勾股定理教案精選(九篇)
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第1篇：勾股定理教案范文
[關鍵詞] 數學史；勾股定理；教育價值
數學史對于數學教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數學教育類雜志可以發現，越來越多的中小學數學教師也在撰文闡述自己在教學中使用數學史的一些體會和教學案例. 在課程改革不斷深入的當下，數學史融入數學教學對于踐行課改的理念，培養全面發展有理想、有道德的高素質數學人才等方面確實有著積極的推進作用. 本文將給出一個基于數學史的勾股定理教學設計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強自身數學史修養的同時，開發出更多基于數學史的優秀教學案例.
提出問題
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數學家畢達哥拉斯及其徒眾發現的，后人更渲染其事，說畢達哥拉斯諸人十分重視這項發現，特地宰了一百頭牛向天神奉獻答謝，所以中世紀時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數學家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”
接下來的這個定理是畢達哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”
這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我國是最早發現勾股定理的國家，據《周髀算經》記載，我國數學家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認識. 勾股定理從發現到現在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發現時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數量關系聯系在一起，體現了數形結合思想.
定理的證明
在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數學家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據“出入相補原理”，根據“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數學家大會會徽.
[圖1]
引導學生探索其他解法
上述是我國古代數學家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據面積相等實現定理的證明. 教師可以提示學生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學生提供的證法有可能和歷史上大數學家的證法一致.
歷史上的經典證明方法展示
發現勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發現和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統計，現在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數學思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達哥拉斯的證法；（7）旋轉證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.
基于上述分析，不難發現，歷史上的勾股定理證明方法很多，據統計，有400多種，向學生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優劣，而是為了豐富教與學的內容知識，這也是數學史融入數學教學重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學生在教與學上有所比較，以達到取長補短. 通過分析各種證法之不同，可以發現他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數學家進行對話，從而產生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認識到該如何呈現定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數學思想的發展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數學有更全面的觀照. 最后，基于數學史數學教學所追求的目標之一，正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣，因此，數學歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發掘才可能使我們滿載而歸.
問題的推廣
下面我們換個角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？
推廣一：勾股定理的不同表述方式
（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個直角邊長度的平方之和.
（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形.
（3）直角三角形直角邊上兩個正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.
推廣二：“出入相補”原理的應用
所謂“出入相補”原理，是指一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進行的，只是圖形的分合移補略有不同而已. “出入相補”原理是我國古代數學家發明的一個證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個證明來說明某些問題.
趙爽和達?芬奇的證明方法（如圖2所示）：
[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]
問題：這兩種方法的聯系是什么？
解答：如圖3所示.
[圖3：兩種證明的聯系]
可以看出，趙爽和達?芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補”原理. 這兩種來自不同時期、不同地域的方法背后有著更本質的聯系，正因為這種本質聯系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數學內部的一種聯系. 正如韋爾斯在《數學與聯想》一書中所說的：“這就是為什么數學強有力的一個理由. 數學家發現，兩個表面不同的問題實際上是相同的，因此他只要解決一個也就解決了另一個. 認識到一百萬個問題‘實質上’都是相同的，因此，你只要解決一個就解決了一百萬個. 事實上，這就是力量！”我們的數學讀本，應該多多向學生介紹這方面的內容，讓學生感受這種力量，去認識事物之間的聯系.
推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形
若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應的兩個相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.
[圖4]
推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形
若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣：（習題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個半圓之間有什么關系？
[圖5][2][1]
若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，此時顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實這個結論早在公元前479年就已經由古希臘數學家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣（習題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.
推廣五：勾股定理與費馬大定理
勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術》（第2卷問題8）中有一個與勾股定理類似的問題：將一個已知的平方數分為兩個平方數. 丟番圖在《算術》中以實例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨獨提到丟番圖的這一問題，是因為，大約16個世紀以后，正是在這一問題的啟發下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個讓整個數學界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術》時，做了如下批注：“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和. 我已找到了一個奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費馬這一猜想公之于世. 費馬究竟有沒有找到證明已成為數學史上的千古之謎. 從那時起，為了“補出”這條定理的證明，數學家們花費了三個多世紀的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.
推廣六：勾股數
不言而喻，所謂勾股數，是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數呢，方法如下.
1. 任取兩個正整數m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成一組勾股數.
2. 若勾股數組中的某一個數已經確定，可用如下方法確定另兩個數：首先觀察已知數是奇數還是偶數.
（1）若已知數是大于1的奇數，把它平方后拆成相鄰的兩個整數，那么奇數與這兩個整數構成一組勾股數.
（2）若已知數是大于2的偶數，把它除以2后再平方，然后把這個平方數分別減1和加1所得的兩個整數與這個偶數構成一組勾股數.
練習題：限于篇幅，僅列一題.
練習題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）
現代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？
原書“術”曰：“以去本自乘，另如委數兒一，所得加委地數而半之，即索長.”
第2篇：勾股定理教案范文
高一物理起始階段的教學中需要用到大量的初中數學知識,像一元一次方程、一元二次方程、三角形中的正弦值、余弦值、正切值、勾股定律、相似形等等;而像在勻速運動中位移圖像、勻變速直線運動中速度圖像、力的合成中的矢量運算等問題用到的相關數學知識,在數學學科的教學中卻還未講到,這就必然會造成在實施物理教學活動過程中數學這一工具運用上的困難。
筆者對高一第一學期教學中經常需要用到的一些數知識進行了梳理,現整理如下。
代數知識:正比例方程與反比例方程的轉換;一元二方程的求根;求極值的知識;二元一次字方程組的聯合求的知識。
平面幾何知識:相似三角形知識;解三角形的基本法;圓的割線,切線,周長,弧長,面積等基本知識;同位角、內錯角等各種角度間關系的知識。
正弦值,余弦值,正切值與三角形各邊的關系;正、余弦定理;倍角公式;勾股定理等。
圖像的知識:圖像的斜率,截距,面積,交點等與之對應的物理量之間關系的知識。
等比、等差數列求和。
矢量運算知識:矢量求和,矢量求差。
針對上述存在的問題,筆者在實際的教學中采取了如下的解決策略:
(1)與初中數學教師進行溝通,了解相關的數學知識在初中數學教學中已經達到的程度,哪些是學生一般會熟練掌握的、哪些是要求較低需要進一步拓展的。
(2)在數學知識運用比較集中的關鍵之處,專門增設相關數學知識拓展、補充的銜接課。
(3)引導學生總結運用數學知識在解決物理問題時的操作方法,例如在斜面問題中,經常需要將斜面的傾角轉為物理問題中的速度矢量(受力矢量或位移矢量)組成的角形中去,就經常用到“兩個角度的兩條邊相互垂直時,這兩個角度就相等或互補”這個結論,可以結合相關習題強調如何快速、準確地尋找對應角度的邊。
(4)采用低梯度、高密度、多反饋的教學策略,步步為營、逐漸推進,切忌一步到位。
2 學習方法銜接中存在的問題與對策
初中學生進入高中物理的學習,從學習方法上看是一次重大的飛躍,它需要從以定性分析為主轉變為定性、半定量、定量分析相結合的方法上來;需要將以記憶為主轉變為以理解為主的方法上來;需要將以形象思維為主轉變為以形象思維、抽象思維、邏輯思維相結合的思維方法上來;需要從機械操練為主轉變為以把握物理模型為主的訓練方式上來;需要更多的依賴教師的學習方式轉變為更多的以我為主的學習方式上來。
上述轉變的實現是一個漸變過程,而高一階段則是關鍵時期,擔任高一階段教學任務的教師一定要提前思考,尋找最佳應對方法。
通過實踐筆者找到了一種實現銜接教學“軟著落”的有效方法,就是以教材為基礎,編制針對概念、規律的解讀性研讀單元”,貫穿于從課前預習到課后矯正訓練的整個過程的一種全新方法。總體的構思是實現以下4個“一體化”:
第一,“教、學案一體化”。教師的教學實施方案與學生的學習方案融合在一起;
第二,“讀、講、練一體化”。學生對“研讀單元”的研讀、教師對重點、難點、疑點、盲點的講解、各個層次教學目標的達成性訓練融合在一起實施;
第三,“課內、外一體化”。課內教學活動與課外需要完成的總結、作業等學習活動融合在一起,兩者的交匯點就是以教材為基礎而重新整合的“研讀單元”;
第四,“點、線、面一體化”。“點”就是針對“知識點”的教學、“線”就是針對“知識串”的教學、“面”就是針對終結性的知識結構”的教學,三者形成一個有機的序列。
具體操作方法如下:
(1)對原有教材進行合理的分割和重組
所謂分割教材就是將原有教材的內容根據概念、規律等形成的內在需要,分解成若干部分,每一個部分稱作為一個研讀單元。一個研讀單元可以是原教材中的某個段落,更多的是若干個段落組成;在需要時還可以打亂原教材自然段落的順序,進行重組;有的時候也可以將原一節教學內容調整為兩節課時完成;還有的時候可以將前后幾節教材內容重新組合成幾個研讀單元。這樣做的目的在于從知識本身的深度詮釋上、從知識的內在聯系的深度思考上為學生提供一種更易理解的解讀性文本。
對于教材中提供的“問題與練習”中的題目,與研讀單元中的知識結合精密的可以穿插在其中讓學生在解讀文本的過程中就加以處理,有一定難度的題目則不適宜這樣處理,可以放在教學過程實施之后在配套的“回放性反饋訓練”中處理,當然這部分訓練題不僅僅是教材后面的題目,還需要補充,在本文的后面還會加以闡述。
(2)教學目標的情景化處理布魯姆的教育目標分類學對“認知、情感、動作”三個領域的目標進行了科學的分類,是值得借鑒的目標分類理論,在我國曾經進行過大規模的“目標教學”教改實踐,筆者在80年代末期至90年代中期,也曾連續多年在高中學段進行了研究。布魯姆的教育目標分類學非常強調目標的層次性,不同層次的目標要用具體的、操作性的語言來描繪出學習行為的變化,有的時候這是不易做到的。通過實踐,筆者采用的“情景化”目標表達方式,收到了很好的實踐效果。其實就是將要達成的某一層次教學目標用具體的物理情景呈現,這種情景往往具有單一的目標承載功能,學生在完成這一情景的過程中可以表現出思維的軌跡。
具體來講,情景的呈現方式有以下幾種:
第一,與教材內容緊密配合的自編情景。教師根據對教材的分析及達成目標的分解,把在上課過程中要預設的授課素材,編制成表述嚴密的具體情景,附設在上述分割后的研讀單元后面,其要求是:情景簡單,落實一個具體目標層次,這樣可以實現教案與學案的有機結合。
第二,訓練型情景。通過編制一道訓練題,讓學生在嘗試完成的過程中暴露存在的問題,題目以判斷題、選擇題、填空題、配對題等為主,教材中配套的練習題也是重點考慮的一個方面。
第三,概念、規律的變式注解。把教材的內容轉換一種學生更易接受的方式進行注解式的詮釋,使得教材內容層次更分明、要求更明確。一般來講就是將概念、規律進行基于“關鍵詞”的解讀,引導學生養成對概念、規律的深度剖析的習慣。
(3)設置3個層次的梯度訓練
第一,知識回放性達成訓練。“回放性訓練”就是提供給學生在自學之后對相關概念、規律基本理解的初步回饋,所以題目以“識記”、“簡單回放性理解”為主要目標,還原概念、規律的最基本含義。可以用教材配套的“問題與練習”作為自學效果的回放性訓練題,從而引導學生重視教材中提供的問題。
第二,形成性達成訓練。在完成“形成性達成訓練”之前,首先將新學習的概念、規律進行簡單的梳理,引導學生及時整理所學知識,最好能繪制相關知識的概念圖:可以是教師上課時想要書寫的板書的再現;也可以留下空白,讓學生進行整理。
對于“形成性達成訓練”題的組織要注意以下幾點:①達成練習應該突出“單一知識點”的落實,是概念、規律的變式練習;②目標層次定位在“識記”到“簡單理解”即可;③設置“學習札記”利于學生進行自我反饋活動;④題量適中,一般為10道左右,題型以選擇題為主,便于概念的辨析。
第三,反饋———矯正訓練。這種訓練的目的在于:①對“形成性達成練習”中的錯誤進行矯正;②可以進行自我認知的總結,像解題方法總結、錯誤認識的總結等等。