平行或垂直。

④掌握確定直線(xiàn)位置的幾何要素，掌握直線(xiàn)方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。

⑤能用解方程組的方法求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

⑥掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離。

2.圓與方程

①掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。

②能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系。

③能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

④初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。

3.圓錐曲線(xiàn)與方程

①了解圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景，了解圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。

②掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。

③了解雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。

④理解數(shù)形結(jié)合的思想。

⑤了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

二、試題分析

1 近三年考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)

2.考題特點(diǎn)

解析幾何試題一般設(shè)計(jì)兩道小題、一道解答題，通常占20分以上，考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右。新課標(biāo)遵循螺旋式上升到原則，將解析幾何的內(nèi)容分為解析幾何初步與圓錐曲線(xiàn)兩部分，分別安排在必修模塊和選修模塊中。近三年對(duì)必修模塊的考查一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)；選修模塊中的圓錐曲線(xiàn)部分設(shè)計(jì)了一個(gè)選擇題和一道綜合題，選擇題主要考查圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，解答題一般在21題或22題的位置，解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線(xiàn)中的重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)、函數(shù)的思想方法和向量的基本方法，這一點(diǎn)值得強(qiáng)化。具體來(lái)說(shuō)，解析幾何試題有以下特點(diǎn)和命題規(guī)律。

2.1立足基礎(chǔ)知識(shí)

高中數(shù)學(xué)解析幾何包括直線(xiàn)與圓的方程、圓錐曲線(xiàn)定義、圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)等基本內(nèi)容，在歷年的高考題中，都會(huì)有一道直接考查這些內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)的容易題。如2011年理科第8題，直接考查雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓相切；2012年10題，考查了雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)、直線(xiàn)與橢圓相交；2013年理科第9題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。

“科學(xué)、公正、安全、規(guī)范”是高考命題的基本要求，高考試題則必然立足于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查。

2.2注重綜合聯(lián)系

解析幾何可以將函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、不等式、向量等數(shù)學(xué)知識(shí)融為一體，近幾年的解析幾何考題既體現(xiàn)了知識(shí)的縱向聯(lián)系，又注重了與上述知識(shí)的橫向聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合能力的絕佳素材。如2011年8題，分別考查了圓與雙曲線(xiàn)的性質(zhì)。圓是圓錐曲線(xiàn)的特例，圓的方程是二次曲線(xiàn)方程的特例。課程標(biāo)準(zhǔn)單獨(dú)列出“圓及其方程”，是基于學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的基本性質(zhì)，更容易體會(huì)坐標(biāo)法與綜合法的異同，體會(huì)坐標(biāo)法的本質(zhì)。將圓與雙曲線(xiàn)的性質(zhì)同時(shí)考查，則有利于知識(shí)點(diǎn)銜接，體現(xiàn)解析幾何知識(shí)的縱向聯(lián)系。

2012年21題，把拋物線(xiàn)與直線(xiàn)方程、導(dǎo)數(shù)及函數(shù)最值問(wèn)題融合在一起，既體現(xiàn)了知識(shí)的橫向聯(lián)系，又使學(xué)生加深了對(duì)解析幾何思想的理解。

2.3突出通性通法

從解析幾何綜合題來(lái)看，在注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力的同時(shí)，更加突出解析幾何的本質(zhì)特征，注重考查通性通法。即在數(shù)形結(jié)合的思想指導(dǎo)下，以坐標(biāo)法為核心，用代數(shù)方法研究幾何圖形的位置關(guān)系和性質(zhì)。

三、復(fù)習(xí)建議

（1）夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)， 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

近幾年高考中， 試題遵循 穩(wěn)字當(dāng)頭， 穩(wěn)中有變， 變中求新 方針， 重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查. 試題源于課本， 高于課本. 復(fù)習(xí)時(shí)， 應(yīng)重視教材的基礎(chǔ)作用， 以課本知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)， 以不變應(yīng)萬(wàn)變 ， 同時(shí)強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的梳理， 優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

（2）注重通解通法， 淡化特殊技巧

高考中這部分試題是通過(guò)對(duì)常見(jiàn)題型進(jìn)行改編， 通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的整合、變式和拓展， 從而加工為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧的解析幾何問(wèn)題， 堅(jiān)持新題不難， 難題不怪的命題方向. 這要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)課本上重點(diǎn)例題和習(xí)題的變通， 積累一些常規(guī)基本問(wèn)題的解法，反復(fù)體會(huì)其中的思維軌跡， 把解題方法提高到數(shù)學(xué)思想的高度， 提高綜合能力.

（3）強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想， 提高運(yùn)算能力

解析幾何對(duì)思維能力考查要求較高， 解答題背景新穎、綜合性強(qiáng)， 代數(shù)推理能力要求高， 因此在引導(dǎo)學(xué)生縱向深入、橫向聯(lián)系的同時(shí)， 注重強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法， 特別是函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等； 思維固然重要， 但是繁雜、冗長(zhǎng)的計(jì)算也是必不可少的， 提高學(xué)生的運(yùn)算能力， 絕對(duì)要讓學(xué)生避免一看就會(huì)， 一算就錯(cuò) 的毛病.

（4）重視新增知識(shí)， 關(guān)注知識(shí)交匯

第7篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

高考二輪數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破復(fù)習(xí)：解析幾何

解析幾何是高考的必考內(nèi)容，它包括直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)綜合應(yīng)用等內(nèi)容.高考常設(shè)置三個(gè)客觀題和一個(gè)解答題，對(duì)解析幾何知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用進(jìn)行考查，其分值約為27分，約占總分的16%.近年高考解析幾何試題的考查特點(diǎn)，一是設(shè)置客觀題，考查直線(xiàn)、兩直線(xiàn)位置關(guān)系、點(diǎn)線(xiàn)距離、圓有關(guān)的概念、性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用;考查圓錐曲線(xiàn)即橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的概念、性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);二是以直線(xiàn)與圓位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系為載體，在代數(shù)、三角函數(shù)、向量等知識(shí)的交匯處設(shè)置解答題，考查圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)和向量有關(guān)公式、性質(zhì)的應(yīng)用，考查解決軌跡、不等式、參數(shù)范圍、探索型等綜合問(wèn)題的思想方法，并且注重測(cè)試邏輯推理能力.

1.2011年高考試題預(yù)測(cè)縱觀近年高考解析幾何試題的課程特點(diǎn)和高考命題的發(fā)展趨勢(shì)，下列內(nèi)容仍是今后高考的重點(diǎn)內(nèi)容.

(1)直線(xiàn)斜率的概念及其計(jì)算，直線(xiàn)方程的五種形式;兩條直線(xiàn)平行與垂直的條件及其判斷，兩條直線(xiàn)所成的角和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式;線(xiàn)性規(guī)劃的意義及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用.

(3)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)和橢圓的參數(shù)方程.

(4)圓錐曲線(xiàn)的初步應(yīng)用，即以直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系為載體，考查軌跡問(wèn)題，圓錐曲線(xiàn)與平面向量、不等式、參數(shù)范圍、探索型等綜合問(wèn)題.

(5)函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想在解析幾何中的應(yīng)用.

高考二輪數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)兩個(gè)原理的考查主要集中在排列、組合及其綜合題方面，題目靈活多樣.

2.二項(xiàng)式定理重點(diǎn)考查二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)及二項(xiàng)式的展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題.

3.概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系非常密切，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，縱觀全國(guó)及各自主命題省市近幾年的高考試題，概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)在選擇、填空、解答三種題型中每年都有試題，分值在17分到20分之間.主要考查以下三點(diǎn)：

(1)會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;

(2)理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;

(3)理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.

1.2011年高考試題預(yù)測(cè)

(1)高考對(duì)兩個(gè)原理及二項(xiàng)式定理的考查.以基礎(chǔ)題為主，考查形式比較穩(wěn)定.

①?gòu)膬?nèi)容上看，主要考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，排列、組合的概念及簡(jiǎn)單應(yīng)用.例如2010全國(guó)Ⅰ，6;2010山東，8.

②從考查形式上看，多為選擇題和填空題.例如2010北京，4;2010浙江，17.

③從能力要求上看，主要考查學(xué)生理解問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想.例如2010江西，14;2010上海，14.

第8篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

最近,筆者仔細(xì)查閱了前幾年在教學(xué)“拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課時(shí)的教案。整個(gè)教學(xué)過(guò)程是:

1.教師由問(wèn)題“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(F l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么”來(lái)導(dǎo)入本節(jié)課;

2.教師拿教具給學(xué)生作演示并得出結(jié)論:符合題意的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn);

3.告訴學(xué)生如何推導(dǎo)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,并在大屏幕上顯示出推導(dǎo)過(guò)程;講解定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及相關(guān)注意事項(xiàng);

4.教師講解課本上的例題,學(xué)生做練習(xí)。

反思這節(jié)課,明顯存在這樣幾個(gè)缺點(diǎn):①在教學(xué)過(guò)程中,以教師的教為主體,教師講、學(xué)生練,學(xué)生圍著教師轉(zhuǎn),學(xué)生失去了自主性和主動(dòng)性;②讓學(xué)生死記數(shù)學(xué)公式,機(jī)械地模仿教科書(shū)上解決問(wèn)題的方法,忽視了師生之間、生生之間應(yīng)有的合作學(xué)習(xí)與情感交流,喪失了學(xué)習(xí)過(guò)程中的情感性和發(fā)展性。姑且不談這節(jié)課是如何令人感到拖沓冗長(zhǎng),就訓(xùn)練學(xué)生思維能力而言,筆者認(rèn)識(shí)到這節(jié)課很有可能是無(wú)效的。同時(shí),在課堂提問(wèn)中,筆者提出的問(wèn)題大多是陳述性問(wèn)題,并讓學(xué)生圍繞某一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行大量的練習(xí),缺少對(duì)開(kāi)放性創(chuàng)新題型的設(shè)置。

二、對(duì)“拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一課的改進(jìn)

1.精心設(shè)置課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)

筆者預(yù)想了兩個(gè)方案:方案一,鑒于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)關(guān)于橢圓、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及相關(guān)性質(zhì),因而可以采用直接導(dǎo)入本節(jié)課的主要內(nèi)容“拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的方法。方案二,從橢圓和雙曲線(xiàn)的第二定義入手,即歸結(jié)為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線(xiàn)的距離之比問(wèn)題(比值的范圍不同,所得到的曲線(xiàn)就不同。當(dāng)比值在0到1之間,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓;比值大于1,動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(xiàn))。這時(shí)可以提出問(wèn)題:這些比值的范圍還應(yīng)有哪些?即它們的補(bǔ)集是什么?從而得出研究對(duì)象:比值等于1時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題。這樣就將本節(jié)課要研究的問(wèn)題很自然地引出來(lái)了:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和到定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么?

經(jīng)過(guò)對(duì)這兩種方案的研究比較,筆者決定采用第二種方案來(lái)導(dǎo)入新課。因?yàn)檫@樣的設(shè)計(jì),可以在向?qū)W生灌輸類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想的同時(shí),也加強(qiáng)了知識(shí)的前后聯(lián)系,向?qū)W生展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和完備性。并且,在得出拋物線(xiàn)的定義后,也可以讓同學(xué)對(duì)生活中的拋物線(xiàn)圖形進(jìn)行深入思考,闡述數(shù)學(xué)既來(lái)源于生活、亦可解釋生活的理念。

導(dǎo)入后,在有趣的教具的輔助下進(jìn)一步拓展學(xué)生的視野,使數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生及形成更為自然,更能貼近學(xué)生的認(rèn)知特征。

2.在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力

對(duì)于拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),筆者采取先由教師點(diǎn)撥(設(shè)點(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離為p[p>0]),再由學(xué)生自己合理建立直角坐標(biāo)系、討論整理出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。由于學(xué)生建系方法不同(或?qū)⒍ㄖ本€(xiàn)當(dāng)做y軸,或?qū)⒍c(diǎn)當(dāng)原點(diǎn),亦或按照標(biāo)準(zhǔn)方程的建系方法,甚或?qū)⒍c(diǎn)和定直線(xiàn)斜放于坐標(biāo)系內(nèi)),得到的方程式必然不同。教師要在肯定學(xué)生的研究成果的同時(shí),與學(xué)生一起選出最佳建系方法。這樣做可以使每個(gè)學(xué)生都動(dòng)起來(lái),自己探究知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,而不是由老師直接給出答案,更杜絕了讓學(xué)生死記公式、機(jī)械模仿的授課現(xiàn)象。可以根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)水平(掌握了橢圓、雙曲線(xiàn)的相關(guān)知識(shí),可以根據(jù)橢圓、雙曲線(xiàn)因焦點(diǎn)位置的不同而得出兩種標(biāo)準(zhǔn)方程),讓他們對(duì)橢圓、雙曲線(xiàn)和類(lèi)比拋物線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比,得出拋物線(xiàn)因焦點(diǎn)位置的不同也可以有不同的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)論,即加入拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的其他三種表達(dá)形式。

除了使用課本上的例題和練習(xí)以外,筆者還設(shè)計(jì)了這樣一組題:

1.平面上一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線(xiàn)x=-1的距離相等,求M點(diǎn)的軌跡方程。

2.平面上一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到直線(xiàn)x=-2的距離小1,求M點(diǎn)的軌跡方程。

3.平面上一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線(xiàn)x-1=0的距離相等,求M點(diǎn)的軌跡方程。

讓學(xué)生通過(guò)對(duì)這三道題的探究,明白拋物線(xiàn)的定義中最重要的一點(diǎn)就是:定點(diǎn)不在定直線(xiàn)上。

經(jīng)過(guò)這樣一番精心準(zhǔn)備,實(shí)際的課堂效果非常好,學(xué)生們的表現(xiàn)相當(dāng)積極,充分地展示了他們的聰明才智。

3.教學(xué)別注意了對(duì)不同層次的學(xué)生的關(guān)照

在完成如何建系求出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)過(guò)程中,筆者特別注意了對(duì)不同層次的學(xué)生的關(guān)照。為了使大多數(shù)學(xué)生能夠在課堂上完成對(duì)教學(xué)內(nèi)容的充分學(xué)習(xí),筆者特意在小組活動(dòng)后找了不同小組中的成績(jī)中游或者中游偏下的學(xué)生到黑板前面為全班同學(xué)作講解。

同學(xué)甲是以直線(xiàn)l為y軸,以過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系,得到的方程為y2=2px-p2(p>0);同學(xué)乙是以過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線(xiàn)為x軸,x軸與l相交于點(diǎn)K,以線(xiàn)段KF的中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系,得到的方程為y2=2px(p>0);同學(xué)丙是以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線(xiàn)為x軸建系,得到的方程為y2=2px+p2(p>0)。

接著同學(xué)們開(kāi)始點(diǎn)評(píng),有的認(rèn)為乙的方法好,因?yàn)橐易詈蟮玫降姆匠淌胶?jiǎn)單;有的則評(píng)價(jià)乙沒(méi)有從學(xué)生的思維角度來(lái)進(jìn)行講解,即只知道告訴大家如何做,而沒(méi)有分析為什么這樣做,對(duì)此,乙是這樣解釋的:“我們小組經(jīng)過(guò)討論后,知道不同的建系方法會(huì)得到不同的方程,所以我們?cè)谛〗M內(nèi)又分成了三個(gè)小組,分別使用了以直線(xiàn)l為y軸、以KF的中垂線(xiàn)為y軸、以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)(x軸都相同)三種方法來(lái)建系,最后經(jīng)過(guò)比較才得出這樣的結(jié)論的。”原來(lái)如此!想不到他們的小組竟然想出了這種合作方式,這種創(chuàng)新的意識(shí)不正是我們的課堂教學(xué)所急需的嗎?

三、對(duì)教學(xué)過(guò)程的再反思

本節(jié)課的優(yōu)點(diǎn):①在這堂課中,學(xué)生不但學(xué)會(huì)了基礎(chǔ)知識(shí),而且還體驗(yàn)了知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程,嘗試了有條理地思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程。②讓學(xué)生到講臺(tái)上針對(duì)某些內(nèi)容進(jìn)行講解,不僅使學(xué)生增強(qiáng)了自信心,并且使之在參與授課的體驗(yàn)中,進(jìn)一步深入思考應(yīng)該如何聽(tīng)課,即不能只為聽(tīng)答案而聽(tīng)課,而應(yīng)該深究答案的淵源,應(yīng)該學(xué)會(huì)分析問(wèn)題。③通過(guò)小組合作學(xué)習(xí),學(xué)生鍛煉了自學(xué)能力,培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)意識(shí),提高了人際交往能力,學(xué)會(huì)了如何關(guān)懷和幫助他人、評(píng)價(jià)他人,學(xué)會(huì)了承認(rèn)他人的優(yōu)點(diǎn)、容忍他人的缺點(diǎn),虛心學(xué)習(xí)、聽(tīng)取意見(jiàn)。

本節(jié)課存在的問(wèn)題:①在小組討論時(shí),有的學(xué)生對(duì)自己要進(jìn)行的探究比較茫然,找不準(zhǔn)思考問(wèn)題的方向,對(duì)所要完成的任務(wù)也搞不清楚。這就需要教師在備課時(shí)創(chuàng)設(shè)有效的情境,把問(wèn)題設(shè)計(jì)得恰到好處,讓這些問(wèn)題有助于引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)的核心和問(wèn)題的本質(zhì)。②個(gè)別學(xué)習(xí)成績(jī)不太好的學(xué)生在小組討論時(shí)不敢發(fā)言、不敢表態(tài),逐漸地遠(yuǎn)離了討論的中心,顯得很被動(dòng)。為了使全體學(xué)生都能夠在課堂學(xué)習(xí)中獲得有效提高,教師必須要充分了解自己的學(xué)生,了解他們的性格、知識(shí)水平等多方面的信息,特別是對(duì)于成績(jī)暫時(shí)處于下游的學(xué)生,要從他們的實(shí)際認(rèn)知水平出發(fā)合理設(shè)計(jì)課堂教學(xué)內(nèi)容、采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法,盡量避免無(wú)效的提問(wèn)。同時(shí),在他們不能順利、正確地作出回答時(shí),教師要熱情地啟發(fā)和鼓勵(lì)他們,讓他們保持積極的學(xué)習(xí)情緒,積極地參與進(jìn)來(lái),而不是讓課堂變成學(xué)習(xí)成績(jī)好的同學(xué)的“一言堂”,杜絕由老師替代思考轉(zhuǎn)變?yōu)橛珊脤W(xué)生替代思考的現(xiàn)象。③做練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組成部分,是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。做練習(xí)可以幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行正確的理解、釋疑、深化及反饋,所以教師在教學(xué)中要注意在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間選擇恰當(dāng)?shù)木毩?xí)來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固并提高所學(xué)知識(shí);同時(shí),要加強(qiáng)對(duì)解題的指導(dǎo),對(duì)解題思想方法作必要的概括。而本節(jié)課中,學(xué)生做的練習(xí)以口算為主,筆答的時(shí)間少了些,這么做雖然關(guān)注了對(duì)學(xué)生的思維能力的培養(yǎng),但忽視筆頭上的練習(xí),無(wú)法展示和了解學(xué)生在做題過(guò)程中發(fā)生的錯(cuò)誤,更無(wú)法規(guī)范學(xué)生的做題步驟。這是需要再次改進(jìn)的地方。④沒(méi)有恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)。若能在課件中動(dòng)態(tài)地展示拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、x與y的指數(shù)等,那么在對(duì)拋物線(xiàn)的其他標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論時(shí),學(xué)生將會(huì)感到“柳暗花明又一村”。

第9篇：雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文

關(guān)鍵詞 發(fā)散思維 橢圓 雙曲線(xiàn) 卡西尼卵形線(xiàn)

【分類(lèi)號(hào)】G633.7

“同課異構(gòu)”是指不同的教師面對(duì)相同的教材，根據(jù)自己學(xué)生的具體情況，結(jié)合自己對(duì)教材的理解設(shè)計(jì)出不同的教學(xué)方式。同課異構(gòu)就是鼓勵(lì)教師從不同途徑，用不同方法，多方面、多渠道地探索新的教學(xué)模式，從而有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生變更思考角度，變換思維方式來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高和充分發(fā)揮。

1 案例背景

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是高考考查主要內(nèi)容之一。教學(xué)目標(biāo)是掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，為后續(xù)的橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用的學(xué)習(xí)做好鋪墊。教學(xué)重點(diǎn)是橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，教學(xué)難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

2 兩種設(shè)計(jì)

案例1

（1）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題。

教師向?qū)W生們展示了神州七號(hào)“嫦娥奔月”的相關(guān)圖片，并讓學(xué)生們列舉日常生活中有關(guān)橢圓形的實(shí)物，比如：雞蛋、橄欖球、油罐車(chē)、地球的軌道……等等，從而引出橢圓這一概念，從而設(shè)問(wèn)：滿(mǎn)足什么條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓呢？

（2）構(gòu)建模型，解決問(wèn)題。

給出畫(huà)橢圓的一種方法：取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，兩端固定在畫(huà)板上的兩定點(diǎn) 上，當(dāng)細(xì)繩長(zhǎng)大于 的距離時(shí)，用筆尖拉直細(xì)繩在畫(huà)板上緩慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出橢圓圖形（如圖所示）。

（3）追蹤成果，提出猜想。

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、體驗(yàn)橢圓的畫(huà)法，一起歸納、總結(jié)橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之和等于常數(shù)（大于 ）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。

（4）深入細(xì)微，深化理解。

教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析發(fā)現(xiàn)橢圓定義中容易遺漏的三個(gè)地方：①兩個(gè)定點(diǎn)---兩點(diǎn)間距離即 確定；②繩長(zhǎng)--軌跡上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和即 確定；③繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間距離即 。其次引導(dǎo)學(xué)生思考：若在定義中缺少 時(shí)，點(diǎn)的軌跡還有意義嗎？若有，代表什么圖形？最后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)：在同樣的繩長(zhǎng)下，兩定點(diǎn)間距離較長(zhǎng)，則所畫(huà)出的橢圓較扁（橢圓 線(xiàn)段）；兩定點(diǎn)間距離較短，則所畫(huà)出的橢圓較圓（橢圓 圓）。由此，橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長(zhǎng)有關(guān)（為后續(xù)離心率相關(guān)概念的學(xué)習(xí)作鋪墊）。

現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義，那么橢圓有橢圓方程嗎？若有，如何求出其方程？更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，求出橢圓方程。建系可能出現(xiàn)多種方法，例如：①以 為原點(diǎn)， 為 軸，過(guò) 垂直 的直線(xiàn)為 軸建系；②以 為 軸，線(xiàn)段 的中垂線(xiàn)為 軸建系，……。在這么多的建系方式中，哪一種比較好呢？請(qǐng)學(xué)生認(rèn)真感受一下，大部分的學(xué)生感覺(jué)方法②比較好，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美感。

（5）學(xué)以致用，拓展延伸。

練習(xí)1：已知橢圓的焦點(diǎn)為 ，且過(guò)點(diǎn) ，求滿(mǎn)足條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

練習(xí)2：已知橢圓過(guò)點(diǎn) 求滿(mǎn)足條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

案例2

由實(shí)際例子引入橢圓的概念，教師提出問(wèn)題：什么是橢圓呢？怎么定義？引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是圓，并畫(huà)出圓的圖形；再引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：其實(shí)圓也可以看成：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的來(lái)回距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。接著教師設(shè)問(wèn)：若把圓的這個(gè)定點(diǎn)一分為二，那么這樣“來(lái)回”的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？再構(gòu)建畫(huà)橢圓模型，在上述畫(huà)圓的基礎(chǔ)上做如下改變：將細(xì)繩的兩端由原來(lái)都綁在同一釘子上，改為分別綁在兩個(gè)釘子上，并拉開(kāi)釘子使其有一定的距離，用筆尖拉直細(xì)繩在畫(huà)板上緩慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出橢圓圖形，從而組織學(xué)生歸納、總結(jié)橢圓的定義。

得到橢圓定義后，案例2的教學(xué)設(shè)計(jì)基本上與案例1相同。

3 設(shè)計(jì)反思

本節(jié)課是一節(jié)概念課，完整的概念課教學(xué)包含以下幾個(gè)內(nèi)容：（1）問(wèn)題背景引入；（2）具體例子的分析與綜合；（3）概括概念的本質(zhì)屬性；（4）下定義；（5）概念的辨析；（6）用概念做判斷與解Q問(wèn)題。

案例1基本上涵蓋了上述的幾個(gè)步驟，各個(gè)步驟之間的過(guò)度比較自然，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)流暢合理，通過(guò)師生之間的良好互動(dòng)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，是一節(jié)比較成功的概念課教學(xué)設(shè)計(jì)。

案例2與案例1相比，不同之處在于：通過(guò)圓這個(gè)定義的聯(lián)想類(lèi)比，創(chuàng)設(shè)良好的文化氛圍，使得橢圓這個(gè)新知識(shí)是：在擁有肥沃的土壤（圓的概念）中自然的“生長(zhǎng)”出來(lái)。從而使學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解經(jīng)歷了由模糊到清楚、由零碎到完整，并逐步完美的融合到原有的知識(shí)體系中來(lái)。概念課的引入一般會(huì)從這三個(gè)方面入手，①實(shí)際應(yīng)用的需要；②利用類(lèi)比引入；③數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的本身需要。所以，案例1和案例2的引入是各有千秋。

但是，在受案例2橢圓定義的創(chuàng)造性引入方式及橢圓定義的啟發(fā)，好學(xué)的學(xué)生可能會(huì)疑問(wèn)：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之和等于常數(shù)（大于 ）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，那么距離之差的點(diǎn)的軌跡呢？距離之比呢？距離之積呢？在這種發(fā)散思維的觸動(dòng)下，筆者認(rèn)為可以將此案例進(jìn)一步改進(jìn)為“橢圓、雙曲線(xiàn)及卡西尼卵形線(xiàn)定義”的教學(xué)，進(jìn)行一次有意義的探究實(shí)驗(yàn)。

4 案例改進(jìn)

拓展1：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡是什么？

① 當(dāng) 時(shí)，圖象分為兩支，隨著 的減小而分別向 收縮；

② 當(dāng) 時(shí)，圖象成8形自相交叉，稱(chēng)為雙紐線(xiàn)；

③ 當(dāng) 時(shí)，圖象是一條沒(méi)有自交點(diǎn)的光滑曲線(xiàn)，曲線(xiàn)中部有凹進(jìn)的細(xì)腰。

④ 當(dāng) 時(shí)，與前種情況一樣，但中部變平。

⑤ 當(dāng) 時(shí)，曲線(xiàn)中部凸起。

卡西尼卵形線(xiàn)圖象由此組成（如右圖所示）。

所以，由上可得：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之積為常數(shù)的所有點(diǎn)組成的圖形稱(chēng)為卡西尼卵形線(xiàn)。

由上述案例的改進(jìn)所給的啟發(fā)知，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生具備了一定的數(shù)學(xué)能力后，教師一方面可以鼓勵(lì)學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行大膽質(zhì)疑、猜想，提出富有探索性的新問(wèn)題，讓學(xué)生憑借所學(xué)的知識(shí)與技能，善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索，不斷構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用能力；另一方面，教師在平常的教師實(shí)踐中要有意識(shí)、有目的、有重點(diǎn)地向?qū)W生進(jìn)行設(shè)問(wèn)，制造“障礙”，從而引導(dǎo)學(xué)生突破自己的思維定勢(shì)，培養(yǎng)思維的靈活性和廣泛性。

參考文獻(xiàn)

[1] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué)選修2-1（理科） 湖南教育出版社 2005年8月第1版

[2] 馬小平 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì) 學(xué)周刊學(xué)術(shù)研究 2012年第11期